SAL: Egypten TENTAMEN I TSRT09 REGLERTEORI TID: 208-08-28 kl. 4:00 8:00 KURS: TSRT09 Reglerteori PROVKOD: DAT INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Daniel Axehill, tel. 03-284042, 0708-783670 BESÖKER SALEN: cirka kl. 5:00 och 7:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 03-284725, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL:. T. Glad & L. Ljung: Reglerteori. Flervariabla och olinjära metoder 2. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori 3. Tabeller, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook C. Nordling & J. Österman: Physics handbook S. Söderkvist: Formler & tabeller 4. Miniräknare LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum 208-09-4, kl. 2.30 3.00 på examinators tjänsterum, B-huset, mellan ingång 23 och 25, A-korridoren. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. All egen skriven kod som används ska skrivas ut och lämnas in med tentan. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
UTSKRIFTSTIPS (LINUX): Utskrifter av vanliga filer kan skickas till en viss skrivare genom att man skriver kommandon som till exempel lp -d printername file.pdf i ett terminalfönster. (Byt ut printername mot den aktuella skrivarens namn.) Om man väljer File/Print i ett simulinkschema kan man ange en viss skrivare genom att lägga till -Pprintername i rutan vid Device option. AID ska finnas på samtliga inlämnade blad: Man kan lägga in text i matlabplottar med kommandona title och gtext och i scopeplottar i Simulink genom att högerklicka i dem och välja Axes properties. I simulinkscheman kan man dubbelklicka på något blankt ställe och sedan skriva in text. 2
. (a) Vilken RGA har systemet [ 2 s+5 s+ 0 3 s+4 ] vid frekvensen ω = 0? Hur bör in- och utsignaler paras ihop? (2p) (b) Ett flervariabelt system har överföringsfunktionen G(s) = [ 2s+ (s+)(s+3) s+ ] s+3 s+2 Vilka poler och nollställen har systemet? Kommer dessa poler och nollställen att ge några principiella begränsningar när systemet skall regleras? I så fall ange konkret vad de innebär. (c) Betrakta ett stabilt linjärt system på formen ẋ = Ax med två tillstånd x och x 2. I figur återfinns ett fasplan som illustrerar tillstånden x (t) och x 2 (t) då t [0, 0], där ringarna markerar tillstånden i tidpunkterna t = 0,, 2,..., 0. Baserat på denna plott, skissa tidsplottarna (d.v.s. 2 st) för x (t) respektive x 2 (t) då t = [0, 0]. (d) En viktig begränsning för ett reglersystem är styrsignalbegränsningar. T.ex. kan dessa begränsa möjligheterna att reglera ut störningar. Modellprediktiv reglering (MPC) är en reglerstrategi som hanterar bivillkor/begränsningar på tillstånd och styrsignaler. Innebär användningen av en MPC-regulator att styrsignalbegränsningarna inte längre är ett problem för perfekt störningsundertryckning? Motivera noggrant varför eller varför inte så är fallet! (2p) 3
4 Fasplan 3 2 0 9 8 7 6 5 x 2 4 3 2 0 - -2-3 -4-5 -6-7 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 - 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x Figur : Fasplanet för tillstånden x och x 2. 4
2. Betrakta en olinjär förenklad modell av propeller-motor-dynamiken longitudinellt i propelleraxelns förlängning för en propeller och motor till en oktakopter (separerad från övriga farkosten) ẋ = ax + b(x + cx 2 )(cx 2 x ) ẋ 2 = dx 2 + u där x är propellerns hastighet relativt luften längs den räta linjen i propelleraxelns förlängning, x 2 propellerns rotationshastighet och u är spänningen till motorn, se figur 2. Konstanterna a, b, c och d antas vara kända. x 2 x Figur 2: Propeller som rör sig i axelns förlängning med hastigheten x och roterar kring samma axel med vinkelhastigheten x 2. (a) Välj en utsignal sådan att det relativa gradtalet blir 2. Visa att så är fallet genom att utföra lämpliga räkningar. (4p) (b) Ta fram en styrlag på formen u = (ū f (x))/f 2 (x) med potentiellt olinjära funktioner f (x) och f 2 (x) sådana att systemet blir exakt linjäriserat och får en ny virtuell insignal ū. (2p) (c) Ta fram en regulator som reglerar propellerns longitudinella hastighet x relativt luften ( farthållare ) genom att använda linjär IMC-teknik. Regulatorn ska styra systemet via ū. Stigtiden för det slutna systemet ska vara 0.3 s och den statiska förstärkningen. Din lösning ska innehålla en plott med ett stegsvar för slutna systemet från referens till hastighet där det tydligt framgår att kraven på stigtid och statisk förstärkning är uppfyllda. Om det krävs för din lösning kan du anta att a = b = c = d =. (4p) 5
