Tentamensproblem i Matematik β Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström 25 maj 24
. Derivator. För vilka värden på den reella konstanten a gäller att x 3 5x 2 +3x +3 a för alla x? jan 96:4 2. Skissera grafen till funktionen f(x) = x2 2 x x 2 +2 x. Ange särskilt lokala extrempunkter, ungefärliga skärningar med x-axeln samt eventuella asymptoter. jan 96:7 3. Låt p(x) vara ett reellt polynom av grad n. Visa att ekvationerna p(x) =lnx, x > och p(x) =ln x, x har högst n + respektive n + 2 reella rötter. jan 96:8 4. a) Avgör för vilka värden på konstanten c den kubiska parabeln y = x 3 2x 2 +2x+c tangerar x-axeln i en punkt. (3 p.) b) Iförekommande fall ange, om det är fråga om ett lokalt maximum eller ett lokalt minimum eller något annat. (2 p.) dec 95:3 5. Visa att för x> är 4x 3 arctan x>2ln ( +x 2). aug 95:2 6. Rita funktionen f(x) = x2 e x x 2 + e x. Ange lokala extrempunkter samt eventuella asymptoter. maj 95:4 7. Rita kurvan y = 2 ln ( 2x 2 2x + ) + arctan 2x.Angesärskilt eventuella lokala extrempunkter och asymptoter. maj 95:5 8. Rita kurvan y = ex x 2 3.Angesärskilt eventuella lokala extrempunkter och asymptoter. dec 94:3 9. Låt f(x) = arctan x x arctan 2x. a) Beräkna f (x). b) Bestäm x + f(x) respektive x f(x). c) Vad är f(x) då x< 2, 2 <x< respektive x>? dec 94:5. Visa att x> ex e x +, x >. aug 94:3
. Ange värdemängden till funktionen f definierad genom f(x) = arctan x + 2 +2x. aug 94:5 2. Låt n vara ett positivt heltal och visa att ekvationen e x + x n =3 har precis en positiv rot x = a n.visaatta n har ett gränsvärde då n och bestäm detta. jun 94:8 3. Visa att arctan x> x +x 2 /3 för x>. maj 94:2 4. För vilka värden på den reella konstanten a gäller för något δ > olikheten ( + x) a > +3x när <x<δ? 5. Visa att sin x tan x + 2 ln cos x> då <x<π/2? jan 94:8 dec 93:3 6. Ange för varje värde på den positiva konstanten a antalet punkter på kurvan y = 4x ln x 3 som har avståndet a till origo i ett ortonormerat koordinatsystem. jun 93:7 7. Skissera grafen till funktionen f(x) = x + 2 arctan x och angiv särskilt eventuella lokala extrempunkter till f samt asymptoter till grafen. jan 93:2 8. Låt a och b vara positiva tal. Hur lång är den kortaste sträcka genom origo (i ett ortonormerat koordinatsystem) som har sin ena ändpunkt på linjen y = b och sin andra ändpunkt på linjen x = a? jan 93:7 9. Visa att ekvationen x + x n = för varje positivt heltal n har exakt en lösning x = a n i intervallet ], [ och bestäm a n. n jan 93:8
2. Visa att x 2 +2lnx +3> 4x då x>. dec 92:2 2. Funktionen f är deriverbar på intervallet [, ], och för alla x [, ] gäller < f(x) + f (x) < 2. Visa att f har högst ett nollställe i [, ]. dec 92:8 22. Bestäm antalet reella rötter till ekvationen 2 arctan x + x 2 =. aug 92:4 23. Ange för varje värde på a hur många linjer som går genom punkten (a, ) och tangerar kurvan x y = +x 4 i någon punkt. jun 92:7 24. Rita kurvan x x +3 y = e x. Ange alla eventuella lokala extrempunkter, terrasspunkter och asymptoter. maj 92:2 25. I ett koordinatsystem är A =(, ) och B =(, 2). Var på positiva x-axeln ska punkten P ligga för att vinkeln AP B ska bli maximal? maj 92:7 26. Visa att för varje reellt värde på konstanten a har ekvationen x 4 +2ax a = 2 minst en rot i det slutna intervallet [, ]. jan 92:7 (x 2 =4. 27. Visa att e x cos x>då<x< π 3. jan 92:5 28. Bestäm antalet reella lösningar x till ekvationen 2 arctan x + +) jun 9:3 29. Visa att tan x +ln ( cos 2 x ) > då <x< π 2. dec 9:4 3. Bestäm värdemängden till funktionen f definierad genom 3. Visa att f(x) = arctan x + x2 x +2 x 2. + 2xe x <e 2x för x>. aug 9:5 aug 9:7
32. Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet tangenter till kurvan y = xe x2 som skär x-axeln då x = a. jun 9:8 33. Visa att x 2x < arctan x< +x +x om x>. maj 9:4 34. Bestäm för varje värde på den reella konstanten a antalet skärningspunkter mellan kurvan y = x 3 +7x 3 och parabeln y = ax 2. maj 9:6 35. Visa att x + 3 x 3 8 4, x >. x jan 9:2 36. Funktionen f är given av f(x) = x4 + x 2 x2 +3x +2. Bestäm först dess definitionsmängd och sedan dess asymptoter. jan 9:6 37. Hur många lösningar har ekvationen x 4 kx 3 +5x 2 4 3 = för olika k-värden. dec 89:4 38. Visa att arctan x2 = 2 arctan x + C då x> 2x där C är en konstant. Bestäm också konstantens värde. aug 89:3 39. a) Ange tangenten till kurvan y = +x 2 i den punkt på kurvandär x = a. b) För vilka värden på b skär en tangent till kurvan y-axeln i den punkt där y = b? aug 89:6 4. Bestäm för varje värde på konstanten a antalet lokala extremvärden till kurvan y = ( x 2 + ) arctan x + ax 2. maj 89:8 4. Visa att x + < arctan x < 2 x + då x>. jun 88:3
42. a) Rita kurvan y = x ln x, x >. b) Ange normalen till kurvan i punkten (a, a ln a), a >. c) Bestäm för varje punkt (k, ) på x-axeln antalet normaler som går genom denna punkt. maj 88:6 43. För vilka reella tal x gäller olikheten ln x< x x? dec 87:5 44. Rita kurvan y = x2 +4 x2 +6. Ange eventuella asymptoter och lokala extrempunkter. jun 87:2 45. Ange för varje värde på den reella konstanten a antalet skärningspunkter mellan kurvan y =lnx, x >, och den räta linjen y = ax. jan 87:4 46. Visa att e< ( + ) x 2 +x+ 2 x då x>. jan 87:8 47. Bevisa att då x> är ( ) 2 arctan x2 x = C + arctan x 2 för någon konstant C. Bestäm också denna konstant och ange arctan ( 2 3 ). dec 86:2 48. Visa att funktionen ( x 2 + x ) ( /2 ln + ) x är strängt avtagande för x>ochatt ( + ) x 2 +x <e. x dec 86:3 49. Hur många punkter har kurvan y = x 3 6x 2 gemensamma med parabeln y = x 2? dec 86:4 5. Genom ekvationen y 3 +3 ( x 2 ) y 2x 3 = definieras y som en deriverbar funktion av x för x. Bestäm denna funktions minsta värde. aug 86:6
