Dysmatematiker i Estland och Ungern

Dysmatematiker i Estland och Ungern Olof Magne, tidigare professor i pedagogik vid Lunds universitet gästföreläste under april 1989 i Estland och Ungern. Han berättar här om iakttagelser från matematikundervisningen för elever med svårigheter i matematik. Den som en resa gör har något att förtälja Våren 1989 var jag inbjuden att gästföreläsa i Estland den 9-14 april, och kort tid därefter i Ungern, den 24-29 april. Dessa var inte mina första möten med socialistländer. Jag har besökt ganska många länder i Östeuropa: Polen, Sovjetunionen, Tjeckoslovakien, Ungern och Jugoslavien, några av dem vid upprepade tillfällen. I regel har det varit två kontaktområden där, nämligen specialundervisning och matematikundervisning, ofta bådadera. Jag ska här beröra ett enda särskilt område, undervisning för elever i grundskoleåldern som har inlärningssvårigheter i matematik. Det är sådana jag med en modern term karakteriserar som dysmatematiker. Undervisningen i socialistländer Matematikinlärningen i Europas socialistländer håller enligt min mening hög klass. Jag har ett vagt intryck av att elever i t ex Polen kan mer matematik än jämförbara elever i vårt land. Men det är svårt, om inte omöjligt, att göra internationella jämförelser med tanke på att många grundbetingelser skiljer länderna åt. Ett exempel har jag från Krakow. Där bad jag en av mina goda vänner, en forskare i matematikdidaktik, testa elever i specialklasser 1-3 med diagnostiska uppgifter som jag tidigare använt i de s k Medelstaundersökningarna 1977 och 1986. De polska specialklasserna klarade dessa uppgifter i stort sett lika bra som de svenska odifferentierade eleverna i samma årsklasser. I flera hänseenden ser undervisningen ut på samma sätt exempelvis i Polen, Sovjetunionen, Sverige och Ungern. Men skillnaderna är kanske av större intresse. De organisatoriska olikheterna är merendels små. Det viktigaste är att man har specialklasser, svarande mot våra särklasser eller specialskolor, men dessa omfattar en mycket liten del av elevpopulationen. På gymnasienivån finns ofta specialinriktning för matematikbegåvade, men också där har vi en liknande organisation (linjeuppdelning). Antalet matematiklektioner är genomgående något högre än hos oss och dessutom är den naturvetenskapliga undervisningen starkare företrädd. Å andra sidan är elevantalet per klass större. Det är anmärkningsvärt att inslag av den s k nya matematiken bibehållits även för lågpresterande elever. Ämnesinnehållet i grundskolan är bredare och mer balanserat och inbegriper betydande inslag av logik, geometri, funktionslära, sannolikhetslära och algebra. 15

Några intryck från estniska skolor Här ges några exempel på undervisning från specialskolor för utvecklingsstörda. Många av oss besökare har ibland undrat över standarden i utländska skolor för utvecklingsstörda. Vi är inte helt övertygade om att populationen i andra länder är helt jämförbar med den i svenska skolor. Emellertid har man försäkrat oss att uttagningsprinciperna är desamma som våra, så vi får väl godta detta. Exempel 1 Först en klass där eleverna var mellan 8 och 10 år gamla. Klassen antogs svara mot årskurs 2 hos oss. Temat var taluppfattning inom talområdet 0 9, främst nio. Undervisningen var dels muntlig och argumenterande, dels enskilt handledande med förelagda skriftliga, laborativa övningar. a Tal på kort; eleverna läser tal i området 0 9. b Bilder av föremål; eleverna skriver tal. c1 Eleverna bildar talbilder, bygger mönster med hjälp av klossar. c2 Talet nio; eleverna lägger delmängder med sammanlagt 9 klossar och skriver additions- och subtraktionskombinationer som svarar mot de uppbyggda mönstren. d Kort där tal skrivits så, att två eller tre siffror täcker varandra. Eleverna läser talen. e Individuella övningar att analysera talet 9, med eller utan klossarna; eleverna skriver t ex 3+6=9, 9-1=8. f Pengar. Varje elev får kopekmynt, och dessa finns bl a i valörer 1, 2, 3, 5; eleverna försöker välja ut mynt så att beloppet blir 9 kopek olika kombinationer prövas. g Affär. En elev blir handelsman. Det finns ett antal föremål som kostar 9 kopek; Varje barn handlar och väljer ut ett av föremålen. Om någon inte har exakt 9 kopek, måste handelsmannen