Föreläsningar. Anders Johansson. 2011-08-30 tis

Föreläsningar Anders Johansson 2011-08-30 tis Föreläsningsplanering Föreläsn Adams bok Ämne 1 Kap. 10.1-5 Introduktion. Koordinatgeometri i rummet. Ytor och kurvor i rummet. 2 Kap. 11.1,3 Vektorvärda funktioner av en variabel och rumskurvor. 3 Kap. 11.3,12.1 Funktioner av flera variabler: kontinuitet och gränsvärden. 4 Kap. 1 2.2 Kontinuitet. Funktioner från R n till R m. 5 Kap. 12.3-5,10.1 Topologi. Problem om kurvor och gränsvärden. Parametrisering efter b 6 Kap. 12.3-5 Deriverbarhet, Jacobianen, partiella derivator. 7-8 Kap. 12.4-7 Kedjeregeln, gradienten. Högre ordningens derivator. PDE. 9-10 Kap. 12.8-9 Implicita funktionssatsen, Talorserier 11 Kap. 12 Problemdemonstration. 12-13 Kap. 13.1-3,5 Egenskaper hos kritiska punkter. Globala etremvärdesproblem. Etrem 14-15 Kap. 14.1-2,5 Multipelintegraler, itererade integraler. 16-17 Kap. 14.4,6 Variabelbte, polära koordinater, clindriska och sfäriska. 19-19 Kap. 14.7,15.1-2 Vektorfält, konservativa vektorfält. 21-22 Kap. 15.3- Kurvintegraler. Ytor och tintegraler. 25-27 Kap. 16 Vektoranals: divergens och rotation, Greens sats, Gauss sats och Stoke Introduktion och koordinatgeometri Koordinatgeometri i rummet och planet Introduktion Till vad använder vi analsen? Analsen och matematiken i helhet tillhandahåller verktg, språk, för att kommunicera eakt och klart. Anals ger verktg för att studera kontinuerliga och deriverbara fenomen. 1

ÙÖ ½¼¹½¹ Hur beskriver tillståndet hos en kemisk reaktion i en reaktor? Ett flgplans position och orientering. En triangel inskriven i en cirkel? Sålunda används n-/tupler/ = ( 1,..., n ) av reella tal att ge kvantitativa beskrivningar av fenomen. Fenomenet vi studerar svarar mot den delmängd S R n som motsvaras av ett tillstånd p hos fenomenet. (R n är mängden av n-tupler.) Hur beskrivs temperaturfördelningen på en värmeplatta? Även oändligt-dimensionella tillståndsrum kan behandlas med elementär anals. (Funktionalanalsen behandlar sådana här funktionsrum men man behöver inte alltid dessa verktg.) Rummet R n I planet R 2 betecknas elementen ofta med (, ), (u, v), etc. I det tredimensionella rummet 3D-rummet R 3 används (,, z), (u, v, w) etc. z O z r O s z P º z» Q º 0» 2 ÙÖ ½¼¹½¹

Vi använder oftast dessutom den Euklidiska strukturen på R n som kan uttrckas med att punkter i rummet kan jämställas med vektorer och att vi har en skalärprodukt som gör koordinatalarna ortogonala. Punkter och vektor sammanfaller Hur tänker vi oss förändring av position i rummet? Hastighet? Vi låter vektorer representera ändring av position eller förflttning. Vektorn mellan punkten P R n och Q R n, betecknas P Q, är den entdiga förflttning - translation - som tar punkten P på Q. En translation är en avbildning som avbildar R n på R n z + b. ÙÖ ½¼¹½ i k j r z P º z» En punkt P R n svarar entdigt mot ortsvektorn OP och vi kan därför identifiera punkter med ortsvektorer. Vi har OP + P Q = OQ, det är därför inget fel (i R n!) att jämställa vektorer med punkter. Dessutom är avståndet mellan två punkter P och Q given av längden på vektorn P Q. I fortsättningen låter vi alltså n-tupeln = (1,..., n ) beteckna både vektorn och punkten (orts-vektorn). Låt i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) och k = (0, 0, 1) vara enhetsvektorerna i koordinatriktningarna i 3D-rummet, så vektorn (a, b, c) R 3 kan skrivas som ai+bj+ck. I boken används genomgående denna notation. I R n kan vi skriva = ( 1,..., n ) = 1 e 1 + 2 e 2 + + n e n. 3

Skalärprodukt och vektorprodukt En viktig egenskap hos det euklidiska rummet R n uttrcks i att vi utgår från den cartesiska skalärprodukten: Om u = ( 1, 1, z 1 ) och v = ( 2, 2, z 2 ) så är u v = 1 2 + 1 2 + z 1 z 2. u s uv v ÙÖ ½¼¹¾¼ Vi vet att Och att u = u v u v = u v cos θ där θ anger den vinkeln mellan u och v. Geometriskt uttrcker valet av denna skalärprodukt att koordinatalaran är ortogonala, dvs vinkelräta, eftersom { 1 i = j e i e j = 0 i j. Vi tolkar alltid vektorer i matrisuttrck som kolonnvektorer, dvs, (,, z) =. z I matrisnotation kan skalärprodukten u v = u T v. z P0 v r r0 r P r0 (Rela- Vi beskriver delmängder av R n med ekvationer och olikheter. tioner) ÙÖ ½¼¹ ¼ Implicit form (ekvationer) och eplicit form (parametriseringar) 4

