TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 6 april 08 Tid 8- Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Erik Melander, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift (p) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( = + + ln(8 + arcsin( b) (p) Beräkna gränsvärdet lim 0 sin ln( + ) c) (p) Derivera funktionen f ( = + Uppgift (p) Låt f ( = + e a) (p)bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f ( c) Rita funktionens graf Uppgift (p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten = för funktionen f ( = e ) Uppgift (p) Beräkna följande integraler + sin a) (p) cos( e d (substitutionsmetoden) b) (p) ln d (partiell integration) c ) (p) d + Var god vänd
Uppgift 5(p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y ( + y( = där > 0 Uppgift 6 (p) I en vattentank finns 00 liter vatten Vid t=0 finns det 500 g salt i tanken Tanken tillförs vatten med hastigheten 0 liter per timme och saltinnehåll g per liter Efter ordentlig mining förs ut vatten med hastigheten 0 liter per timme Låt y ( beteckna antalet gram salt i tanken vid tiden t (d v s efter t timmar) a) (p) Ställ upp en differentialekvation för y ( b) (p) Bestäm y ( c) (p) Beräkna lim y( t Uppgift 7 (p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L= henry, resistansen R= 0 ohm, kapacitansen C= 00 farad och spänningen U = 0 volt Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( = i( Uppgift 8 ( p) Använd substitutionen z ( = sin( y( ) för att lösa följande differentialekvation tan( y( ) y ( + =, där cos( y( ) π π < y ( < Lycka till
FACIT Uppgift (p) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( = + + ln(8 + b) (p) Beräkna gränsvärdet c) (p) Derivera funktionen a) Kontrollerar termvis: arcsin( lim 0 sin ln( + ) f ( = + + är definierat för alla, llll(8 är definierat för 8 > 0, dvs för < 8, är definierat för 0, dvs för Sammanfattningsvis så är ff definierad för < 8 b) Gränsvärdet är av typ 0 0 så L Hôspitals regel kan tillämpas Detta ger c) Regeln för derivering av en kvot ger ff ( = arcsin( lim = lim = 0 sin 0 cccccc( = + ( + llll( + ) ( + ) ( + Svar: a) < 8 b) c) ff ( = + ( + llll( + ) ( + ) ( + Rättningsmall a) korrekt definitionsmängd för ln( 8 eller för ger p Allt korrekt=p b) Rätt eller fel c) Rätt eller fel
Uppgift (p) Låt f ( = + e a) (p)bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f ( c) Rita funktionens graf a) Söker så att ff ( = 0 ff ( = vilket ger ff ( = 0 = 0 = 0 Vidare så ff ( > 0 om < 0 och ff ( < 0 om > 0 så ff har en maimipunkt i =0 Motsvarande punkt på grafen: 0, ff(0) = (0,) b) Det gäller att ff( när ff( 0 så ffhar en vågrät asymptot yy = åt båda hållen Funktionen ff är definierad för alla så lodräta asymptoter saknas c) Om vi sammanfattar data i a) och b) då får vi följande graf: Rättningsmall a) p för korrekt stationär punkt =0 Korrekt typ (maimipunk=p b) Rätt eller fel c) Rätt eller fel
Uppgift (p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten = för funktionen f ( = e Taylorpolynom av ordning kring punkten = a är f ( a) T ( = f ( a) + f ( a)( a) + ( a) (*)! Vi beräknar f ( = e, f () = e 0 =, f ( = e, f () = e =, f ( = e, f () = e = Formeln (*) ger T ( = + ( ) + ( )! dvs T ( = + ( ) + ( (= + ) ) Svar: T ( = + ( ) + ( ) Rättningsmall: Korrekta (alla tre) värden f () = e 0 =, f () = e 0 = och f () = e 0 = ger p Allt korrekt =p Uppgift (p) Beräkna följande integraler + sin a) (p) cos( e d (substitutionsmetoden) b) (p) ln d (partiell integration) c ) (p) d + cos( e + a) = e dt t = e t + C sin d Substitutionen: + sin = t cos d = dt därmed dt cos d =
