ALGEBRA OCH FUNKTIONER

ALGEBRA OCH FUNKTIONER Centralt innehåll Hantering av algebraiska uttrck och ekvationer. Generalisering av aritmetikens lagar. Begreppen polnom och rationellt uttrck. Kontinuerlig och diskret funktion. Polnom-, potens- och eponentialfunktioner.

VILKA UTTRYCK ÄR LIKA? Arbeta i par. Dela ett A-papper så att du får 6 papperslappar. På lapparna skriver du följande matematiska uttrck (ett uttrck per lapp). Gruppera lapparna så att de uttrck som är lika hamnar i samma grupp. 5 9 + 0 ( + ) ( ) 7 + ( ) + 6 8 5 + ( ) + ( ) + + 7 6 ( + ) 898678567 757 55 777 Inledande aktivitet 897897589 897897 88767 57

. Algebra och polnom Polnom och räkneregler Eempel polnom I många situationer kan vi använda enkla polnom som matematiska modeller. Bollens bana i figuren är en parabel och kan beskrivas av sambandet (),5 +, 0, Högerledet är ett polnom som består av tre termer, en konstantterm och två variabeltermer. Kontrollera sambandet genom att sätta in de värden som visas i figuren! Ett polnom är en summa av termer av tpen a n, där är en variabel, eponenten n ett naturligt tal och a en konstant som ofta kallas koefficient. Varje polnom kan skrivas a 0 + a + a + a +... + a n n gradtal Den största eponenten i ett polnom i en variabel anger polnomets gradtal. (),5 +, 0, är ett eempel på ett andragradspolnom. + +5 är ett polnom i två variabler och. Polnomets gradtal är. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda eponenten. Polnom av första graden skrivs ofta p() a + b. Polnom av andra graden skrivs ofta p() a + b + c. Summan, differensen och produkten av två polnom är också ett polnom. 8. ALGEBRA OCH POLYNOM

Vi repeterar några regler och lagar som kan användas vid räkning med polnom. I reglerna och lagarna nedan kan bokstäverna a, b, c och d representera ett tal, en variabel eller ett polnom med flera termer. Eempel Parentes med + före kan tas bort. Parentes med före kan tas bort om alla tecken ändras. (8 + ) + ( ) 8 + + (8 + ) ( ) 8 + + 5 + 6 Eempel ( 5 + ) 5 + 6 Lika tecken ger plus, olika ger minus. (8 ) ( ) 8 8 + 8 + 8 Eempel ( + )( ) 6 + 6 9 9 Med hjälp av konjugatregeln kan vi direkt skriva ( + )( ) 9 Eempel ( + ) ( + )( + ) + + + 9 + 6 + 9 Med hjälp av kvadreringsregeln kan vi direkt skriva ( + ) + 6 + 9 Parentesreglerna (a + b) + (c d ) a + b + c d (a + b) (c + d ) a + b c d (a + b) (c d ) a + b c + d Räknelagar Distributiva lagen a (b + c) ab + ac (a + b) (c + d ) ac + ad + bc + bd Konjugatregeln (a + b) (a b) a b Kvadreringsreglerna (a + b) a + ab + b (a b) a ab + b. ALGEBRA OCH POLYNOM 9

0 Ge eempel på ett fjärdegradspolnom med tre termer. Den största eponenten ska vara. T e p () + 5 eller p () + 0 0 Förenkla a) ( ) ( 5) b) ( ) + ( + )( ) a) ( ) ( 5) + 5 5 + 5 b) ( ) + ( + )( ) + + Multiplicera in i parenteserna. Utveckla med kvadreringsoch konjugatregeln. 0 Förenkla a) 7 ( ) b) ( + 5)( 5) a) 7 ( ) 7 ( 6 + 9) 7 + 6 9 9 b) ( + 5)( 5) () 5 5 9 5 Obs! Parentes. Ändra tecken när du tar bort parentesen. 0 En bakteriekultur tillväer enligt formeln N () 500 + 50 + 5 där N () är antalet bakterier minuter efter försökets början. Beräkna och tolka N (5) N (). N () 500 + 50 + 5 00 N (5) 500 + 50 5 + 5 5 875 Efter minuter finns det 00 bakterier. Efter 5 minuter finns det 875 bakterier. N (5) N () 875 00 575 580 Antalet bakterier ökar med cirka 580 under den femte minuten. 0. ALGEBRA OCH POLYNOM

05 Förenkla a) 8 + 7 + b) + 6 5 + c) 5 6 + d) t t + t 7t 9 06 Multiplicera in a) ( ) c) ( ) b) (5 + ) d) 5( + ) 07 Förenkla a) ( + 5) c) + ( ) b) ( ) + d) 5 ( ) Ge ett eempel på ett andragradspolnom med a) tre termer b) två termer. Förenkla a) ( + ) (6 + ) b) ( + 6)( 6) 6 c) ( 6) d) 5 (5 )(5 + ) A a B 08 Utveckla och förenkla (b a) a) ( + )( + ) c) ( + )( ) b) ( 5)( + ) d) (a + b)(a + b) a b 6(a b + ) b a 09 Utveckla med konjugatregeln a) ( + )( ) b) ( 5)( + 5) 0 Utveckla med kvadreringsreglerna a) (a + 5) c) ( + ) b) ( ) d) ( ) Om biljettpriset till en tennismatch är p kr uppskattar man att antalet åskådare N(p) kan beräknas med N (p) 000 0p Beräkna N (0) och tolka resultatet i ord. a) Förenkla summan av uttrcken i kolumnen i mitten. b) Diagonalerna i figuren har samma summa som kolumnen i mitten. Vad ska stå i A och B? 5 Beräkna värdet för uttrcket (a ) a (a ) om a a) före förenkling b) efter förenkling.. ALGEBRA OCH POLYNOM

6 Utveckla och förenkla 0 Utveckla och förenkla a) 5 ( )( 5) a) ( ) b) (a b) (a b) b) ( ) + ( ) ( + ) 7 p( ) är ett tredjegradspolnom. Vilken grad får det polnom som bildas då p() a) adderas med b) multipliceras med. Motivera dina svar. 8 Bollens höjd m över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln (),5 +, 0, där m är avståndet från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka (,5) (,0). 9 Konstreproduktioner AB producerar högst 0 målningar per vecka. Om firman en vecka producerar målningar, räknar man med följande kostnader och intäkter: Kostnaden K kr att producera tröjor är K () 800 + 5 + 0, Vinsten vid försäljning av tröjor är V () kr. Ställ upp och förenkla ett uttrck för vinsten då tröjorna säljs för 90 kr/st. I en stugb finns 60 stugor att hra. Ägaren har upptäckt att hon får alla stugor uthrda om hon tar 000 kr för en vecka. För varje hundralapp som hon ökar hran med förlorar hon en hresgäst. a) Beräkna den totala intäkten om hran för en stuga höjs med 5 hundralappar. b) Ställ upp ett uttrck för hur den totala intäkten beror av en höjning med hundralappar. c) Undersök vad den maimala intäkten är. Kostnad i kr: K () 5 000 + 80 + 0 Intäkt i kr: I () ( 00 0) Om intäkterna är större än kostnaden gör företaget en vinst. Vinsten V () I () K () a) Beräkna och tolka I (0). b) Beräkna och tolka V (0). c) Ställ upp och förenkla ett uttrck för vinsten V ().. ALGEBRA OCH POLYNOM

Faktorisera Vi kan skriva ett tal eller ett polnom som en produkt av faktorer. När vi skriver 75 5 5 5 faktoriserar vi talet 75. + 7 ( + 7) faktoriserar vi polnomet + 7. Faktorisering av algebraiska uttrck kan användas vid förenkling och ekvationslösning. Vi visar två metoder att faktorisera polnom. två metoder Utbrtning av största möjliga faktor. + 6 ( + ) Omvänd användning av konjugatregeln och kvadreringsreglerna. a b (a + b) (a b) a + ab + b (a + b) a ab + b (a b) Brt ut största möjliga faktor. a) 5 b) a + a c) 6 a a a) 5 5 ( 5) b) a + a a a + a a(a + ) c) 6 a a a a a a( a ) Faktorisera + 7 Vi brter ut. + 7 ( + 7) 5 Faktorisera a) 6 b) 9 5 a) 6 ( + ) ( ) Konjugatregeln omvänt. b) 9 5 ( ) 5 ( + 5)( 5). ALGEBRA OCH POLYNOM

