Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori 217-3-17 1. (a) Underdeterminanter 1 s + 2, 1 s + 3, 1 s + 2, 1 (s + 3)(s 3), s 4 (s + 3)(s 3)(s + 2), vilket ger MGN dvs ordningstal 3. P (s) = (s + 3)(s 3)(s + 2), (b) RGA för ett system beräknas som RGA(G(iω)) = G(iω). (G(iω) 1 ) T. RGA för det givna systemet i ω = kan således beräknas med följande matlabkod: >> G = [tf([1 1],[1 2 1 1]), tf(3,[1 2]); tf([1 2],[1 1 3]),tf(4,[1 1 2])]; >> G = dcgain(g); >> RGA = G.*pinv(G). RGA = 2. -1. -1. 2. (c) Alltså är kopplingen y 1 u 2 och y 2 u 1 direkt olämplig eftersom den har negativ koppling i stationäritet, vilket innebär att en decentraliserad regulator med den kopplingen ger antingen ett instabilt återkopplat system, alternativt så blir systemet instabilt om en av looparna bryts. Detta är inte bra! En decentraliserad regulator med kopplingen y 1 u 1 och y 2 u 2 kan dock fungera. i. begränsad styrsignal: Om t.ex. ett system utsätts för väldigt kraftiga störningar så är kanske det inte är möjligt att motverka dessa med begränsade styrsignaler. För att kunna stabilisera ett instabilt system så måste styrsignalerna kunna övervinna systemets naturliga drift. Med begränsade styrsignaler blir detta normalt bara möjligt i en del av tillståndsrummet. ii. Bodes relation: Eftersom kretsförstärkningen G o = GF är en analytisk funktion i den komplexvärda variabeln s så finns det samband mellan arg G o (iω) och G o (iω). Detta samband ges av Bodes relation. En sak som är viktig i reglerteknik är att detta sätter begränsningar på hur snabbt förstärkningen 1 Ver: 15 mars 217
G o (iω) kan avta givet fasförskjutningen arg G o (iω). Specifikt kan inte förstärkningen kring skärfrekvensen ω c avta hur fort som helst. Detta begränsar exempelvis möjligheterna till att forma känslighetsfunktionerna S(iω) och T (iω). iii. Bodes integralsats: Satsen innebär att det inte är möjligt att uppnå godtyckligt bra störningsundertryckning för alla frekvenser. God störningsundertryckning av vissa frekvenser måste betalas med sämre undertryckning av andra frekvenser. Om kretsförstärkningen har instabila poler så försämras förutsättningarna ytterligare. 2. (a) Med tillstånden z, θ och β samt variabelbytet v = tan u blir ekvationerna för den backande lastbilen dvs. styrsignalaffin form. (b) Välj y = z. Det ger ẏ = sin θ, ÿ = cos θ θ = cos θ y (3) = sin θ ż = sin θ θ = tan β β = tan β ( ) tan β ( ) tan β 2 + cos θ 1 L2 v L 1 cos β, = sin θ tan2 β + cos θ (1 + tan 2 β) tan β 2 }} :=f 1 (z,θ,β) ( ) ( 1 + tan 2 tan β β ) v L 1 cos β + cos θ (1 + tan2 β) L 1 cos β } } :=f 2 (z,θ,β) Eftersom y (3) beror direkt av v (men inte y, ẏ eller ÿ) så är det relativa gradtalet 3. (c) Med f 1 och f 2 enligt ovan och v = ū f 1(z, θ, β) f 2 (z, θ, β) fås att y (3) = ū, eller y = 1 p 3 ū, dvs. med den virtuella insignalen ū är systemet insignal-utsignal linjäriserat. Sätt in detta i u = arctan v := f 3 (v), u < π/2, så fås den sökta styrlagen. (d) Det finns ingen nolldynamik eftersom det relativa gradtalet är detsamma som systemets ordning. Systemet är exakt linjäriserat. 2 Ver: 15 mars 217 v.
