Föreläsning 7 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 26 september 2013
Introduktion Förra gången: Känslighet och robusthet Dagens program: Repetion av känslighet och robusthet Tillståndsbeskrivning Linjärisering c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 2 / 24
Tester Repetition: l v r F r r Σ e F Σ u G Σ y Y = GF R + } 1 + {{ GF } G c U = F 1 + GF }{{} G ru Reglerdesign F (G o = GF ) 1 1 + GF } {{ } S -1 G V + L } 1 + {{ GF } G ly [ R V ] + 1 1 + GF } {{ } S c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 3 / 24 L
Tester Tester (De fyras gäng): 1 Plotta G c (iω) (speciellt ω B och M p ) G c (iω) 1 ω < ω B 2 Plotta S(iω) (känslighetsfunktionen) S(iω) + G c (iω) = 1 S(iω) 0 ω < ω B Information om hur utsignal-störningar undertrycks. 3 Plotta G ly (iω) G ly = G F 1+GF F = G c 1 F 1 F ω < ω B Information om hur insignal-störningar undertrycks 4 Plotta G ru (iω) G ru = F G 1+GF G = G c 1 G 1 G ω < ω B Information om styrsignalens storlek c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 4 / 24
Robusthet G y r Σ e F u Σ G y 1 U = GF 1+GF Y + Y = G U T = G c = GF 1+GF F 1+GF R c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 5 / 24
Robusthet Rita: r F u y 1+GF Σ G Im T 1 Re Stabilt om kretsförstärkningen < 1. T (iω) G (iω) < 1 T (iω) < 1 G (iω) ω Robusthetskriteriet från förra föreläsningen! c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 6 / 24
Robusthet Exempel (Filtrering av referenssignal) r F r r F r påverkar ej robust- och känslighet F r påverkar servoegenskaper (dvs. r y) Exempelvis kan F r vara ett lågpassfilter som ger lugnare uppförande vid steg etc. c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 7 / 24
Differentialekvation: Överföringsfunktion: ÿ(t) + ā 1 ẏ(t) + ā 2 y(t) = b 0 u(t) + b 1 u(t) G(s) = b 0 s + b 1 s 2 + ā 1 s + ā 2 c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 8 / 24
Exempel l r e Σ F (s) = s 1 s+1 Σ G(s) = 1 y s 1-1 G c = GF 1+GF = s 1 1 s+1 s 1 1+ s 1 1 s+1 s 1 = 1 s+2 Stabilt! G ly = G 1+GF = 1 s 1 1+ s 1 1 s+1 s 1 = s+1 (s+2)(s 1) Instabilt! Varning: Överföringsfunktionsalgebra kan ge felaktiga slutsatser (pga. begynnelsevärden = 0). c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 9 / 24
Tillståndsmodell: En andra ordningens differentialekvation kan överföras till två stycken kopplade första ordningens differentialekvationer. ] [ẋ1 (t) ẋ 2 (t) [ ] a11 a = 12 a 21 a 22 }{{} [ ] x1 (t) x 2 (t) A y(t) = [ [ ] x1 (t) c 1 c 2 }{{} x 2 (t) C ] [ ] b1 + u(t) b 2 }{{} B c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 10 / 24
Allmänt (n 2): ẋ(t) y(t) = Ax(t) + Bu(t) = Cx(t) Där vi har infört tillståndsvektorn som x 1 (t) x(t) =. x n (t) vilken innehåller all inre kunskap som är nödvändig för att avgöra systemets framtida uppförande. c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 11 / 24
Att gå från differentialekvation till tillståndsmodell: I. Fysikaliska tillstånd II. Diagonalform III. Styrbar kanonisk form IV. Observerbar kanonisk form c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 12 / 24
Exempel (I. Fysikaliska tillstånd) m F Styrsignal: F, kraft Utsignal: y, läge y { Newton II } = mÿ = F = ÿ(t) = 1 mu(t) (Dubbelintegrator) Låt nu { x 1 (t) = y(t) läge x 2 (t) = ẏ(t) hastighet ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 (t) 0 1 x 1 (t) 0 = + u(t) x 2 (t) 0 0 x 2 (t) 1/m = ( ) ( ) x 1 (t) y(t) = 1 0 x 2 (t) c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 13 / 24