6 Faktorisera a) + 8 + 6 b) 6 + 9 c) 5 + 0 + 0 a) + 8 + 6 + + ( + ) Kvadreringsregeln omvänt. b) 6 + 9 + ( ) c) 5 + 0 + 0 5( + + ) 5( + + ) 5( + ) 7 Brt ut faktorn. a) + c) 6 + 5 b) 9 d) 6 + 8 Brt ut faktorn. a) + 5 b) c) 9 Brt ut så mcket som möjligt. a) 6 c) 8a 0 b) 0 d) 5 0 + 5 0 Faktorisera med konjugatregeln. a) 9 c) 6a 5 b) d) a b Vad står och för? a) ( + )( ) b) 9 + + 5 ( + ) Faktorisera med kvadreringsreglerna. a) + 6 + 9 c) + 0 + 00 b) + 6 d) 6 + 6 Går + + att faktorisera omvänt med kvadreringsregeln? Motivera. Vilket uttrck ska kvadreras för att ge + +? 5 Faktorisera om det är möjligt. a) 7 d) 9 b) e) + 8 + 9 c) + 9 f) + 6 Faktorisera så mcket som möjligt. a) 8 c) + 9 b) a b d) 50a + 0a + 8 7 Alice och Julia försöker att faktorisera polnomen p() 8 och h() + 7 + 08 Alice påstår att båda polnomen kan faktoriseras och Julia påstår att endast ett av polnomen kan faktoriseras. Vem har rätt? Motivera ditt svar. 8 Faktorisera a) 9 9 Faktorisera a) (a + ) (5b) b) (a + ) 9b c) (a + ) (b ) b) 0,5 0,0 0 Polnomet 8 8 6 kan i faktorform skrivas a(b c) Bestäm talen a, b och c.. ALGEBRA OCH POLYNOM

Potenser Upprepad addition kan skrivas som en multiplikation: + + + och + + + Upprepad multiplikation kan skrivas som en potens: och potens kallas en potens och läses upphöjt till. bas, eponent kallas bas och eponent. Vi repeterar räknelagarna för potenser. Potenslag Eempel a a a + 5 + 5 9 ( a ) a ( ) 8 a a a m 7 m m7 m ( a b) a b ( 5 ) 5 5 ( a b) a b ( ) 8 Vad menas med 5 0? 5 Vi vet att (täljaren och nämnaren är lika). 5 Enligt den andra potenslagen är 5 0 5 5 5 Om lagen ska gälla måste 5 0 Vad menas med 5? Vi beräknar 5 555 5 5 55555 55 5 Enligt den andra potenslagen är 5 5 Om lagen ska gälla måste 5 5 5 5 5 5 Definitioner a 0 a a a 0 i båda fallen. Potenslagarna gäller för alla reella eponenter. Eponenterna kan te vara negativa tal, bråk eller tal i decimalform.. ALGEBRA OCH POLYNOM 5

Skriv utan potens. Arbeta utan räknare. a) c) 0,0 0 b) 0 + 0 d) 5 7 a) 9 b) 0 + 0 0 + 0, + 0,0 0, 0 c) 0,0 0 0 0 d) Vi skriver om till samma bas. 5 ( ) 5 7 0 7 7 0 7 8 Det finns ingen potenslag för addition. Förenkla med potenslagarna. a) d) () b) 0,5,5 e) ( ) c) (b ) f) a b a) + b) 0,5,5 0,5 (,5) 0,5 +,5 c) (b ) b ( ) b 6 d) () 9 e) ( ) ( ) ( ) 9 8 f) a (a) b a 9a b b b Brt ut ur + h, dvs skriv i faktorform. + h h ( h ) 6. ALGEBRA OCH POLYNOM

Skriv utan potens. Arbeta utan räknare. a) c) 5 5 0 b) 0 + 0 d) 0 0 5 Skriv som en enda potens a) 6 d) b) a6 a 9,5,5 e) (5) c) (a ) f) b 6 För vilken eponent är a) 9 c) / 6 5 b) ( ) d) 5 /5 5 7 7 Vilka av förenklingarna är felaktiga? Förklara vad som är fel. a) 7 + 7 + 7 + 7 + 7 förenklas till 7 5 b) (6a) förenklas till a c) förenklas till 5 5 5 5 5 d) 5 förenklas till 5 e) () 0 + 5 0 förenklas till 6. 8 Beräkna utan räknare. a) 7 c) (9/ ) 8 5 b) d) 5 + 5 + 5 ( ) 9 Förenkla a) ( + ) c) (b + ) b) a (a + a) d) ( + )( ) 50 Förenkla a) () + ( ) + ( ) b) ( ) ( 9 ) c) ( ) + ( ) d) ( a b ) b 5 Låt 0 och bestäm a) hälften av b) en fjärdedel av. 5 Förenkla a) 5 Förenkla m b) a) 0 a 0 a b) 0 a + 0 a c) ( + ) m 5 Uttrcket kan användas för att motivera att a 0 och uttrcket 7 för att motivera a n a n Förklara hur. 55 Förenkla a) (5 + 5 ) b) a (a + a ) 56 Lös ekvationen a) 5 b) 5 c) 7 d) 5 57 Brt ut och skriv i faktorform a) a a b) a + h a c) a n + a n 58 Bestäm eponenten om 9 8 59 Förenkla + + +. ALGEBRA OCH POLYNOM 7

Kvadratrötter Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner om kvadratrötter. Definition Med kvadratroten ur a menas det positiva tal, vars kvadrat är a. ( a ) a a a a 0 Lägg märke till följande: Kvadratroten ur ett tal är enligt definitionen ett positivt tal. 5 står alltså bara för det positiva talet 5. Ekvationen 5 har däremot två lösningar. De är 5 5 och 5 5. Vi skriver detta ±5 5 är inte detsamma som 5 5 5, medan beräkningen 5 inte kan göras med reella tal. Sambandet a a ger tillsammans med potenslagarna a b (ab) och a b a b följande lagar. Lagar för kvadratrötter a b ab a 0 b 0 a b a b a 0 b > 0 60 Beräkna utan räknare a) 5 + 50 b) 9 + 0,5 a) 5 + 50 5 + 50 5 + 00 5 + 0 5 b) 9 + 0,5 9 + + 0,5 +,5 6 Visa att 8. ALGEBRA OCH POLYNOM

Arbeta utan räknare. 6 Beräkna a) + 9 c) 8 b) 9 d) ( ) + 8 8 70 Skriv ett uttrck för triangelns tredje sida. a) b 6 Skriv som en potens med basen 0 a) 0 c) 0 0 b) 0 6 Beräkna d ) 0 0 a) 00 0,5 c) 00 0,5 b) 0 0 d ) 5 0 b) a a 65 Beräkna a) ( ) c) 0 8 b) + d) 9 0 66 Bestäm den eakta lösningen till ekvationen a) 0 c) + b) 0 d ) 5 67 Beräkna den eakta lösningen till ekvationen a) ( 5 + ) ( 5 ) b) ( 8 ) ( + 8 ) c) ( 50 + ) d) ( 9 ) 68 Om du vet att 7,66 vad är då a) 700 b) 70 000? 69 Visa att a) b) c) 7 Förenkla så långt som möjligt a) + + 7 Utveckla och förenkla a) ( a + b) ( a b) b) + b) ( + h + ) ( + h ) c) ( a + b) ( a + b) 7 Bestäm eponenten a a) a b a b a b a a b) a b b a a b a b. ALGEBRA OCH POLYNOM 9

Ekvationer Eempel Stoppsträckan s m för en bil vid ett visst underlag kan beräknas med formeln s v t + 0, v där v är hastigheten i m/s och t är förarens reaktionstid i s. Vad är reaktionstiden, om stoppsträckan vid 5 m/s (90 km/h) är 00 m? Svaret får vi ur förstagradsekvationen 00 5 t + 0, 5 Vid vilken hastighet är stoppsträckan 60 m, om förarens reaktionstid är,0 s? Svaret får vi ur andragradsekvationen 60 v + 0, v Vi repeterar några lösningsmetoder för ekvationer. 7 Lös ekvationen ( ) 9 ( ) 9 Utveckla med kvadreringsregeln. 6 + 9 9 Förenkla. 6 + 9 9 Addera 6 till båda leden. 9 7 9 Addera 9 till båda leden. 8 7 75 kvadratrotsmetoden Lös ekvationen a) 9 b) + 5 a) 9 b) + 5 ± 9 Obs! Två lösningar. ± 6 eller ± 6 Vi får ett negativt tal under rottecknet. Ekvationen saknar reella lösningar. 0. ALGEBRA OCH POLYNOM