5. Undersök funktionen f(x) =x + +x 2 arctan x med avseende på lokala extremvärden och asymptoter samt upprita funktionens graf i dess huvuddrag. maj 86:4 52. Rita kurvan y = x 8+2 x 2 x + 7 med angivande av eventuella extremvärden och asymptoter. jan 86:5 53. Visa att funktionen är avtagande för x>ochatt ( ln + ) ( x + ) x 2 e< ( + ) x+ 2, x >. x 54. Hur många lokala extrempunkter har funktionen jan 85:3 f(x) =x 2 + ax + x, x för olika val av den reella konstanten a? jan 85:5 55. Rita kurvan y = f(x) = 3x 2 +5 x 2 +. Ange därvid alla lokala extrempunkter till f och bestäm eventuella asymptoter till kurvan. maj 84:6 56. Rita kurvan y(x) =(+x) 2 e x, x R. Hur ser kurvan ut nära x =? jan 84:4 57. Visa att ekvationen e /x = nx har precis en lösning a n för varje n =, 2, 3,... Visa att a n ln n då n. jan 84:8 58. Hur många lösningar har ekvationen e x + x e x x = k för olika val av den reella konstanten k? jan 83:2 59. Visa att om x>så är ln (x +) ln x = x + θ där <θ< 2. jan 83:8
6. a) Bestäm en ekvation för normalen i punkten P = ( h, e h h ) till kurvan y = e x x. b) Låt Q vara den punkt där normalen skär y-axeln. Bestäm gränsläget av Q då P närmar sig (, ). aug 8:4 6. Bestäm vinkeln α, α<π/2, så att arean av det skuggade området blir så liten som möjligt. y α x x 2 + y 2 = maj 79:5
2. Integraler 2. Beräkna integralen x arctan xdx. jan 96: 22. Beräkna följande integraler: a) (2x +)eax dx där a är en konstant (2p), b) (2x +)3x dx (3 p). dec 95: 23. Beräkna integralen π/2 x 2 cos xdx. 24. Visa att < n k= k 2 < 2 aug 95: för varje n 2. aug 95:5 25. Bestäm det x>för vilket integralen x t +t 2 dt är som störst. maj 95: 26. Beräkna integralen dx (x +)(x 2 + x +). maj 95:3 27. Beräkna integralen 4 ln ( + x ) dx. maj 95:5 28. Visa att för n =, 2, 3,... (D ( sin x x ( ) sin x x D n = x n x 29. Bestäm alla primitiva funktioner till ( t n sin t + n π ) dt 2 ) = sin x x.) dec 94:8 +x x ( + x 2 ) x>. aug 94:4
2. Visa att n k= k 2 +2k +5 < π 4 för varje positivt heltal n. jun 94:6 2. Ange alla primitiva funktioner till (arcsin x) 2. jan 94:6 22. Beräkna integralen 2 x + x dx. dec 93: 23. Kurvan y =/ ( +x 2), x-axeln samt linjerna x = a och x =/a,där a är ett godtyckligt talmellanoch,begränsar ett ändligt område. Bevisa, att arean av detta område delas mitt itu av linjen x =. (Denna uppgift gavs i studentexamen november 96.) dec 93:6 24. Beräkna 25. Beräkna 2 ln ( + x + x ) dx. n n k= ( k + n ) 2. aug 93:3 aug 93:6 26. Beräkna integralen x + x dx. jan 93: 27. Beräkna integralen 2 3 dx x 2 +4 x +4. dec 92: 28. Visa att n ( k 2 + ) e k < 3 k= för varje n Z +. dec 92:5 29. Beräkna integralen 4 x +2x dx. jan 92:
22. Visa olikheten n k= k 2 k 3 + > 2 + 3 ln ( n 3 +3n 2 +3n +2 ) 2 3 ln 3 för varje n =2, 3, 4,... dec 9:6 22. Beräkna x 2 + x 2 dx. dec 9:7 222. Beräkna integralen π/2 sin x + cos 2 x dx. aug 9:2 223. Beräkna integralen π/2 cos x 2 dx. maj 9: 224. Visa att N k= 2k (+N +k 2 ln + 2 ) N 2 för N =, 2, 3,... maj 9:5 225. Beräkna 2 dx x ( + x) 2. aug 9:2 226. Visa att 227. Beräkna 228. Bestäm 4 n n 99 k= k 8. ln ( x + x ) dx. 3n k=n+ k n +. n k aug 9:4 maj 9:3 dec 89:5
229. Beräkna π/2 e 2x sin xdx. aug 89:2 23. Beräkna volymen av den kropp som uppkommer när kurvan y = xe x, x roterar kring x-axeln. jun 89:3 23. Beräkna 2n n k=n k +k 2 t.ex. genom att uppskatta summan uppåt och nedåt. jun 89:6 232. Beräkna volymen av den kropp som uppstår då kurvan y = ( + x) x, x 2 roterar kring x-axeln. maj 89:3 233. Beräkna arean av det område i planet som begränsas av y-axeln, kurvan y =cosx och kurvans normal för x = π/3. jan 89:4 234. Bestäm en primitiv funktion till f(x) = 2 x (x 2 +2x +2), x >. aug 88:4 235. Beräkna integralen 2 3x +2 x 2 (x +2) dx. jan 88:3 236. Beräkna integralen x 2 +2x +2 x 2 2x +2 dx. jun 87:4 237. Bestäm alla primitiva funktioner till ( e x ). maj 87:2 238. Beräkna n 2 +6n k. n k=n 2 maj 87:6
239. Visa att π/2 dx + cos α sin x = α sin α, <α π 2. maj 87:7 24. Bestäm då n gränsvärdet av summan n arctan k n 2. k= jan 87:6 24. Bestäm alla primitiva funktioner till f(x) = x2 +2x (x +) 2 (x 2 +). maj 86: 242. Beräkna 8 3 x ( + +x ) dx. dec 85:3 243. a) Visa att b) Beräkna 244. Beräkna integralen 245. Beräkna integralen π/2 ln (sin 2x) dx =2 π π/2 π/2 ln (sin x) dx. ( x 2/3) 3/2 dx. sin x 2 dx. ln (sin x) dx + π ln 2. 2 dec 85:8 jan 85:7 jan 85:2 246. Bestäm det x>för vilket integralen x t dt +t är som störst. maj 84:
247. Visa att 99 k 666. 248. Beräkna integralen k= π/2 x sin 3 xdx. maj 84:5 jan 84:3 249. Visa att x e t2 dt x + x3 3 då x. maj 83:6 25. Beräkna integralen 25. Visa att 252. Rita kurvan 2 arcsin xdx. t ( t t + dt =ln 2+ ) 3 π/3. y = 2 x ( 2 x 2 ) 4, x, aug 83:6 jan 83:5 och beräkna volymen av den kropp som uppstår då kurvan roterar kring x-axeln. jan 83:5 253. För vilket heltal N är N< 6 k=8 k <N+? jan 83:6 254. a) Beräkna b) Beräkna c) Visa att t 4 ( t) 4 dt. t 4 ( t) 4 +t 2 dt. 22 7 63 <π<22 7 26. aug 82:7
255. Beräkna π/2 x (sin x) 2 dx. aug 8: 256. Beräkna arctan x /3 dx. maj 96:2 257. Beräkna arctan xdx. aug 96:2 258. Beräkna 9 x 4 x dx. maj 97:2 259. Beräkna integralen 3 x 2 +2x + x 3 + x dx. aug 98:2
3. Taylors formel 3. Bestäm konstanten a såattgränsvärdet ( x cos x a x 2 existerar ändligtsamtberäkna gränsvärdet för detta värde på a. jan 96:3 32. Bestäm konstanten a så, att gränsvärdet x ( sin 2 x a x 2 existerar, samt beräkna detsamma i detta fall. dec 95:4 33. Beräkna gränsvärdet 34. Beräkna gränsvärdet ) ) ( x x 2 ) tan 2. x ( x arctan 2 x sin 2 x ). aug 95:3 maj 95:2 35. Beräkna ( 5 x5 + 3 ) x 3 + x 2. x maj 95:6 36. Beräkna gränsvärdet då x av ( ) +x 2 /2 cos x y = x sin x ln ( + x 2 ). jan 95:2 37. Definiera talföljden a,a 2,... genom ekvationen ( + n) n+an = e, n =, 2, 3,... Beräkna n a n. jan 95:7 38. Beräkna gränsvärdet då x av y = ex e sin x x sin x. dec 94:4 39. Beräkna ln ( x)++sinx cos x x x 3. aug 94:
3. Beräkna x cos x e x + e x 2. jun 94: 3. Beräkna 32. Beräkna x ln ( + x) 2 ( +x +x 4). cos x maj 94:4 a) f (), f () och f () om f(x) =x x. (+t) b) +t t t 2 t t. dec 93:5 3 33. Låt funktionen f vara kontinuerlig i det kompakta intervallet [a, b] ochsådan att a<f(x) <x då a<x b. Definiera talföljden (a n ) genom a = b och a n+ = f (a n ) för n =,, 2,... Visa att a) a n konvergerar mot a då n. b) <a n+ a k (a n a) då a n a δ, omf dessutom är deriverbar och f (x) k då a x a + δ för något δ<meda + δ b. c) < a n+ a M 2 (a n a) 2 då a n a δ, omf är två gånger kontinuerligt deriverbar och f (a) = och f (x) M då a x a + δ b. dec 93:8 34. Beräkna x e x2 x arctan x x 3. sin x jun 93:2 35. Bestäm konstanten a såattgränsvärdet x e ax +x x 2 cos ax existerar ändligt. Beräkna också gränsvärdet för detta värde på a. dec 92:4 36. Beräkna x x arctan x + 2 cos x 2 x ln ( + x 3. ) aug 92:
37. Beräkna 38. Beräkna ( ( x 2x 2 ( +x 2 ) /2 ( +x 3 ) )) /3. x x +x2 cos x x 2 ln ( + x 4. ) jun 92:6 maj 92:4 39. Ange ett polynom p(x) av andra graden så att x +x + x2 +sin 2 x + p(x) cos x =3. dec 9:3 32. Beräkna gränsvärdet x ( ) e x2 ln ( x) +. sin x aug 9:3 32. Visa att sin x x +x2 6 6 om < x. jun 9:2 322. Har funktionen f(x) = ( 2 6x + x 2) e x 2 6x x 2 ett lokalt extremvärde då x =? maj 9:2 323. Beräkna gränsvärdet x sin 2 x x 2 x 2 ( cos x). jan 9: 324. Beräkna cos 2 x e x2 x sin 2 x sin x. 2 dec 9:2 325. Beräkna sin 2x 2 arctan x x sin x x cos x. aug 9: 326. Beräkna x ln ( +x 2) +cos 2 x x 3. arctan x jun 9:
327. Beräkna cos x x 2 dx med ett fel vars absolutbelopp understiger, 5 3. jun 9:5 328. a) Beräkna b) Bestäm gränsvärdet av produkten n n k= k n 2. n (+ kn ) 2 k= då n. (Observera att logaritmen av en produkt är en summa av logaritmer.) maj 9:8 329. Beräkna 33. Beräkna x +x sin x 2 cos x x 2. e x cos x arctan x x x 4. jan 9: dec 89: 33. Visa att cos x x 2 2 2 3 då < x <. aug 89:4 332. Beräkna 333. Beräkna 334. Beräkna x 335. Funktionen f definieras genom (x 5 ( +x 3) ) /3 x 6 x3. 3 (sin x)ln(+x) x arctan x x x 3. x ln ( +x 2) x arctan x. x (x sin x) aug 89:7 jun 89: maj 89: 2 5x2 cos x = 2 + x 2 + x6 f(x). Beräkna x f(x). jan 89:7
336. Bestäm x ( ( x + ) 3 ( ln + ) ( x + ) ) 2. 2 x 2 maj 88:7 337. Beräkna integralen sin 2 x x 2 dx med ett fel mindre än 2 genom att först visa att sin 2 x = x 2 3 x4 + R(x) där R(x) 2x6 45. maj 88:5 338. Beräkna e x dx x med ett fel på högst, 5. jun 88:5 339. a) Undersök om funktionen ( cos 2x +2x 2 ) x 4 har något gränsvärde då x. b) Undersök om funktionen f(x) =cos2x +2x 2 har något lokalt minimum eller maximum då x =. dec 87:4 34. Beräkna gränsvärdet tan 2 x sin 2 x x x 4. aug 87: 34. Beräkna gränsvärdet av sin 4 x x 2 sin 2 x cos x då a) x, b) x. jun 87: 342. Beräkna gränsvärdet av sin 2 x cos 2 x x 2 sin 2 x x 2 då a) x, b) x. maj 87: 343. Beräkna integralen sin x 2 dx med ett fel som är mindre än 3. dec 86:5
344. Beräkna sin x arctan x x tan x arcsin x. aug 86:4 345. Beräkna x e x2 +x sin x x2 + ax 2 för alla värden på a. jan 86:3 346. Beräkna x ln +2x arctan x. x sin x maj 85:2 347. Avgör om funktionen f(x) =x 4 ( 3 2sin 2 x ) 3sin 4 x har ett lokalt maximum eller minimum i origo. jan 85:6 348. Bestäm alla positiva värden på konstanten a sådana att x ax + < ln ( + x) för alla x>. maj 83:8 349. Beräkna 35. Beräkna sin x x cos x x x 3. sin x x (cos x) /3 x x 5. jan 83:4 jan 83:6 35. Låt A vara en punkt på en cirkel med radien r och P en annan punkt på denna cirkel. Välj punkten Q på cirkelns tangent i A såattlängden av AQ är lika med längden av bågen AP. R är den punkt där linjen genom P och Q skär normalen till AQ i A. Bestäm gränsläget av R då P går mot A. (Ledning: Lägg in ett koordinatsystem på lämpligt sätt i figuren.) R P Q A dec 79:7
4. Serier och generaliserade integraler 4. Undersök om den generaliserade integralen e x ln ( +e x) dx konvergerar och beräkna i så falldessvärde. jan 96:5 42. Avgör konvergensen av följande serier. a) k k 2, b) e /(ln k)2, 2 2 c) d) k ln k, e) e (ln k)2. 2 2 (ln (k +) ln k) 2, 2 jan 96:6 43. Avgör, om den generaliserade integralen J = e x+ x e 4 x + dx är konvergent, samt beräkna i så falldessvärde. dec 95:6 44. Beräkna den generaliserade integralen ln ( + e x ) e x dx. aug 95:6 45. Konvergerar eller divergerar serien k=2 (ln k) ln (ln k)? 46. Konvergerar eller divergerar ( ) n(n ) n? n n=2 aug 95:8 maj 95:5 47. Talföljden (a k ) k= definieras av att a =, a k+ =sina k, k =,, 2,... a) Visa att a k då k. b) Visa att k= a3 k konvergerar, t ex genom att jämföra med k= (a k a k+ ). maj 95:8
48. Bestäm konstanterna a och b så att den generaliserade integralen ( 2x 2 ) + bx + a dx x (2x + a) konvergerar och har värdet. maj 95:7 49. Undersök om den generaliserade integralen ln (x +) x 2 konvergerar och beräkna i så falldessvärde. jan 95:4 dx 4. Avgör om följande serier konvergerar eller divergerar. ln k a) k, b) ( k= k= ( c) + ) k. k k= sin (/k) tan (/k) ), jan 95:6 4. Undersök om den generaliserade integralen ln x x 2 konvergerar och beräkna i så falldessvärde. dec 94: dx 42. Avgör om följande serier konvergerar eller divergerar. ln k a) k 2, b) ( tan k sin ), c) k k= k= k= ( ) k 2. k dec 94:6 43. För vilka värden på den reella konstanten a konvergerar den generaliserade integralen arctan x x a +x dx. aug 94:6 44. Avgör om följande serier är konvergenta. + k ( ) k k + a) k 2 + k, b), c) 2k +3 k= 45. Avgör om följande serier är konvergenta. ( ) ( ) a) sin, b) sin 2, c) k k k= k= k= k= ln (2+ k ) 2. (sin k) e k. k= jun 94:3 maj 94:5