3. I den här uppgiften ska vi studera en boll med massan m och radien r som studsar mot ett plant golv. Bollen kan befinna sig i två principiellt skilda situationer; A och B. I situation A rör den sig fritt i luften utan någon kontakt med omgivningen (golvet) med en dämpning från luftmotståndet som ger en kraft αẏ(t). Då ges dess dynamik av mÿ(t) = mg αẏ(t), y(t) > r där y(t) är avståndet mellan golvet och bollens centrum. I situation B har den kontakt med golvet och dess interaktion med det modelleras som en fjäder och dämpare. Dynamiken ges då i situation B av ( y(t) r mÿ(t) = mg β tan r π 2 ) γẏ(t), y(t) r där β är materialets fjäderkonstant och γ är materialets dämpningskonstant. Välj m =, g = 0, α = 0.2, β = 00, γ = 5 och r = 0.. r y y Figur 3: Boll med radie r som till vänster befinner sig i luften (situation A) och till höger är i kontakt med golvet där den deformeras temporärt (situation B). y anger i båda situationerna avståndet från golvet till bollens centrum. (a) Inför tillstånd x = y och x 2 = ẏ. Ange eventuella jämviktspunkter samt deras respektive typ (entangentnod, tvåtangentnod, sadelpunkt,...). (b) Skissa systemets fasplan. Ange tydligt de eventuella regioner med olika dynamik som det består av. (4p) (c) Vi inför nu en person som slår på bollen uppifrån med ett racket. Denna rörelse kan tänkas ske på ett sätt så att bollen vänder momentant på höjden m från marken och får hastigheten v 0 m/s. Rita ett nytt fasplan (ta hjälp av det gamla) för fallet att v 0 = 4 som beskriver bollens nya rörelse. I detta nya fasplan, skissa speciellt hur den limit-cycle som kommer att uppstå principiellt ser ut. 6
4. Betrakta nedanstående modell av ett likströmsmotorservo. Blocken G och G2 är linjära och ges av G = K s + 2, G2 = s(s + ) Blocket OL modellerar det faktum att effektförstärkaren använder olika transistorer beroende på om strömmens riktning är positiv eller negativ, och att dessa transistorer aldrig kan justeras så att nollövergången blir helt perfekt. Om u är olinjäritetens insignal och y dess utsignal så gäller följande samband. Lutningen i det linjära området är. (a) Visa att den beskrivande funktionen är Y OL (C) = + 4b πc (b) Anta att K väljs så att systemet är stabilt om OL ersätts med ett linjärt block med förstärkningen ett. Visa att närvaron av OL då ger en amplitudstabil självsvängning. (c) Låt b = 0.. Anta att det största acceptabla värdet på svängningsamplituden C är 0.. Vilket är då det största möjliga värdet på K? Vilken frekvens får självsvängningen? (4p) 7
5. Vi ska i den här uppgiften reglera en inverterad pendel placerad på en vagn som kan röra sig i sidled, för vilken en linjäriserad modell på tillståndsform kring pendelns övre läge ges av ẋ 0 0 0 x 0 ẍ φ = 0 0.88 2.6727 0 ẋ 0 0 0 φ +.882 0 u φ 0 0.4545 3.88 0 φ 4.5455 [ ] x 0 0 0 ẋ z = 0 0 0 φ φ där x anger vagnens avvikelse från en centrumposition i meter och φ anger pendelns avvikelse i radianer från det övre jämviktsläget. Reglerstorheten betecknas z. Styrsignalen u anger den på vagnen pålagda kraften i sidled. (a) Designa en LQ-regulator som minimerar kriteriet V = 0 z T (t)q z(t) + u T (t)q 2 u(t)dt (vi antar i (a) direkt mätta tillstånd, ingen observatör) för systemet sådan att det slutna systemet uppfyller [ följande] krav då systemet startas från initialtillståndet x 0 = 0 0 0 : Tid från att vagnens position x = 0.9 till att x = 0. ska vara mindre än.4 s. ẋ 0.8 för alla t. φ 0.75 för alla t. u 5 N för alla t. Redovisa din lösning genom att lämna in all den kod du använt för att lösa uppgiften samt plottar som visar att kraven är uppfyllda. (4p) (b) Visa (matematiskt, ej simulering) hur ett Kalmanfilter kan användas för att skatta tillstånden givet att vagnens position och pendelns vinkel mäts. Matematiskt ges mätningarna av y = Cx + v 2 där C är en matris som återspeglar den muntliga beskrivningen ovan och v 2 är normalfördelat vitt brus med intensiteten R 2. Din lösning ska åtminstone innehålla ett numeriskt exempel på en matris C, 8
observatören på tillståndsform, samt en beskrivning av hur observatörsförstärkningen kan beräknas. Visa också hur Kalmanfiltret kan utökas för att fullständigt reglera ut positionsfel resulterande av yttre lågfrekventa krafter som verkar på vagnen i sidled. (4p) (c) Ett val av straff i (a) sådant att straffen på andra och fjärde tillståndet väljs nollskilda medan straffen väljs till noll på första och tredje tillståndet ger problem. Förklara, utöver vad som står i själva felmeddelandet, varför problem uppstår! (2p) 9