Lösningsformeln Ekvationen + p + q 0 har lösningarna p ± ( p ) q Andragradsekvationen saknar reella rötter om ( p ) q < 0, dvs om vi får ett negativt tal under rottecknet. 76 Lös ekvationen + 0 p, dvs halva ko efficienten för med ombtt tecken. + 0 Dividera med för. + 6 6 0 6 6 ± +6 q, dvs den konstanta termen med ombtt tecken. Kvadrera. ± +6 ± 5 ± 5 + 5 5 8 Svar: och 8 nollproduktmetoden Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Detta kan vi ibland använda för att lösa ekvationer. Förutsättningen är att ekvationen kan skrivas så att det ena ledet är noll och det andra ledet kan faktoriseras. Metoden kallas nollproduktmetoden. 77 Faktorisera först VL genom att brta ut. Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Lös ekvationen a) 5 0 a) 5 0 ( 5) 0 0 eller ( 5) 0 0,5 b) 0 b) 0 Brt ut i VL. ( ) 0 0 eller 0 0 ± + ± Svar: a) 0,5 b) 0. ALGEBRA OCH POLYNOM

Lös ekvationerna. 78 a) + 7 c) + 5 b) 5 9 + 5 d) 6 79 a) 8 c) + 0 b) t 70 d) 8 80 a) ( + 5) 0 c) + 0 b) ( 8) 0 d) 0 8 a) 8 c) ( + )( ) 0 b) 8 d) ( )( + ) 0 8 Ge ett eget eempel på en andragradsekvation som har lösningarna a) och b) 0 och 8 Lös ekvationerna. 8 a) ( + ) ( + 7) + 6 + 0 b) ( )( ) ( )( ) c) ( + ) 5 8 a) + 0 c) + 0 b) + 8 9 0 d) (z ) 6 85 a) + + 70 0 b) 5 50 + 90 0 c) 8z 8z + 0 d) 0 9 86 (Tal ) (Tal ) Tal är större än Tal. Vilka är talen? 87 Lös ekvationerna. Börja med att brta ut. a) 9 0 b) 0 c) + 8 0 d) 0 + 98 0 88 Den totala kostnaden K kronor för att producera detaljer i en mekanisk verkstad kan beskrivas med K() 6 000 + 50 + 0, a) Beräkna kostnaden för att producera 50 detaljer. b) Hur många detaljer kan produceras för 00 000 kr? 89 Lös ekvationen a) ( + )( )( +) 0 b) ( + 7) 6 c) (t + 5) t d) ( )(8 ) 0 90 I ekvationen ( k) 0 är k en konstant. Lös ekvationen. Svara på så enkel form som möjligt.. ALGEBRA OCH POLYNOM

substitution Na tper av ekvationer kan vi ibland omforma och lösa med kända metoder. Ett sätt att omforma en ekvation är att ersätta ett uttrck med ett annat, enklare uttrck. Vi gör en substitution. Det är då viktigt att kontrollera om lösningarna stämmer med ursprungsekvationen. 9 Lös ekvationen 8 9 0 Vi ersätter med t. Då kan ersättas med t och vi får andragradsekvationen t 8t 9 0 t ± 6 + 9 t ± 5 t 9 och t Vi får 9 och Ekvationen 9 har lösningen ± Ekvationen saknar reell lösning (men de komplea rötterna är ±i ) Svar: Ekvationen 8 9 0 har den reella lösningen ± 9 Lös ekvationerna genom att sätta t. a) 0 + 9 0 b) 8 0 c) 0 9 Ekvationen ( + 5a) 0 har en lösning. Vilket värde har a? 9 En bakteriekultur tillväer enligt formeln N () 500 + 50 + 5 där N () är antalet bakterier minuter efter försökets början. Hur lång tid tar det innan antalet bakterier har fördubblats? 95 Du har ekvationen + a) Kvadrera båda leden och skriv resultatet som en andragradsekvation i normalform. b) Vilka rötter har ekvationen i a)? c) Pröva rötterna i den ursprungliga ekvationen. Duger båda rötterna? d) Vilken lösning har ekvationen +? 96 Lös ekvationen a) ( + ) 6( + ) 0 b) + 0. ALGEBRA OCH POLYNOM

. Rationella uttrck Vad menas med ett rationellt uttrck? rationellt tal rationellt uttrck a där b 0 kallar vi ett rationellt tal. b 5 och Eempel på rationella tal är 7 9 En kvot av två heltal Ett rationellt uttrck definieras som en kvot av två polnom p() q() +5 + + och Eempel på rationella uttrck är Ett rationellt uttrck är inte definierat då nämnaren är lika med noll. 0 Kostnaden K () i tusental kr för ett företag att avlägsna % av förbränningsgasernas föroreningar kan uppskattas vara K () 50 00 a) Beräkna och tolka K (90). b) Ange definitionsmängden, dvs tillåtna värden på. 50 90 50 00 90 Det kostar 50 000 kr att ta bort 90 % av föroreningarna. a) K (90) b) 0 < 00, K () är inte definierad för 00.. RATIONELLA UTTRYCK

0 För vilka -värden är uttrcket inte definierat? a) 5 a) När 0. b) 5 + c) b) När + 0 dvs då. + d) 0 + 5 c) + kan inte bli noll. Uttrcket är definierat för alla värden på. d) + 5 0 6 ± 6 5 Uttrcket är inte definierat då 5 och 7. 0 Du har uttrcket G() + 7 8 a) Beräkna G(5). b) För vilket -värde är nämnaren lika med noll? 0 Du har uttrcket G() + + 6 a) Beräkna G(). b) För vilket värde på är uttrcket ej definierat? c) Är det sant att G( ) < G()? Motivera ditt svar. 05 Då Lena försöker beräkna värdet av uttrcket för 6 och + med sin räknare visas ERROR i räknarens fönster. Förklara varför. 06 För vilka variabelvärden är uttrcken inte definierade? 6 6 a) c) + 0 + 0 + 6 b) + 0 d) 0 50 07 Skriv ett rationellt uttrck som a) inte är definierat för 7 b) antar värdet 0 för 7 c) inte är definierat för ± d) är definierat för alla. 08 Emil uppskattar att kostnaderna för hans bil varje år uppgår till 5 000 kr + 0 kr/mil. Anta att han kör mil under ett år. Ställ upp ett uttrck som ger Emils genomsnittliga bilkostnad per mil. 09 Om man vet medicindosen för en vuen, kan dosen för ett barn beräknas med + d där d är vuendosen, är barndosen och är barnets ålder. a) Hur många tabletter bör en fraåring få, om en vuen kan ta 6 tabletter? b) Vilken är vuendosen om en treåring får 0,5 cl?. RATIONELLA UTTRYCK 5

Förlängning och förkortning förlängning Förlängning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett rationellt uttrck multipliceras med samma tal eller uttrck. 5 5 5 0 + ( + ) + Förlängning med 5. Förlängning med. förkortning Förkortning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett rationellt uttrck divideras med en gemensam delare. 6 8 6 / 8 / Förkortning med. För att se gemensamma delare måste vi ibland faktorisera. 5 5 0 5 5 ( ) Förkortning med 5. enklaste form Ett bråk eller ett rationellt uttrck som inte kan förkortas är skrivet i enklaste form. 0 Förläng med. a) b) 6 c) 5 a) 5 5 6 5 b) 6 6 6 8 c) ( ) 6 Förläng så att nämnaren blir. a) b) + 6 a) 6 6 8 b) + ( + ) + 6 6 6. RATIONELLA UTTRYCK

