Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar ett positivt tal. Ekvationen x+ = 3 saknar därför rot. Däremot har ekvationen x+ = 3 roten x = 8, vilket man inser om båda leden i ekvationen kvadreras. x+ = 3 ( x+) = 3 x+ = 9 x = 8 För att förstå det här med rotekvationer måste vi införa några grafer (eller kurvor). Lite för tidigt måste vi här nämna ordet funktion. f(x) = x är just en funktion. När vi plottar dess graf får vi 3.0.5.0.5.0 0.5 6 8 0 En graf till ska vi plotta, som ni säkert redan är bekanta med. Vi kallar den räta linjen. Ett exempel y = x+3 0 8 6 6 8 0 Nu över till rotekvationer. Detta är en rotekvation som vi vill lösa Exempel. x = x + 3 Håkan Strömberg KTH STH
Här undrar vi som vanligt, när är vänstra ledet lika med högra? Om vi plottar de två graferna i samma figur får vi. 3.0.5.0.5.0 0.5 6 8 0 Rötterna får vi nu genom att läsa av var de två graferna skär varandra. På ett ungefär verkar de vara x och x 9. Observera dock att det aldrig i den här kursen är tillåtet att ge grafiska lösningar. Därför måste vi lösa ekvationen analytiskt. x = x+3 ( x) = ( x+3 ) x = (x+3) x = x +6x+9 6 6x = x +6x+9 x 0x+9 = 0 x = 5± 5 9 x = 5± x = 9 x = Det stämmer med vår grafiska avläsning! Lösningen är exakt x = 9 och x =. Vi utgår ifrån ( ) att alla vet att =. Idén med att lösa rotekvationer är alltså att kvadrera båda leden och hoppas att rottecknen försvinner. Men det finns komplikationer! Exempel. Lös ekvationen x = x Vi plottar funktionerna och får 3 5 3 Här skär den räta linjen rotgrafen endast en gång. Vi gissar att roten är x =. Över till den analytiska lösningen x = x ( x) = ( x) x = x+x x = x+x x 5x+ = 0 x = 5 ± (5 ) 5 x = 5 ± x = 5 ± 3 x = x = Håkan Strömberg KTH STH
Men här får vi ju två rötter!. Ja, men en är falsk. När man kvadrerar båda sidor i en ekvation kan det uppstå falska rötter! Man avgör om roten är falsk genom att sätta in den i den ursprungliga ekvationen = ger = och verkar helt OK. Men ger, så x = är falsk. Svar: x =. Vi tar en till för säkerhets skull Exempel 3. = x = x+ Först den grafiska lösningen 5 3 3 Oj då, här verkar inte de två graferna skära varandra över huvud taget! Det ska bli intressant att se vad den analytiska lösningen ger x = x+ ( x) = (x+) x = x +x+ x +x+ = 0 x = ± ( ) x = ± x = ± Negativt under rottecknet, lika med inga reella rötter. Svar: Ekvationen saknar lösning. 3 Mer om polynomekvationer Här några polynomekvationer Förstagradsekvation 0x + 53 = 73 x = Andragradsekvation x x = 0 x = 3, x = Tredjegradekvation x 3 +6x 63x 09 x =, x = 7, x 3 = 3 Fjärdegradsekvation x +x 3 x 9x+08 x = x = 3, x 3 = 3, x = Ekvationer av första och andra graden ska vi alltid klara av hur de än ser ut. En godtycklig ekvation av tredje graden, klarar åtminstone inte jag av utan dator eller tabell. Samma gäller :e-gradare. Då talar vi hela tiden om exakta lösningar. Allmänna 5:e-gradare och högre gradtal, klarar ingen av att lösa exakt, därför att man bevisat att det inte går. Men det hindrar inte att det finns speciella ekvationer av alla gradtal som man hädelsevis kan lösa. Till exempel Håkan Strömberg 3 KTH STH