Exempel (II. Diagonalform (Partialbråk)) I en DC-motor ges överföringsfunktionen av G(s) = och utsignalen fås då genom 1 s(s + 1) = 1 s + 1 s + 1 Y (s) = 1 s U(s) + 1 }{{} s + 1 U(s) }{{} X 1 (s) X 2 (s) vilket ger oss ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) y(t) = u(t) = x 2 (t) u(t) = x 1 (t) + x 2 (t) c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 14 / 24
Exempel (II. Diagonalform (Partialbråk), fort.) Ur vilka vi kan identifiera A = [ ] [ ] 0 0 1, B = 0 1 1 samt C = [ 1 1 ] c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 15 / 24
Att gå från tillståndsbeskrivning till överföringsfunktion: } ẋ = Ax + Bu L = sx(s) = AX(s) + BU(s) y = Cx + Du Observera dock att vi antagit att x(0) = 0! = [ si A ] X(s) = BU(s) Genom en Laplacetransform av den andra ekvationen och sen med insättning av uttrycket för X(s) ovan fås Y (s) = CX(s) + DU(s) = (C [ si A ] ) 1 B + D U(s) varur vi kan identifiera överföringsfunktionen G(s) = D + C [ si A ] 1 B c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 16 / 24
Exempel Givet systemet beräknar vi si A = ( ) 0 1 ẋ = x + 0 0 y = ( 1 0 ) x ( ) s 0 0 s ( ) 0 u 1 ( ) 0 1 = 0 0 ( ) s 1 0 s som vi enkelt inverterar med regeln för en invers av 2 2-matriser ( ) a b M = = M 1 = 1 ( ) d b c d det M c a c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 17 / 24
Exempel Som för oss ger att Detta kan jämföras med [ si A ] 1 = 1 s 2 ( ) s 1 0 s = C [ si A ] 1 B = 1 s 2 ÿ = u, G(s) = 1 s 2 c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 18 / 24
Systemets poler: det ( si A ) = s 2 (sekulär ekvation) Observera att detta ger egenvärderna till A: Ax = λx (λi A)x = 0 det(λi A) = 0 c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 19 / 24
Allmänt gäller att G(s) = C(sI A) B det(si A) + D där (si A) är adjunktmatrisen till (si A). Systemets poler = A-matrisens egenvärden c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 20 / 24
Linjärisering Verkliga system är oftas olinjära: { ẋ(t) = f(x(t), u(t)) y(t) = h(x(t), u(t)) Exempel (Olinjärt system) { ẋ y = x + x 2 + sin u = e x + cos u c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 21 / 24
Linjärisering Låt oss anta att insignalen är konstant, u(t) = u 0, och att då Stationär punkt: (x 0, u 0, y 0 ) x(t) ( x 0, t ) ẋ(t) 0, t f(x 0, u 0 ) = 0 h(x 0, u 0 ) = y 0 Vi studerar små variationer kring denna punkt: x = x x 0 u = u u 0 y = y y 0 c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 22 / 24
Linjärisering Derivering av x ger sedan ẋ = d ] [x x 0 = ẋ = f(x 0 + x, u 0 + u) = { Taylor } = dt = f(x 0, u 0 ) +f }{{} x (x 0, u 0 ) x + f u (x 0, u 0 ) u + högre ordningens termer =0 Observera att vi behandlar matriser här: f 1 (x 1, x 2,.., x n, u) f(x, u) =. f n (x 1, x 2,.., x n, u) f 1 x 1... f x =..... f n x 1... f 1 x n f n x n f 1 =... f n c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 23 / 24
Linjärisering På liknande sätt för y får vi y = y y 0 = h(x 0 + x, u 0 + u) y 0 ) = { Taylor } = = h(x 0, u 0 ) y }{{} 0 +h x (x 0, u 0 ) x + h u (x 0, u 0 ) u + h.o.t. =0 Vilket ger oss uttrycken för den linjära approximationen: ẋ y = A x + B u = C x + D u där A = f x (x 0, u 0 ), B = f u (x 0, u 0 ) C = h x (x 0, u 0 ), D = h u (x 0, u 0 ) Viktigt: Detta gäller bara för små x, u och y! c Bo Wahlberg (KTH) Föreläsning 7 26 september 2013 24 / 24