Augusti, 5 Föreläsning Tillämpad linjär algebra Innehållet: linjen R, planet R, rummet R, oh vektor rummet R n Matriser punkter oh vektorer i planet, rummet, oh R n Linjen, planet, rummet, oh vektor rummet R n Ett reell tal kallas okså för en skalär Mängden av alla reella tal beteknas med R oh kallas för linjen a Ett par av reella tal beteknas med (a, b) eller, där a oh b är reella tal b Mängden av alla par av reella tal beteknas med R oh kallas för planet Ett trippel av reella tal beteknas med (a, b, ) eller a b, där a, b, oh är reella tal Mängden av alla trippel av reella tal beteknas med R oh kallas för rummet x x En sekvens a reella tal beteknas med (x, x,, x n ) eller x, där x, x,, x n är reella tal Mängden av alla n-sekvenser av reella tal beteknas med R n oh kallas för vektor rummet av dimension n Matriser Följande tabel av reella tal kallas för n k matris (n är antalet av rader oh k är antalet av kolonner): a a a k a a a k Till exempel: är matris är matris är matris a n a n a nk Punkter oh vektorer i planet En punkt eller en vektor i planet är bara ett element av planet, dvs ett par av reella tal Skillnad mellan en punkt oh en vektor
är geometrisk föreställning Vi föreställer en opunkt (a, b) i R som en prik eller litet kors i planet med koordinaterna (a, b) Punkten med koordinaterna (, ) kallas för origo oh beteknas med O a Vi tänker om en vektor v = som en riktad sträk mellan origo (, ) oh b punkten med koordinaterna (a, b) Vektor kallas för noll vektor i planet oh ofta beteknas med Vi okså använder följande notation: e = e = oh kallar { e, e } för standardbasen i R Punkter oh vektorer i rummet Liknade i rummet En punkt eller en vektor i rummet är bara ett element av rummet, dvsett trippel av reella tal Skillnad mellan en punkt A = (a, b, ) oh en vektor v = a b är geometrisk föreställning Vi tänker om en punkt som en punkt i R oh föreställer den som en prik eller litet kors i rummet med koordinaterna (a, b, ) Punkten med koordinaterna (,, ) kallas för origo oh beteknas med O Vi tänker om en vektor v = a b som en riktad sträk mellan origo (,, ) oh punkten med koordinaterna (a, b, ) Vektor beteknas med Vi okså använder följande notation: e = e = oh kallar { e, e, e } för standardbasen i R kallas för noll vektor i rummet oh e = 5 Punkter oh vektorer i R n En punkt eller en vektor i vektor rummet R n är bara ett element i R n, dvs en sekvens a-reella tal En punkt i R n beteknas med P = (x,, x n ) Punkt (,, ) kallas för origo oh beteknas med O An vektor i
R n beteknas med v = x x n Vektor med Vi okså använder följande notation: e = e = oh kallar { e, e,, e n } för standardbasen i R n kallas för noll vektor i R n oh beteknas e n = 6 Operationer med vektorer I Vad kan vi göra med vektorer? Vi kan ta längden av en vektor Längden av v, beteknas med v Längden kan beräknas med hjälp av Pythagorean sats som ger: a i R Låt v = v := a b + b Till exempel = + = 5 i R Låt v = a b v := a + b + Till exempel v v i R n Låt v = v := v + v + + v n = + + 9 = En vektor som har längden kallas för enhetsvektor Till exempel,,, os(α), är enhetsvektorer i planet, oh,, sin(α), är enhetsvektorer i rummet, Noll vektorn har längden Vi kan multipliera en vektor med ett reell tal Låt λ vara ett reell tal
