Projekt bå gbro Inledande ingenjörskurs Högskoleingenjörsprogrammet i byggteknik
Projekt bågbro Sid 2 (8) 1. Kedjebåge En kedja eller lina är ett strukturelement som endast kan ta dragkrafter. Vid belastning formar sig linan på ett sådant sätt att endast dragkraft finns i linan. Vid belastning med jämnt utbredd last (till exempel egentyngd) får kedjan en form enligt den matematiska funktionen cosinus hyperbolicus, även kallad kedjekurva eller catenaria (av latin: catena, "kedja"). En kedjekurva är den form en böjlig kedja eller kabel får av tyngdkraften då den hänger fritt mellan två infästningar. Vid infästningen uppbär kedjan den största tyngden och lutar där kraftigast. Mot kedjans mitt avtar lutningen eftersom kedjan bär mindre och mindre av sin egen vikt, se Figur 1. Figur 1: Jämnt utbredd last på en kedja eller lina ger formen enligt cosinus hyperbolicus, även kallad kedjekurvan Kedjekurvans ekvation De bärande dragkrafterna i en kedjekurva belastad med egentyngd visas i Figur 2a. Kurvan är symmetrisk i x-led. Ekvationen för kedjekurvan är en differential ekvation: där s är kurvans längd och c är en koefficient som bestämmer hur mycket kedjekurvan vidgas, se Figur 2b. Ju större värden på c desto större blir avståndet mellan kurvans ändar. Parametern c kan skrivas som: där H är den horisontella dragkraften och w är kedjans vikt per längdenhet. (1) (2)
Projekt bågbro Sid 3 (8) a b Figur 2: a. Kedjekurva med bärande krafter. b. Inverkan av parametern c på kedjekurvans form Integrering av ekvation (1) ger följande uttryck: ( ) (3) ( ) (4) Ekvation (1) beskriver lutningen och därmed vinkeln,. Det medför att: ( ) ( ) (5) där ( ) ibland betecknas arctan. 2. Omvänd kedjebåge En hängande lina kan endast uppta dragkrafter. Vänder man på kedjekurvan och lasten så får man en båge med endast tryckkrafter, se figur 3. Detta är den optimala formen på en bärande båge om materialet i bågen bara tål tryckkrafter. Figur3. Upplagen till en båge måste kunna ta horisontalkraft
Projekt bågbro Sid 4 (8) Kedjekurvan är alltså den ideala formen för en båge som bara ska bära sin egen vikt. Om en sådan båge byggs upp av konstruktionselement vars snittytor är bildar rät vinkel med centrumlinjen för bågen överförs tyngden genom enbart tryck mellan snittytorna. Tyngden fortplantar sig då ned i marken längs kedjekurvans förlängning. Sådana konstruktioner var vanliga i byggnader innan armerad betong började användas som konstruktionsmaterial. Ekvationer för omvänd kedjebåge De ekvationer som beskriver kedjekurvan kan användas för att beskriva den omvända kedjebågen, dock måste man då ta hänsyn kurvans nya utformning med i y-led. Utgår man från ekvation (3) så kan man skriva följande generella uttryck för en omvänd kedjebåge: ( ) (6) där K är en konstant. Lutningen (på centrumlinjen för ett element i kedjebågen) beräknas, liksom förut, genom att derivera ekvation (6): ( ) (7) Och vinkeln på elementet kan beräknas ut ekvation (5). Ekvation (6) visar att kurvans utseende bestäms av c och K. Om man väljer c = 200 mm och K så att y = 0 då x = 500 mm (basens längd =1.0 m), blir K = 1226 mm. Tips: cosh( 2) = cosh(2), dvs. kurvan är symmetrisk på båda sidorna i x-led. 3. Uppgift Varje grupp ska beräkna och tillverka en omvänd kedjebåge av träklossar (se exemplet i Figur 3). Klossarna sågas ur en bräda med tvärsnitt 34x70 mm. Grupperna får fritt välja konstanten c i kedjekurvans ekvation. Bågen ska dock inte bli större än att den ryms på ett bord. Lämplig bredd mellan stöden kan variera mellan 80 cm och 40 cm. Förslag på arbetsgång 1. Bestäm kurvans utseende genom att välja lämplig konstant c. 2. Dela in kurvan i ett antal dellängder i x-led. 3. Tips: välj en lämplig bas längd och beräkna då kurvans höjd eller vice versa! 4. Beräkna y i vid skärningarna i x-led. 5. Beräkna längd och lutning på klossens centrumlinje. 6. Derivera kurvan i skärningspunkterna för att få fram lutningen i skärningspunkterna. 7. Bestäm vinkeln på kapsnittet på träklossen vinkelrätt mot kurvans lutning. 8. Rita ut kapsnitt på träklossarna, se ex i Fiigur 4 nedan. 9. Kapa till klossarna med hjälp av en geringssåg. Stödklossarnas vinklar mot underlaget tas lättast fram genom att lägga ut bågen på ett jämnt underlag och med hjälp av en rak list eller liknande markera dessa. Om bågen görs så låg att horisontella stödkrafter behövs för att inte stöden ska glida mot underlaget kan stödklossarna fästas i underlaget med hjälp av dubbelhäftande tejp.
