Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna -6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga. Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg krävs utöver godkänt resultat från -7 minst 5% ( poäng) från uppgift, för betyg 5 minst 75% ( poäng). För uppgifterna -7 (godkäntdelen) gäller att ni kan välja mellan att bara ge svar eller ge fullständig lösning. Korrekt svar ger poäng, om svaret är felaktigt finns det en möjlighet att en tillräckligt korrekt bifogad lösning ger poäng. För uppgift 8- ska fullständiga, tydliga och renskrivna lösningar redovisas (använd ett blad per uppgift). Följande uppgifter bedöms för betyg godkänt (). Om inget annat anges, ger uppgifterna i denna del en poäng.. (Dugga.) (a) Bestäm v (v u) om v = 7 and u = 5 57. (p) Svar Kända egenskaper för en vektorprodukt ger att den är vinkelrät mot vektorerna i produkten. Kända egenskaper för en skalärprodukt ger att produkten av vinkelräta vektorer är noll. Men om en vektor är vinkelrät mot v är den också vinkelrät mot v. Alltså blir skalärprodukten i uppgiften noll. (b) Bestäm en ekvation på normalform för planet som går genom punkten och som är vinkelrät mot vektorn som går mellan punkterna och Svar För att få fram planets ekvation på normalform behöver vi en punkt i planet (vilket vi får direkt från uppgifetn) och en normal till planet. De sista måste vi beräkna, men det är enkelt eftersom vi får två punkter där vektorn mellan dem är vinkelrät mot planet, och alltså en normal. En normal är alltså n = = och planets ekvation på normalform blir alltså x = n ( y ) = x + y z ( + ) = x + y z, dvs z x + y z =, p. (Dugga.) (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet Svar Systemets totalmatris är x + y z w = x y + z + w = y z w = (p)
. Gauss-Jordanreducera denna så får vi Första och sista ekvationen i det reducerade systemet ger direkt att x = och w = medan andra ekvationen ger y z = z = y. Alltså har systemet lösningar x y z = s s, s R w (b) För vilka värden på det reella talet k är ekvationssystemet som har koefficientmatrisen och högerledet inte lösbart? Svar Ekvationssystemet har den utökade koefficientmatrisen följande radekvivanlenta matris k k k. k (p). Gaussreducering ger fort Om systemet är lösbart beror på värdet på k: sista ekvationen i det radekvivalenta systemet ger att vi inte har någon lösning om k = för då blir sista ekvationen den omöjliga ekvationen =. För alla andra värden på k är k och vi kan använda sista raden för att reducera bort tredje variabeln från de två första ekvationerna.. Andra ekvationen ger sedan direkt ett värde för andra variabeln, vilket bakåtsubstituerat i första ekvationen ger ett värde för första variabeln. I dessa fall har alltså systemet en lösning. Alltså: systemet är inte lösbart omm k =.
. (Dugga.) (a) Visa att span,, innehåller alla vektorer vars tredje koordinat är noll. a Svar En godtycklig sådan vektor kan skrivas b där a, b är reella tal. Enklast är nog helt enkelt att se att en sådan vektor kan skrivas som linjärkombinationen a b = +b +( a), vilket visar att alla sådana vektorer ligger i span, (b) Beräkna A T B om A = och B = (p) Svar En direkt beräkning ger att A T B = [ 5 (c) Visa att vektorerna,, ] och 5 = [ 5 Svar Man kan naturligtvis visa detta genom att skriva en av vektorerna som en linjärkombination av ] är linjärt beroende. de andra, men lättast är nog att helt enkelt konstatera att det rör sig om stycken vektorer i R så sats.8 i section. ger av vektorerna är linjärt beroende.. (p) (p),.. (Dugga.) (a) Beräkna inversen av. (p) Svar G-J-reducerar matrisen så att vi får en enhetsmatris i vänstra halvan: notera först att inget behöver göras med sista raden. Vi börjar med att byta ordning på raderna: (r r) (r r, r r) ( r, r)
