ÖVNINGSTENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 10:15-13:15. Torsdagen 20 maj Tentamen består av 4 sidor.

Relevanta dokument
TENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 13:15-18:00. Fredag 28 maj Tentamen består av 4 sidor.

TENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 8:15-13:15. Måndag 8 juni Tentamen består av 4 sidor.

TENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 13:15-18:15. Torsdagen 7 juni Tentamen består av 5 sidor.

TENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 13:15-17:15. Måndag 19 december Tentamen består av 5 sidor.

TENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 13:15-18:15. Torsdagen 16 januari Tentamen består av 5 sidor.

TENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 13:15-18:15. Onsdagen 12 mars Tentamen består av 6 sidor.

TENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 13:15-18:15. Onsdagen 21 maj Tentamen består av 6 sidor.

a = a a a a a a ± ± ± ±500

TENTAMEN. Programmering Grundkurs (HI1900) Skrivtid 13:15-18:15. Tisdagen 26 april Tentamen består av 8 sidor

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Problemlösning (3/5) Lösningar

Linjära ekvationssystem

Dagens Teori. Figur 12.1:

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

, S(6, 2). = = = =

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

Funktioner. Räta linjen

Problemlösning Lösningar

Tentamen. Matematik 2 Kurskod HF1003. Skrivtid 8:15-12:15. Fredagen 13 mars Tentamen består av 3 sidor. Maple samt allt tryckt material

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Problemlösning Lösningar

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

Sidor i boken Figur 1: Sträckor

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor

x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2

Dagens Teori. a 1,a 2,a 3,...a n

Programmering Grundkurs (6H2950) Grundläggande Programmering (6A2001)

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a

Programmering Grundkurs (6H2950) Grundläggande Programmering (6A2001)

Sidor i boken , , 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Mathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002

TENTAMEN. Programmering Grundkurs (HI1900) Skrivtid 13:15-18:15. Tisdagen 26 april Tentamen består av 8 sidor

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 10 januari 2011 kl

Kontrollskrivning KS1T

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Tisdagen 31 maj Tentamen består av 3 sidor

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik, SF1610 och 5B1118, torsdagen den 21 oktober 2010, kl

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.

Algebra och Diskret Matematik A (svenska)

Problemlösning Lösningar

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 7 januari 2014, kl

1. (3p) Bestäm den minsta positiva resten vid division av talet med talet 31.

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den 2 juni 2015, kl

MITTUNIVERSITETET TFM. Tentamen Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar. Datum: 9 januari 2007

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

UPPGIFT 1 TVÅPOTENSER. UPPGIFT 2 HISSEN I LUSTIGA HUSET.

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

HI1024, Programmering, grundkurs, 8hp KTH STH TENTAMEN. HI1024:TEN2 - Praktisk tentamen Tid: Fredagen den 21 oktober 2011,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

HI1024 Programmering, grundkurs TEN

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Formelhantering Formeln v = s t

Den räta linjens ekvation

Gamla tentemensuppgifter

Den räta linjens ekvation

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y

Efternamn förnamn pnr kodnr

Sidor i boken Figur 1:

Högstadiets matematiktävling 2016/17 Finaltävling 21 januari 2017 Lösningsförslag

Algebra och Diskret Matematik A (svenska)

Dagens Teori. Figur 4.1:

Tentamen TMV210/MMGD10 Inledande Diskret Matematik, D1/GU

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november Tentamen består av 3 sidor

Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

13.1 Matematisk statistik

Enkla uppgifter. Uppgift 1. Uppgift 2

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Hjalpmedel: Inga hjalpmedel ar tillatna pa tentamensskrivningen. 1. (3p) Los ekvationen 13x + 18 = 13 i ringen Z 64.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

17.1 Kontinuerliga fördelningar

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetition inför tentamen

A-del. (Endast svar krävs)

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Betygsgränser: För. Skriv endast på en. Denna. Uppgift. 1. (2p) 2. (2p) Uppgift. Uppgift 1) 4. Var god. vänd.

10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer

MITTUNIVERSITETET TFM. Modelltenta Algebra och Diskret Matematik. Skrivtid: 5 timmar. Datum: 1 oktober 2007

15.1 Mer om betingad sannolikhet

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Transkript:

ÖVNINGSTENTAMEN HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik Skrivtid 10:15-13:15 Torsdagen 20 maj 2010 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel Den kurslitteratur som använts under kursen, samt egna anteckningar, programlistningar och böcker. Dock inga egna disketter eller CD-ROM. Tentamen består av 12 uppgifter. I katalogen W:\PROV\DM finns Kursbunten (pdf), Lathund i Maple (pdf) samt någon/några filer du kan komma att behöva för att lösa någon/några av uppgifterna. För varje uppgift med korrekt svar får du 2 poäng. Dessa poäng läggs till dina laborationspoäng. Du redovisar normalt svaret, i form av ett tal eller en lista med tal. Dessutom beskriver du (inte alltför detaljerat) hur du kommit fram till svaret Så här skulle betygsskalan sett ut om det varit en tentamen A B C D E 24-21 20-19 18-17 16-13 12-10 Håkan Strömberg 1 KTH STH