3. (a) Låt systemet inom range of stability betecknas med (I) och systemet utanför range of stability med (II). Med x = Φ ω ( ) T kan de två systemen skrivas som ẋ1 = x (I) 2 ẋ 2 = A n sin x 1 B n x 2 ẋ1 = x (II) 2 ẋ 2 = A i sin x 1 B i x 2 där A n, B n, A i och B i är konstanter som ges av ekvationerna i uppgiften. Jämviktspunkterna ges av ẋ =. För de två fallen får vi x1 = nπ, n =..., 4, 2,, 2, 4,... (I) x 2 = x1 = nπ, n =..., 5, 3, 1, 1, 3, 5,... (II) x 2 = Notera att lösningarna är väldigt lika. Det som skiljer sig är vilka lösningar till sin x = som används för de två fallen. Jacobianen f/ x i jämviktspunkterna för (I) är ( ) ( ) f 1 1 = =. x A n cos x 1 B n A n B n x=x x=x För (II) får vi p.s.s ( ) f 1 =. x A i B i x=x Numeriska värden ger att egenvärden för (I) är λ =.21±3.3i, dvs stabilt fokus, och egenvärdena för (II) är λ 1 =.98 och λ 2 = 42.13, dvs stabil tvåtangentnod. (b) I punkterna x 1 = nπ, n =..., 4, 2,, 2, 4,..., x 2 = kommer vi ha stabilt fokus och i punkterna x 1 = nπ, n =..., 5, 3, 1, 1, 3, 5,..., x 2 = kommer vi ha stabil tvåtangentnod. Från tillståndsmodellen som beskriver (I) får man att faskurvorna går medsols in mot jämviktspunkterna för ett stabilt fokus. ( T Om man tar en punkt x = α) får man att ẋ1 = α. Om α > (α < ) får man att x 1 ökar (minskar), dvs medsols rörelse. 3 Ver: 15 mars 217
8 6 4 2 I samband med beräkning av egenvärden i a)-uppgiften får man även egenvektorerna som anger hur lösningskurvorna går in mot de stabila jämviktspunkterna x 1 = nπ, n = 1, 3, 5,..., x 2 =. Figur 1 visar hur fasplanet ser ut. I figuren representerar de gråa ytorna området där (II) gäller och de röda prickarna är jämviktspunkterna x 1 = nπ, n = 3, 2, 1,, 1, 2, 3, x 2 =. x 2 2 4 6 8 1 5 5 1 x 1 Figur 1: Fasplan till uppgift 4c. (c) Med den konstanta insignalen C i = 1 9.82 2 J x adderad till andra ekvationen i modell (II) får man ẋ1 = x 2 ẋ 2 = A i sin x 1 B i x 2 + C i Den stationära punkten ges av x 2 = samt A i sinx 1 + C i = arcsin C i x 1 = A i + 2πn π arcsin C, n =..., 2, 1,, 1, 2,... i A i + 2πn Den första lösningen för x 1 motsvarar en instabil tvåtangentnod. Den andra lösningen som ges av x 1 = π arcsin C i A i + 2πn motsvarar en stabil tvåtangentnod. Frågan är i vilket område jämviktspunkten ligger. För n = får man x 1 = 3.1471 vilket är 4 Ver: 15 mars 217
utanför range of stability d.v.s. fortfarande i område (II). Det innebär att det inte hjälper att ställa sig på relingen för att räta upp båten. 4. (a) Genom att definiera x 1 som motormoment, x 2 som armens vinkelhastighet och x 3 som armens vinkel (och utsignal) så fås följande: x 1 (t) = G 1 (p)u(t) ẋ 1 (t) = 1x 1 (t) + 1u(t) x 2 (t) = G 2 (p)x 1 (t) ẋ 2 (t) = 5 1 4 x 1 (t) x 3 (t) = t τ= x 2 (τ)dτ ẋ 3 (t) = x 2 (t) Vilket kan skrivas på tillståndsform som 1 ẋ(t) = 5 1 4 1 x(t) + u(t) 1 [ ] y(t) = 1 x(t) (b) Det slutna systemet då man använder återkopplingen är u(t) = Lx(t) + L r(t) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) = Ax(t) + B( Lx(t) + L r(t)) = (A BL)x(t) + BL r(t) y(t) = Cx(t) där L bestäms genom att lösa den algebraiska riccatiekvationen via lqr i Matlab och L bestäms så att den statiska förstärkningen är 1 (antingen med dcgain eller genom att använda definitionen). Överföringsfunktionen för slutna systemet ges av och L ges då av G c (s) = C(sI A + BL) 1 BL L = (C(BL A) 1 B) 1. För att bestämma L används straffmatriserna Q och R. Det visar sig att 1 Q = 1 3, R = 1 (1) 1 5 är ett bra val av straffmatriser. Dessa straffmatriser ger resultatet i Figur 2, där det tydligt framgår att kraven är uppfyllda. Koden för att producera Figur 2 ges nedan: 5 Ver: 15 mars 217