E 1. 1. Linje i planet l = {(, ) : = 3 + 1}. 2. Cirkel 3. Plan C : 2 + 2 = 1 (enhetscirkeln). P : + + z = 1. 4. Snitt av två plan (linje i rummet) L : { + + z = 1 z = 0 5. Clinderkropp Eller med parametriseringar K : 2 + 2 a 2, (,, z) R 3 E 2. 1. l = {(t, 3t + 1) : t R}. 2. C = {(cos t, sin t) : t R}. (Viktig skillnad mot linjens parametrisering: Endast lokal injektivitet.) 3. Linjär algebra ger att planet ges av en punkt plus en linjärkombination av riktningsvektorer i planet. 1 1 1 P : 0 + t 1 1 + t 2 0 t 1, t 2 R 0 0 1 Observera att rikningsvektorerna är ortogonala mot planets normalvektor (1, 1, 1). 4. För skärningen av planen behövs endast en riktningsvektor 1 2 L : 0 + s 1, s R. 0 1 Observera att denna är ortogonal mot båda planens normalvektorer. 5

5. K ges av parametriseringen (r cos θ, r sin θ, t) med de tre parametrarna 0 r a, θ, z R. (Man parmetriserar inte ofta kroppar. Varför?) Att överföra från implicit ekvationsform till eplicit parametriserad form är en viktig tp av problem. E 3. Parametrisera den kurva som ges av skärningen { z = 2 clinder C Lösning (Figur) + = 2 plan P = t, = 2 t, z = t 2. Vilka egenskaper har de olika formerna av beskrivning? Med ekvationsformen kan vi snabbt avgöra om en punkt är medlem i mängden eller inte. Parameterformen sätter koordinater på mängden och är lämplig för att eempelvis beskriva en partikel som rör sig på mängden. Variabelbten Som vanligt gäller att man ofta kan förenkla ett problem och beskrivning genom att införa na koordinater eller variabler. E 4. Ellipsoiden ( 1) 2 + 4( 3) 2 + 9z 3 = 7 överförs på enhetssfären u 2 + v 2 + w 2 = 1 genom att låta u = ( 1)/ 7, v = 2( 3)/ 7 och w = 3z/ 7. Detta är translation med vektorn (1, 3, 0) (punkten (1, 3, 0) som ntt origo) sammansatt med en skalning (,, z) 1 7 (1, 2, 3z). Linjära och affina variabelbten Translation betder ett variabelbte av formen (u, v, w) = ( a, b, z c) (,, z) = (u, v, w) + (a, b, c). Det kan uttrckas som att vi flttar origo till punkten (a, b, c). 6

Skalning ändrar enheter på koordinatalarna (,, z ) = (a, b, cz) (,, z) = ( /a, /b, z /c). Linjära variabelbten kan tolkas som att vi bter bas för vektorrummet R n. E 5. Sadeltan (fig) z = 2 2 överförs på sadeltan w = uv i uv-planet genom variabelbtet u = +, v =, w = z. Detta är ett linjärt variabelbte; vi kan skriva u v = A, w z där 1 1 0 A = 1 1 0. 0 0 1 Sammansättningen av en translation med en linjär avbildning sägs vara en affin avbildning: u = A + b. Polära koordinater Ett viktigt variabelbte i planet R 2 är övergång till polära koordinater. Vi har (, ) = (r cos θ, r sin θ) och omvänt r = 2 + 2 θ = arctan(/) + nπ, n Z. Avbildningen (r, θ) (r cos θ, r sin θ) är inte injektiv, så inversen blir mångtdig. Enhetscirkelns ekvation i polära koordinater: r = 1. En spiral: r = θ, θ 0. Formellt är de variabelbten vi arbetar med (deriverbara!) avbildningar F : R n u R n, som åtminstone lokalt är surjektiva och lokalt bijektiv. 7

Ortonormala variabelbten En viktig egenskap hos linjära variabelbten är att man ofta inte vill ändra vinklar eller avstånd. För vilka variabelbten gäller detta? E 6. Betrakta variabelbtet u v = A = 1 1 1 2 1 1. Om är en vektor i -planet så är motsvarande vektor i uv-planet given av u = A. Observera att A är en ortogonalmatris vilket innebär att A T A = I. Om och är två vektorer i planet och u = A och v = A är motsvarande vektorer i uv-planet. Då gäller u v = (A) T (A) = T A T A = T =. Mer variabelbten finns att hitta i 10.6. (sfäriska koordinater) Koordinatgeometri i rummet. Andragradstor. De tor i R 3 som fås som lösningar till polnomekvationer av andra graden kallas andragradstor. Vi ger enkla standard-eempel. Alla tor av samma slag kan erhållas ur standardtorna genom affina variabelbten. Den kanske enklaste klassen av tor utgörs ellipsoiderna. Ekvationen 2 a 2 + 2 b 2 + z2 c 2 = 1, ger en ellipsoid med alar längs koordinatriktningarna. (Allmänna ellipsoider fås genom ett linjärt variabelbte.) (figur) 8

z c b ÙÖ ½¼¹ ¹ a En funktionsta är en ta vars ekvation kan skrivas på formen z = f(, ). Eempel är den (elliptiska) paraboloiden z = 2 + 2 och sadeltan (den hperboliska paraboloiden) z = 2 2. En funktionsta har en naturlig parametrisering. Vilken? z z ÙÖ ½¼¹ ¹ ÙÖ ½¼¹ ¹ En regelta (ruled surface) är en ta som är täckt av en familj av linjer. En clinderta uppstår när tan täcks av parallella linjer. Clindern genereras av den kurva den skär ut i ett plan ortogonalt mot linjerna. 9