46. Avgör om följande integraler är konvergenta och bestäm i förekommande fall deras värden. dx 3 a) 2 (x ) 2 (x +) 2, b) dx 2 (x 2) 2 (x +2) 2. maj 94:6 47. Visa att den generaliserade integralen ( ( x ln + )) dx x är konvergent och beräkna dess värde. jan 94:4 48. Konvergerar eller divergerar serien 49. Undersök konvergensen av a) k= k +k, b) k= k=2 tan /k ln k? 2 k +2 k, c) k= 2 k jan 94:7 +2 k. dec 93:2 42. Visa först att den generaliserade integralen (x +2)dx är konvergent och sedan att den är lika med 4 4 (x 2) x (x ) (x 4) 4 dx (4 x)(4+x) = π genom att börja med variabelombytet t = x+2 x 2.För full poäng krävs att den sista likheten ovan, dvs att integralen är lika med π, visas. dec 93:7 42. Avgör om följande serier är konvergenta eller divergenta. + k a) (k ) 2, b) k=2 k= k cos k 2, c) k= k! k k. jun 93:5 422. a) Visa att arctan x + arctan x = π 2, x >. b) Visa att alla generaliserade integraler i sambandet arctan x +x + x 2 dx + är konvergenta och bevisa detta samband. arctan x +x + x 2 dx = π 2 dx +x + x 2
c) Beräkna arctan x +x + x 2 dx. aug 92:6 423. För vilka reella konstanter α är den generaliserade integralen x α sin x+ arctan x dx konvergent? dec 92:7 424. Undersök om följande serier konvergerar: ( ) k + a) k ( + e k ), b) ln + k, c) k k= k= k= 6 k k!(2k)!. (3k)! aug 92:5 425. Visa att den generaliserade integralen dx ( + x) x är konvergent och beräkna dess värde. jun 92:2 426. a) Visa att k= ln k k 3 b) Sätt s n = k=n ln k k 3 är konvergent. 427. Undersök om följande serier konvergerar: a) c) k= k= och avgör för vilka värden på a som n= sa n konvergerar. jun 92:8 k sin k, b) k= ( k2 +2 k 2 +), k 2 sin k. maj 92:3 428. Beräkna den generaliserade integralen dx x 2 (x +2). 429. Visa att den generaliserade integralen arctan x x 2 dx maj 92:5 konvergerar och beräkna dess värde. dec 9:
43. Visa att den generaliserade integralen ln x (x +) 3 dx konvergerar och beräkna dess värde. aug 9:4 43. Visa att <s < +s ns+ n= för varje positivt tal s. aug 9:6 432. Undersök om den generaliserade integralen ( x4 + x +2 x 4 + x ) dx är konvergent eller divergent. jan 92:4 433. Undersök om följande serier konvergerar: a) k sin k 2, b) k= k= k cos k 2, c) k= k! k k. jun 9:5 434. Undersök om de generaliserade integralerna ln ( + x) x 2 dx och ln ( + x) x 2 är konvergenta eller divergenta. Bestäm vid konvergens integralens värde. maj 9:6 435. För vilka värden på x konvergerar k= k (x 2 +2x +) k? dx jan 9:5 436. Undersök konvergensen av a) sin ( k 2), b) c) k= ( ( k ln k 2 + ) ln ( k 2)). k= ( ) 2k k +, k k= jan 9:6 437. För vilka värden på a konvergerar ln ( + x) x a + x a+2 dx? jan 9:7
438. Undersök konvergensen av a) e /k2, b) c) k= k= k= ( 4k +3 4 k +), k 2k (2k)!. dec 9:6 439. Avgör om följande serier konvergerar k ++ k a) k, b) +k k= 2 ( ) c) ln e /k + e /k. k= 44. Avgör om följande serier konvergerar. a) cos k 4, b) k= k= k= 3 k 2 k, (k!) 2 (2k)!, c) 44. För vilka a konvergerar den generaliserade integralen ln ( +x 2) dx? x a k= e /k3. aug 9:6 jun 9:6 Beräkna integralen för något av dessa värden på a. dec 89:7 442. Undersök konvergensen av k 3 a) 3 k, b) k= c) (k tan k ). k= 443. Undersök om följande serier konvergerar. ( a) ) k, b) k c) k= k= ( +2k 2 k ). 444. För vilka värden på x konvergerar serien ( x + x 3 + x 5) /3 dx, ( k /2 e /k e /k), k= ( x 2 3x + ) k? maj 9:5 aug 89:5 k= jun 89:4
445. Undersök om följande serier konvergerar. a) cos 2 n, b) n= n= 446. Beräkna integralen n 3n (3n)!, c) n= ( n sin ) /3. n maj 89:6 dx +e x. jan 89:2 447. Undersök konvergensen av k 2 a) 2 k, b) k= 448. Bestäm ln ( + x) x 3/2 + x dx, c) 5/2 N k=n n= (n +) n n n+. jan 89:6 N k 2. jun 87:7 449. Undersök om de generaliserade integralerna dx x + x 2 och dx x + x 2 är konvergenta eller divergenta. Bestäm vid konvergens integralens värde. maj 88:2 45. Konvergerar a) k= k +k, b) k= 2 k +2 k, c) k= 2 k +2 k? maj 88:3 45. Undersök konvergensen av a) e /k2, b) c) k= k= ( k 2 sin2 k cos ), k sin 4 xdx x 2 sin 2 x cos x. jun 87:6 452. Undersök konvergensen av a) cos k 2, b) k= dx e x, c) k= (2k)! k 2k. maj 87:4 453. Undersök om den generaliserade integralen dx x x 3 är konvergent eller divergent. Bestäm vid konvergens integralens värde. jan 87:5
454. Visa att x m (ln x) n dx = ( )n n! (m +) n+ där m och n är heltal. jan 86:6 455. Avgör om integralerna är konvergenta och beräkna värdet i förekommande fall 9 dx 9 dx a), b) 9 x 3 x. maj 85:4 456. Beräkna xdx ( + x 2 )(+4x 2 ). aug 86:3 457. Konvergerar ( a) k ln + ), k 2 b) k= e x e 2x + dx? jan 85:4 458. Undersök om de generaliserade integralerna x ln (+ x ) 2 dx och x ln (+ x ) 2 dx är konvergenta eller divergenta. Bestäm vid konvergens integralens värde. jan 85:4 459. Visa att k=3 ln k k 2 <. jan 84:6 46. Bestäm de a för vilka arctan x ( + x) a ( + x 2 ) x a dx är konvergent. maj 83:6 46. Undersök konvergensen av k +2 4 a) k 2 (k 2 +), b) k= dx x +2x2 + x, c) ( k4 + k 2). 3 k= jan 83:3 462. Undersök om den generaliserade integralen dx x 2 +3x x +3x + x är konvergent och beräkna i så falldessvärde. jan 83:3
463. Finns det något heltal N för vilket k=n ln k k 3 < 2? Ange i så fallnågot sådant N. jan 83:7