växla och betala tillbaka. På min fråga om man använder lärobok, förklarade läraren att barnen givetvis hade en räknelära. Den använde man rätt sparsamt. Denna bok var särskilt utarbetad för svagbegåvade elever. Jag fick också veta att läroplanen föreskriver, att det muntliga och laborativa inslaget alltid skall tillgodoses varje lektion. Vidare måste varje lektion innehålla minst ett praktiskt problem i detta fall var det affären. Omdöme: Eleverna arbetade i stort sett i klassundervisning. Övningarna var för det mesta samma för alla. Under de muntliga genomgångarna fick eleverna individuellt olika uppdrag. Genom att eleverna i flera fall själva kunde välja vad de skulle göra inom ramen för uppgiftstypen, kunde individuell variation tillgodoses. Som synes var det många skilda material och olika inriktning på verksamheterna. Avsikten var att talet nio skulle upplevas med många slags erfarenheter. Exempel 2 Eleverna i denna klass var 9-10 år, vilket innebar att de kan jämföras med vår årskurs 3. Temat kunde sägas vara problem med flerstegslösning. Talområdet var 0 100 och alla fyra räknesätten förekom. a Talet tolv. Kombinationer av två termer i addition och subtraktion diskuteras; eleverna svarar muntligt med talnamn som 1+11=12, 12-5=7, 1+11=11+1, 5=12-7 etc. Eleverna utnyttjar alltså räknelagar och sambandet mellan addition och subtraktion. b Liknande uppgifter med multiplikation och division. c Övningar skrivna på kort som satts upp på skrivtavlan. Tvåstegsräkning i addition och substraktion, först utan parentes, sedan med parentes, t ex 12+6-4, därefter 12+(6-4), muntlig behandling. d Upprepad multiplikation eller division t ex 2 4 2, respektive 30/2/3; elever na räknar muntligt. e Praktiska uppgifter med kopek. Pris- 16

satta föremål finns på katedern, t ex 29 kopek för en bok, 23 kopek mindre för en penna. Betala vad dessa saker kostar! Svaret ges i två steg. 1) 29 kopek - 23 kopek = 6 kopek. 2) 29 kopek + 6 kopek = 35 kopek. Beloppet lämnas fram och växlas eventuellt. Omdöme: I denna klass efterfrågade vi lärobok. Läraren sa, att eleverna hade blivit färdiga med årets bok. Den höga svårighetsnivån tycks mig anmärkningsvärd. Flerstegsuppgifter skulle troligen inte ha presenterats för svenska elever. Uppgifterna var individuellt olika. Läraren inriktade sig på att ge lättare problem åt svagare elever. Jag pratade med läraren om läroboken. Boken har en helt annan karaktär än de vanliga svenska. Det är mycket färre övningar av varje slag. Läraren menade att det också borde vara rätt stor variation inom varje område så att eleverna fick impulser av skilda slag och inte låstes vid drill i överflöd. Läraren menade att en genomsnittlig särskoleelev kunde hinna samtliga övningar i boken på tre veckor, om arbetet inte styrdes. Läraren planlade därför arbetet så, att det blev omväxlande muntliga och skriftliga aktiviteter. Den språkliga inlärningen av matematik ansåg läraren vara väl så betydelsefull som skriftliga övningar. Därtill kom inslag av laborativa och praktiska övningar. Exempel 3 Detta utgör ytterligare ett exempel på hur man i särskola anknyter till praktiska problem. Eleverna är 10 11 år och går i en klass som kan jämföras med vår årskurs 4. Här är temat multiplikation och division, men ett trevligt praktiskt problem lanseras också. Talområdet är 0 100. a Kommutativitet för multiplikation; eleverna visar att 8 7 = 56 samt att 7 8 = 56. Detta demonstreras grafiskt på tallinje och med bild av nät. Gäller kommutativitet i division? Eleverna prövar detta på bl a 56/7 och 7/56. b Huvudräkning av uppgifter som 2 85, 85 2, 42/2, 42/3, 42/2/3, 42/6, 36/3/2, 36/2/3. Diskussion av strategier för att underlätta lösningen och finna genvägar och räkneknep. c Skriftlig räkning av uppgifter på räkneblad i anslutning till de just genomgångna typexemplen. d Praktiskt problem; Muntlig och skriftlig, delvis gemensam diskussion och redovisning av följande: En känd, namngiven estnisk skidlöpare N.N. i sovjetiska världsmästarlaget i Lathis 1989 tränade tre dagar. Dag 1: 36 km. Dag 2: 9 km längre än den första dagen. Dag 3: femtedelen av andra dagens träningssträcka. Hur långt åkte N.N. var och en av dessa dagar? Eleverna resonerar med hjälp av grafiska illustrationer. Omdöme: Svårighetsgraden var betydande. Lägg också märke till hur läraren och eleverna behandlade den logiska strukturen hos räknesätten. Samtidigt med att eleverna övade att flertal likartade räknefall, mötte de praktiskt inriktade problem från sin egen vardag. Inte heller här användes lärobok, detta på grund av att flertalet elever redan klarat bokens alla övningar. Det kan noteras att eleverna fick uppgifter där talområdet var högst 0 100 (naturliga tal). Intryck från Ungern Jag besökte en ungersk särskola i Nyíregyháza, en berömd föregångsskola för matematikundervisning för barn med inlärningssvårigheter. Ledaren för verksamheten var Elisabeth Tarnai. Hon startade med försöksundervisning omkring 1970, starkt stödd av det statliga utbildningsinstitutet. Numera är hennes undervisningsmetod spridd i hela Ungern. Exempel 4 Eleverna var 7 år gamla. Den obligatoriska skolgången börjar vid 6 års ålder i Ungern. 17

Jag mötte barnen under vårterminen då de gått i skola nästan ett helt läsår. Lägg märke till att det rör sig om en särskola. Tema: form och antal, talområdet 0 5. a Läraren har en stor påse med bitar med olika geometriska egenskaper; eleverna tar fram t ex en cirkel, en triangel, en stor rektangel etc. b Leksaksbilar ställs fram. I dessa finns bitar av olika form, storlek och färg; eleverna beskriver de bitar som finns i någon av lastbilarna. Hur många former finns i lastbil nr 1? c Eleverna blundar medan läraren tar bort någon kloss från en av lastbilarna: Från vilken lastbil försvinner en kloss? Vilken form har klossen? d Eleverna får en ask med plåtfigurer (äpplen, päron, plommon några är gröna, andra röda eller blå); de räknar individuellt antalet av varje sort/färg. Efter sorterandet redovisar eleverna resultatet t ex genom att slå på trumma, klappa i händerna, knacka i bordet etc. Kamraterna talar om antalet. e Sång om äpplen. f Avslutningsvis får barnen blad med varierande antal figurer (björnar, bilar, fiskar, lok); barnen målar lika många får själv bestämma hur många de vill måla. Omdöme: Huvudvikten lades vid klassens gemensamma resonemang. Läraren växlade dock mellan klassundervisning och individuellt arbete. Eleverna fick erfarenheter genom konkreta övningar, samtidigt som språklig inlärning spelade en stor roll. Det var intressant att se hur färg och form utnyttjades för taluppfattning. Eleverna hängde mycket bra med i lektionens övningar. De tyckte också att det var roliga sysselsättningar. Lektionen demonstrerade en intressant sak. Elisabeth Tarnai har tillsammans med lärarna vid skolan arbetat fram klassuppsättningar av laborativt material.dessa utgör ett slags prototyper som ska kunna varieras för skilda behov. Således sker undervisningen under laborationerna i stort sett som gemensam klassundervisning i Nyíregyháza-skolan. Exempel 5 (Också från Nyíregyháza): Barnen var 8 eller 9 år, således en årskurs 2 i ungersk särskola (motsvarande årskurs 1 i Sverige). Temat var analys av talet 16, talområdet var 0 20. a Varje barn har en rektangulär gummiplatta framför sig, delad i två fält, jämte små plastbitar. Det finns också en flanelltavla av lika typ för gemensamt samtal; barnen har 16 plastbitar som de fördelar på gummiplattans två fält och redovisar antalet skriftligt på ett arbetsblad med uppgifter som + = 16 Därefter kompletteringsuppgifter på arbetsbladet såsom 9 + = 16, 8 + = 16 b Man lägger 16 bitar på gummiplattans ena fält. Några tas bort och förs över till andra fältet. Man kollar genom subtraktion. c Subtraktion med olika antal bitar Skriftligt som i följande exempel där eleverna skriver tal i rutan. 19 = 16 d Nytt blad med övningar som följer 18 16 16 19 17 20 e Övning av bladet på typen + = 16 18