Standard-eemplet på en clinder är den räta cirkulära clindern i z- riktningen (figur) 2 + 2 = 1, (,, z) R 3. Här är alla linjer parallella med z-aeln och skär -planet i enhetcirkeln. Ytor vars ekvationer saknar en variabel är räta clindrar. (I koordinatriktningarna) En kon är en regelta som täcks av linjer som alla skär varandra i en fi punkt (kallad verte). Konen genereras av de kurvor (plural) som skär alla linjer precis en gång. (figur) Standard-eemplet på en kon är den räta cirkulära konen i z-riktningen (figur) z 2 = 2 + 2, (,, z) R 3. Erhålls genom att rotera linjen = omkring z-aeln. z z ÙÖ ½¼¹ ¹ ÙÖ ½¼¹ ¹ Den mest okända klassen av tor är kanske hperboloiderna som liknar koner som har blivit avrundade vid verte. Standard eemplerna är den en-mantlade hperboloiden och den två-mantlade 2 + 2 z 2 = 1 2 + 2 z 2 = 1 Båda är rotationstor av hperblar i z-planet. 10

z z ÙÖ ½¼¹ ¹ Reduktion till standardtorna ÙÖ ½¼¹ ¹ Hur hittar vi ett linjärt variabelbte som överför en polnomekvation till standard-ekvationen? Den allmänna formen på ekvationen är alltså E 7. Givet A 2 + B 2 + Cz 2 + a + bz + cz + d + e + fz = g. (*) Vilken tp av ta är detta? 2 + 2 + 2z + 2 z 2 + 4 = 1. Lösn. Kvadratkomplettera tills den homogena delen av andra ordningen är på formen a 1 u 2 + a 2 v 2 + a 3 w 2, där u, v, w representerar ett linjärt variabelbte. Vi kan kvadratkomplettera så att de linjära termerna förssvinner (motsvarar translation) om koefficienten framför motsvarande kvadrat-term inte är noll. Detta går alltid! (Försök finna en metod.) Eller: använd teorin om kvadratiska former. Vi kan använda matriser för representationen T A + a T = konst., där A är en smmetrisk 3 3-matris och a = (d, e, f). Metoden ger ett ortogonalt variabelbte + skalning + translation som ger formen A 1 u 2 + A 2 v 2 + A 3 w 2 + a 1 u + a 2 u + a 3 u = konst. där A i, a j antar värdena ±1 eller 0 och dessutom gäller A i a i = 0. 11

Parametriserade kurvor i rummet Parametriserade kurvor i rummet I kapitel 11 tar man upp kurvor i rummet och deras parametriseringar. En kontinuerlig funktion r(t) från ett intervall t I = (a, b) till rummet R n är en vektor-värd funktion. Under lämpliga förutsättningar är dess bildmängd r(i) en kurva C i rummet. Vi kan då säga att r(t) är en parametrisering av kurvan C. En parametrisering kan sägas åskådliggöra en partikels rörelse längs kurvan och viktiga kinematiska storheter som hastighet och acceleration tas upp. De deriveringsregler för vektor-värda funktioner som tas upp borde kännas naturliga. I avsnitt 11.3 koncentrar man sig på de geometriska egenskaper hos kurvan som är oberoende av parametrisering. Det viktigaste gäller längden av kurvor och hur dessa erhålls ur en integral för en given parametrisering. Definition av parametriserad kurva i R 3 Betrakta en kontinuerlig vektor-värd funktion r : I R n definierad på ett intervall I R med ändpunkter a och b till R n. (Figur: Intervall+kurva.) En sådan funktion kan ses som en n-tupel ( 1 (t),..., n (t)) av funktioner R R. Vi tolkar värdet som en vektor (eller ortsvektor) och i R 3 kan vi skriva r(t) = ((t), (t), z(t)) = (t)i + (t)j + z(t)k. En naturlig tolkning är också r(t) = en partikels position i R n vid tiden t. Vi kan ibland säga att funktionen r(t) är en parametriserad kurva, där kurvan sftar på bildmängden C = r(i) R n. (Huruvida detta är en bra eller dålig parametrisering återkommer vi till.) Många egenskaper vi är intresserade av beror endast på kurvan C och inte på r(t), men r(t) kan vara ett stöd för räkningarna. E 8. Beskriv bildmängden av r(t) = (t, t 2, t 4 ), 1 t 1, med ekvationer. Lösn. Parametrisering säger att = t, = t 2 och z = t 3. Värdetabell + figur 12

t r(t) 1 (1,1,1) 0 (0,0,0) -1 (-1,1,-1) 1/2 (1/2,1/4,1/8) Vi ser också att kurvan satisfierar ekvationerna = 2 och z = 3. Den utgör alltså skärningen mellan två clindrar; en parallell med z-aeln och en parallell med -aeln. (Figur) (Allmänt: en clinderta är en ta som täcks med en familj av parallella linjer. Vi upptäcker clindrar i koordinatriktningarna genom att en av variablerna saknas i ekvationen.) E 9. Bestäm parametriseringen av skärningskurvan mellan torna z = 2 + 4 2 (paraboloid) och 2 + 8 + z = 4 (plan). Lösn. Vi ser först att vi kan eliminera z och få ekvationen (kvad. kompl.) 2 +4 2 2 8 = 4 ( 1) 2 +4( 1) 2 1 4 = 4 ( 1) 2 +4( 1) 2 = 1. Detta är en ellips i -planet med centrum i punkten (1, 1). Efter variabelbte u = 1 och v = 2( 1) får vi enhetscirkeln i uv-planet som vi vet parametriseras med u = cos t och v = sin t, dvs = 1 + cos t, = 1 sin t + 1. 2 Insättes detta i ekvationen för planet erhåller vi Svar: z = 4 2(1 + cos t) 8( 1 sin t + 1) = 2 cos t 4 sin t 6. 2 r(t) = (1 + cos t, 1 sin t + 1, 2 cos t 4 sin t 6). 2 Definition av derivatan (hastigheten) Def 1. Derivatan av en vektorfunktion r : I R 3 i en variabel definieras som r r(t + h) r(t) (t) := lim h 0 h (t + h) (t) = lim(, h 0 h = ( (t), (t), z (t)). (t + h) (t), h z(t + h) (t) ) h 13