5. Differentialekvationer 5. Lös begynnelsevärdesproblemet ( +x 2 ) y = xy, y() = 2. jan 96:2 52. Bestäm samtliga lösningar till differentialekvationen y + y =4x cos x. aug 95:4 53. En klotformig doftkula har som ny volymen 3 cm 3.På grund av avdunstning minskar doftkulans volym på ett sådant sätt att volymminskningen hela tiden är proportionell mot doftkulans area. Efter en månad har volymen minskat till 2 cm 3. Hur mycket återstår av kulan efter 4 månader? aug 95:7 54. Bestäm den lösning till differentialekvationen y (x)+ y(x) x = 2 x 2, x >, för vilken y(2) =. maj 95: 55. Lös differentialekvationen y + x + y = x (x 2 ), x >. maj 95:3 56. Kalle har ett badkar som rymmer 4 liter vatten. När han drar ur proppen i bottnen rinner vattnet ut med en hastighet som enligt Torricellis lag är proportionell mot roten ur mängden vatten i badkaret. a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver hur mängden vatten i badkaret beror av tiden när Kalle dragit proppen ur det fulla badkaret. b) Om det efter två minuter runnit ut 75 liter, när blir då badkaret tomt? maj 95:7 57. Bestäm en lösning till differentialekvationen y 2y 3y =4e x som uppfyller y() = och y(x) då x. jan 95:3 58. Differentialekvationen y + g(x)y =3x, x > har en lösning y = x 2. Bestäm funktionen g och samtliga lösningar. dec 94:2 59. Visa att det finns oändligt många värden på konstanten a så att differentialekvationen y +2y + ( +a 2) y =harenlösning som inte är identiskt lika med noll och som uppfyller y() = y () =. dec 94:7 5. Lös begynnelsevärdesproblemet y + y =lnx, y() =. x aug 94:2
5. Lös, t ex genom att sätta t = /x, differentialekvationen x 4 y +2x 2 (x ) y + y =, x >. aug 94:7 52. Lös differentialekvationen xy (x)+3y(x) =x 4, x >, där y() = /6. Kontrollera att lösningen satisfierar ekvationen och uppfyller bivillkoret. maj 94: 53. Bestäm den lösning till differentialekvationen xy (x) 2y(x)+ x2 =, x >, x + y(x) för vilken x x =. jan 94:5 54. Lös differentialekvationen y (x)+ y(x) =lnx, x >. x + Visa sedan att varje lösning har ett ändligt gränsvärde då x +. dec 93:4 55. Lös differentialekvationen y +2y 3y = e x. jun 93: 56. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y (3) +3y 4y =(3x ) e x. jan 93:4 57. Bestäm den lösning y = f(x) till differentialekvationen för vilken xy +2y = x 2 + x, x >, x + xf(x) =. dec 92:3 58. Bestäm den lösning till differentialekvationen y + y =cosx för vilken y() = y () =. jun 92:3 59. a) Lös differentialekvationen y + y 2(+x) = 2+x +x e x.
b) Visa att precis en lösning har lokalt extremvärde då x =. Ange denna lösning och om det är lokalt maximum eller lokalt minimum. jun 92:5 52. Ange den allmänna lösningen till differentialekvationen y 4y +3y =+e x. 52. Bestäm den lösning till differentialekvationen y + y 2y = e x maj 92: för vilken y() = y () =. dec 9:2 522. Bestäm alla lösningar till differentialekvationen ( +x 4 ) y +2x 3 y = +x 4. 523. a) Bestäm samtliga lösningar till differentialekvationen y y = x +(x 2) e x. aug 9: b) Undersök om det bland dessa lösningar finns någon som har lokalt extremvärde då x = och avgör i så fall om det är lokalt maximum eller lokalt minimum. jun 9:4 524. Lös differentialekvationen ( x 2 ) y xy + y = x, x < t ex genom att sätta x =sint. jun 9:7 525. a) I vilken ekvation övergår differentialekvationen dy dx + y + y2 = vid substitutionen y = /z? b) Bestäm den lösning y(x) till den ursprungliga ekvationen för vilken y() =. maj 9:4 526. Lös differentialekvationen 527. Lös differentialekvationen y +4y =cosx. y 2y + y = e x. jan 9:2 jun 9:2 528. En bil som har hål i bensintanken förlorar liter bränsle i timmen. Bensinförbrukningen beror bland annat på bilens hastighet v och antages vara ( + ) v liter per mil där v mäts i km per timme. Hur långt kan bilen maximalt köras på liter bensin? (Hastigheten v kan antagas vara konstant.) maj 9:7
529. Bestäm den funktion y(x) som uppfyller y +2xy = x 4 e x2, y() = 2, y () =. 53. Lös differentialekvationen 53. Lös differentialekvationen 532. Lös differentialekvationen 533. Lös differentialekvationen 534. Lös differentialekvationen y +2y + y = xe x. y 2y +2y =4xe 2x. y 2y x = +x 2, x >. y y = e 2x. y + y 2y = xe x. jan 9:7 dec 89:3 maj 89:2 maj 89:5 jan 89: jun 88:2 535. Bestäm den lösning till differentialekvationen y 2y + y =6xe x för vilken y() = och y () =. maj 88: 536. Lös differentialekvationen y +2y +2y = e x cos x. 537. Bestäm den lösning till differentialekvationen aug 87:4 xy + e y =, x > som går genom punkten (, ln 2). jun 87:3 538. Lös differentialekvationen y =6sin 4 x. Är y =3x 2 3sin 2 x sin 4 x en partikulärlösning? jun 87:5 539. Bestäm den lösning till differentialekvationen xy + y 2 = y, x >, för vilken y =/2 då x =. jan 87:3
54. Bestäm den lösning till differentialekvationen xy + y 2 = för vilken y =då x =. dec 86: 54. Lös differentialekvationen ( ) y x +cotx y = x sin x sin x x i<x<π/2. aug 86:5 542. Lös differentialekvationen xy y = x 2 sin 2 x, x >. jan 86:2 543. Lös differentialekvationen y 3y +2y = x. maj 85:3 544. Undersök om differentialekvationen y + x y = x 2, x >, har någon lösning som har ett lokalt extremvärde för x =. jan 85:3 545. Bestäm den lösning till differentialekvationen (e x ) y (x)+e x y(x) =, x > som har ett ändligt gränsvärde då x,x>. Bestäm också gränsvärdet. jan 84:2 546. Man vet att differentialekvationen y (5) 6y (4) +3y 4y +2y 8y = har en lösning y = x 2 e 2x.Lös ekvationen fullständigt. jan 84:6 547. Fyra myror sitter i hörnen på ett kvadratiskt bord med sidan a. Debörjar samtidigt röra sig med konstant hastighet, var och en i riktning mot myran närmast till höger. a) Ange de kurvor som myrorna beskriver. b) Beräkna längden av den sträcka varje myra tillryggalägger innan de möts. (Ledning: Lägg in bordet i det komplexa talplanet med mittpunkten i origo. Observera att om en myra representeras av det komplexa talet z, så representeras myran närmast till höger av iz. Övergå såsmåningom till polära koordinater.) maj 8:8 548. a) I vilken ekvation övergår differentialekvationen vid substitutionen y = /z? xy + y 2 = y, x >