a λa i R λ = b λb i R λ a b = λa λb λ x λx x λx i R n λ x n = Till exempel, λx n = 8, = 6 9 Märka okså att w = Märka att om v, då v är en enhetsvektor (vektor av längden ) v Hur kan vi föreställa vektor v? Rita vektor v Vektor v är den vektor som ligger på samma linjen som v, har samma längden som v men har motsatt riktning Två vektorer v oh w kallas för parallella om det finns ett skalär λ så att λ v = w 7 Uppgift Undersöka om vektorer oh Undersöka om vektorer oh 9 8 Uppgift Bestäm alla värde på a so att 9 Operationer med vektorer II a 8 6 R är parallella i R är parallella är parallell till 8 Vi kan addera två vektorer i R v w v + w Låt v = oh w = Då v + w = Vi kan v w v + w föreställa vektor v + w på följande sätt Rita parallellogram med vektorer v oh w som två sidor Då v + w är diagonalen av den parallellogram i R Låt v = v v oh w = Då v + w = v w w w v + w v + w v + w Vi har samma geometrisk föreställning av vektor addition i rummet Rita parallellogram med vektorer v oh w som två sidor Då v + w är diagonalen av den parallellogram
i R n Låt v = v v Vi kan subtrahera två vektorer i R n Låt v = oh w = w w w n Då v + w = v + w v + w + w n i R v w v w Låt v = oh w = Då v w = v w v w i R Låt v = v v oh w = w w Då v w = v w v w v w v w v w v w v w v w oh w = Då v w = w n w n Hur kan vi föreställa vektorn v w? Vi kan göra detta på två sätt: Hitta vektor w Rita parallellogram med sidorna v oh w Diagonalen av parallellogramet föreställer v w Märka att ( v w) + w = v Det betyder att vi kan föreställa v w på följande sätt Rita parallellogram med en sida w oh diagonalen v Den andra sidan av parallellogramet föreställer v w Proposition Längden har följande egenskaper: v oh v = om oh endast om v = λ v = λ v v + w v + w Till exempel, = = + + 9 = + = 7 = + 9 = 5 + = + + 9 + + 6 = + 7 Altså: 5 + 7 5 Låt v, v,, vara vektorer oh λ,λ,, λ n vara reella tal Uttryk: λ v + λ v + + λ n
6 kallas för en linjär kombination av vektorer v, v,, med koeffiienter λ,λ,, λ n Uppgift Bestäm linear kombination av,, med koeffiienterna, 5, oh / Uppgift Är det sant att all vektorer i R kan skrivas som linear kombination av vektorer e, e, oh e i den standardbasen av R? Operationer med punkter Vad kan vi göra med punkter? Vektorn mellan två punkter Om P = (p, p,, p n ) oh Q = (q, q,, q n ) P Q som har koordinaterna P Q = är punkter i R n, kan vi bygga en vektor q p q p Ibland föreställer vi vektorn P Q som en riktad sträk som börjar q n p n i P oh slutar i Q Vi säger att P Q är vektorn från P till Q Märka att P Q = QP VIKTIG: vi kan inte addera eller subtrahera punkter, eller multipliera en punkt med ett tal Vi kan bra ta vektor från en punkt till en annan punkt Vi kan beräkna avståndet mellan två punkter Avståndet mellan punkter P oh Q är definierat som längden av vektor (, ) oh (, ) är ( ) + ( ) = QP Till exempel avståndet mellan 5 Uppgift Hitta koordinaterna av vektor från punkt (,, ) till (,, 5) oh beräkna avståndet mellan punkterna 6 Operationer med punkter oh vektorer Vi kan addera en vektor till en punkt oh få en punkt i R v Låt P = (p, p ) vara en punkt oh v = vara en vektor i planet v Vi definierar P + v som en punkt i planet med koordinaterna: P + v := (p + v, p + v ) Vi kan föreställa punkten P + v på följande sätt: flytta punkten P i riktning av vektor v Till exempel om P = (, ) oh v = då P + v är en punkt som har koordinaterna P + v = (, )
i R Likadana i rummet Låt P = (p, p, p ) vara en punkt oh v = v vara en vektor i rummet Vi definierar P + v som en punkt i rummet med koordinaterna: P + v := (p + v, p + v, p + v ) Vi kan föreställa punkten P + v på följande sätt: flytta punkten P i riktning av vektor v i R n Låt P = (p,, p n ) vara en punkt oh v = vara en vektor i R n Vi definierar P + v som en punkt i R n med koordinaterna: Märka att P + P Q = Q P + v = (p + v,, p n + ) v v v 7