ÙÖ ½½¹ vºt» z rºt» rºt t» ÙÖ ½½¹½ Figure 1: Derivatans definition. Med andra ord deriverar vi helt enkelt vektorfunktionen r(t) : R R n komponentvis och r(t) är deriverbar om och endast om koordinatfunktionerna är det. (Detta kan vi göra så länge vi uttrcker vektorn r(t) i en bas som inte beror på t.) Vi ser att derivatan r (t) är en tangent till kurvan och kan benämnas (tolkas som) hastigheten för r(t) vid tiden t. Tar man derivatan av r (t) erhålls accelerationen r (t). Obs 1. Det finns ett överflöd av notation: dr, ṙ, etc. I boken används också dt beteckningen v(t) för hastigheten och a(t) för accelerationen. Längden av hastighetsvektorn kallas fart r (t) := (t) 2 + (t) 2 + z (t) 2. E 10. Om r(t) = (t, t 2, t 4 ), 1 t 1, så är r (t) = (1, 2t, 4t 3 ), r (t) = (0, 2, 12t 2 ). E 11. En funktionskurva = f() i -planet ger upphov till den vektorvärda funktionen r() = (, f()) R 2. Detta är den naturliga parametriseringen för en funktionskurva. Derivata är r () = (1, f ()). (Vi kan låta vara parametern.) Acceleration r () = (0, f ()) är alltså alltid nedåtriktad. v 0 z r 0 14

Produktregeln vid derivering av matrisprodukter Låt A(t) R m n, (t) R n och b(t) R m vara matrisvärda funktioner. Om vi deriverar matrisuttrcket (komponentvis derivering) så erhålls u(t) = A(t)r(t) + b(t), u (t) = A (t)r(t) + A(t)r (t) + b (t). Beviset för detta är elementärt: det följer direkt ur deriveringsregler för produkter i envariabelfallet. (Intressant när A(t) + b(t) är ett tidberoende variabelbte.) Från detta erhåller man bland annat att derivering av vektorprodukten och skalärprodukten följer Leibniz regel, dvs E 12. Låt d dt (u(t) v(t)) = u (t) v(t) + u(t) v (t). r(t) = (4 sin ωt, 3 sin ωt, 5 cos ωt). Då gäller att (vinkelhastigheten ω) kan faktoriseras ut som inre derivata och vi får r (t) = ω(4 cos ωt, 3 cos ωt, 5 sin ωt), och Notera att r (t) = ω 2 ( 4 sin ωt, 3 cos ωt, 4 sin ωt). r (t) r(t) = ω sin(ωt) cos(ωt)(16 + 9 25) = 0, dvs r (t) r(t). (Positionsvektorn är ortogonal mot hastighetsvektorn). Detta betder att tidsderivatan av positionsvektorns längd i kvadrat d dt r(t) 2 = d dt (r(t) r(t)) = 2r (t) r(t) = 0. Alltså är r(t) 2 (= avståndet till origo) en konstant över tiden. Vi kan sluta oss till att r(t) befinner sig på en sfär med medelpunkt i origo. Ur den trigonometriska ettan följer också lätt att r(t) 2 = 25 cos 2 ωt + 25 sin 2 ωt = 25, så r ligger på en sfär med radie 5 och centrum i origo. 15

Dessutom gäller likheten 3 4 = 12 cos ωt 12 cos ωt = 0. så r(t) ligger i skärningen (snittet) av planet 3 4 = 0 och sfären 2 + 2 + z 2 = 25. Detta inses vara en cirkel med radie 5. Vi får också att r (t) = Ω r(t), där Ω är en konstant vektor av längd ω och riktning i planets normalriktning. I R 3 kan man alltid representera cirkulära rörelser med en sådan vektorvärd vinkelhastighet Ω. Att r (t) = ω 2 r betder att accelerationen är en centripetalacceleration. Båglängd Tillräckliga villkor för parametriseringar Inte alla kontinuerliga vektorfunktioner f(t), t I, är bra parametriseringar av en given kurva C R 3. Bra betder (åtminstone lokalt) injektiv. I praktiken kräver man 1. Att f (t) eisterar för alla t I och är kontinuerlig, dvs f : I R n är kontinuerligt deriverbar. 2. Och att f (t) 0, för alla t I. Villkoren innebär att r(t) är lokalt injektiv och har en kontinuerligt varierande tangentlinje parallell med r (t). Dvs, inga hörn. I de punkter där detta inte gäller måste man göra specialstudier. Men man kan för många ändamål bortse från dessa singulära punkter om de är ändligt till antalet. E 13. Kurvan r(t) = t 3 i + t 2 j i R 2 har derivata r (t) = 3t 2 i + 2tj och är singulär i punkten t = 0. I denna punkt är kurvan inte heller deriverbar i betdelsen att den inte har en väldefinierad tangentlinje. 16

r 1 r i 1 r t 3 i t 2 j Figure 2: En kurva med en singulär punkt. ÙÖ ½½¹¾ E 14. En parametrisering som inte är så lckad är till eempel = t 2, = t 4, 1 t 1. (A) Den parametriserar kurvan = 2, 0 1. Vi ser att derivatan v(0) = (0, 0) och för varje (, 2 ) nära 0 finns det två t så att r(t 1 ) = r(t 2 ) = (, 2 ) och att t 1 t 2 0 då 0. Den är alltså inte lokalt injektiv i punkten t = 0. Dessutom går den över sig själv två gånger. Definitionen av båglängd r 3 r n r 0 r i Vi vill definiera en längd l(c) till varje kurva C. Betrakta kurvan C som ges av r(t), a t b. ÙÖ ½½¹ Vi antar att r(t) är injektiv, så att den inte skär sig själv. Dela in intervallet [a, b] i N delintervall [t i, t i+1 ] genom att välja N 1 inre punkter a = t 0 < t 1 < < t N = b. 17