. Därmed har vi att inversen är. (b) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen. Svar Radreducera matrisen så får vi (r r, r r). (p) 5. (Dugga.) Kolonnerna med pviotelement pekar ut basvektorerna bland kolonnerna i den ursprungliga matrisen. I det här fallet finns bara ett pivotelement, i kolonn, och alltså är en bas för kolonnrummet. (a) Är T : R R, definierad av x x + y y T z = y x en linjär avbildning? Motivera svaret väl. w w Svar Nej: En linjär avbildning T uppfyller alltid att T () =. För T given i uppgiften gäller att T () = + =. Alltså är avbildningen inte linjär. (b) Beräkna ett egenvärde och en egenvektor som hör till detta egenvärde för matrisen A =. Motivera svaren väl. (p) (p) Svar Genom att notera att första och fjärde raden i matrisen är linjärt beroende vet vi att determinanten för matrisen är noll, vilket enligt fundamentalsatsen är ekvivalent med att matrisen har ett egenvärde lika med noll. För detta egenvärde är det enkelt att hitta en egenvektor, den är lösningen till homogena ekvationssystemet med matrisen A som koefficientmattris. Rad två ger att andra x y koordinaten y i egenvektorn är noll, och första eller fjärde ekvationen ger samma värde för z w
w. Tredje ekvationen reduceras då till x + z = x = z så om z = t R så är x = t. En egenvektor blir då tex (med t = ). (Alternativt kan vi se att ett egenvärde för matrisen A är en lösning till den karaktäristiska ekvationen det(λi A). Denna ekvation blir = λ λ = ( ) + (λ ) λ λ λ λ, λ där den andra likheten fås från utveckling längs andra raden. Från detta ser vi direkt att ett egenvärde är λ =. Koefficientmatrisen för ekvationssystemet som ger motsvarande egenvektor är. Lösningen av denna ger lite mer räkningar.) 5
6. (Dugga.) (a) Beräkna determinanten för matrisen A = 5 (p) Svar Vi kan först notera att första och andra raden är identiska förutom ett element, samma gäller också första och tredje raden. Vi testar att radreducera för att se om vi får något som är enkelt att beräkna determinanten av, eftersom radreducering (med undantag för radbyte som ändrar tecken) inte påverkar determinantens värde: A = = = 8, 8 8 där den sista likheten gäller eftersom determinanten av en triangulär matris är produkten av diagonalelementen. (b) Bestäm en ortogonal bas för rummet R som uppfyller villkoret att två basvektorerna är parallella med vektorerna och. (p) Svar För att ha en ortogonal bas för R behöver vi en tredje vektor, ortogonal mot de två första som är ortogonala (ses tex genom att konstatera att skalärprodukten är + ( ) + = ). Enklaste sättet att få fram en sådan är antagligen att beräkna vektorprodukten av de två första vektorerna: = = v vilket fungerar som den eftersökta tredje vektorn i basen. Så de två vektorerna i uppgiften och v bildar en ortogonal bas. 7. Finn normalekvationen för det plan i R som är ett underrum till R och som innehåller punkterna u = 5 och v =. Bestäm också en bas till detta rum. (p) Svar Om planet ska vara ett underrum i R MÅSTE det innehålla nollvektorn = ortsvektorerna till punkterna givna i uppgiften vektorer i planet, och en normal n till planet är skalärprodukten av dessa ortsvektorer som är ickeparallella: 5 n =. = Normalekvationen till planet blir då = n ((x, y, z) ) = n (x, y, z) = 5x y z. En bas för rummet är (tex) de två ortsvektorerna som användes i skalärprodukten ovan. 5. Därmed blir 6
Följande uppgifter bedöms för betyg och 5. 8. (a) Finn ekvationen på normalform för ett plan P i R som är vinkelrät mot ett plan med normlavektorn och som innehåller linjen vars ekvation på vektorform är x = u + tv, t R, där u = och v = Svar Efterssom vi söker ett plan P vinkelrät mot planet med normalvektor vektor att vara parallell med planet. Linjen på parameterform ger sedan en andra vektor, v = som också är parallell med planet, och en punkt, u = som ligger i P. (5p) kommer denna I och med att vi har två vektorer parallella med planet P, kan vi beräkna normalvektorn till P som skalärprodukten av dessa vektorer: n = = Normalekvationen för planet blir därmed x = n ( y ) = 8x y + 5z 8 + = 8x y + 5z 8 + 7. z (b) Bestäm avståndet mellan de två planen x + y + z = 5 och x + y + z = 8. Motivera svaren väl. (p) Svar Det första planet har normalvektor (utläses från ekvationen) (,, ) medan det andra planet har normalen (,, ) = (,, ). gånger den andra) vilket innebär att planen är parallella. 8 5. Dessa normaler är alltså parallella (den ena är en konstant Detta innebär att kortaste avståndet mellan en punkt i ena planet till det andra är detsamma, oavsett vilken punkt vi utgår från, och att avståndet är längden av en vektor, vinkelrät mot båda planen, med startpunkt i ena planet och slutpunkt i andra planet. Detta innebär att denna vektor är parallell med normalvektorn (,, ). Om vi tar en punkt i första planet, säg (,, ) kan en sådan vektor beskrivas som u = (,, ) + t(,, ) där t väljs så att u uppfyller ekvationen för det andra planet. Längden på t(,, ), t + + = t 6. u instoppat i andra planets ekvation (förenkla genom att dividera allt med ) ger att talet t måste uppfylla = x + y + z = ( + t) + ( + t) + ( + t) = 5 + 6t t = 5 6 Alltså blir avståndet mellan planen t 6 = 6 6 = 6 = 6. 7
