Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 14 poäng från uppgifterna 1 9, varav minst 3 poäng från uppgifterna 7 9. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 1 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället vt 215 (duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från 1 9 minst 5% (12 poäng) från uppgift 1 13, för betyg 5 minst 75% (18 poäng). Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift 1 9 räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt (betyg 3 5) krävs minst 14 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 7 9. Uppgift 1 6 kan en och en ersättas av duggapoäng. 1. Antag att g är en inverterbar funktion definierad på intervallet [, 4] och att f(x) = g(2x). (a) Vad är definitionsmängden för funktionen f? (b) Om g(4) = 2 g(8) = 2, vad är värdet av f 1 (2)? 2. Bestäm följande gränsvärden, om de existerar. (a) lim x 2 x + 2 x 2 4 (b) (c) lim x + lim x + 3. Ekvationen 3x 2 + 2 5x 2 4x x x x 3 + y 4 = x 2 + y 5 + 2 definierar en kurva i xy-planet. Hur stor är kurvans tangentlutning dy i punkten (x, y) = (1, 1)? dx 4. Antag att f(x) = x 4 4x 2 + 1. (a) På vilket eller vilka intervall är f avtagande? (b) Har f(x) några lokala extrema (minima eller maxima), i så fall vilka? (c) Har f(x) något största respektive minsta värde på intervallet (, )? I så fall, vad är detta värde/dessa värden och för vilka x antas de? 2
5. Bestäm värdet av integralen 1 x 3 (1 + x 4 ) 5 dx. 6. (a) [2p] Utveckla den obestämda integralen (4x + 1)e x/5 dx. (b) [1p] Är integralen konvergent, och i så fall, vad är dess värde? (4x + 1)e x/5 dx 7. Bestäm den lösning y = y(x) till differentialekvationen som uppfyller villkoret y() = 2. dy dx = x2 + 4x y 2 8. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen dy + 4xy = 8x. dx 9. (a) Bestäm den allmänna lösningen y = y(x) till den homogena differentialekvationen y + 4y + 2y =. (b) Bestäm lösningen y = y(x) till begynnelsevärdesproblemet y + 4y + 2y = 8e 2x, y() = 1, y () =. 3
Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 24. Även presentationen bedöms. 1. Bestäm ett algebraiskt uttryck för en rationell funktion f med följande egenskaper, eller, om inte alla villkor kan uppfyllas, förklara varför. nämnaren är av grad två; f(x) är definierad för alla x undantaget x = och x = 3; kurvan y = f(x) har lodräta asymptoter x = och x = 3; kurvan y = f(x) har asymptoten y = 2 då x ± ; f(2) = 5; f (2) = 2; 11. Låt kurvan y = x(a x) i xy-planet rotera kring x-axeln. Ytan som kurvan sveper mellan x = och x = a, innesluter då en rotationskropp. (a) Vad blir volymen av rotationskroppen, uttryckt i koordinatsystemets volymenheter, som en funktion av a? (b) Vad ska a vara för att volymen ska vara precis 16π/15 volymenheter? 12. (a) Bestäm för de värden på T där integralen T x 3 x 2 x 2 dx är konvergent (och alltså har alltså ett väldefinierat värde) dess värde (som ett uttryck i T ). (För vissa värden på T är integralen alltså möjligen inte konvergent.) (b) Är den generaliserade integralen x 3 x 2 x 2 dx konvergent? Vad har den i så fall för värde? 3 13. En vattentank tappas ut genom ett hål i botten. Hur volymen vatten i tanken förändras kan beskrivas av differentialekvationen dv dt = A utu, där V är volymen vatten i tanken, A ut hålets tvärsnittsarea, och u är utflödets hastighet (volym/tid). Om man bortser från energiförluster från friktion et.c. bestäms utflödeshastigheten av formeln u = 2gh, där g är tyngdaccelerationen och h är vattenytans höjd räknat från avtappningshålet. 4
Om man sänker vattennivån med h och vattenytan har arean A så svarar det mot volymen V = A h. Vi har alltså formeln A yta = dv dh som kopplar ihop arean A yta av vattenytan i tanken, volymen vatten i tanken V och vattennivån h. Ifrån detta kan vi härleda en differentialekvation för vattennivån h som funktion av tiden t. Den kommer att innehålla g och A ut som konstanta parametrar, samt A yta, som kan vara konstant eller variera med höjden, beroende på tankens geometri. (a) (b) Sätt upp en differentialekvation dh dt =... som beskriver hur höjden varierar med tiden. Lös differentialekvationen, dvs bestäm h som en funktion av t, givet att vattenytans area är konstant, A yta = A och volymen har begynnelsevärdet V = V då t =. Lycka till! /SK 5