Låt C N vara motsvarande polgonkurva (stckvist linjär) med hörn i punkterna r i = r(t i ), i = 0, 1,..., N. Längden av polgonkurvan är l(c N ) = N r i r i 1 (L) i=1 och längden ökar om vi gör indelningen finare, dvs lägger till punkter i indelningen. l(c) som det minsta tal som är större än l(c N ) för varje indelning t 0,..., t N. Eller l(c) = sup {l(c N ) : C N polgonapproimation} där C N genomlöper alla polgon-approimationer av C. Om r(t), a t b, är en injektiv parametrisering av C så gäller att varje indelning av intervallet [a, b] ger en polgon-approimation C N av längd där l(c N ) = N r i r i 1 = i=1 Integralformen av längden N r i t i t i, i=1 r i = r i r i 1. Låt C 1 betda kontinuerligt deriverbar. Thm 1. Om r(t) är injektiv och C 1 och r (t) 0 så gäller att längden av kurvan ges av integralen l(c) = sup l(c N ) = b a r (t) dt. Notera att l(c), per definition, är oberoende av parametriseringen, så vi kan ta vilken injektiv C 1 -parametrisering som helst. Notera tolkningen tillrggalagda sträckan = integralen av farten. Detta gäller också när r är C 1 förutom i ett ändligt antal punkter. (Varför?) E 15. Om r(t) = a + tv, t [a, b], så gäller att l(c) = (b a) v. 18

Vi kan tillåta att parametriseringen är icke injektiv i ett ändligt antal punkter; dvs kurvan skär sig själv i ett ändligt antal punkter. Samma sak gäller deriverbarhet och om r (t) = 0 i ett antal punkter. Man brukar införa båglängdselementet ds för att understrka att integralen är parametriseringsoberoende. För en given C 1 -parametrisering r(t) har vi alltid ds = r (t) dt. Vi kan skriva integralen som l(c) = C ds. E 16. Om r() = (, f()), [a, b], är en funktionskurva i -planet så ges längden av b 1 + (f ()) 2 d a E 17. Den cirkulära spiralkurvan ges av parametrisering = a cos t, = a sin t, z = bt. Beräkna längden av segmentet mellan (a, 0, 0) och (a, 0, b2π). z ºa 0 2 b» ºa 0 0» ÙÖ ½½¹ Lösn. Segmentet S ges av delintervallet t [0, 2π]. Vidare gäller att r (t) = ( a sin t, a cos t, b) så r = a 2 + b 2. Vi får l(s) = 2π 0 a 2 + b 2 dt = 2π a 2 + b 2. 19

Parametrisering efter båglängd E 18. Skissera kurvan r(t) = e t/6 (cos(t), sin(t)), 0 t < 1, i planet. Bestäm längden s(t) av den del av kurvan som ligger mellan r(0) och r(t). Finn båglängdsparametrisering av kurvan. r ae tºcosti sintj» r ae tºsinti costj» ÙÖ ½½¹½ ¹ Figure 3: En annan logaritmisk spiral Lösn. Spiral där avståndet till origo avtar eponentiellt. Figur. Öppen kurva där t = 1 ej är med. Vi beräknar hastigheten r (t) = 1 6 e t/6 (cos(t), sin(t)) + e t/6 ( sin(t), cos(t)). Farten v(t) fås ur Pthagoras sats eftersom termerna ovan är ortogonala v(t) = e t/6 (1/6) 2 + 1 = e t/6 37/6. Vi har sträckan som funktion av tiden ges av integralen Vilket evaluerar till s(t) = t 0 v(s)ds = 37 t s(t) = 37(1 e t/6 ). 0 e s/6 ds/6. 20

Parametrisering efter båglängd Men vad är parametriseringen efter båglängd för något? För en C 1 vektorfunktion r(t), där a t b, gäller att den tillrggalagda sträckan (figur) som funktion av tiden ges av s(t) = Denna är strikt väande om farten t 0 r(s) ds. ds dt = v(t) = r (t) > 0. Alltså injektiv med invers t(s), som tar [0, s(b)] på [a, b]. Figur. Vektorfunktionen q(s) = r(t(s)), där 0 s s(b), parametriserar kurvan med avseende på båglängd. Notera att dt ds = 1/ds = 1/v(t), så dt q (s) = r(t) dt ds = q (s) = r (t) /v(t) = 1. Parametriseringen har enhetsfart. Vi fortsätter uppgiften Lösn. Vi löser ut t som funktion av s s = 37(1 e t/6 ) e t/6 = 1 s/ 37 t = 6 log(1 s/ 37). Notera att e t/6 = (1 s/ 37) så vi får q(s) = (1 s/ 37)(cos( 6 log(1 s/ 37)), sin( 6 log(1 s/ 37))). Blandade derivator Slutligen ett eempel på en tp av uppgifter som kräver att vi kan använda kedjeregeln. E 19. En punkt r(t) rör sig i -planet på kurvan = 2 med farten v(t) = 3 i stigande -värde. Bestäm dess hastighet och acceleration a(1) om r(1) = ( 2, 2). 21

Lösn. Vi skriver r(t) = (, 2 ), där = (t). Vi får hastigheten r = d (1, 2). dt och accelerationen r = d2 (1, 2) + d2 ( ) d 2 (0, 2). dt Samtidigt vet vi att r = 3, vilket ger att vi kan beräkna d dt = 3 > 0. 1 + 4 2 (Teckenfrågan avklaras med att d dt gäller enligt kedjeregeln > 0 enligt förutsättningarna.) Dessutom dvs, efter derivering, = d 2 dt 2 = d d dt dt = d dt 3 d 1 + 4 2 d d 2 dt 2 = 3 1 + 4 2 Evaluera med t = 1 och = 2, vilket ger ( d d d dt, ( ) 3 1 + 4 2 ) 24 2(1 + 4 2 ) 3/2 d dt t=1 = 1 d 2 t=1 dt 2 = 1 4 2 = 4 2. 9 9 Vi kan sätta in dessa värden i uttrcken för r och r och vi får r (1) = ( 4 2 9 r (1) = 1 (1, 2) = (1, 2 2). )(1, 2 2) + 1 2 (0, 2). = ( 4 2, 14). 9 22

