10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så påstår vi att vi kan skriva om ekvationen som e G(x) y (x) + g(x)e G(x) y(x) = e G(x) h(x) Vi kommer ihåg regeln för derivering av produkt D(u v) = u v + u v Med den regeln kan vi nu derivera ( ) D e G(x) y(x) = e G(x) g(x)y(x) + e G(x) y (x) Detta är ju inget annat än vänstra ledet i den omskrivna ekvationen ovan. Alltså kan vi nu skriva d ( e G(x) y(x) ) = e G(x) h(x) Så då skriver vi om uttrycket och integrerar båda sidor ( d e G(x) y(x) ) = e G(x) h(x) och får först e G(x) y(x) = e G(x) h(x) och sedan y(x) = e G(x) e G(x) h(x) Vi kastar oss direkt över ett exempel Exempel 1. Lös y + 2xy = 4x Då g(x) = 2x och h(x) = 4x kan vi använda formeln. Vi får G(x) = x 2 y(x) = e x2 4xe x2 Här får vi en jobbig integral, som vi kan lösa genom substitution. Först kommer vi ihåg: Håkan Strömberg 1 KTH Syd
10.1. LINJÄRA FÖRSTA ORDNINGENS DIFFERENTIALEKVATIONER Sats 1. Antag att funktionen y = f(t) har en primitiv funktion F(t) och att funktionen t = g(x) är deriverbar. Då gäller f(g(x))g (x) = f(t)dt = F(t) + C = F(g(x)) + C Använder vi den på vår integral får vi t = x 2 och F(t) = e t som ger resultatet F(x) = 2e x2. Det är ju enkelt att se att F (x) = 4xe x2. Tillbaka till vårt problem. Vi skriver nu ( ) y(x) = e x2 2e x2 + C y(x) = 2 + Ce x2 Svar: y(x) = 2 + Ce x2 Maple Man får samma resultat när man använder Maple! dsolve(diff(y(x),x)+2*x*y(x)=4*x,y(x)) e G(x) kallas den integrerande faktorn IF, med vilken vi ska multiplicera både vänster- och högerled. Några exempel till: Exempel 2. Lös lnx y + 1 x y = 1 x Först måste vi göra y fritt och dividerar båda sidor lnx. y + 1 x lnx y = 1 x lnx Vad är nu G(x)? Eftersom g(x) = 1 xln x är G(x) = ln lnx. Jag var tvungen att ta hjälp av Maple för att hitta G(x) (förlåt). e ln ln x = lnx. Vänstra ledet är så när vi nu integrerar båda leden får vi Svar: ( e ln ln x y + 1 ) x lnx y = e ln ln x 1 x lnx D ( e ln ln x y ) = D(lnx y) lnx y = e ln ln x lnx y = lnx + C y = 1 + C lnx y = 1 + C lnx 1 x lnx Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Maple dsolve(log(x)*(diff(y(x),x))+y(x)/x=1/x,y(x)) Upprepning är pedagogikens moder. Vi tar ett exempel till Exempel 3. Lös y xy = x g(x) = x och G(x) = x2 2. Man adderar inte något C i detta läge. IF = e x2 2 Detta uttryck ska vi nu multiplicera båda leden med. e x2 2 ( y xy ) = xe x2 2 Det vänstra ledet är som tidigare Så när vi integrerar båda leden får vi e x2 2 ) D (e x22 y y = xe x2 2 Högerledet ger med hjälp av substitution t = x2 2 x = 2t dt = 1 = dt 2t 2t Nu kan vi skriva om integralen 2te t dt = e t dt = e t + C = e x2 2 2t + C DE har nu följande status e x2 2 y = e x2 2 + C y = e x 2 + C 2 e x2 2 y = 1 + Ce x2 2 Svar: y = 1 + Ce x2 2 Ett till, sedan kan vi det här Håkan Strömberg 3 KTH Syd
10.1. LINJÄRA FÖRSTA ORDNINGENS DIFFERENTIALEKVATIONER Exempel 4. Lös y + 2 x y = x g(x) = 2 x som ger G(x) = 2lnx. Vi multiplicerar båda sidorna med x 2 och får IF = e 2ln x = e ln x2 = x 2 x 2 (y + 2 y) = x3 x När vi nu integrerar båda sidorna vet vi att vänstra sidan blir x 2 y x 2 y = x 3 x 2 y = x4 4 + C Till sist får vi Den var ju lätt! Svar : Ett litet trick Exempel 5. Lös y = x2 4 + C x 2 y = x2 4 + C x 2 y + 3y = 2 Plötsligt en andra ordningens DE! Eftersom y-term saknas kan vi substituera y = z och på det vis överföra den till en första ordningens DE. z + 3z = 2 g(x) = 3 ger G(x) = 3x IF = e 3x som vi multiplicerar båda leden med e 3x (z + 3z) = 2e 3x Vi får e 3x z = 2e 3x e 3x z = 2 3 e3x + C z = 2 3 + Ce 3x Sen då? Vi måste integrera z för att få y 2 z = 3 + Ce 3x = 2x 3 Ce 3x + D 3 Svar: y = 2x 3 Ce 3x 3 + D Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Exempel 6. En behållare innehåller 100 dl destillerat vatten. Saltsyra med koncentrationen 8 g/dl tillförs med hastigheten 3.0 dl/min. Samtidigt tappas 3.0 dl/min av den väl blandade lösningen ur. Beräkna mängden saltsyra i behållaren som funktion av tiden. Låt y(t) vara mängden saltsyra i behållaren. Tillförd mängd är 3.0 dl/min 3.0 g/min = 9.0 g/min. Bortförd mängd är = 3 y(t) 100 g/min. Vi får dy dt = 9.0 3y 100 y(0) = 0 det vill säga y + 0.03y = 9 y(0) = 0 Eftersom vi nu är ganska bra på att lösa linjära differentialekvationer av första ordningen bör det gå ganska snabbt att finna lösningen till denna. g(x) = 0.03 ger G(x) = 0.03x och IF = e 0.03x e 0.03t y + e 0.03t 0.03y = e 0.03t 9 d ( e 0.03t y ) = 9e 0.03t dt e 0.03t y = 9e 0.03t dt e 0.03t y = 9 0.03 e0.03t + C y = 300 + Ce 0.03t y(0) = 0 ger Svar: y(t) = 300 ( 1 e 0.03t) 0 = 300 + c 1 C = 300 Problem 1. Lös y y = 0 Problem 2. Lös y y = x Håkan Strömberg 5 KTH Syd
10.1. LINJÄRA FÖRSTA ORDNINGENS DIFFERENTIALEKVATIONER Problem 3. Lös xy y = x x > 0 Problem 4. Lös x 2 y + xy = x 3 x > 0 Problem 5. Vi har DE Ay + By = C där A,B och C är numeriska konstanter. Ta fram en formel där man genom att sätta in värden på A,B och C direkt får svaret. Kan du den utantill får du använda den på KS:en (Jag lovar att det kommer en sådan uppgift) Problem 6. Vi har DE f(x)y + g(x)y = h(x) Hitta på funktioner f(x),g(x) och h(x) och lös uppkommen DE med hjälp av Maple. Använd de elementära funktionerna och polynom. Det är tillåtet att använda f(x) = 1. Hur lätt tycker du att det är att hitta DE med begripligt svar? Om du hittar en så lämna in den som förslag till KS:en Svar 1. y = Ce x Svar 2. y = Ce x x 1 Svar 3. y = x lnx + Cx Svar 4. y = x2 3 + C x Håkan Strömberg 6 KTH Syd