Uppgift 1 Bestäm n ( ) n ( 1) i (n+1 i) n i i=0 för n = 1...10 och uttryck resultatet som en formel med hjälp av n. Svar: n! f[n_:=sum[(-1)^ibinomial[n,i(n+1-i)^n,{i,0,n} Table[f[n,{n,1,10} Man bör nu känna igen dessa tal Uppgift 2 1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800 Fyll i frågetecknen med uttryck i s och n så att likheten gäller ( ) n =? ( ) n 1 s? s 1 Svar: f[n_,s_:=binomial[n,s/binomial[n-1, s-1 Efter några exekveringar med slumpmässiga n > s ser man att svaret ska vara ( ) n = n ( ) n 1 s s s 1 Uppgift 3 Siffersumman hos talet 2739726 är 36. Så även för 2739726 n där n är ett heltal 1 n x. Bestäm den övre gränsen x i detta intervall. Lösning: Siffersumman är 36 för alla n = 1... 72 f[n_ := Block[{ok = True, tal = n, i = 1, s}, While[True, s = Total[IntegerDigits[tal; If[s == 36, i++; tal = i *n, Break[; ; i - 1 Håkan Strömberg 2 KTH STH

Uppgift 4 Ekvationen x 3 3x+1 = 0 har rötterna x 1,x 2 och x 3. Vilka rötter har då ekvationen Lösning: Genom 1 x x 1 + 1 x x 2 + 1 x x 3 = 0 r = Solve[x^3-3 x + 1 == 0 löser vi ekvationen. Rötterna, med komplicerade uttryck, hamnar i listan r. Vi kan så lösa den givna ekvationen genom r1 = r[[1, 1, 2; r2 = r[[2, 1, 2; r3 = r[[3, 1, 2; Solve[1/(x - r1) + 1/(x - r2) + 1/(x - r3) == 0 som ger rötterna x 1 = 1,x 2 = 1 Uppgift 5 Adam har ordnat sina stenkulor i tre högar. De två första högarna innehåller tillsammans 7 kulor mindre än den tredje. Sedan han flyttat över, från den andra till den tredje högen lika många kulor som den första högen innehåller, kommer den dubbla kvadraten på den andra högens antal att överskjuta produkten av första och tredje högens antal med 293. Hur många kulor fanns från början i varje hög? Lösning: Antag att det finns a,b,c kulor i första, andra respektive tredje högen. Vi får ett ekvationssystem av diofantiska ekvationer { a+b+7 = c 2(b a) 2 = a(c+a)+293 Reduce[{a+b+7 == c, 2(b-a)^2 == a(c+a)+293}, Integers (a == -65 && b == -162 && c == -220) (a == -3 && b == -16 && c == -12) (a == 5 && b == -8 && c == 4) (a == 51 && b == 130 && c == 188) (a == 95 && b == -2 && c == 100) (a == 577 && b == 1444 && c == 2028) Eftersom a,b 0 får vi två lösningar: (a = 51,b = 130,c = 188) och (a = 577,b = 1444,c = 2028) Håkan Strömberg 3 KTH STH

Uppgift 6 Betrakta meningen nedan, som i andra raden skrivits om genom att flytta sista bokstaven längst bak i varje ord 1. DISKRET MATEMATIK ÄR INTRESSANT 2. ISKRETD ATEMATIKM RÄ NTRESSANTI 3. SKRETDi TEMATIKMA ÄR TRESSANTIN På vilken rad kommer den ursprungliga meningen för första gången att dyka upp igen? Lösning: LCM[7, 9, 2, 10 På den 631:e raden Uppgift 7 lcm(7,9,2,10) = 630 Adam påstår att han är bra i diskret matematik. Han påstår att sannolikheten att han ska klara en given uppgift är p = 3 4. Bertil som tvivlar, satsar 100 kr på att han högst kommer att klara 8 uppgifter av 10 utvalda. Bestäm sannolikheten att Adam kommer att vinna de 100 kronorna. Lösning: Sum[Binomial[10,i(3/4)^i (1/4)^(10-i), {i,8,10} // N 10 p = i=8 ( 10 i )( 3 4 ) i ( ) 1 10 i 0.526 4 Håkan Strömberg 4 KTH STH