Vinkelacceleration Styrsignal Amplitude 1 5 Step Response 2 System: Gc Rise time (seconds):.96 1.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Time (seconds) x 1 3 2 4 6 8 1 12 5 5 2 4 6 8 1 12 Figur 2: Utsignal, vinkelhastighet och styrsignal vid ett enhetssteg i referenssignalen. 6 Ver: 15 mars 217
A = [-1 ; 5e4 ; 1 ]; B = [1;;]; C = [ 1]; Q = diag([1 1e-3 1e5]); R = 1; L = lqr(a,b,q,r); L = -inv(c*inv(a-b*l)*b); Gc = ss(a-b*l,b*l,c,); [y,t,x]=step(gc); figure(1) subplot(311) step(gc) subplot(312) plot(x(:,2)) hold on plot(1*ones(length(x(:,2)),1), k ) hold off ylabel( Vinkelacceleration ) ylim([-2 11]) subplot(313) plot(-l*x +L) hold on plot(-4*ones(length(x(:,2)),1), k ) plot(4*ones(length(x(:,2)),1), k ) hold off ylabel( Styrsignal ) (c) Eftersom att LQ-metoden alltid ger stabila lösningar (om det existerar en positivt semidefinit lösning till den algebraiska riccatiekvationen) så vet man att polerna alltid kommer ligga i vänster halvplan. Således kan polerna absolut inte hamna i höger halvplan! (d) Eftersom att amplitudmarginalen är oändlig för en LQ-regulator (se punkt 2 sidan 289) så kommer inte systemet bli instabilt (dock kan ju prestandan bli sämre i termer av ökad oscillation etc.). 5. (a) Blockschemat för robotarmen är ekvivalent med det i Figur 3. Beteckna den del som är streckad G l (s), denna del är linjär med insignal φ(v) och utsignal v. 7 Ver: 15 mars 217
Φ(v) Φ(.) v -G l (s) Σ G(s) F(s) -1 1/s Figur 3: Ekvivalent blockschema. Vi har att Det ger v = G (φ(v) F 1 ) s v v = sg s + GF φ(v) := G l φ(v). G l = = s 3 1s 2 2s s 4 + 28.5s 3 + 24s 2 + 42s + 2. Vi har nu en krets med en linjär del G l (s) som är negativt återkopplad med en statisk olinjäritet φ(v). Detta passar in i ramverket för beskrivande funktion. Mättningen φ(v) ges som vanligt av 1, v > 1 φ(v) = v, 1 v 1 1, v < 1. (b) Mättningen har den reellvärda beskrivande funktionen ( 2 π arcsin 1 C Y f (C) = + 1 ) C 1 C 2, C > 1 1 C 1. I Figur 4 är Nyquistkurvan för G l inritad tillsammans med 1/Y f (C). Notera att alla polerna till G l (s) är stabila (poler: s = 18.26, 9.66,.29 ± 3.36i). Det innebär att nyquistkriteriet för stabilitet blir att punkten 1 inte skall omcirklas av nyquistkurvan. På 8 Ver: 15 mars 217
analogt vis blir villkoret för självsvängning att G l (iω)y f (C) = 1. Detta är uppfyllt vid skärningspunkten mellan de två kurvorna. Notera att självsvängningen är stabil: för ökande amplitud, C, rör sig punkten 1/Y f (C) ut från det område som omsluts av nyquistkurvan. Skärningen sker för amplituden C 2.21 och vinkelfrekvensen ω 3.26 rad/s (grafisk avläsning). Vi kan alltså förvänta oss att v, som är utsignalen från det linjära blocket, kommer att självsvänga med denna amplitud och frekvens. Enligt sinus in - sinus ut sambandet så kommer y att självsvänga med samma frekvens men med amplituden 1 3.26i 2.21.68. 1.5 1 w=4.5 w=3.35 C=4 C=2.2 w=3.25 C=.1 C=1 w=.5 w=2 -.5 w=3-1 -3.5-3 -2.5-2 -1.5-1 -.5 Figur 4: Nyquist-kurvan för G l samt 1/Y f (C). 9 Ver: 15 mars 217