b) Bestäm den lösning till den ursprungliga ekvationen för vilken y =/2 då x =. maj 96:4 549. a) I vilken differentialekvation övergår xy + e y =, x > vid substitutionen y = ln z? b) Bestäm den lösning till den ursprungliga ekvationen för vilken y =ln2då x =. aug 96:4
6. Lineär algebra 6. För vilka värden på den reella konstanten a är de tre vektorerna (a,, ), (2,a,3) och (, a, 9) lineärt beroende? β jan :3 62. En ljusstråle utgår från punkten (3, 2, ) och reflekteras mot planet x 2y 2z =. Den reflekterade strålen går genom punkten (4,, 6). I vilken punkt träffar ljusstrålen planet? (Ortonormerat system.) β jan :6 63. a) Visa att linjerna (x, y, z) =(4+t, 7+2t, + 3t)och(x, y, z) =(5+t, 3 t, 9+2t) skär varandra i en punkt. b) Bestäm på normalform ekvationen för det plan som innehåller de båda linjerna. β dec 99:4 64. Till varje sida i en tetraeder är en utåtriktad normalvektor given, vars längd är lika med sidans area. Visa att summan av dessa fyra vektorer är nollvektorn. β dec 99:6 65. Vilka punkter på linjen genom punkten (6, 9, ) och med riktningsvektorn (, 2, ) ligger på sfären med medelpunkten (9, 2, 2) och radien 2? Ortonormerat system förutsättes. β aug 99:2 66. Bestäm för alla reella tal a och b antalet lösningar till ekvationssystemet x + x 2 + ax 3 a 2 x 4 = x + ax 2 + x 3 x 4 = a ax + x 2 + x 3 + 5x 4 = b. β aug 99:6 67. Vilka punkter på linjen genom punkterna (3, 4, 3) och (7, 3, ) har avståndet 7 till punkten (3, 3, 3)? Ortonormerat koordinatsystem förutsättes. β maj 99:2 68. För vilka reella tal a och b har ekvationssystemet x + y + az = x + ay + z = a ax + y + z = b oändligt många lösningar? β maj 99:4 69. Bestäm ekvationen på formen Ax + By + Cz + D =för det plan som innehåller linjen { 3x + 5y 7z +7= 2x 2y +3z 3= och som är parallellt med vektorn (3,, 5). α apr 99:3 6. Undersök för vilka värden på parametern a som ekvationssystemet x 2y +3z =3 2x + y + az = 3x + ay +2z =2 saknar lösning, har entydig lösning repsektive oändligt många lösningar. β jan 99:
6. Planen x+2y+3z =4och4x+3y+2z =skär varandra i en linje L. Bestäm ekvationen för planet ortogonalt mot linjen L och som innehåller punkten (, 2, ). (ON-system.) β jan 99:3 62. Klotet med centrum i ( 3,, 2) och radie 5 skär planet 2x 2y + z + = utmed en cirkel. Bestäm den punkt på cirkeln som ligger närmast punkten (9,, 8). (ON-system.) β jan 99:5 63. Undersök för vilka värden på parametern a som ekvationssystemet x +2y + z = x + ay z =2 3x +5y + az =4 saknar lösning, har entydig lösning respektive har oändligt många lösningar. β dec 98: 64. Bestäm en ortonormerad bas e,e 2,e 3,sådan att e och e 2 är parallella med planet 2x 3y +4z = 5. (ON-system.) β dec 98:2 65. Klotet med centrum i ( 3,, 2) och radie 5 skär ut en cirkelskiva ur planet med ekvationen 2x 2y + z =. Ligger planets skärningspunkt med linjen x =2+ t y =2+2t z =2+4t i denna cirkelskiva? (ON-system.) β dec 98:6 66. Planen 2x+y+2z =27och2x 2y z =skär varandra i en linje L. Bestäm ekvationen för planet som är ortogonalt mot linjen L och innehåller punkten (7, 3, 2). (Ortonormerat koordinatsytem.) α nov 98:2 67. Bestäm för varje värde på det reella talet a antalet lösningar till ekvationssystemet x +( a)y +(3a +)z =2 x +(2 a)y +(2a +)z = 2x +(2 a)y +(6a +)z =5. α nov 98:4 68. I ett ortonormerat koordinatsystem är l skärningslinjen mellan planen x + y + z = och x y 2z =. Beräkna kortaste avståndet från origo till linjen l. A aug 98:2 69. Bestäm alla värden på den reella konstanten a för vilken ekvationssystemet x x 2 + ax 3 =3 x + (a 3)x 2 +(a +2)x 3 =4 ax +(a 2 3a)x 2 = 8 saknar lösning. A aug 98:5 62. Med avseende på en given bas e,e 2,e 3 har vektorn u koordinaterna (, 2, 3). Bestäm koordinaterna för u med avseende på basene,e 2,e 3 om e = e 3, e 2 = e + e 3, e 3 = e + e 2 + e 3. A apr 98:3
62. Bestäm talet p så att linjerna x =+2t y =2 t z = p + t och { x +2y z += 2x y + z = skär varandra. Ange skärningspunkten. A apr 98:5 622. Avgör för varje värde på a om ekvationssystemet x + 2y +3z = x + ay +5z =3 ax +(3a 2)y +5z = saknar lösningar, har exakt en lösning eller har oändligt många lösningar. Ange lösningarna i det sistnämnda fallet. A mar 98:4 623. Bestäm det minsta värde, som arean av triangeln OAP kan antaga, om O är origo, A är punkten (, 2, 2) och P genomlöper skärningslinjen mellan planen x +3y + z =och y z = 5. Ortonormerat koordinatsystem förutsättes. A mar 98:7 624. Linjen genom punkten (2, 3, ) med riktningen (, 2, ) skär sfären med medelpunkten (3, 4, 7) och radien 7 i två punkter. Vilken av dessa punkter ligger närmast origo? (ONsystem.) A nov 97:2 625. Låt e j vara fyra vektorer i rummet sådana att e j = R>för j =, 2, 3, 4och (e e 2 e 3 e 4 )=(e e 3 e 2 e 4 )=(e e 4 e 2 e 3 )=. Välj en punkt O i rummet och definiera fyra punkter P j och en femte punkt H genom att OP j = e j och OH = 2 (e + e 2 + e 3 + e 4 ). Visa att höjderna i tetraedern P P 2 P 3 P 4 alla går genom punkten H. Anm. Det erfordras ej, men betraktas som en förtjänst, om man omvänt visar att höjderna i en tetraeder endast skär varandra i en punkt om motstående kanter är parvis ortogonala. A nov 97:7 626. Vilka punkter på linjen genom punkterna (, 2, ) och (5,, 2) har avståndet 7 till punkten (,, )? (ON-system.) A okt 97:2 627. Låt e j vara tre vektorer i planet sådana att e j = R>för j =, 2, 3. Välj en punkt O i planet och definiera tre punkter P j och en fjärde punkt H genom att OP j = e j och OH = e + e 2 + e 3.Visaatthöjderna i triangeln P P 2 P 3 alla går genom punkten H. A okt 97:6 628. Bestäm det kortaste avståndet mellan en punkt på linjen x =4t, y =8t, z = t och en punkt på cirkeln x 2 + y 2 =8ixy-planet där z =. (Ortonormerat koordinatsystem.) A apr 97:7 629. Planen 2x + y +2z =27och2x 2y z =skär varandra i en linje L. Bestäm på ekvationsform planet som innehåller L och punkten (7, 3, 2). A mar 97: 63. Låt, i ett ortonormerat koordinatsystem, M vara planet 2x + y +2z = 27, S sfären med medelpunkt i origo och radien 5 och C cirkeln som är skärningen mellan M och S. Bestäm de punkter i M, S respektive C som ligger närmast punkten (33, 3, 6). A mar 97:6