Uppgift 8 Bestäm n och r (med n så litet som möjligt) så att ( ) ( ) ( ) 13 13 13 +2 + 5 6 7 = ( ) n r Lösning: Det vänstra ledet har summan 6435. Genom denna lilla snutt Binomial[13, 5 + 2 Binomial[13, 6 + Binomial[13, 7 6435 For[i = 1, i <= 30, i++, For[j = 1, j <= i, j++, If[Binomial[i, j == 6435, Print[{i, j} {15,7},{15,8} får vi svaret ( 15 7) eller ( 15 8). Uppgift 9 Ur mängden M = {1,2,3,4,5} kan vi bilda 2 5 delmängder, allt från φ till M. Delmängderna φ, {4}, {2,5} och {1,3,5} innehåller inga konsekutiva (på varandra följande heltal). Ta reda på hur många sådana delmängder det finns för M = {1,2,...,n}. Beräkna antalet för olika värden på n och försök sammanfatta dina resultat med ett känt uttryck. Lösning: För n = 1,2...16 får vi 2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584 vilket torde räcka för att hitta att resultatet är F n+2. f[n_ := Block[{L, M, i, j, k, t, ok, antal = 0}, L := Range[n; For[j = 0, j <= Ceiling[n/2, j++, M = KSubsets[L, j; For[k = 1, k <= Length[M, k++, t = M[[k; ok = True; For[i = 1, i < Length[t, i++, If[t[[i + 1 == t[[i + 1, ok = False; Break[; ; If[ok, antal++; ; antal Håkan Strömberg 5 KTH STH

Uppgift 10 Figur 1: Adam, som bor i A, står inför en resa. Han ska besöka samtliga platser, på kartan i figur 1 markerade B,C,...J. och återvända hem igen. Hans mål är att göra det så billigt som möjligt. I tabellen nedan anges biljettkostnaderna mellan de platser som har flygförbindelse. De som saknar förbindelse har priset markerats med 0 kr. A B C D E F G H I J A 0 1424 0 2955 0 2318 1513 0 776 2341 B 1424 0 1188 2098 1748 2078 0 1679 0 0 C 0 1188 0 1168 1220 0 0 1978 1676 0 D 2955 2098 1168 0 676 1156 0 0 0 0 E 0 1748 1220 676 0 591 0 0 0 0 F 2318 2078 0 1156 591 0 1372 944 1837 723 G 1513 0 0 0 0 1372 0 630 0 992 H 0 1679 1978 0 0 944 630 0 1153 947 I 776 0 1676 0 0 1837 0 1153 0 0 J 2341 0 0 0 0 723 992 947 0 0 Bestäm Adams billigaste resrutt. Till ditt förfogande finns grafen i lämpligt format på filen karta2.txt Håkan Strömberg 6 KTH STH

Lösning: e={{1,2},{1,4},{1,6},{1,7},{1,9},{1,10},{2,3},{2,4},{2,5}, {2,6},{2,8},{3,4},{3,5},{3,8},{3,9},{4,5},{4,6},{5,6}, {6,7},{6,8},{6,9},{6,10},{7,8},{7,10},{8,9},{8,10}}; v={1424,2955,2318,1513,776,2341,1188,2098,1748, 2078,1679,1168,1220,1978,1676,676,1156,591, 1372,944,1837,723,630,992,1153,947}; g = FromOrderedPairs[e, Type -> Undirected g = SetEdgeWeights[g, v p = TravelingSalesman[g {1,2,3,4,5,6,10,7,8,9,1} CostOfPath[g, p 9321 Han kommer undan med 9321 och rutten ser ut så här (1,2,3,4,5,6,10,7,8,9,1), alltså A,B,C,D,E,F,J,G,H,I,A eller i andra riktningen Uppgift 11 En av vägverkets sandbilar är ute för att sanda kommunens vägar, se figur 1. Är det möjligt att starta i en stad och och färdas utefter samtliga vägar exakt en gång? Om inte, hur många nya vägar behöver man bygga för att det ska vara möjligt då man inte behöver börja och sluta på samma plats? Hur många nya vägar behöver man bygga för att kunna börja och sluta på samma plats? Ange de nya vägarna genom par (plats,plats). Till ditt förfogande finns grafen i lämpligt format på filen karta1.txt Lösning: Om man startar i C finns eulersk path som slutar i D (och tvärt om). För att kunna sluta i samma stad som man börjar måste man bygga två vägar så att gradtalet hos C och D båda blir jämna. Eftersom det redan finns en väg mellan C och D får man bygga vägarna via en tredje stad vilken som helst. Håkan Strömberg 7 KTH STH

Uppgift 12 Vi har 2n apelsiner, 2n bananer och 2n citroner som vi ska fördela mellan två personer, så att de får 3n frukter var. Inom varje sort är frukterna identiska. På hur många sätt kan fördelningen ske? Svaret kan ges som ett polynom p(n) = x n 2 + y n + z där du ska bestämma x,y och z. Lösning: Genom funktionen f[n får vi reda på hur många olika fördelningar det finns. Genom Fit hittar vi så ett andragradspolynom f[n_:=block[{t,s,antal}, t=flatten[table[{a,b,c},{a,0,2n},{b,0,2n},{c,0,2n},2; s=map[total,t; antal=length[select[s,3n==#&; antal data=table[f[i,{i,1,10} {7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331} Fit[data,{1,x,x^2,x^3},x 1.+3.x+3.x^2+6.56714*10^-16 x^3 Svar: p(n) = 3n 2 +3n+1 Håkan Strömberg 8 KTH STH