Funktioner i flera reella variabler Början på kapitel 12 handlar om att utvidga de grundläggande begreppen: gränsvärde, kontinuitet och speciellt derivata från fallet med funktioner i en variabel till flera variabler. Det allmänna funktionsbegreppet Def 2. Givet två mängder X och Y. En funktion 1 från X till Y är en regel som tilldelar varje punkt (element) X ett unikt funktionsvärde (element) Y. Mängden X utgör definitionsmängd (D f = X) för f och Y dess värdeförråd 2. Bildmängden 3 är den delmängd av Y som utgörs av $f$s funktionsvärden. Funktioner från R n till R m. f(x) = {f() : X} Det allmänna funktionsbegreppet är väldigt tillämpbart i många sammanhang. Vårt intresse är främst inriktat på funktioner (figur) som har sin definitionsmängd i R n, n 1, och antar värden i R m, m 1. Vi talar lite slarvigt om sådana funktioner som funktioner f() från R n till R m, även om definitionsmängden D f bara är en delmängd av R n. Om n > 1 så har vi en funktion i flera variabler, vilket också förklara namnet på kursen. Om värdeförrådet har dimension m > 1, så skriver vi funktionen i fetstil (eller med streck på tavlan), eemeplvis g(), g : R n R 2. Vi kallar sådana funktioner vektorvärda. (Detta är litet oegentligt eftersom de ofta snarare är punktvärda; men punkter i R m kan identifieras med vektorer som vi talat om tidigare. Funktioner med värden i R kallas reellvärda.) Det flesta begrepp och definitioner (gränsvärde, kontinuitet, deriverbarhet, integralen, etc.), vi kommer att införa, generaliserar begrepp i envariabelsanalsen. Vissa begrepp låter sig dock inte generaliseras E 20. Vi kan inte direkt tala om monotona reellvärda funktioner. Vi kan dock säga att en funktion är väande längs en viss tp av kurvor. (R är totalt ordnad.) 1 FOOTNOTE DEFINITION NOT FOUND: fn:5 2 FOOTNOTE DEFINITION NOT FOUND: fn:6 3 FOOTNOTE DEFINITION NOT FOUND: fn:4 23

Eempel E 21. Följande är eempel på funktioner från R n till R m. 1. Om n = m = 1 så har vi en vanlig reellvärd funktion i en variabel från den tidigare analskursen. E: f() = 2, f() =. 2. Om n = 1 och m > 1 så har vi en vektor-värd funktion i en variabel som i kapitel 11 i Adams. Eempelvis r(t) = (cos t, sin t, t), n = 1 och m = 2. 3. Om n = 2 och m = 1 så har vi en reellvärd funktion i två variabler. En tpisk tillämpning är när u(, ) anger en temperaturfördelning för en ta som med koordinater givna av och. 4. För fallet n = m > 1 finns två viktiga tillämpningar; dels variabelbten (u, v) = f(, ) och dels vektorfält där funktionsvärdet X(p) tillordnar en vektor till punkten p R n. Eempelvis, tänker man sig vektorfältet X(,, z) = 1 (,, z), 2 + 2 + z2 som ett fält där en enhetsvektor riktad från origo har tillordnats till varje punkt. 5. Om n < m kan f() tänkas vara en parametrisering av en hperta i den högre dimensionen R m. Eempelvis f(t 1, t 2 ) = p + t 1 v 1 + t 2 v 2, p, v 1, v 2 R 3 parametriserar ett plan i R 3 genom punkten p om v 1 och v 2 är linjärt oberoende. Injektiva funktioner Def 3. En funktion f : X Y är injektiv om varje f(x) i bildmängden ges av precis en punkt i D f = X. En funktion är surjektiv om bildmängden f(x) är hela Y, dvs varje - värde i värdeförrådet är ett funktionsvärde. En funktion är bijektiv om den både är surjektiv och injektiv. 24

Vi definierar inversa bilden av delmängder C Y av värdeförrådet f 1 (C) = { X : f() C}. Ett annat sätt att uttrcka injektivitet är att nivåkurvorna, som vi kan skriva f 1 ({c}), c f(x), utgörs enstaka punkter i X. Def 4. Om f är injektiv finns en funktionsinvers f 1 : f(x) X så att sammansättningarna med f ger identitetsfunktioner f(f 1 ()) =, f 1 (f()) =. E 22. 1. En funktion f : R n R m är aldrig injektiv om m < n, såvida den inte är väldigt konstig (diskontinuerlig). 2. Funktionen = sin är inte injektiv medan funktionen = sin, [ π/2, π/2] är injektiv och har invers arcsin : [ 1, 1] [ π/2, π/2]. E 23. Begreppet injektivitet är främst viktigt när vi talar om parametriseringar. 1. En kurva r(t) = ((t), (t)) i planet är injektiv om den inte skär sig själv. 2. Den naturliga parametriseringen av en funktionsta (, ) (,, f(, )) i R 3 är injektiv. Vi har funktionsinversen (,, f(, )) (, ) från S f till D f. 3. En linjär funktion f() = A, representerad av en matris A R n m, är injektiv om kolonnerna är linjärt oberoende. (Rangen av matrisen är lika med m.) Funktionstor och nivåkurvor Vi studerar nu reellvärda funktioner. Funktionsgrafer Ytan S = S f på formen S : z = f(, ), (, ) D f utgör grafen av funktionen 4 i R 3. När vi presenterar funktionen på ekvationsform så kallas variabeln z för värdeförrådet R den beroende variabeln. Variablerna och sägs vara de oberoende. 4 FOOTNOTE DEFINITION NOT FOUND: fn:1 25