Skriv i enklaste form a) b) 5 0 c) 5 7 + 6 a) Vi faktoriserar och förkortar med och med. 7 7 7 b) Vi faktoriserar och förkortar med och med. 5 5 7 5 5 5 5 5 5 c) Vi faktoriserar och förkortar med. 0 + 6 ( 0) ( + ) 0 + Förenkla om möjligt följande uttrck a) + b) 6 c) 6 a) + ( + ) + b) 6 c) 6 ( ) ( ) Täljaren kan inte faktoriseras. Ingen förenkling är möjlig. Förenkla dubbelbråket 5 + 5 0 ( 5 ) 0 ( + 5 ) 5 + 5 5 5 + genom att förlänga med 0.. RATIONELLA UTTRYCK 7

Vi kan bara förkorta ett uttrck om täljaren och nämnaren innehåller gemensamma faktorer. + kan därför inte förkortas. VARNING Du frestas väl inte att förkorta och strka -termerna? 5 Förläng med. a) 7 b) c) + 7 d) 6 Förläng så att nämnaren blir 5. a) b) c) 5 7 Skriv i enklaste form a) 8 d) + c) ab 8 a b b) 0 5 d) + 8 Skriv i enklaste form. Börja med att brta ut. a) 0 5 + 5 b) 6 + 8 c) 9 Skriv i enklaste form. a) h + h h b) h h + 5 + d) + + c) h h + h d) h h h 6 0 Förklara varför + kan förkortas men + + inte + Vad ska stå i parentesen? a) (?) 8 5 7 b) + 0 + 5 (?) 5 c) a a + a (?) Beräkna värdet för uttrcket 6 8 9 om 9 a) före förenkling b) efter förenkling. Förläng med och förenkla a) ( + /) ( /) b) a b a + b Polnomet p() beskrivs av formeln p() 6 8. Vilket polnom är q() om det rationella uttrcket p () kan förenklas till q () a) b) c) 8? 8. RATIONELLA UTTRYCK

5 Förenkla a) 9 b) 98 + c) + 6 6 a) Vi faktoriserar med konjugatregeln: 9 ( + ) ( ) ( ) + b) Utbrtning och faktorisering med konjugatregeln ger 98 + ( 9) ( + 7) ( 7) ( 7) ( + 7) ( + 7) c) Faktorisering med ena kvadreringsregeln samt konjugatregeln ger + 6 6 ( 6) ( + 6) ( 6) 6 + 6 6 Förenkla a) 5 + 5 b) + 6 7 Förkorta så långt som möjligt. a) a + a b) a + a + c) a + a a d) a b a b 8 Förkorta så långt som möjligt. c) a) 6 + 9 c) + + + b) 5 5 9 Förenkla a) 8 6 + 8 d) 8 + 6 b) 9 7 a 8 b a 6 a b + 9 b 0 Beräkna utan räknare värdet för uttrcket 9 om,999. Felicia förenklar: 7 (9 z ) + 7z + z och är osäker på om det blev rätt. Pröva om HL VL för z 0 respektive z. Förenkla så långt som möjligt a) ( + h) h b) ( + h) h Förenkla genom att förlänga med. a) ( ) / ( + + ) b) Förenkla uttrcket ( + h) genom att h a) först använda kvadreringsregeln b) först använda konjugatregeln omvänt.. RATIONELLA UTTRYCK 9

Eempel Hur kan vi förenkla uttrcken + + och? + + + + Uttrcken + och + är lika. Däremot är inte lika med. + ( ) Vi brter ut Kom ihåg: Brt ut b a ( ) (a b) 5 Förenkla a) 5 5 a a b) a 6 a a) 5 5 a a 5( a) a 5(a ) a 5 b) a (a + )(a ) (a + )(a ) a + 6 a ( a) (a ) a + 6 Brt ut i täljaren. Förenkla a) 7 a) 8 8 8 a) b) 7 ( a ) a b) c) 9 a a d) 0 5 b) 0a 50 5 a 9 a) a a a b) 6 + 6 0 a) + + b) b a a b a) + 5 0 c) 8 b) ( ) + 6 b) ( ) Brt ut ( ) ur parentesen och förenkla a) b) ( ) ( ) c) d) ( ) ( )6 0. RATIONELLA UTTRYCK

Addition och subtraktion lika nämnare Bråk med lika (samma) nämnare kan adderas och subtraheras direkt. 9 + 9 + 6 9 9 På samma sätt förenklas rationella uttrck med lika nämnare. + + + + + 5 + olika nämnare gemensam nämnare MGN Bråk med olika nämnare kan inte adderas eller subtraheras direkt. Först måste vi förlänga så att de får lika (samma) nämnare. En gemensam nämnare är ett heltal eller ett polnom som är delbart med samtliga nämnare i två eller flera bråk eller rationella uttrck. Den minsta (positiva) gemensamma nämnaren betecknas MGN. 5 6 + Vilken gemensam nämnare ska vi välja? Vi ska välja ett tal som är delbart med både 6 och, t e, eller 6. Om vi väljer MGN, som här är, blir beräkningarna enklast: 5 6 + 0 + 9 9 a) Beräkna 5 6 7 8 b) Förenkla + 6 0 a) MGN ger 5 6 7 8 5 6 7 8 8 0 7 b) 6 0 5 MGN 5 60 Ta med faktorer så att produkten blir delbar med, 6 och 0. + 6 0 5 5 + 0 6 0 0 5 60 + 0 60 60 5 + 0 60 + 0 60. RATIONELLA UTTRYCK

Förenkla 6 + MGN: 6 Vi förlänger till nämnaren 6 : 6 + 6 + 6 + 6 + 6 5 a) Lös ekvationen b) Förenkla uttrcket + 6 + 8 6 + + 6 8 a) MGN: Multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN : ( + ) + 6 6 8 ( + ) + 8 + + 6 + 0 0 b) MGN: Vi förlänger till nämnaren : + 6 + ( + ) 8 6 + 8 + + 6 + 8 8 + (7 + ) 7 + + 6 Sammanfattning I en ekvation med rationella uttrck kan vi multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN. Detta ger en enklare ekvation. När vi förenklar ett rationellt uttrck förlänger vi (samtliga termer) till MGN. Detta ändrar inte uttrckets värde.. RATIONELLA UTTRYCK

6 Beräkna/förenkla a) 5 + 8 8 c) + 7 b) 7 8 d) + 5 6 5 Vid produktionen av böcker är den genomsnittliga kostnaden G( ) kr 9 000 per bok, där G() + 0 + 0 Hur många böcker tillverkas, om den genomsnittliga kostnaden är 96 kr? 7 Förenkla a) + a a c) + b) + d) 5 + a a 8 Lös ekvationen. Börja med att multiplicera alla termer med MGN. a) 6 5 c) 5 6 8 b) + 6 d) 9 a) Lös ekvationen 5 Nora och M klipper en stor gräsmatta. Nora har motorgräsklippare och kan ensam klippa gräsmattan på,0 h. M har en vanlig handgräsklippare. Tillsammans kan de klippa hela gräsmattan på,0 h. a) Hur stor del av hela arbetet utför Nora på,0 h? b) Hur stor del av hela arbetet gör de tillsammans på,0 h? c) Om M ensam klipper gräsmattan på h, hur stor del av arbetet gör hon då på,0 h? d) Ställ upp en ekvation där kan bestämmas. 5 9 + b) Förenkla uttrcket e) Hur lång tid tar det för M att ensam klippa gräsmattan? 5 9 + 50 Förenkla a) + + b) + 5 Lös ekvationen a) b) + 5 c) 6 + 5 Pi och Bo förenklar uttrcket + Pi: + + Bo: ( + ) ( ) Båda gör fel! Vilka fel gör de?. RATIONELLA UTTRYCK

55 Förenkla a) b) + a) MGN ger Obs! Parentes. ( ) + Vi måste komma ihåg att sätta ut parenteser när vi går över till gemensamt bråkstreck och har uttrck med flera termer! b) + + ( )( ) 56 Lös ekvationen + + + Definitionsvillkor: Definitionsvillkoret innebär att inte kan vara rot till ekvationen. Multiplikation med MGN ger ( + ) + + ( + ) + 0 + 0 + ( + ) ( + ) + ± 6 + ± är en falsk rot, då den inte uppfller definitionsvillkoret. Svar:. RATIONELLA UTTRYCK