63. Bestäm för alla värden på parametern a samtliga lösningar till ekvationssystemet x +( a)y +(3a +)z =2 x +(2 a)y +(2a +)z = 2x +(2 a)y +(6a +)z =5. A nov 96:5 632. Givet punkterna P =(,, ) och Q =(2,, ), bestäm en punkt R i xz-planet och en fjärde punkt S så att PQRS är hörnen i en regelbunden tetraeder (ON-system). A nov 96:7 633. Låt M vara planet genom punkterna (3,, ), (2, 3, 2) och (7, 5, 5). Bestäm en linje i M som skär linjen x =3+t y =+t z =3+t vinkelrätt (pos. orienterat ON-system). A nov 96:3 634. Bestäm en linje vars alla punkter har lika avstånd till de tre planen x +2y +2z +3=, x 2y +2z =, 2x + y +2z +=. Hur många sådana linjer finns? (ON-system.) A nov 96:6 635. Visa att de tre linjerna (x, y, z) =(, 4, 5) + t(, 3, 2) (x, y, z) =(, 3, 3) + t(, 2, 3) (x, y, z) =( 4, 2, ) + t(2,, ) har en gemensam punkt P. Beräkna sedan volymen av den tetraeder som har hörn i punkterna (, 4, 5), (, 3, 3), ( 4, 2, ) och P. (Ortonormerat koordinatsystem.) A aug 96:3
Svar. Derivator. a 4. 4 (e ln 2)2 2. Lok. min. då x =, lok. max då x = 2 4+(e ln 2) 2 ln 2.Treskärningar med x-axeln: x =4,x 2 =2ochx 3 mellan och.y = ochy =är asymptot då x resp. x. 4. a) c = eller 98. b) Max. resp. min. 6. Lok. min. då x =,lok.max 4 e2 4+e 2 då x = 2. y =ochy = är asymptot då x resp. x. 7. Lokalt minimum π/4 då x =, asymptoter saknas. (x =/2 är ej lodrät asymptot.) 8. x = ± 3 är lodräta asymptoter, y =är asymptot då x,lok.max. 2e då x =, lok. min. e3 6 då x =3. 9. a). b) π/4 resp. 3π/4. c) π/4, 3π/4 resp.π/4.. y 4 5 + arctan 3 4 eller y< π 2. 4. a 3. 6. En då <a<a eller a>a 2,tvådå a = a eller a = a 2,tredå a <a<a 2 där a = 2 3 e /4 och a 2 =2e 3/4. 7. Lok. max. då x = π/2, lok. min. då x =+π/2, y = π och y = π är asymptoter då x resp. x. 8. ( a 2/3 + b 2/3) 3/2. 9.. 22. 2. 23. Tre om a >a,tvåom a = a och en om a <a där a = 2 5/4. 24. Inga lok. extrempunkter, (, e) terrasspunkt, x = lodrät asymptot, y = asymptot då x. 25. x = 2. 28. 2. 3. π/2 <y<+π/2. 32. Tre om a >a,tvåom a = a och en om a <a där a = 3 2 3 2. 34. En om a>a eller a 3 <a<a 2,tvåoma = a, a = a 2 eller a = a 3, tre om a 2 <a<a eller a<a 3 där a =5,a 2 =9/4 ocha 3 = 7/3. 36. x> eller x< 2. y = x 3/2 ochy = x +3/2 asymptot då x resp. x. x = ochx = 2 är lodräta asymptoter.
37. Två då k >k eller k <k 2,tredå k = k eller k = k 2 och fyra då k 2 < k <k, där k =4/3 ochk 2 =3/3. 38. C = π/2. 39. a) y = 2a (+a 2 ) 2 (x a)+ +a 2. b) <b 9/8. 4. Inget då a a,ettdå a a 2 och två då a < a <a 2 där a = π 4 + 2 och a 2 = π 2. 42. a) Lok. min. /e då x =/e. b) x a +(+lna)(y a ln a) =. c) Ingen då k, en då <k<k eller k>k 2,tvådå k = k eller k = k 2 och tre då k <k<k 2 där k =/e och k 2 =3/e 2. 43. x>. 44. y = x då x ±,lok.max.4/4 då x =,lok.mindå x = ±3. 45. Ingen då a>/e, endå a =/e eller a, två då<a</e. 47. C = π/2 resp.π/2. 49. En. 3 5. 2. 5. Lok. max. då x =,lok.min.3/2 π/4 då x =.y = x π/2 ochy = x + π/2 asymptot då x resp. x. 52. Min. 3 då x =. y =3x 9ochy = x 7 asymptoter då x resp. x. 54. Tre om a>3, en om a 3. 55. Lok. min. 2 2då x = ±, lok. max. 5 då x =.y = ( 3 ) x asymptot då x ±. 56. Lok. max. 4/e 3 då x = 3, min. då x =, max. 4/e då x =.y = asymptot då x ±. f + () = och f () = 3. 58. Två om<k<k,enom <k eller k = k och ingen om k eller k>k = e+ e. 6. a) y = x h e h + eh h. b) (, 2). 6. π/4. 2. Integraler 2. π/4 /2. 22. a) (3a 2)ea (a 2) a 2. b) 4 2ln3 (ln 3) 2 23. π 2 /4 2. 25. x =.
26. ln 2 3 + π 6. 3 27. 3ln3 /2. 29. ln x 2 ln ( +x 2) + arctan x + C. 2. x (arcsin x) 2 +2 x 2 arcsin x 2x + C. 22. ( ) 4 3 2 2. 24. 4ln2. 25. 2ln2. 26. 5/3 2ln2. 27. /2. 29. 3. 22. π 3. 222. π/4. 223. 3 π/2. 225. ln 4 3 6. 227. 3ln3+4ln2 2. 228. 2 3 2 π/6. 229. 5 (2eπ +). 23. ( π 4 e 2 ). 23. ln 2. 232. π ( ln 4 3 6). 233. 3 2 + π2 3 27 π 6. 234. ln x 2 ln ( x 2 +2x +2 ) arctan (x +). 235. 2 +ln3 2. 236. 2ln2+π. 237. ln e x + C. 238. 6. 24. /2. 24. x+ ln +x + 2 ln ( x 2 + ) + arctan x + C. 242. 2 + 2 ln 3 2. 243. b) π 2 ln 2.
3π 244. 32. 245. 2 ( 3 2) π. 246. x =. 248. 7/9. 25. π/4. 252. y() = y() = och y max = 2 2 för x = 2. Kurvan har lodrät tangent då x =ochdå x =. Rotationskroppen (som ser ut som ett ägg) har volymen π/2. 253. N = 982. 255. π 2 /6 + /4. 256. π 4 + ln 2 2 2. 257. π/2. 258. 2+ln(3/2). 259. 2 ln 3 + π 6. 3. Taylors formel 3. a =2och/6. 32. a =och/3. 33. 2/3. 34. /3. 35. /3. 36.. 37. /2. 38.. 39. /2. 3. /2. 3. /2. 32. a), 2 och 3, b) /2. 34. 5/6. 35. a =/2, 2/7. 36. /4. 37. 2/3.
38. /6. 39. x/2+x 2 /8. 32. /2. 322. Nej. 323. 2/3. 324. /2. 325. 2. 326. /6. 327. 35/72. 328. a) /2, b) e. 329. 3/8. 33. /6. 332. /9. 333. /2. 334.. 335. /48. 336. /2. 337. 8/9. 338. 379/288. 339. a) 2/3, b) Lokalt minimum. 34.. 34. a) 6/5, b). 342. a) 4, b). 343. 3/42. 344.. 345. då a /2, 8/3 då a =/2. 346.. 347. Lokalt minimum. 348. a /2. 349. /2. 35. /45. 35. En punkt på avståndet 3r från A.