z fº» z graph domainof f En funktionsgraf S f har den naturliga parametriseringen ÙÖ ½¾¹½ R(, ) = (,, f(, )) S, (, ) D f som är globalt injektiv eftersom den ortogonala projektionen ned på -planet S D f given av (,, f(, )) (, ) utgör funktionsinvers. Nivåkurvor Vi får för varje värde c i bildmängden av f(, ) en icke-tom nivåkurva f 1 ({c}) (nivåta i högre dimensioner) som på ekvationsform ges av f 1 ({c}) : f(, ) = c, (, ) D f dvs, nivåkurvan för c innehåller alla punkter (, ) som delar samma värde f(, ) = c. Nivåkurvorna skär inte varandra och täcker hela definitionsmängden. 26

z 3 z 3 1 2 4 2 4 Figure 4: En funktionsta med begränsad definitionsmängd ÙÖ ½¾¹¾ Om S beskriver ett landskap i 3-dimensioner där z anger höjd ö.h., så utgör en samling av nivåkurvor en topografisk karta av landskapet. Vi ser att L c utgör ortogonala projektionen ned på -planet av skärningen mellan tan S och det horisontella planet z = c. E 24. Beskriv torna respektive nivåtorna för funktionerna ovan. Frågor 1. 1. Kan nivåkurvor skära varandra? Svar: Nej. 2. Gäller det alltid att nivåkurvor som är linjestcken är parallella? Nej, motsvarande linjer kan skära varandra utanför definitionsmängden D f. Betrakta z = /. 3. Hur ser man att en punkt är ett lokalt maimum utifrån nivåkurvorna? Som en bergstopp på en topografisk karta. Gränsvärden, kontinuitet och topologi Gränsvärdesdefinitionen Gränsvärdesbegreppet fungerar väsentligen som tidigare; definitionen är densamma med ett justerat närhetsbegrepp. Funktionen f(), från R n till R m, har gränsvärde L i punkten a om följande gäller: Funktionsvärdet f() går mot L så snart går mot a. Vi skriver: f() L då a, 27

z ÙÖ ½¾¹ ¹ Figure z 2 2 5: Sadeltan z = 2 2 eller lim f() = L. a För vektorvärda funktioner f() = (f 1 (),..., f m ()) gäller att gränsvärdet ges av koordinaternas gränsvärden, dvs lim f() = (lim f 1 (),..., lim f m ()). Vi kan alltså diskutera utifrån fallet att f är reellvärd. Uttrckt i ɛ δ-eercis har vi följande eakta definition. Def 5. Gränsvärdet lim a f() eisterar och är lika med L om följande gäller: 1. För varje δ > 0 finns åtminstone ett D f så att 0 < a < δ. 2. För alla ( ) ɛ > 0 eisterar ett ( ) δ > 0 så att f() L < ɛ om0 < a < δ, D f. 28

C 1 C C 9 4 C 9 C 4 C 1 C 0 ÙÖ ½¾¹ ¹ Figure 6: Sadeltan med nivåkurvor Skillnaden mot envariabelfallat är att kan närma sig a på många olika sätt; i en variabel finns väsentligen bara två möjligheter: från höger eller från vänster. I flervariabelfallet skall samma gränsvärde erhållas oberoende av längs vilken väg man närmar sig punkten a. Kontinuitet Kontinuitet är ett fundamentalt, intuitivt och uråldrigt begrepp i analsen. I räkningar manifesterar sig kontinuiteten hos en funktion f genom att den kommuterar med limes, dvs lim f() = f(lim ), förutsatt att högerledet är definierat, dvs a = lim D f. Annorlunda uttrckt: Funktionsvärdena f() närmar sig f(a) när närmar sig a. Den gränsövergång som lim sftar på kan i stort sett vara vad som helst. E 25. Låt f(u, v) = u 2 + v 2 och u n = 1 + 1/n och v n = e n. Då gäller (lim = lim n ) lim f(u n, v n ) = f(lim u n, lim v n ) = f(1, 0) = 1, 29

4 level curves fº» 3 1 2 4 3 2 1 C 0 C 0 5 C 1 C 1 5 C 2 C 2 5 C 3 1 2 Figure 7: Nivåkurvor för en funktion med begränsad definitionsmängd ÙÖ ½¾¹ ¹ t f är kontinuerlig. Vi skriver ibland att f C eller f C(D f ) för att formulera att f är kontinuerlig. (Formellt är C(S) mängden (klassen,... ) av funktioner som är definierade och kontinuerliga på mängden S R n.) Räkneregler för gränsvärden och kontinuitet av elementära funktioner Samma räkneregler gäller i flera variabler som i en variabel dvs. gränsvärdet av en summa är summan av gränsvärdena etc. Räknereglerna kan härledas ur kontinuitetsdefinitionen lim F (f()) = F (lim f()) om F : R n R är kontinuerlig och högerledet definierat. E 26. Vi har (om inte annat lätt att visa direkt ur definitionen) att funktionen Mul(, ) =, är kontinuerlig, så lim f() g() = lim Mul(f(), g()) = Mul(lim f(), lim g()) = lim f() lim g(). Notera dock att HL är odefinierat inte betder att gränsvärdet inte eisterar. 30