57 a) Lös ekvationen 5 b) Förenkla uttrcket 5 Lös ekvationerna 58 a) 6 5 b) 59 a) + + 6 + b) t + t t + 5 c) + 6 d) 9 0 9 + 0 60 Om man vet medicindosen för en vuen, kan dosen för ett barn beräknas med d där d är vuendosen, + är barndosen och är barnets ålder. a) Hur många tabletter bör en fraåring få, om en vuen kan ta 6 tabletter? b) Vuendosen är cl och en pojke rekommenderas att ta 0,5 cl (5 ml). Hur gammal bör pojken vara? 6 Lös ekvationen a) b) 0 6 Förenkla uttrcket + 5 6 Lös ekvationen 6 Ekvationen + 6 t har en lösning t. a t Bestäm värdet på a och eventuella tterligare lösningar. 65 Skriv följande uttrck så enkelt som möjligt. a) a b b a b) a 0 a 5 a 5 a c) + d) 6 a + 6 a 9 + a 66 Johannes förenklar a + a + a till a. Är förenklingen rätt? Undersök numeriskt med din räknare eller visa algebraiskt.. RATIONELLA UTTRYCK 5

Multiplikation och division Vi repeterar multiplikation och division av tal i bråkform. Multiplikation av bråk 5 6 5 6 5 5 9 8 9 8 9 8 9 8 8 Förkorta om det går innan du multiplicerar. Division av bråk 7 5 9 Vi får förlänga med vilket tal vi vill. Vi väljer det tal som ger nämnaren. 7 9 5 5 9 9 5 7 9 5 7 9 5 8 5 inverterat tal 9 5 kallas det inverterade talet till 5 9 Täljare och nämnare bter plats. Produkten av ett tal och dess inverterade tal är. Att dividera med 5 9 ger samma resultat som att multiplicera med 9 5 Vi förenklar rationella uttrck på samma sätt. 67 Förenkla a) 6 b) + 6 / d) a 6 a / a + a c) a) 6 6 Obs! Parentes. b) + ( + ) c) + 6 / 6 6 6 6 skrivs d) a 6 a / a + a a 6 a a a + (a + )(a ) a (a ) 6 a (a + ) a 6. RATIONELLA UTTRYCK

68 Beräkna utan räknare 76 Förenkla a) 5 9 c) 7 5 a) / c) a b / a b b) 6 8 d) 9 0 b) / d) a / a b 69 Beräkna utan räknare a) / 7 b) / 6 c) 6 / d) 5 6 / 7 77 Beräkna värdet för uttrcket a b b om a 0 och b 5 b a b a) före förenkling b) efter förenkling. 70 Förenkla a) a 5 a b) 6 7 c) 5 d) 9 0 78 Förenkla a) / c) + / b) (a ) a a 7 Skriv på ett gemensamt bråkstreck och förenkla. a) a b a b) 5 + c) a + 5 a 0 a + d) 5 7 Vad är dubblan (dubbelt så mcket) av a) 5 7 7 Förenkla a) / 8 b) a 5 / a 5 b) a + b c) a b 7 Vad är tredjedelen av a) 5 7 75 Förenkla a) 6 b) a b c c a b c) 9 / 8 d) 5 z / b) a + b c) a b c) 6 / d) a b c / c a b d) + d) +?? 79 Förenkla a) a + b / (a 9) b) ( + )/ 80 Förenkla dubbelbråket genom att 5a a 5 a a) först förlänga de enskilda bråken till MGN b) först förenkla täljaren för sig och nämnaren för sig och sedan dividera. Förenkla. a + b 8 a) a b 8 a) z z a b) 6 a b) a a a a 8 Låt f () och undersök om man + kan bestämma talet a så att f ( f ()).. RATIONELLA UTTRYCK 7

. Funktioner Inledning Vi repeterar och utvidgar funktionsbegreppet. Funktion Definitionsmängd Värdemängd En regel som till varje tillåtet -värde ger eakt ett -värde kallas en funktion. De tillåtna -värdena kallas funktionens definitionsmängd. De -värden vi då kan få kallas funktionens värdemängd. Funktionsregeln kan beskrivas med ord, med en formel, en värdetabell eller en graf. f () kontinuerlig funktion Skrivsättet f() innebär att är en funktion av och f är funktionens namn. Med f() menas det -värde som funktionsregeln ger då. Funktioner kan karaktäriseras på olika sätt. De funktioner vars graf kan ritas utan att lfta pennan kallas för kontinuerliga. Alla polnomfunktioner är kontinuerliga. f ( ) g ( ) a b a b f är kontinuerlig för a b g är diskontinuerlig för a b diskret funktion En annan karaktärisering av funktioner kan göras utifrån vilken definitionsmängd de har. De funktioner vars definitionsmängd är heltalen (eller delmängder av heltalen) kallar vi diskreta. I matematiken betder ordet diskret ungefär detsamma som åtskild eller särad. Diskret matematik beskrivs ofta som motsatsen till kontinuerlig matematik. Datorernas sätt att arbeta är diskret eftersom en dator i grunden endast arbetar med siffrorna 0 och. 8. FUNKTIONER

Eempel En handlare säljer äpplen för 0 kr/kg. Funktionen 0 beskriver priset kronor för äpplen som väger kg. Detta är en kontinuerlig funktion, definitionsmängden är de reella talen större än eller lika med 0. En annan handlare säljer äpplen för 5 kr/st. Funktionen 5 beskriver priset kronor för st äpplen. Detta är en diskret funktion, definitionsmängden är de naturliga talen. kr 60 kr 5 0 0 0 5 kg antal Priset som funktion av vikten. En kontinuerlig funktion. Priset som funktion av antalet. En diskret funktion. 0 Låt f ( ) och bestäm a) f (5) b) f ( 5) c) f (a + h) a) Vi ersätter i f () med 5 f (5) 5 5 0 5 5 b) Vi ersätter med 5 f ( 5) ( 5) ( 5) 0 5 5 c) Vi ersätter med (a + h) Obs! 5 5 ( 5) 5 f (a + h) (a + h) (a + h) a + h (a +ah +h ) a + h a ah h 0 Låt f ( ) + och g ( ) 5. Bestäm så att f ( ) g ( ). f ( ) g ( ) + 5 5,5. FUNKTIONER 9

0 Låt f ( ) och bestäm a) f() b) f( ) c) f (a) 0 Låt f( ) 6 5 och g() +. Bestäm a) f () c) f () g () b) g ( ) d) g (b) f (b) 05 Figuren visar grafen till funktionen f ( ). Bestäm med hjälp av grafen 0 Låt f ( ) och visa att a) f ( + ) inte är lika med f () + f () b) f (a) inte är lika med f (a). Bestäm definitions- och värdemängd för a) c) f( ) + b) d) f( ) Vilket värde har talet k om a) f ( ) k + och f () 5 b) g ( ) + k och g ( ) 8? Finn en formel som uppfller hur beror av enligt tabellen a) 0 5 7 b) 0 a) f ( 6) b) f (0) c) så att f ( ) 0 d) så att f ( ) 06 Priset kr för att hra ett par skidor i dagar beskrivs av funktionen 00 + 00. Är funktionen diskret eller kontinuerlig? Motivera ditt svar. 07 Låt f( ) och bestäm a) f (a + ) b) f (a + h) 08 Låt f () och bestäm a) f (a) b) f ( + h) 09 Bestäm så att f ( ) 5 om a) f ( ) 0 7 b) f ( ) + c) f ( ) 5 7 Funktionen f definieras av formeln f( ) a) Rita funktionens graf. b) Ange funktionens definitionsmängd. c) Förklara varför funktionens värdemängd är alla reella tal 0. 5 Låt f( ) + och förenkla a) f ( + h) f () h b) f ( + h) f ( ) h 6 En och samma funktion kan beskrivas med olika formler i olika delar av sin definitionsmängd. Funktionen f är definierad på följande sätt: f ( ) för + a för > a) Bestäm f ( ) + f () b) För vilket värde på a är funktionen kontinuerlig? 0. FUNKTIONER

Räta linjens ekvation Vi repeterar från kurs b. Räta linjens ekvation kan skrivas k + m där k och m är konstanter. k anger lutningen och m anger var linjen skär -aeln. Grafen till k + m är en rät linje. riktningskoefficient formeln för k m -värdet Lutningen, k-värdet eller riktningskoefficienten för en linje genom punkterna (, ) och (, ) beräknas med formeln k förändringen i -led förändringen i -led där. m-värdet anger -värdet för linjens skärningspunkt med -aeln. Skärningspunktens koordinater är (0, m). Bestämning av k ur en graf m m 6 k 5, k m m 6 Linjens ekvation är Linjens ekvation är,5 + + 6 En linje stiger om k > 0 och en linje faller om k < 0. En horisontell linje har k 0 och en ekvation av tpen. En vertikal linje saknar k-värde och har en ekvation av tpen.. FUNKTIONER

