KTH HÅFASTHETSÄRA Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE5) den juni l. 8-3. Resultat ommer att finnas tillgängligt senast den juni. Klagomål på rättningen sall vara framförda senast en månad därefter. OBS! Tentand är sldig att visa legitimation. Sriv endast på en sida av bladet. Sriv tdligt namn och personnummer på varje blad. ösningar som är otdliga och svåra att följa ommer inte att bedömas. Hjälpmedel: Formelsamling i Hållfasthetslära, TEFYMA, BETA eller linande och ränedosa. Eaminator: Jonas Falesog, tel. 79 8977. Betgsgränser: F(underänd) p ; FX(möjlighet till ompletteringstentamen) p ; E p 3 ; D p 5 ; C p 7 ; B p ; A p 3, där (p tentamen+bonus).. [3 poäng] En bal i en onstrution an modelleras enligt figuren till höger, där fleibiliteten av omringliggande delar besrivs mha en linjär fjäder, N (högerände), och en linjär momentfjäder, M (vänster ände). Balen har längden och böjstvheten EI, och fjäderonstanterna är M EI ( β) respetive N EI ( α 3 ), där α och β är positiva dimensionslösa onstanter. Bestäm försjutningen i punten där den ttre raften P angriper mha av energimetod baserad på omplementär elastis energi. M EI, P N. [5 poäng] Figuren till höger visar ett facver bestående av fem stänger som belastas med två puntrafter, vardera P, och en föresriven försjutning u. Alla stänger har elasticitetsmodulen E. De stänger som är roterade 5 o relativt horisontalplanet har alla längden och tvärsnittsarean A. Den horisontella stången har längden och tvärsnittsarean A. Bestäm nodernas försjutningar. OBS! problemet blir betdligt enlare att lösa om dess smmetri beatas. P A, A, A, A, A, u P 3. Balen i Figur 3(a) är opplad till omgivningen via en ontinuerlig linjärelastis fjäder med en fjäderonstant per längdenhet z [(N/m) / m]. Stången har elasticitetsmodulen E, ttröghetsmomentet I, tvärsnittsarean A, densiteten ρ och utsätts för en acceleration a() i z-ritningen. Balens försjutningen i z-led, w(), ges av lösningen till differentialevationen ------- d EI d w --------- d + z w aρa d där T ( EIw ) och M EIw gäller vid rand med försriven tvärraft respetive moment. (a) [3 poäng] Ta fram den svaga formen till differentialev. ovan och härled FEM-evationen (anv. Galerins metod) för ett element, dvs identifiera storheterna i evationen e d e f e. (b) [3 poäng] Figur 3(b) visar ett enelt meanis sstem för att mäta acceleration som består av en elastis bal fastsatt i en elastis siva vars stvhet modelleras som en ontinuerlig elastis fjäder med z ηei ( η > ). Antag att balen utsätts för en onstant acceleration a (inveran av sivans masströghet försummas här) och att EI, A och ρ är onstanter. Dessutom, för att förenla analsen, an vineländringen i balens ändar sättas till noll, dvs, Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE5) den juni l. 8-3.
KTH HÅFASTHETSÄRA w ( ) w ( ). Använd ett balelement ( frihetsgrader/nod) och ta fram ett uttrc för accelerationen a som funtion av försjutningen i balens mittpunt, Δ w ( ), för fallet η 35 6. Jämför med den eata lösningen a ηeiδ ( A ρ). OBS! tröghetsraften som accelerationen ger upphov till är den enda ttre raft som belastar balen. Fig. 3 E, I, A z,w q aρa z bal siva z (a). [ poäng] I det bi-linjära isoparametrisa elementet visat i figuren till höger är noderna felnumrerade, givet de formfuntioner som används för att besriva geometri och försjutningar i elementet, se Formelbladet nedan. Bestäm Jacobimatrisens determinant för det atuella elementet. Varför blir en FEM-anals felatig i detta fall? (b) 3 (a, b) 5. En vadratis siva med antlängden och tjocleen h roterar ring sin diagonal med en onstant vinelhastighet ω, se Figur (a) nedan. Sivans material är isotropt, linjärelastist med elasticitetsmodulen E, Poissons tal ν och densiteten ρ. Antag vidare att förhållanden av plan spänning råder och att ν 3. En mcet grov finita elementmodell av sivan där hänsn till problemets smmetri har utnttjats visas i Figur (b) nedan. Modellen består av ett enda triangelelement med linjär ansats för försjutningen (CST-element). Centrifugalraftens inveran på sivan an modelleras genom volmsraften K ρω. Elementets formfuntioner N i och elementstvhetsmatris K e (plant spänningstillstånd) är givna i figuren. (a) [3 poäng] Visa att den totala nodlastvetorn blir F h 3 ρω + F R, där F R innehåller de reationsrafter som uppstår pga föresrivna försjutningsrandvillor. (b) [ poäng] Beräna samtliga nodförsjutningar d e och reationsrafter F R. (c) [ poäng] Beräna spänningarna i elementet. (a) (b) 3 ω E,ν, ρ Nodförsjutningsvetor: d e T d d d d d 3 d 3 K e Formfuntioner: N -- -- N --,, N 3 -- -------- Eh 8 Elementstvhetsmatris: 35 65 35 35 3 65 35 3 35 35 3 3 35 35 35 35 35 35 35 35 3 3 Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE5) den juni l. 8-3.