E 27. Gränsvärdet men uttrcket är odefinierat. sin lim (,) (0,0) lim sin lim = 0/0 = 1 Med hjälp av dessa räkneregler fås att alla uttrck i elementära funktioner blir kontinuerliga. E 28. Om f(, ) = cos(e 2 ( 3 + 2 )) så gäller att Där lim betder lim (,) (a,b). lim f(, ) = cos(lim e 2 ( 3 + 2 )) = = = cos(e b2 (a 3 + b 2 )) = f(a, b) Gränsvärden kan dock eistera utanför definitionsmängderna, där eempelvis nämnare blir noll. Punktföljder Här är det kanske litet oklart vad som närmar sig vad? Det kan därför vara bra att införa följder av punkter i R n. En (punkt- )/följd/ i S R n är en följd { k } k=1, av punkter k S. En punktföljd { k } i S går mot (närmar sig) punkten a R n om avståndet k a 0 när k. Vi skriver k a i S. Gränsövergången k underförstås. När vi skriver när/om k a i S" skall detta översättas med för varje följd { k } så att k a i S". Nu kan vi definiera utan ludd i kanten. Def 6. Vi säger att f() är kontinuerlig i punkten a D f om f( k ) f(a) när k a i S. En funktion f är kontinuerlig om den är kontinuerlig i alla punkter i D f Problem som kräver att man går tillbaka till gränsvärdesdefinitionen 31

z 2 2 z 2 Figure 8: En funktion utan gränsvärde i (0, 0) ÙÖ ½¾¹½ ¹ E 29. Låt f(, ) = 2 2 + 2. Visa att f(, ) saknar gränsvärde då (, ) (0, 0). Se figur 8. Lösn. Vi använder polära koordinater. Notera att gränsvärdet eisterar endast om f(r cos θ, r sin θ) L då r 0 oberoende av θ. Men Så gränsvärdet saknas. f(r cos θ, r sin θ) = r2 sin(2θ) r 2 = sin(2θ). Notera att nivåkurvorna för funktionen är räta linjer som skär varandra i punkten (0, 0). E 30. Låt f(, ) = 2 2 + 2. Visa att f 0 då (, ) (0, 0). Se figur 9. Lösn. Vi använder polära koordinater igen: Vi har 0 < f(, ) 0 = r 3 cos 2 θ sin(θ) r 2 < r. 32

z 2 2 2 z Figure 9: En funktion med gränsvärde i (0, 0) ÙÖ ½¾¹½ t cos och sin är mindre än 1. Eftersom r 0 när (, ) 0 så erhålls gränsvärdet lim (,) (0,0) f(, ) = 0 ur instängningssatsen. Slutna och öppna mängder Följande definition generaliserar höger och vänstergränsvärden. Def 7. Vi säger att f() L när a i S, om f( k ) L när k a i S, k a. Vi antar också att minst en sådan följd eisterar. Vad betder detta rörande S och a? Vi kan använda punktföljder { n } för att definiera de topologiska begreppen: slutna och öppna mängder. Först litet mängdlära: Komplementet till S R n, S c, är de punkter i R n som inte innehåller S. Vi kan också skriva S c = R n \ S med mängd-differens. Def 8. Det slutna höljet av en mängd S, S, är de punkter som kan nås av konvergenta följder i S, dvs, a S omm det finns en följd så att k a i S. Ekvivalent är att varje omgivning skär S, dvs S B r (a). B r (a) = { : a < r} 33

Randen av S, S, ges av S S c de punkter som kan nås av följder både i S och i S c. Det inre av S, S, är de punkter som ej kan nås av följder från S c, dvs S = S \ S. Ekvivalent är a S om det finns en skddande omgivning B r (a) S, som försäkrar oss om att inga följderfrån S c kan nå a. Def 9. Vi säger att S är sluten om S = S och att S är öppen om S = S. S är sluten om S S och S är öppen om S S =. S c point in S c boundar point point in S S interior point Slutenhet och öppenhet från relationspresentationen ÙÖ ½¼¹ För våra ändamål är följande observationer viktigast. Om mängder är beskrivna med olikheter eller ekvationer där båda led är kontinuerliga uttrck så gäller det att mängder som ges av strikta olikheter är öppna, medan icke-strikta olikheter och ekvationer ger slutna mängder. E 31. Relation Tp av mängd 2 2 > 1 Öppen mängd iflld hperbel i planet + + z = 1 Sluten mängd = randen plan i rummet 2 + 2 + z 2 < 1 Öppen mängd Den öppna enhetsbollen 2 + 2 + z 2 1 Sluten mängd Den slutna enhetsbollen. Gränsvärde när gränspunkten tillhör randen av D f. E 32. Beräkna lim 3/2 2 2 + 4 34

för gränsövergångarna (, ) (1, 1), (, ) ( 1, 0) och (, ) (0, 0). Lösn. Låt f(, ) = 3/2 2 2 + 4. Vi kan anta 0 och 0 när = 0. (Domänkonventionen) Definitionsmängden är alltså 0, (, ) (0, 0). (Rita upp D f.) Gränsvärdet (, ) ( 1, 0) är ogiltigt, gränspunkten tillhör inte slutna höljet av D f. Kontinuitet i punkten (1, 1) ger lim f(, ) = f(1, 1) = 1/2. (,) (1,1) (f är kontinuerlig på D f.) Återstår gränsvärdet när (, ) (0, 0). När = 0 och 2 = 0 gäller att uttrcket är lika med 0 om det är definierat. För > 0 och 2 > 0 gäller att 0 3/2 2 2 + 4 3/2 2 2 2 = /2. Olikheten gäller t 2 + 4 2 2 (a 2 +b 2 2ab). Observera att instängningen 0 f(, ) /2, gäller för alla (, ) där f är definierat, för = 0 eller = 0 är 0 = f(, ) /2. Gränsvärdet lim f(, ) = 0 följer ur instängningssatsen. 35