Eempel Linjerna a, b och c är parallella. Linjerna har lutningen k Linjen d har lutningen k 0,5 och är vinkelrät mot de övriga linjerna. d Allmänt gäller Två icke-vertikala linjer med riktnings koefficienterna k och k är parallella om och endast om k k (har samma k-värde) vinkelräta om och endast om k k Räta linjens ekvation kan skrivas på olika sätt: a b c Räta linjens ekvation k-form k + m enpunktsform k( ) allmän form a + b + c 0 7 En linje går genom punkterna (, ) och (, 9). Bestäm linjens ekvation. k 9 ( ) 6 Vi beräknar k. Metod (k-form) k + m k ger + m och 9 ger 9 + m 9 + m m 5 + 5 Vi sätter in k-värdet. Vi väljer en av punkterna och sätter in koordinaterna. Metod (enpunktsform) Formeln för k ger 9 6 k ( ) k( ) k ger ( ) och 9 ger 9 ( ) 9 + 5 Vi beräknar k. Vi sätter in k-värdet. Vi väljer en av punkterna och sätter in koordinaterna.. FUNKTIONER

8 a) Bestäm k och m till linjen 6 + 0 0. b) Rita linjen. a) Linjen är skriven i allmän form. Vi löser ut ur ekvationen. 6 + 0 0 Vi adderar 0 till båda leden. 6 + 0 Vi subtraherar 6 från båda leden. 0 6 Vi dividerar med i båda leden. 5 Vi ser nu att k och m 5. b) Eftersom m 5 och k kan vi rita linjen genom att utgå från punkten (0, 5) och därefter gå steg åt höger i -led och steg nedåt i -led. (0, 5) 9 Bestäm ekvationen för den linje L som går genom punkten (, ) och är parallell med linjen + 6. Linjen + 6 har lutningen k Parallella linjer har samma k-värde. Linjen L har k och går genom punkten (, ) Vi använder k + m, och k ger ( ) + m + m m 5 Linjens ekvation är + 5. FUNKTIONER

0 Bestäm lutningen k för en linje genom a) (, ) och (5, ) b) (, ) och (, ) c) (, 5) och (7, 5) d) (, ) och (, 6) Bestäm en ekvation för en linje genom (, ) och med a) k b) k. Bestäm linjernas lutning ur grafen. a) b) Rita grafen till a) b) + 8 0 I en glesbgdskommun minskade invånarantalet linjärt under 990-talet enligt 5 000 5 där är antalet invånare år efter 990. a) Ange och tolka funktionens m-värde. b) Ange och tolka funktionens k-värde. 5 Bestäm en ekvation för linjen genom a) (, ) och (, 5) b) (, ) och (, 9) 6 Produktionskostnaden P ( ) kr för att tillverka enheter kan skrivas P () a + b. I formeln är b kr en fast kostnad och a kr/enhet en rörlig kostnad. Bestäm den fasta och den rörliga kostnaden om P (50) 600 och P (0) 8 800. c) d) 7 Ett clinderformat stearinljus har diametern mm och längden 00 mm. Brinntiden är 8 timmar. a) Hur långt är ljuset då det har brunnit i 5 timmar? b) Hur lång tid har ljuset brunnit om det är 0 mm långt? c) Ställ upp ett linjärt samband mellan ljusets längd f (t ) mm och den tid t timmar som ljuset har brunnit. 8 Ange en ekvation för den linje som går genom punkten (, 5) och är parallell med a) 5 + b) 6 + 0 9 Ange en ekvation för den linje som går genom punkten (, ) och är vinkelrät mot a) + b) + 0 Vilka koordinater har punkten B, om lut ningen för linjen genom A och B är 5? För en linjär funktion gäller att f(a + ) a +. Bestäm funktionen på formen k + m. A (, ) B. FUNKTIONER

Aktivitet UPPTÄCK Funktioner och nollställen Arbeta tillsammans två och två. Materiel: Grafritande räknare/dator. a) Rita av och komplettera tabellen. Använd grafritaren. b) Vilket samband finns mellan funktionens gradtal och det maimala antalet nollställen? c) Vilket är det största antalet nollställen en fjärdegradsfunktion kan ha? d) Kan en förstagradsfunktion sakna nollställen? Motivera med en skiss. e) Kan en tredjegradsfunktion sakna nollställen? Motivera med en skiss. Funktion f ( ) En skiss av funktionens graf med nollställena markerade. Antalet nollställen för funktionen f ( ). f () + f () f () 5 f () f () + 8 f () + 0 f () 6 + a) Rita av och komplettera tabellen. b) Vilket samband finns mellan lösningen till f () 0 och nollställena till funktionen f ()? c) Bestäm nollställena till funktionen f () 8 genom att lösa ekvationen f () 0. Funktion f () f () f () ( + )( ) f () + 6 En skiss av funktionens graf med nollställena markerade. och Lösningen till ekvationen f ( ) 0 0 ± f (). FUNKTIONER 5

Andragradsfunktioner En andragradsfunktion definieras av en ekvation av tpen + 0 och f () 8 Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas allmän andragradsfunktion minimipunkt maimipunkt f ( ) a + b + c där a, b och c är konstanter och a 0. Om a > 0 (t e ) har kurvan en minimipunkt. Om a < 0 (t e,5 ) har kurvan en maimipunkt. parabel smmetrilinje Grafen till en andragradsfunktion kallas en parabel. Den har en smmetrilinje som delar kurvan i två delar, som är varandras spegelbilder. smmetrilinje Smmetrilinjen går genom parabelns vändpunkt som är en maimi- eller minimipunkt på grafen. nollställen nollställen Där grafen skär -aeln är 0. -koordinaten i dessa skärningspunkter kallas funktionens nollställen. minimipunkt Eempel Hur hittar vi nollställen, smmetrilinje och minimipunkt till + 0? Nollställen får vi genom att lösa 0. + 0 0 6 + 5 0 ± Obs! Smmetrilinje, mitt emellan nollställen. 8 (, 8) ger nollställen och 5. Minimipunkten ligger på smmetrilinjen. Minimipunktens koordinater får vi genom att sätta in i funktionen. ger + 0 8 Punkten är (, 8). 6. FUNKTIONER

Undersök andragradsfunktionerna 6 och 6 6. a) Har kurvan en maimi- eller minimipunkt? b) Var skär grafen - aeln? c) Har funktionen några nollställen? d) Bestäm grafens smmetrilinje. e) Ange koordinaterna för vändpunkten. f) Ange funktionens största/minsta värde. g) Kontrollera dina resultat grafiskt. 6 a) Funktionen 6 har en positiv -term. Kurvan har en minimipunkt. b) 0 ger 0. Grafen skär -aeln i origo. c) 6 6 0 ( 6) 0 Nollställena är 0 6 d) Smmetrilinjen är (mitt emellan 0 och 6) e) ger 6 9 Minimpunkten är (, 9) f) Funktionen har ett minsta värde 9 ( -värdet i vändpunkten) 6 6 a) Funktionen 6 6 har en negativ -term. Kurvan har en maimipunkt. b) 0 ger 6. Grafen skär -aeln i punkten (0, 6). c) 6 6 6 6 0 + + 0 ± Nollställen saknas d) Smmetrilinjen är ( p/ om + p + q 0) e) ger ( ) 6 ( ) 6 Maimipunlkten är (, ) f) Funktionen har ett största värde. g) 5 g) 0 (, ) 0 0 (, 9) 0. FUNKTIONER 7