KTH HÅFASTHETSÄRA FORMEBAD (omplement till Formelsamling i Hållfasthetslära) GOBA BESKRIVNING FÖR ENDIMENSIONEA EEMENT D D D φ D 3 K e a a a a alternativt a l där l m l m m a c sc sc s c s cosφ sinφ l cosφ ( ) m cosφ ( ) ( ) + ( ) OIKA FINITA EEMENT D, Balelement: Utböjning: d d, EI d 3 d ξ d N w( ξ) N d + N d + N 3 d 3 + N d Nd e, B --------- d N ( 3ξ + ξ 3 ), N ( ξ ξ + ξ 3 ) N 3 ( + 3ξ ξ 3 ), N ( ξ + ξ + ξ 3 ) ----- d N --------- dξ B T Bd 3 3 3 3 -------- 3 3 3 N T Nd 3 3 3 3 3 3 -------- 5 78 7 3 8 3 6 7 3 78 3 6 8 N T dξ 3 3 Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE5) den juni l. 8-3. 3
KTH HÅFASTHETSÄRA Plana element (D): 3-sidigt triangelelement: d d 3 d 3 Försjutningar: u (, ) v (, ) N N N 3 d e Nd e d e N N N 3 d d d d A e d d d N -------- [( A 3 )( ) + ( 3 )( )] e N -------- [( A 3 )( 3 ) + ( 3 )( 3 )] e N 3 -------- [( A )( ) + ( )( )] e d 3 d 3 Töjningar: ε ε Bd e B B B B 3 B i γ -sidigt isoparametrist element: d 3 d d d d d d d 3 i N i i i N ( ξ) ( η), N ( + ξ) ( η) N 3 ( + ξ) ( + η), N ( ξ) ( + η) N i i η 3 ξ Försjutningar: u( ξ, η) v( ξ, η) N N N 3 N d e Nd e N N N 3 N Töjningar: ε ε ε Bd e B B B B 3 B B i γ där J ξ J η ξ ξ η η Spänningar: σ σ σ σ Cε C E ------------------ ( ν ) ν ν ( ν) (P.S) C ν E( ν) ------------------------------------- ( + ν) ( ν) ν (P.D) ( ν) FEM Ev. (ett element): B T CBdV d e N T tds + N T KdV V e S e V e t spänningsvetor K volmsraft Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE5) den juni l. 8-3.
