entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått 9 poäng får betyget FX och har rätt att komplettera denna tentamen. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. Examinator: rmin Halilovic Undervisande lärare: nnica Hänström, Jonas Stenholm, Inge Jovik Denna uppgift () kan du som är godkänd på KS hoppa över:. Ett parallellogram har hörn i följande tre punkter: (,,), (,,) och (,,) a) eräkna parallellogrammets area. (p) b) eräkna positionen/kordinaterna för det fjärde hörnet. (p) ------------------------------------------------------------------. Följande matris är given: a) estäm, med någon lämplig metod, den inversa matrisen till, ( ). (p) b) nvänd denna inversmatris för att lösa följande matrisekvation (X är en obekant matris): X, där: och (p).a) estäm ekvationen för den linje som går genom punkterna,, och,,6. (p) b) estäm skärningspunkten mellan denna linje och planet (p) c) estäm vinkeln mellan linjen och planet. (p) d) estäm avståndet mellan de två parallella planen 7 och (p)
. etrakta följande ekvationssystem: x y z y 8 x y a z 6 a) vgör om det finns något värde (några värden) för konstanten a, för vilket ekvationssystemet inte har en unik lösning. estäm i så fall vilken typ av lösning det blir (antingen finns oändligt många lösningar eller så saknas lösning). (p) b) Lös ekvationssystemet om a. (p). eräkna det eller de värden på som gör så att volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna,,,,, och,, blir volymsenheter. (p) 6. a) estäm momentet (på vektorform) relativt punkten (,,) när kraften F har storleken N, kraftens riktningsvektor är a (,,) och kraften angriper i punkten (,,-). Storleken av kraftens moment är F r, där F är kraftens storlek och r är det kortaste (vinkelräta) avståndet mellan momentpunkten,, och den linje längs vilken kraften verkar. (p) b) estäm vinkeln Θ mellan vektorn och kraften (Svara på formen cosθ ). (p)
Lösningsförslag till: entamen i Matematik, HF9, för D, onsdag september ) Lösning: Här nedan följer en möjlig lösning, beroende på om, eller är parallellogrammets diagonal. a) - - 6 rean rean 6 6 Svar: rean är 6 ae b) 9 D D 9 9 Svar: Det fjärde hörnet D (,9,) ) Lösning: Man kan t.ex. använda Jacobis metod: (-) gånger rad till rad / gånger rad till rad dividera rad med och rad med -
Inversa matrisen står nu till höger: ) ( ) ( X X X X där multiplicerats in från vänster. ) ( X 8 7 7 Svar: a) b) 8 7 X ) Lösning: a) Linjens riktningsvektor ges av vektorn,,. Om vi väljer P som punkt på Linjen blir linjens ekvation på vektorform,,,,,, Svar:,,,,,, b) Linjens ekvation på parameterform: : Gemensam punkt (gemensamt x,y,z) fås då 9 Svar: c) Vinkeln mellan linjen och planet fås mha skalärprodukten mellan linjens riktningsvektor och planets normalvektor. Om vi kallar vinkeln mellan dessa vektorer för u fås sedan den sökta vinkeln v som 9. cos, där,, och
,,,,,, cos 6 9 6 Svar: d) Plan : 7 Plan : Välj en godtycklig punkt i plan, ex 7,, och en punkt i plan, ex,, ilda 6,, Normera plan :s normalvektor:,,,, Då blir avstånden mellan planen s projektion på, dvs 6,,,, Svar: ) Lösning: x y z y 8 x y a z 6 Koefficientmatrisens determinant är (Sarrus regel): a ( ) ( ) ( ) a ( ) a a a 8 När är determinanten noll? a 8 a 6 Slutsats: Om a -6 har ekvationssystemet inte någon unik lösning. Sätt in detta värde för a i ekvationssystemet: x y z y 8 x y 6z 6 eller 6 8 6 där högerledet är i högerkolumnen.
Efter addition av rad till rad fås: ddition av - gånger rad till rad ger: Rad tolkas som ekvationen: 6 d.v.s. ekvationssystemet saknar lösning. 8 8 8 6 a insättes i ekvationssystemet: x y z y 8 8 x y 6 eller 6 Elimination på samma sätt som förut: ddition av - gånger rad till rad ger: 8 8 8 6 6 Rad tolkas som: 6 z 6 z 6 y 8 6 y x 6 Svar: a) Om a -6 saknar ekvationssystemet lösning. För alla andra värden på a finns en unik lösning. b) Om a är systemets lösning: x y z 6. Lösning: Volymen fås som den skalära trippelprodukten av de tre vektorerna. Denna beräknas mha absolutbeloppet av determinanten eller
Svar: Om eller blir volymen v.e. 6. Lösning: a) 6 8 M - 6 M 8 Svar: Momentet är (,-,-) Nm b) cosθ 6 8 6 8 cosθ cosθ cosθ Θ 79, Svar: cosθ Θ 79,