= e + sin + C b) ln d = uv u vd = ln d = ln d = ln + C c ) d + Part integration: u = ln v = u = v = Först delar vi i partiella bråk + Nämnarens nollställen får vi genom att lösa + = 0 Vi har, = ±, som ger = och = Därmed + + = ( )( ) = ( + )( + ) Vi fortsätter med partialbråksuppdelning: A B = + (multiplicera med gemensamma nämnaren) + + + = A ( + ) + B( + ) (*) Identitet (*) måste vara sant för alla Därför kan vi välja två värden för, substituera i (*) och få två (gärna enkla) ekvationer på A och B i) Om vi väljer = så försvinner B och vi får = A ( + ) + B( + ) eller = A Härav A = ii) Om vi väljer = så försvinner A och vi får = A ( + ) + B( + ) eller = B Härav B = / / Alltså = + + + Slutligen beräknar vi integralen: / / d = d = + + + C + ( ) ln ln + + + sin Svar: a) e + C b) ln + C c) ln + ln + + C
Rättningsmall: a) Rätt metod och rätt svar=p b) Rätt metod och rätt svar=p c) Korrekt partialbråksuppdelning =p Allt korrekt=p Inget avdrag (den här gången) om man glömmer att ange en konstant C i svaret Uppgift 5(p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y = ( + y( där > 0 Först bestämmer vi en integrerande faktor F = e P( d Vi har P( = och Q ( = Nu beräknar vi integralen P ( d = d = ln + D Vi behöver en integrerande faktor och därför väljer en primitivfunktion, En integrerande faktor är F e P( d ln = = e = Den integrerande faktorn F substituerar vi i formeln y( = F ( C + F Q( d och får y = 6 + Alltså 5 y = C + ( den allmänna lösningen) 6 5 5 ( C + d = ( C + d = ( C + ) = C ln 5 Svar: y = C + Rättningsmall: Korrekt en integrerande faktor =p Allt korrekt=p Uppgift 6 (p) I en vattentank finns 00 liter vatten Vid t=0 finns det 500 g salt i tanken Tanken tillförs vatten med hastigheten 0 liter per timme och saltinnehåll g per liter Efter ordentlig mining förs ut vatten med hastigheten 0 liter per timme Låt y ( beteckna antalet gram salt i tanken vid tiden t (d v s efter t timmar)
a) (p) Ställ upp en differentialekvation för y ( b) (p) Bestäm y ( c) (p) Beräkna lim y( t a) Ekvationen: y( y ( = 0 0 00 y ( = 0 y( 0 y ( + 0y( = 0 (*) Begynnelsevillkoret: y ( 0) = 500 b) Den karakteristiska ekvationen för den homogena delen: r + 0 = 0 r = 0 Härav y H ( = Ce t /0 Vi ansätter y p ( = A och därmed y p ( = 0 Substitution i (*) ger A 0 = 0 A = 00 och därmed y p ( = 00 t /0 Den allmänna lösningen är y ( = Ce + 00 Villkoret y ( 0) = 500 medför C=00 t /0 och y ( = 00e + 00 t /0 c) lim y ( = lim00e + 00 = 0 + 00 = 00 t t Svar a) y ( + 0y( = 0 t /0 b) y ( = 00e + 00 c) lim y( = 00 t
y( Rättningsmall: a) Korrekt ekvationen y ( = 0 0 ger p 00 t /0 b) p för homogena delen y ( = Ce, p för y p ( = 00 c) p för korrekt svar H Uppgift 7 (p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L= henry, resistansen R= 0 ohm, kapacitansen C= 00 farad och spänningen U = 0 volt Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( = i( Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + Ri( + q( = u( dt C dvs ( efter subst L, R och C) i ( + 0i( + 00q( = 0 Derivering ger: i ( + 0i ( + 00i( = 0 (en homogen DE) Vi löser den karakteristiska ekvationen r + 0r + 00 = 0 och får r = 0 ± 00 00 r = 0 0,,, ± Alltså r = 0, r = 0 (dubbelro Enligt teorin är då i( 0t 0t = Ce + Cte Svar: i( C e C te 0t 0t = +
Rättningsmall: Korrekt till i ( + 0i ( + 00i( = 0 (eller till en ekvivalent ekvation med enbart q ( ) ger p Allt korrekt =p Uppgift 8 ( p) Använd substitutionen z ( = sin( y( ) för att lösa följande differentialekvation tan( y( ) π π y ( + =, där < y ( < cos( y( ) Från z ( = sin( y( ) har vi ( enligt kedjeregeln) z ( = cos( y( ) y ( (*) sin( y( ) Vi använder formeln tan( y ( ) = och skriver om DE: cos( y( ) sin( y( ) y ( + = cos( y( ) cos( y( ) Multiplikationen med cos( y( ) ger cos( y( ) y ( + sin( y( ) = Med hjälp av substitutionen och (*) har vi följande DE z ( + z( =, (**) som är en linjer DE av första ordningen Ekvationen (**) kan vi lösa med hjälp av integrerande faktorn eller direkt med formeln z( e P( d ( C + Q( e P( d d =, där P( = och Q( = Vi har ln ln z( = e ( C + e d = ( C + d = = ( C + d = ( C + ) Alltså z ( = ( C + ) Från substitutionen z ( = sin( y( ) får vi sin( y ( ) = ( C + ) (där, enligt antagande, π π < y ( < )
och slutligen y ( = arcsin( ( C + )) Svar: y ( = arcsin( ( C + )) Rättningsmall: Korrekt till z ( + z( = ger p Allt korrekt=p