KTH HÅFASTHETSÄRA. M ÖSNINGSFÖRSAG: FEM FÖR INGENJÖRSTIÄMPNINGAR, JUNI, M Frilägg balen! R M EI, P N N M jämvitsev. och obeanta (M, M, R, N) > Statist obestämt! Komplementär elastis energi: M W -------- ( M 6EI + M M + M ) --------- N + + -------- M N EI där N --------- EI α 3, M ------ β. W Minsta arb. princip: --------- 6αP M M --------------------------------------------------- + α + β + αβ --------- W 6α( + β)p M M --------------------------------------------------- + α + β + αβ Försjutning i W δ ------- α 3 P --------- EI P + M M -------------------- α( + β)p 3 raftangreppspunten: --------------------------------------------------- + α + β + αβ e& e3: P A, A, A, A, P A, D D Elementstvhetsmatriser: K i a a i, a i a a Randvillor: c sc c, sc s s EA ------, a { φ 5 } --, a 3 { φ 5 } Reducerat Ev. sst. (3,5): Smmetrihalva E A e: -------------- EA ------, a { φ } u Assemblering av stvhetsmatris: -- 3 u R 3 D 5 P K A, e3 e D 6 A, e D5 A, D D3 a + a 3 a a 3 a a + a a a 3 a a + a 3 -- D 5 R 3 P -- 3 u D D D D 6 D 3 u F 5 P -- cosφ sinφ 5u R 3 ----------- u P D 5 ---- ----- P + ----- Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE5) den juni l. 8-3. 5
KTH HÅFASTHETSÄRA 3(a). Svag form (multiplicera ODE med godtclig vitfn. v()): v [ ( EIw ) + z w aρa ]d () Partialintegrera : termen: veiw ( ) d [ vm] [ vt ] + v ( EIw )d 3(b). b e () insatt i () ger [ v ( EIw ) + v z w]d [ vt] [ vm] + vaρad B T EIBd + N T z Nd d e b e N T dn T [ T] ---------M + N T aρad d e Då b e är en godtclig vetor fås: e d e f s + f b f e f s () f b FEM-anals: ett balelement: d d 3, EI Randvillor: d d d d ξ FEM-Ev. ett element (approimativ lösning av svag form): d N Försjutningsansats: w ( ) Nd e w Bd e där B --------- d (d e, elementets nodförsjutningsvetor) T T T T Vitfn. (val enl. Galerin): v ( ) Nb e b e N v Bb e b e B (b e, en vetor med godtcliga omp.) Insatt i svag form med och (elem. längd satt till ) ger: Elementstvhetsmatris: astvetor: K B T EIBdξ + N T z Ndξ F b N T aρadξ aρa Reducerat evationssstem (,3) med z 35EI ----------- 6 3 d 3 3 EI -------- 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 z + -------- 5 ηei --------- 35 η ----- 6 ----------- 35EI 6 d aρa d 3 d 3 6aρA ------------------- 35EI 78 7 3 8 3 6 7 3 78 3 6 8 6aρA I punten gäller att Δ w ( ) N i ( ξ )d i ------------------- a 35EI i 35EIΔ ---------------- 6ρA Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE5) den juni l. 8-3. 6
KTH HÅFASTHETSÄRA. Koordinaterna i det isoparametrisa elementet ges av interpolationen (oord.-transformationen): ( ξη, ) N i i a( N + N) a( ξ) i ( ξη, ) N i i b( N + N) b( η) i J ----- ----- ξ ξ ------ b J ------ a η η Den felatiga nodnumreringen leder till en negativ elementstvhetsmatris. T.e. för en fjäder innebär det att en positiv normalraft i fjädern leder till en negativ fjäderförlängning. ab 5(a). Bidraget från volmsraften fås enligt: F b V e N T KdV Här är K ρω, dvs enbart omponenterna i -ritningen är silda från noll! F b ( ) -- -- ρω hd ρω h d ------------ ( ) ρω h 3 d 6 ------------------ F b ( ) --ρω hd ρω h d ------------ ( ) ρω h 3 d ------------------ F b3 ( ) --ρω hd ρω d ------------ h ( ) ρω h 3 d 3 ------------------ Med föresrivna försjutningar i frihetsgraderna d, d, d, d 3 erhålls reationsrafter, dvs F R F R F R F R F R3 Totala nodlastvetorn blir: F h 3 ρω + F R 5(b). Reducerat evationssstem med hänsn tagen till randvilloren E.(3, 6): Eh ------ 9 5 5 5 5 d d 3 3 ρω h ------------------ d d 3 ρω 3 --------------- 3 6E Reationsrafter: Eh E. (): R -------- ( d 8 3d 3 ) Eh ρω h 3 E. (): R -------- ( 3d 8 d 3 ) F b ------------------ 8 ρω h 3 E. (): R F b ------------------, E. (5): R Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE5) den juni l. 8-3. 7
KTH HÅFASTHETSÄRA 5(c). Spänningarna i elementet ges av σ Cε där ε Bd e B d + B d + B 3 d 3 3 d här gäller att d ; d ρω --------------- 3 d ; d 3 6E 3 d d 3 3 ρω --------------- 6E B i --, B B 3 -- C ν -- E, 3 ----- 9 3 3 35 σ σ 3 E σ ----- 9 3 -- 3 -- ρω 3 + --------------- 6E 35 τ ρω --------------- 6 Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE5) den juni l. 8-3. 8