Funktionen 6 a) Har kurvan en maimi eller minimipunkt? b) Bestäm kurvans nollställen genom att lösa ekvationen 6 0 c) Ange kurvans smmetrilinje. d) Bestäm koordinaterna för kurvans vändpunkt. e) I vilken punkt skär kurvan -aeln? f) Skissa först grafen för hand och kontrollera sedan med grafräknare. Om man har ekvationen för en andragradsfunktion så finns det en enkel metod att avgöra om grafen har en maimi- eller minimipunkt. Inga beräkningar behövs och grafen behöver ej ritas. Förklara denna metod. 5 Funktionen 6 + 5 a) Har kurvan en maimi- eller minimipunkt? b) Bestäm kurvans nollställen genom att lösa ekvationen 6 + 5 0 c) Ange kurvans smmetrilinje. d) Bestäm koordinaterna för kurvans vändpunkt. e) I vilken punkt skär kurvan -aeln? f) Skissa först grafen för hand och kontrollera sedan med grafräknare. 6 En andragradsfunktion har ett nollställe och smmetrilinjen. Bestäm det andra nollstället. 8 Beräkna var kurvan skär -aeln och -aeln. Kontrollera grafiskt. a) f ( ) + 6 b) f ( ) + c) 0 d) ( )( + ) 9 Banan för en kulstöt kan beskrivas med, + 0,0 där är höjden i m då kulan hunnit m i -led. a) Bestäm kulans höjd då den hunnit,5 m i -led. b) Från vilken höjd börjar stöten? c) Du vill beräkna stötens längd genom att lösa ekvationen, + 0, 0. Visa att ekvationen kan skrivas 0 0. d) Bestäm stötens längd och kontrollera resultatet med en grafräknare. 0 En rät linje skär där och. Ange den räta linjens ekvation. En fotboll sparkas rakt upp i luften. En modell för bollens höjd över marken s ( t ) meter efter t sekunder är s ( t ) 0,75 + 8 t,9 t a) Beräkna och tolka s(,5). b) Vilken är bollens högsta höjd? 7 Bestäm kurvans eventuella nollställen samt maimi- eller minimipunkt. Kontrollera grafiskt. a) + + b) 0 c) + 8 + 9 d) 6 6 8. FUNKTIONER

Andragradsfunktioner och nollställen Eempel Nollställena till en andragrads funktion kan vi få genom att lösa en andragradsekvation. I figuren ser du tre funktioner och deras nollställen. + 0 har två lösningar ( och ) + har två nollställen ( och ) + 5 + + + 0 har en lösning ( ) + har ett nollställe ( ) + 5 0 saknar lösning + 5 saknar nollställen (skär inte - aeln) Eempel Om vi har en andragradsfunktion i faktorform från faktorform t e f ( ) ( + )( 5) till nollställen kan vi bestämma funktionens nollställen genom att lösa ekvationen ( + )( 5) 0 Nollproduktmetoden ger och 5. 5 5 6 Finns det fler andragradsfunktioner med samma nollställen? Svaret är ja. Alla funktioner som kan skrivas f ( ) k( +)( 5), där k är en konstant, har nollställena och 5. 0 5 0,5( + )( 5) ( + )( 5) ( + )( 5) Eempel från nollställen till faktorform Grafen i figuren beskriver en funktion. Vilken? Vi kan avläsa funktionens nollställen och Vi vet då att funktionen kan skrivas f ( ) k( + )( ) 6 För att bestämma konstanten k behöver vi känna till tterligare en punkt på grafen. Vi avläser skärningspunkten (0, 6) med -aeln. 0 och 6 ger ekvationen k(0 + )(0 ) 6 k ( ) 6 k 6 Funktionen är k ger koefficienten framför -termen. f ( ) ( + )( ) som också kan skrivas f ( ) 6. FUNKTIONER 9

Faktorisera funktionen f ( ) + 5 Vi börjar med att bestämma funktionens nollställen. + 5 0 ± + 5 ± och 5 Funktionen kan skrivas f ( ) k ( ) ( + 5) Koefficienten framför -termen i f ( ) + 5 är + vilket ger k. f ( ) ( ) ( + 5) Obs! Om en funktion saknar nollställen kan den inte faktoriseras. Figuren visar grafen till en andragradsfunktion. Skriv funktionen i a) faktorform b) utvecklad form. och är nollställen. a) I figuren kan vi avläsa nollställena och. Funktionen kan skrivas f ( ) k( + )( ) Vi avläser tterligare en punkt på grafen. (0, ) är skärningspunkten med -aeln. 0 och insatt i funktionen ger k (0 + )(0 ) k Funktionen i faktorform: f ( ) ( + )( ) b) f ( ) ( + )( ) f ( ) ( + ) Funktionen i utvecklad form: f ( ) + + 50. FUNKTIONER

Ange funktionens nollställen a) f ( ) ( + ) ( 0) b) f ( ) 5 ( ) 5 Ge eempel på en andragradsfunktion som har nollställena a) och b) 0 och 0 6 Skriv i faktorform a) f ( ) 0 + 6 b) g ( ) 5 + 6 7 a) Rita grafen till f ( ),6 +, på räknaren. Gör en skiss av grafen. b) Aron säger att ekvationen,6 +, 0 saknar reella lösningar. Stämmer det? Motivera. 8 I vilka punkter skär grafen till funktionen koordinatalarna? a) f ( ) ( + )( + 5) b) f ( ) 6( )( 9) 5 Tobbe och Carro ska skriva funktionen f ( ) + i faktorform. Tobbe får f ( ) ( + )( + 7) Carro får f ( ) ( )( 7) Båda har gjort fel. Förklara vilka fel de gjort. 5 Funktionen 8 + a är given. Hur ska vi välja a så att a) grafen går genom punkten (, 6) b) funktionens minsta värde blir 6 c) kurvans minimipunkt ligger på -aeln d) kurvan inte skär -aeln? 5 Skriv andragradsfunktionerna dels i faktorform och dels i utvecklad form. a) b) 9 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion. Skriv funktionen i faktorform och utvecklad form. 6 a) b) 8 5 5 5 5 Ett andragradspolnom p() har nollställena och och p(0). Är det sant att p(0) p(6)? Motivera ditt svar. 5 50 Skriv två olika funktioner som båda har nollställena 0 och 0. 55 En andragradsfunktion a + b + c har endast ett nollställe. Ange ett samband mellan a, b och c.. FUNKTIONER 5

Grafiska lösningsmetoder Eempel Ekvationssstemet kan vi lösa algebraiskt. 8 Vi sätter funktionerna lika och löser ekvationen 8 9 Vi sätter in i en av funktionerna och får 5. Lösningen är 5 Om vi ritar graferna till de två funktionerna, så motsvaras lösningen av skärningspunktens koordinater. (, 5) Eempel Ekvationen 8, kan vi inte lösa algebraiskt. Grafiskt kan vi lösa den genom att avläsa -värdet i skärningspunkten mellan graferna till 8, (,;,) Lösningen till ekvationen är, Med en grafritande räknare kan vi undersöka funktioner, lösa ekvationer och ekvationssstem även när vi saknar algebraiska metoder. 5. FUNKTIONER

56 Lös ekvationen grafiskt. a) 6 + 6 + b) 6 + 6 c) 6 + 6 5 a) Vi börjar med att välja fönsterinställning, t e min 0 ma 0 min 0 ma 0 Vi ritar graferna till 6 + 6 och + I en skärningspunkt har funktionerna samma -värde. -koordinaten i en skärningspunkt är en lösning till ekvationen. Räknarens verktg för skärning (intersection) ger: Svar: 0,8 6,9 b) Vi ritar graferna till 6 + 6 och Svar: 0,76 5, c) Vi ritar graferna till 6 + 6 och 5 Svar:. FUNKTIONER 5

57 Nazrims månadshra är 5 000 kr. Prognos : Månadshran kommer att öka med 00 kr varje år. Prognos : Månadshran kommer att öka med 6 % kr varje år. a) Ställ upp två funktioner som visar hran, kr, efter år för de olika prognoserna. b) Undersök grafiskt vilken prognos som ger den högsta hran. a) Prognos kan vi beskriva med den linjära funktionen 5 000 + 00 Prognos kan vi beskriva med eponentialfunktionen 5 000,06 b) Vi kan börja med att låta räknaren göra en värdetabell för de två funktionerna. Sedan väljer vi fönsterinställning och ritar graferna. 0 5 000 5 000 6 00 5 955 6 7 00 7 09 9 8 600 8 7 9 800 0 06 5 000 98 0 INTERSECTION X 0.595... Y 9.88... I en skärningspunkt har funktionerna samma värden. -koordinaten är därför en grafisk lösning till ekvationen 5 000 + 00 5 000,06 Verktget för skärning (intersection) ger: (0, 5 000) och (0,; 9 ). Mellan skärningspunkterna ger den linjära prognosen den högsta hran, men sedan ger den eponentiella prognosen en högre hra som ökar snabbare. Svar: En ökning med 00 kr/år ger de 0 första åren en högre hra, medan en ökning med 6,0 procent/år från och med år ger den högsta hran. 5. FUNKTIONER