Därefter redovisning i tabellen. f Tabell på tavlan 9 3 2 6 1 11 7 16 5 7+ = 16 18 = 16 3+ = 16 20 = 16 g Läroboksövningar avslutar lektionen. Omdöme: Observera att det handlar om särskoleelever och att dessa kan antas ha begränsade förutsättningar att lära sig matematik. Uppgifterna tycks därför vara på en hög svårighetsnivå. Verksamheten i klassen dominerades av att eleverna ska få erfarenheter ur praktiskt handlande. Med språkets hjälp avsåg läraren att leda barnen till att generalisera och abstrahera kunskaper. Bl a betonades logiska samband mellan tal och erfarenheter. På det hela taget följde barnen lätt med och lyckades på egen hand eller under samtal med kamrater och lärare lösa uppgifterna. Eleverna kände sig tydligen hemmastadda med arbetssättet. Det var intressant att se hur de omsatte de konkreta demonstrationerna till talskrift. Exempel 6 (Än en gång Nyíregyháza). Detta var en klass med 9 och 10 år gamla barn. Temat var analys av multiplikationstabell. a En flanelltavla med två fält; barnen ska fästa figurer som är röda, respektive icke-röda inom de två fälten. b Därefter kort med enkla kombinationer i multiplikation (ensiffriga faktorer); barnen fäster kort inom respektive fält, 7-tabellkort eller icke-7-tabellkort. c Bilder av hus med flaggor (ur 2-tabell, 3-tabell och 7-tabell); eleverna identifierar kombinationer muntligt. d Bilder som föreställer 7-tabellen; eleverna berättar om multiplikation och division. Kommutativitet visas och diskuteras. Sambandet multiplikation division övas. e Magnettavla med talkort. Texten är som följer: 7 x = y ; y /x = 7 x 3 5 9 2 4 8 0 1 y 21 14 42 70 Redovisningen sker gemensamt genom att eleverna fäster kort på magnettavlan. f Kort ur 6- och 7-tabellerna (multiplikation och division) Hulahularingar på golvet, delvis om lott; Varje elev har några kort och dessa läggs ut på golvet i ringarna. Observera att kort för 7 6 liksom för 6 7, 42/6 och 42/7 läggs där ringarna ligger om lott (snittmängd). 3 6 6 9 7 1 7 7 8 6 6 0 42/7 4 7 0 7 6 4 6/6 7 6 7 9 28/7 3 7 2 6 48/6 6 7 21/3 35/5 8 7 6 8 54/9 42/6 56/8 5 6 6 6 7 0 0/7 18/3 49/7 g Tabellträning på räkneblad. Tabellerna för 1, 2, 3,4, 5, 6 och 7 ingår; Eleverna räknar på bladet, varefter uträkningarna kollas av en kamrat. h Övning från läroboken. Omdöme: Här användes, som tidigare visats, färdig laborationsutrustning. Den kunde utnyttjas för varierande ändamål. Eleverna kompletterade det prefabricerade materialet (som flanelltavla, magnettavla, hulahula-ringar, blanketter) med sådana saker som behövdes. I lärarhandledning för klassen fanns detaljförslag som sedan läraren erbjöd eleverna under lektionerna. Laborationen utfördes vanligen som klassundervisning. Lägg märke till samspelet mellan laboration, räkneblad och lärobok. Den muntliga verksamheten gavs stort utrymme. Syftet var att utveckla ele- 19

vernas språkuppfattning. Man argumenterar så här. För att kunna lära sig matematik behöver barnen konkreta manipulationer som grundval, men därefter är det med språkets hjälp som eleverna gör generaliseringar och abstraktioner. Kunskaper är grundade på språk och förvärvas genom att man resonerar. Generaliseringarna och abstraktionerna uppkommer genom att man resonerar om erfarenheter. Sammanfattande reflektioner Då jag tagit emot besökande från exempelvis Polen och Ungern, har det slagit mig, att de kritiserat vissa drag i den svenska matematikundervisningen. Dessa kritiska synpunkter får sin förklaring om man studerar hur lektioner i bl a Estland och Ungern tedde sig. Läroböckerna diskuterar man ofta. Jag har fått frågor som Varför är det så många uppgifter? Varför har Ni så många nästan likadana uppgifter? Är övningarna i allmänhet så väldigt lätta? Utan svårighetsstegring? En annan sak som besökarna brukar ta upp är verksamhetsformerna. Man frågar: Varför är det så mycket tyst räkning? Är Ni inte rädda för att det blir för lite av muntlig matematikinlärning? Bygger man inte väldigt mycket på läroboken i Sverige? Jag har sett många matematiklektioner i Öststaterna. Det finns skillnad i undervisning mellan länderna. Det finns också olikheter inom ett land. Jag vill emellertid gärna poängtera några likheter. Framförallt spelar läroboken i många länder en förhållandevis underordnad roll, medan den muntliga behandlingen av stoffet är viktigare än i vårt land. Variationer mellan uppgiftstyper inom loppet av en lektion kan vara tydligare och större än i svensk undervisning. Den logiska strukturen betonas ibland starkt. Jag tror att vi har skäl att överväga om de svenska tryckta läromedlen i matematik verkligen är så effektiva som vi önskat och förmodat. Kan vi få berikande uppslag från matematikundervisningen i exempelvis Estland och Ungern? Jag tror att vi både kan och bör studera verksamhetsformer som praktiseras i dessa länder. 20