9. (a) Bestäm för vilka värden på paramentern k ekvationssystemet som har totalmatrisen (eller alternativt uttryckt, den utökade koefficientmatrisen) k k k k k har lösning, och för vilka värden på k det inte har någon lösning. Bestäm alla lösningar till systemet för de värden på parametern k för vilka systemet är lösbart. Svar Först noterar vi att om k = blir första ekvationen alltid =, dvs den triviala ekvationen. I detta fall består ekvationssystemet bara av två ekvationer. I detta fall ger Gauss-Jordanreducerar av ekvationssystemet: [ ] (r r) [ ] (r+r, r) [ (6p) ]. Om vi låter (x, y, z, w) beteckna de obekanta variablerna i systemet ger denna reduktion att pivotelementen motsvarar x och y, och vi låter de två sista variablerna få parametervärden: z = s, w = t, s, t R. De reducerade ekvationerna ger då att x = z + = s + och y = w = t. Lösningen blir alltså x y z = + s + t, s, t R. w Vi antar nu att k och Gauss-Jordanreducerar ekvationssystemet i detta fall: k k k k k ( r, r r, r r) (r r, r r) k (r r). Sista ekvationen ger w =. Pivotelementen motsvarar variablerna x, y och w, så variabeln z = t, t R. De reducerade ekvationerna ger då att y = z = t och x = z + = t +. Lösningarna blir därmed i det här fallet x y z = + t, t R. w (b) Ge ett enkelt argument, utan att bestämma någon lösning, för varför systemet { x + y + z = har icketriviala lösning. x + y = Svar Systemet är homogent så det är lösbart, dock är bara den triviala nollösningen garanterad från detta argument. Men systemet har fler variabler än ekvationer. Alltså blir minst en variabel fri, och lösningen kommer att bero på minst en parameter. Genom att välja ett parametervärde som inte är noll, får vi en garanterat icketrivial lösning. (p) 8
(c) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen 5 6 A = 5 8 9 8 (p) Svar Vi radreducerar matrisen, och får 5 5 6 A = (r r, r r, r r) 5 8 9 8 9 5 (r + r, r + r). 6 Pivotelementen i denna radreducerade matris pekar ut basvektorer för matrisens kolonnrum, men de måste tas från den ursprungliga matrisen A. Pivotelementen är i kolonn, och 5, och därmed blir en bas för kolonnrummet alltså motsvarande kolonner i A 5, 5 och 6 9 (d) Vilken dimension har nollrummet för matrisen A i (c). (p) svar Rangsatsen (sats.6) säger att summan av rangen och dimensionen av nollrummet för en matris är lika med antalet kolonner i matrisen. Rangen är dimensionen av rad- och kolonnrummen till matrisen, vilket vi i (c) konstaterade var (antalet basvektorer) och antalet kolonner i matrisen är 5. Alltså blir dimensionen av nollrummet 5-=.. (a) Beräkna determinanten av matrisprodukten A B där (p) A = och B = 6. Svar 9
Det går naturligtvis att multiplicera ihop matriserna och sedan beräkna determinanten av produkten, men det blir mycket jobb. Betydligt enklare är att konstatera att båda matriserna är triangulära, och därmed lätta att beräkna determinanten av, och att determinanten av en matrisprodukt med kvadratiska matriser är produkten av faktorernas determinanter. Determinanten av en triangulär matris är produkten av diagonalelementen i matrisen, enligt resultat i kursen. Alltså är A = = och B = =. Därmed har vi att A B = =. (b) Beräkna inversen för matrisprodukten A B i deluppgift a), eller motivera varför den inte är inverterbar. (p) Svar Samma resonemang kan egentligen göras för invertering som för beräkning av determinant: vi kan beräkna produkten först och sedan beräkna inversen av resultatet, men iom att vi har triangulära matriser ger det mindre arbete att invertera de triangulära matriserna och sedan använda formeln för invers av en matrisprodukt, eftersom triangulära matriser är lättare att invertera. Så vi beräknar inverserna av A och B och utnyttjar att (A B) = B A. A: (r r, r r, r r, r5 r) (r r, r r, r5 r) (r r, r5 r) (r5 r) ( r, r, r, ). Så A =. B: 6 6 (r r5, r r5) (r r, r r)