58 Lös ekvationen grafiskt a) 5 b) 5 c) 0 0 59 Lös ekvationen grafiskt. Svara med två decimaler. a) 0,9, +,8,5 b) 0,9, +,8 0 c) 0,9, +,8, 5 60 Rita graferna till funktionen f () och g () 5 och lös grafiskt ekvationen 5. 6 En modell för Sandras längd, m, år efter hennes -årsdag är funktionen,5,0 Sandras mamma är,66 m lång. Bestäm grafiskt när Sandra är lika lång som sin mamma. 6 En termos flls med 90-gradigt kaffe. Temperaturen kan beräknas sjunka enligt två olika modeller: I: Temperaturen sjunker 8 C/timme. II: Temperaturen sjunker 8 procent/timme. a) Ställ upp två olika funktioner som visar hur temperaturen C beror av hur många timmar som gått. b) Undersök och jämför de olika modellerna grafiskt. 65 För ökningen av koldioidhalten i atmosfären finns många olika matematiska modeller. En linjär modell är,9 + 8 och en kvadratisk modell är 0,0 + 0,8 + 8 I båda modellerna är koldioidhalten i ppm och är tiden i år räknat från 0. När ger de båda modellerna samma värde på koldioidhalten och vilket är då värdet? 6 Lös grafiskt ekvationen a) 6 + 8 0 b) 5 + 6 En dator köps för 000 kr. Datorn be räknas minska i värde med 5 % per år de kommande åren. a) Ställ upp en funktion som beskriver datorns värde kr efter år. b) Bestäm grafiskt hur många år det tar innan datorns värde har halverats.. FUNKTIONER 55

Eponentialfunktioner och potensfunktioner Vi repeterar från kurs b. Funktioner av tpen och f( ) 500 0,5 är eempel på potensfunktioner. Potensfunktion f ( ) C a, där C och a är konstanter, kallas en potensfunktion. potensekvation Ekvationen 00 6 00 är ett eempel på en potensekvation. Ekvationen kan skrivas 6 6 Den positiva roten är, Funktioner av tpen 5,5 och f( ) 0 000 0,85 är eempel på eponentialfunktioner. Eponentialfunktion f ( ) C a, där C och a är konstanter ( a > 0, a ), kallas en eponentialfunktion. I många matematiska tillämpningar har vi en procentuell förändring som är konstant. Detta betder att förändringsfaktorn är konstant och en eponentialfunktion kan användas som modell. eponentialekvation Ekvationen 5 är ett eempel på en eponentialekvation. Logaritmering av båda leden ger lg lg 5 Med hjälp av en potenslag kan vi skriva lg lg 5 Lösningen är lg 5 lg,65 56. FUNKTIONER

66 Värdet på en villa ökade från, miljoner kr till, miljoner kr under en femårsperiod. Beräkna den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen. Antag att den årliga förändringsfaktorn är. Vi får ekvationen, 5, 5,,, 5,,059 Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år. 67 Kevin arbetar med radioaktiva preparat på ett laboratorium. Mängden av det radioaktiva ämne som han arbetar med avtar eponentiellt enligt funktionen f( t ) 7 0,87 t där t är antal år efter 00 och f ( t ) är mängden i mg. a) Tolka talen 7 och 0,87 t i formeln. b) Beräkna och tolka f (0). c) När återstår 5,0 mg av det radioaktiva ämnet? a) 7 betder att mängden var 7 mg år 00. Förändringsfaktorn 0,87 betder att mängden minskar med % per år. b) f (0) 7 0,87 0 8 År 00 återstår 8 mg av ämnet. c) Vi löser ekvationen 7 0,87 t 5 0,87 t 5 7 t lg 0,87 lg 5 7 lg 5 7 t lg 0,87 9 Ca 9 år efter 00 återstår 5,0 mg.. FUNKTIONER 57

68 Beräkna f (5). Svara med ett heltal. a) f( ),5,5 b) f( ),5,5 69 Lös ekvationen. Svara med två decimaler. a) 9 c) 8 b) 5 d) 5 70 Vinsten i ett företag är 80 miljoner kr. Ställ upp en funktion som anger vinsten kr efter år om vinsten förväntas a) öka med 5 % varje år b) minska med 5 % varje år. 75 A C + B D Vilken eller vilka av funktionerna ovan är en a) andragradsfunktion b) potensfunktion c) eponentialfunktion? 76 Figuren visar grafen till en eponentialfunktion. Bestäm funktionen. 7 En dag analserade Mikael bakteriehalten i ett vattenprov. Antalet bakterier f( ) 00 000,0, där är antalet timmar efter kl. 09.00. a) Beräkna antalet bakterier kl.0. b) När är antalet bakterier 500 000? 7 Under en 0-årsperiod har Emmas årslön trefaldigats. Beräkna den årliga procentuella ökningen om vi förutsätter att den varit lika stor varje år. 7 Karl köpte aktier. När han tre år senare skulle sälja aktierna hade värdet halverats. Vilken årlig procentuell minskning motsvarade detta? 7 Värdet på bostadsrätter ökar varje år med i genomsnitt,5 % i en mindre stad och med 5 % i en stor stad. Hur många år tar det innan värdet har fördubblats a) i den mindre staden b) i den större staden? 77 Halten av en luftförorening gram per m i ett rum avtar med tiden t timmar enligt funktionen 60 0,9 t Med hur många procent minskar halten per dgn? 78 För en funktion gäller att f (0) och f () 5. Bestäm f () om funktionen är en a) linjär funktion b) eponentialfunktion. 79 I ett område i Afrika minskade antalet giraffer från 000 till 7 000 under åren 000 till 00. Hur många giraffer kan vi förvänta oss år 05 om minskningen i procent är densamma varje år? 58. FUNKTIONER

80 En dator kan sortera N namn på T µs, där T,8 N,8. Hur många namn sorteras på min? 8 I tiokamp för herrar beräknas poängen P( t ) för löpning 500 m med potensfunktionen P( t ) 0,07 68 (80 t ),85 där t är tiden i sekunder. a) Vilken poäng ger tiden.0,0? 8 Flora och fauna på isolerade öar har stort intresse inom ekologin. För både väter och djur har forskarna funnit att antalet arter på öar med olika area km kan beskrivas med potensfunktionen c a där c och a är konstanter som beror av den aktuella organismen och ögruppen. För fågelarter inom Bismarcksarkipelagen har undersökningar visat att c 8,9 och a 0,8. Hur stor måste en ö vara för att man rimligen ska finna fler än 00 fågelarter? b) Vilken poäng ger tiden.0,0? c) Vilken tid ger 000 poäng? 8 85 Då kärnkraftverket i Tjernobl havererade i april 986 spreds stora mängder radioaktivt material, bl a jod- med en halveringstid på 8,0 dgn och cesium-7 med en halveringstid på 0, år. Eponentialfunktion Hur länge dröjer det innan aktiviteten reducerats till % av det ursprungliga värdet för 00 a) jod- b) cesium-7? Figuren visar grafen till f ( ). Beräkna f ( ). 8 En patient får en injektion på 5,0 mg av ett läkemedel. Man vet att denna mängd avtar eponentiellt med tiden och att halva mängden återstår efter h. När återstår,5 mg? 86 Potensfunktion C a 0 Bestäm C och a.. FUNKTIONER 59

Aktivitet LABORERA Pendeln Materiel: En pendel (t e vikt upphängd i m långt snöre), stativ eller annan fästanordning, tid tagarur och tumstock eller måttband ( m). Svängningstiden (fram och tillbaka) för en pendel beror av pendelns längd. Du ska variera och mäta längden på pendeln, mäta svängningstiden och redovisa resultatet i en tabell. Tips: Använd räknare/dator med ett kurvanpassningsprogram och anpassa en potensfunktion av tpen C a till dina mätvärden. Låt vara svängningstiden i sekunder och pendelns längd i meter. Välj en pendellängd och beräkna svängningstiden med hjälp av din funktion. Kontrollera sedan eperimentellt. Stämmer det? 60. FUNKTIONER