4. Serier och generaliserade integraler 4. Konvergent med värdet 2 ln 2. 42. a) Divergent, b) divergent, c) konvergent, d) konvergent e) konvergent. 43. Konvergent med värdet 8 (π +2ln2). 44. 2ln2. 45. Divergent. 46. Konvergent. 48. a = b =2e 2. 49. Konvergent med värdet 2 ln 2. 4. Samtliga är divergenta. 4. Konvergent med värdet. 42. Samtliga är konvergenta. 43. /2 <a<2. 44. a) Konvergent, b) konvergent, c) divergent. 45. a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent. 46. a) Konvergent med värdet 3 4 ln 3, b) divergent. 47. 2ln2. 48. Divergent. 49. a) Divergent, b) divergent, c) konvergent. 42. a) Konvergent, b) divergent, c) konvergent. π 422. c) 2 6. 3 423. /2 <α<. 424. a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent. 425. π/2. 426. b) a>/2. 427. a) Konvergent, b) divergent, c) konvergent. 428. 2 4 ln 3. π 429. 4 + 2 ln 2. 43. 2 ln 2 4. 432. Konvergent.
433. a) Konvergent, b) divergent, c) konvergent. 434. Divergent respektive konvergent med värdet. 435. x< 2 eller x>. 436. a) Konvergent, b) divergent, c) konvergent. 437. <a<2. 438. a) Divergent, b) konvergent, c) divergent. 439. Samtliga är konvergenta. 44. a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent. 44. <a<3, π för a =2. 442. Samtliga är konvergenta. 443. a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent. 444. <x< eller 2 <x<3. 445. a) Divergent, b) konvergent, c) divergent. 446. ln 2. 447. a) Konvergent, b) konvergent, c) divergent. 448.. 449. Divergent respektive konvergent med värdet ln 2. 45. a) Divergent, b) divergent, c) konvergent. 45. a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent. 452. a) Divergent, b) divergent, c) konvergent. 453. Konvergent med värdet π/3. 455. a) Konvergent med värdet 6, b) divergent. 456. 6 ln 8 5. 457. Båda är konvergenta. 458. Konvergent med värdet ln 2 respektive divergent. 46. /2 <a<2. 46. a) Divergent, b) konvergent, c) konvergent. 462. Konvergent med värdet. 463. Ja, till exempel N =.
5. Differentialekvationer 5. y =2 +x 2. 52. x 2 sin x + x cos x + A cos x + B sin x. 53. V (t) = kv (t) 2/3 såattv (t) =(C kt) 2/3. V () = 3 och V () = 2 ger att V (4) = ( 4 2 /3 3 3 /3) 3, 36. 54. y(x) = x ln x2 3. 55. y = ln (x ) ln x+c x+. 56. a) m (t) = k m(t). b) Efter8minuter. 57. y =( x) e x. 58. g(x) =/x och y = x 2 + C/x. 59. a =tana har oändligt många lösningar! 5. y = 2 x ln x 4 x + 4x. 5. y =(A + B/x) e /x. 52. y(x) = 7 x4 + 42 x 3. 53. y(x) =x 2 ln ( + /x). 54. y(x) = +x/2 +x x ln x x+x2 /4 +x + C +x C då x +. 55. y =(A + x/4) e x + Be 3x. 56. y = ( x 2 /6 x/3+a ) e x +(Bx + C) e 2x. 57. y = ln (+x) x 2. 58. y = 2x sin x +cosx +sinx. 59. a) y = +xe x + C +x. b) y = +xe x + 3 +x har lokalt minimum. 52. y = 3 + 8 e x + C e x + C 2 e 3x. 52. y = 9 e 2x + ( 3 x ) 9 e x. 522. y = x+c +x 4 523. a) y = ( 2 x2 2x + C ) e x x. b) C = 3 ger lokalt minimum. 524. y = ( A 2 arcsin x) x 2 + Bx. 525. a) dz/dx z =. b) y(x) =/ (2e x ). 526. 3 cos x + A cos 2x + B sin 2x. 527. y = ( x 2 /2+Cx + D ) e x.
528. y = 4 v 4 + 2 v+v 2 har sitt maximum /3 för v =. 529. y(x) =/5 ( x 4 / + x 2 /5+/5 ) e x2. 53. y = ( x 3 /6+Ax + B ) e x. 53. y =(2x 2) e 2x +(A cos x + B sin x) e x. 532. y = x x 2 ++Cx 2. 533. y = 3 e 2x + Ae x + Be x. 534. y = ( x 2 /6 x/9+c ) e x + C 2 e 2x. 535. y = ( x 3 + x ) e x. 536. y = 2 xe x sin x +(A cos x + B sin x) e x. 537. y =ln(+x). 538. y =3x 2 3sin 2 x sin 4 x + Ax + B, dvs ja! 539. y = x/ ( + x). 54. y = ( x 2 ) / ( x 2 + ). 54. y =sinx x cos x + Cxsin x. 542. y = 2 x2 4x sin 2x + Cx. 543. x 2 /4+3x/4+Ae x + Be 2x + C. 544. y = +ln x x har lokalt maximum. 545. y(x) = x e x då x. 546. y = ( C + C 2 x + C 3 x 2) e 2x + C 4 cos x + C 5 sin x. 547. a) r = a/ 2 kt, θ = ln ( a/ 2 kt ) + θ = ln r + θ. b) a. 548. a) xz + z =, b) y = x x +. 549. a) xz z =, b) y =ln(x +). 6. Lineär algebra 6. och 5 4. 62. (2,, ). 63. a) (,, ), b) 7x + y 3z 5=. 65. (5, 7, ) och (3, 3, 3). 66. Ingen lösning om a = eller a = 2 ochb 2.Oändligt många lösningar för övrigt.
67. (9, 5, 6) och (5, 6, 9). 68. a = 2 ochb =2. 69. x 3y =. 6. Ingen lösning om a =, oändligt många om a =, entydig lösning för övrigt. 6. x 2y + z +2=. 62. ( 5 3, ) 3,. 3 63. Ingen lösning om a =4,oändligt många om a =, entydig lösning för övrigt. 64. Texe = (3,, 6), e 2 = ( 2,, ), e 3 = (2, 3, 4). 45 5 29 65. Ja. 66. x +2y 2z =9. 67. En lösning om a ±, ingen om a =ochoändligt många om a =. 68. 2. 7 69. a = eller a =2. 62. (2, 3, 2). 62. p =7och(, 3, 6). 622. För a = 2 finns oändligt många lösningar x = 2 2t, y = t, z =,för a =saknas lösningar och för övriga värden finns exakt en lösning. 623. 5 2. 4 624. (,, ). 626. (7, 3, 4) och (3, 4, 7). 628.. 629. 4x y + z = 27. 63. (5, 2, 2), (,, 2) respektive (,, 2). 63. För a = saknas lösning, för a = är lösningen x =4+4t, y = t, z = t. För övriga värden på a är lösningen x = 4 a,y= z = a. 632. Antingen är R =(,, 2) och S =(, 2, 2) eller S = R =(,, 2) och S =(, 2, ( 2) eller S =, 2 ) 2 3,. 3 (, 2 3, 2 3 ) eller så är
633. (x, y, z) =(+t, 2t, +t). 634. (x, y, z) =(,,t). Fyra. 635..