Exempel. x 3 = 7 med som åtminstone har en rot x = 3 (och två andra imaginära). Här kommer en speciell typ av :e-gradare som du ska kunna lösa Exempel 5. Lös ekvationen x 5x + = 0 Ett krav är att ekvationen saknar termer av 3:e och :a graden, som här. Knepet är att man substituerar x = t och får ekvationen t 5t+ = 0 5 t = 5 ± t = 5 ± 5 t = 5 ± 9 t = 5 ± 3 t = t = Men nu har vi ju bestämt att x = t, så då får vi x =, x = ±, x =, x = och att x =, x = ± som ger x 3 = och x = Problem. Lös ekvationen x+ = x En rotekvation av den enklare sorten x+ = x ( x+) = ( x ) x+ = x x = Vi ser lång väg att detta är en äkta rot eftersom + Svar: x = Problem. Lös ekvationen x +5 = x 5 x = är en falsk rot. Svar: Ekvationen saknar rötter. x +5 = x 5 ( x +5) = (x 5) x +5 = x 0x+5 0x = 5 5 x = Vänstra ledet Högra ledet +5 5 3 3 Håkan Strömberg KTH STH
Problem 3. Lös ekvationen Vi testar x = x = är en äkta rot. Vi testar x = 7 x = 7 är en falsk rot Svar: x =. x x 8 = 0 x x 8 = 0 x 0 = x 8 (x 0) = ( x 8) x 0x+00 = x 8 x x+08 = 0 68 x = ± 08 x = ± 9 x = ± 7 x = x = 7 Vänstra ledet Högra ledet 8 0 0 0 0 Vänstra ledet Högra ledet 7 7 8 0 7 3 0 0 Problem. Lös ekvationen x+ x = x x+ x = x ( x+ x ) = ( x ) x+ x+ x +x = x x+ x = x x x+ (x+)(x ) = 7 x (x+)(x ) = 7+x ( (x+)(x )) = (7+x) (x+)(x ) = 9+x+x (x x+x ) = 9+x+x x +x 6 = 9+x+x 3x x 65 = 0 x x 3 65 3 = 0 x = 3 ± 9 + 65 3 3 3 x = 3 ± 3 x = 5 x = 3 3 Håkan Strömberg 5 KTH STH
Så är det dags att testa rötterna Vänstra ledet Högra ledet 5+ 5 5 3 Roten x = 5 är en äkta rot Vänstra ledet Högra ledet 33 + 33 3 3 I två av termerna blir det negativt under rottecknet vilket betyder att roten är falsk. Svar: x = 5 Problem 5. En bakteriekultur tillväxer enligt formeln N(x) = 500+350x+5x där N(x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början. Hur länge dröjer det innan antalet bakterier har fördubblats? Antalet bakterier i burken följer funktionen N(x) = 500+350x+5x. Efter minuter till exempel finns det N() = 500 + 350 + 5 = 0300. Hur många bakterier finns det i burken när försöket startar? Får vi genom T(0) = 500. Vi vill alltså ha reda på hur lång tid det dröjer innan det finns dubbelt så många 5000. Detta ger oss ekvationen: 500+350x+5x = 5000 00+x+x = 00 x +x 00 = 0 x = 7± 9+00 x = 5. x = 9. Som du ser började vi dividera ekvationen med 5. Den här ekvationen är inte så enkel, det vill säga den ger inte heltalsrötter. Åter en ekvation där en av rötterna är omöjlig. Svaret blir då 5. minuter. Lös ekvationen Problem 6. x (x+) 6(x+) = 0 För att kunna lösa ekvationen x (x+) 6(x+) = 0 får man absolut inte starta med att utveckla parenteserna, för då hamnar man i en tredjegradsekvation, som vi inte har något verktyg för att lösa. Nej, titta i stället på ekvationen. Vad händer då x =? Båda termerna blir ju 0. Vi har hittat en rot x =. Dividerar vi nu båda sidor med (x+) återstår x 6 = 0 eller x = 6. Huvudräkning, x = 8 och x 3 = 8. Tre rötter!? Inte ett dugg överraskade, om en förstagradsekvation har en rot, en andragradsekvation två rötter, så är det väl logiskt att en tredjegradsekvation har tre. Lös ekvationen Problem 7. 