6 (r r, r r) ( r, r, r, ). Så B =. Slutligen: (A B) = B A = = 5 9 8. (a) Beräkna ett egenvärde och en egenvektor som hör till detta egenvärde för matrisen A =. Motivera svaren väl. (p) Svar Matrisen innehåller två rader (i själva verket två par av två rader) som är linjärt beroende och har alltså determinant=. Ett resultat i kursen ger då direkt att matrisen har ett egenvärde=. Egenvärde noll ger att eegenvektorn är lösningen till det homogena ekvationssystem vars koefficientmatris är A =.. Radreducering och val av lämpliga parametrar i lösningsformlerna (eller direkt utnyttjande av gemensamma symmetrier i ekvationerna) ger att en egenvektor är (tex) v =. (b) En kvadratisk matris A av ordning är diagonaliserbar och har egenvärdena λ = λ =, λ =, λ =. Motivera varför alla element i matrispotenserna An kommer att närma sig noll när potensen n går mot oåndligheten. (p) Svar Eftersom A är diagonaliserbar kan den skrivas som A = P DP, där kolonnerna i P är matrisens egenvektorer och diagonalelementen i diagonalmatrisen D är matrisens egenvärden. Med standardresonemang ser vi att A n = P D n P. 6
Eftersom P är fixt, oberoende av n kommer beroendet av n att bero på D n vilket är diagonalmatrisen med egenvärdena upphöjt till n. Och eftersom alla egenvärden λ för A uppfyller < λ <, kommer diagonalelementen, och därmed alla element, i D n att närma sig noll när n går mot oändligheten. Eftersom varje eleemnt i A n är en ändlig linjärkombination av elementen i D n med max termer kommer alla elementen i A n att närma sig noll när n går mot oändligheten.. (a) Finn en bas för rummet av alla matriser av rang som är både symmetrisska och triangulära. Motivera att ditt svar är en bas för det aktuella rummet. (p) Svar En symmetrisk matris är auitomatiskt kvadratisk så de blir av typ. En matris som är triangulär har bara nollor antingen ovanför eller under diagonalen. Ska den också vara symmetrisk ska den ha samma värde i position (i, j) som i position (j, i), alltså blir det bara nollor både ovanför och under diagonalen. De enda element som kan ha godtyckliga värden är diagonalelementen, vilket är stycken i en matris av typ. Elementen på diagonalen har inga begränsningar, kan vara vilka värden som helst, alltså behövs basvektorer. Det mest naturliga är att ta basvektorerna (matriserna) E =, E =, E =, E =, även om det naturligtvis finns många andra alternativa baser. (b) Visa att mängden av alla -matriser som är av typen a b c d e f g h där a, b,..., h är godtyckliga reella tal, är ett linjärt vektorrum med matrisaddition som vektoraddition och multiplikation av matris med skalär som multiplikation av vektor med skalär. Vilken dimension har detta rum? Motivera svaren väl, (p) Svar Rummet av alla -matriser med de beskrivna räknereglerna är ett vektorrum. Så vad det handlar om är att visa att mängden beskriven i uppgiften är ett underrum till rummet av alla - matriser. Enligt sats 6. behöver vi bara visa att summan av två element i mängden fortfarande ligger i mängden, samt att multiplikationen av ett element i mängden med ett godtyckligt reellt tal fortfarande ligger i mängden. i) Summan av två matriser beräknas elementvis, så de positioner som har nollor i de ursprunliga matriserna kommer ockskå att ha nollor i summan. Alltså är a b c d + α β γ δ = a + α b + β c + γ d + δ, e f g h ɛ ε ζ η e + ɛ f + ε g + ζ h + η vilket också är ett element i denna mängd. Därmed är första kravet visat. ii) Multiplikation av en matris med ett tal sker också elemntvis, så nollor i matrisen bevaras av denna operation:
α a b c d e f g h = α a α b α c α d α e α f α g α h, vilket också är ett element i mängden. Alltså är också andra kravet i sats 6. visat. Sats 6. ger alltså att detta är ett underrum av rummet av alla -matriser med de beskrivna räknereglerna, så mängden är ett vektorrum, vilket skulle visas. v. January 5,