Projekt bågbro Sid 5 (8) Figur 3: Ett exempel på hur en båge kan konstrueras. Figur 4: Exempel på en kloss med olika vinkel i ändarna. OBS! glöm inte att mäta klossens totala bredd! 4. Redovisning Redovisningen sker genom att varje grupp visar upp sin bågbro för projekthandledaren vid en given tidpunkt. Förutom att bågbron ska kunna stå för sig själv ska gruppen även redovisa arbetsgång vid tillverkning av bron med utgångspunkt från en tabell som visar hur längder och vinklar för varje träbit har räknats fram. Exempel på en sådan tabell ses på nästa sida.
Projekt bågbro Sid 6 (8) Exempel på tabell för tillverkning av klossar till en bågbro Kloss nr Skarv X Skarv Y Längd Lutning dy/dx Vinkel Diff Vä Diff Hö Diff Vä (mm) Diff Hö (mm) V 1 2 0,14 0,36 1,66 58,92 3 0,12 1,34 53,33 5,60 6,78 2,94 3,57 0,22 0,46 1,06 46,54 4 5 6 7 8 9 10 11 H
Projekt bågbro Sid 7 (8) 5. Verktyg, Hjälpmedel och Material För att tillverka klossarna till bågbron behövs följande hjälpmedel: Bräda i trä (finns i maskinhallen) Penna Linjal Gradskiva Miniräknare Vinkelhake Geringssåg för att kapa brädan finns att låna i byggtekniks laborationssal A210. 6. Betyg och bedömning Projektet syftar till att studenterna i grupp ska genomföra uppgiften att utifrån ett matematiskt samband ta fram en ritning och tillverka en bågbro av trä. Utvärderingen syftar till att få studenter att analysera och reflektera över för och nackdelar med konstruktionen. Arbeten bedöms enligt kriterier nedan som antingen Godkänd eller Icke-Godkänd. Vid bedömning tas hänsyn till konstruktionsarbete, redovisning och utvärdering. För betyget Godkänd skall gruppen vid redovisningstillfället: 1. Bygga upp den bågbro av trä som gruppen tillverkat. 2. Redovisa de beräkningar och ritningar som varit underlag för tillverkning av bågbron. 3. Reflektera över arbetssätt vid beräkning och tillverkning. 4. Reflektera över för- och nackdelar med konstruktionen.
Projekt bågbro Sid 8 (8) Bilaga: Formelsamling Omvända kedjebågens ekvation: ( ) Där c och K är parametrar som bestämmer bågens form. Ekvationen kan också skrivas i en enkel form som: ( ( ) ( ) ) Lutningen på centrumlinjen för varje kloss: ( ) Alternativt skrivs ekvationen som: ( ( ) ( ) ) Vinkeln för varje punkt fås som: ( ) Längden för varje kloss fås genom Pythagoras sats: ( ) ( )