English version Aids : No aids allowed except for attached cheat sheet. No calculator. The examination is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result (grade 3) at least 14 points are needed from problems 1 9 (Part I), among these at least 3 points from problems 7 9. Each of these 9 problems may yield 3 points. From each of problems 1 6 you may choose to use the results from the pre-tests (dugga) instead of giving a solution to the exam problems. (The results from the pre-tests are found appended.) In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 5% (12 points) in part II (problems 1 13). For grade 5 at least 75% (18 points) in part II is required. Give full solutions to all problems. Don t write more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Numerical values may be given as expressions including factors like π and logarithms, if needed. Part I. Each numbered assignment is worth a maximum of 3 points. For passed grade (grade 3 5) a minimum of 14 points are required, of these at least 3 points from assignments 7 9. Assignments 1 6 may each be substituted for by points from corresponding pre-tests (dugga) from spring 215. 1. Suppose that g is an invertible function defined in the interval [, 4] (its domain) and that f(x) = g(2x). (a) which is the domain of the function f? (b) If g(8) = 2, what is the value of f 1 (2)? 2. Find the following limits, if they exist. (a) lim x 2 x + 2 x 2 4 (b) (c) lim x + lim x + 3x 2 + 2 5x 2 4x x x 3. The equation x 3 + y 4 = x 2 + y 5 + 2 defines a curve in the xy plane. What is the slope dy of the tangent to this curve at the dx point (x, y) = (1, 1)? 4. Suppose that f(x) = x 4 4x 2 + 1. (a) On which interval(s) is f decreasing? (b) Does f(x) have any local extrema (minima or maxima), and if so, which and where? (c) Does f(x) have a greatest and/or least value in the interval (, )? In that case, what is/are these value(s)and for which value(s) of x do they occur? 6
5. Find the value of the integral 1 x 3 (1 + x 4 ) 5 dx. 6. (a) [2p] Evaluate the indefinite integral (4x + 1)e x/5 dx. (b) [1p] Is the integral convergent, and if so, what is its value? (4x + 1)e x/5 dx 7. Find the solution y = y(x) to the differential equation which fulfils the initial condition y() = 2. dy dx = x2 + 4x y 2 8. Find the general solution to the differential equation dy + 4xy = 8x. dx 9. (a) Find the general solution y = y(x) to the homogeneous differential equation y + 4y + 2y =. (b) Find the solution y = y(x) to the initial value problem y + 4y + 2y = 8e 2x, y() = 1, y () =. 7
Del II. The following assignments counts for grades 4 and 5. Each is worth up to 6 points, in total 24. The presentation of the solutions is also assessed. 1. Find an algebraic expression for a rational function f with the following properties, or if not all properties can be fulfilled, explain why. nämnaren är av grad två; f(x) är definierad för alla x undantaget x = och x = 3; kurvan y = f(x) har lodräta asymptoter x = och x = 3; kurvan y = f(x) har asymptoten y = 2 då x ± ; f(2) = 5; f (2) = 2; 11. Let the curve y = x(a x) in the xy plane rotate around the x axis. The surface that is sweeped by the curve between x = and x = a then contains a 3d solid. (a) What is the volume of this solid, expressed in the volume units of the coordinate system, as a function of a? (b) For which value of a is the volume exactly 16π/15 volume units? 12. (a) Find the values of T for which the integral T x 3 x 2 x 2 dx is convergent (and thus has a well defined value) and its value (as an expression in i T ), for these values of T. (b) Is the generalized integral convergent? If so, what is its value? 3 x 3 x 2 x 2 dx 13. A water tank is drained through a hole in its bottom. How the volume in the tank is changed can be described by the differential equation dv dt = A utu, where V is the volume f water in thetank, A ut the cross section area of the hole, and u the velocity of the outflow (volume/time). If we disregard energy losses from friction et.c., the outflow velocity is determined by the formula u = 2gh, where g is the gravitational acceleration and h the depth of the water from the surface to the hole. 8
If the water level is decreased by h and the surface area is A the loss of volume will be V = A h. Thus, we have the formula A yta = dv dh which gives the relation between the top surface A yta of the water in the tank, the volume V, and the water level h. From this, we may deduce a differential equation for the level h as a function of time t. It will contain the constant parameters g and A ut, as well as A yta, which may be constant or vary with the water level, depending of the geometry of the tank. (a) (b) Formulate a differential equation dh dt =... which describes how the water level changes with time. Solve the differential equation, i.e. express h as a function of t, for a constant top area A yta = A and the initial volume V = V at t =. Good luck! /SK 9