3x 5 = x Ekvationen 3x 5 = x ser kanske besvärligare ut än den i verkligheten är. Rottecknet försvinner om upphöjer det till. Jag menar att ( x ) = x Vi kvadrerar alltså båda sidor i Håkan Strömberg 6 KTH STH
ekvationen: 3x 5 = x ( 3x 5 ) = (x ) 3x 5 = x + x x 5x+6 = 0 x = x = 3 Som tur är kan vi direkt se vilka rötterna är genom knepet som vi nämnt. Nu tillkommer en komplikation när det gäller rotekvationer. Vid kvadreringen kan falska rötter tillkomma och man är alltid tvungen att testa om de duger genom att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen. Som vi ser uppfyller x = villkoret att båda sidor ska vara lika 3 5 =. Detta gäller även för x = 3 som ger 3 3 5 = 3. I figur visar vi grafen..5 0.5.8...6.8 3 Figur : Problem 8. Lös ekvationen s+3 7 s = Den här ekvationen är verkligen besvärlig! Kvadrerar vi båda sidor får vi fortfarande ett rottecken kvar. Men varför skulle man då inte kunna kvadrera en gång till. s+3 7 s = ( s+3 7 s ) = 0 (s+3)(7 s) = 8 = (s+3)(7 s) 6 = (s+3)(7 s) 6 = 7s s +9 3s s +6s 7 = 0 s = 3 s = 9 OK, nu har vi funnit två rötter s = 3 s = 9. Innan vi ger dem som svar måste vi pröva dem. s = 3 3+3 7 3 = = s = 9 ( 9)+3 7 ( 9) = Alltså är det bara s = 3 som fungerar. Men hur ska man förstå detta? Innan vi kvadrerar har vi funktionerna (VL) f (s) = s+3 7 s och (HL) f (s) =. Plottar vi dem får vi följande graf: Vi ser helt klart att ekvationen bara har en rot. Den ena kurva skär den andra på ett ställe, s = 3. Plottar vi nu de två funktionerna f 3 (s) = ( s+3 7 s ) och f (s) =, sådana de ser ut efter en kvadrering får vi En extra (falsk) rot har dykt upp för x = 9, som förresten inte försvinner då vi kvadrerar ytterligare en gång. Denna uppgift är kanske onödigt komplicerad i den här delen av kursen. Håkan Strömberg 7 KTH STH
-0-5 5 - - Figur : 0 5 0 5-0 -5 5 Figur 3: Räkna i första hand uppgifterna på sidan 7 73 och 3. Läxa. Lös ekvationen x+ = x Läxa. Lös ekvationen x++ x = 3 Läxa 3. Lös ekvationen x+5 = x Läxa. Bestäm konstanten a, så att ekvationen får en rot x = ax (a 5)x (a ) = 0 Läxa 5. Lös ekvationen x 0x +9 = 0 Läxa Lösning. x+ = x ( x+ ) = ( x ) x+ = x x = Varje gång vi i en ekvation kvadrerar båda sidorna, måste vi testa att att rötterna vi fått inte är falska. Håkan Strömberg 8 KTH STH
Sätter vi in x = får vi 6 = 6 Vilket betyder att roten är äkta! Svar: x = Läxa Lösning. x++ x = 3 ( x++ x ) = 3 (x+)+(x )+ x+ x = 9 x++ (x+)(x ) = 9 = 7 x ( (x+)(x )) = (7 x) (x+)(x ) = (7 x) (x x+x 8) = 9+x 8x Denna rot måste prövas och det visar sig att den fungerar. x +8x 3 = 9+x 8x 8x 3 = 9 8x 36x = 8 x = 9 Svar: x = 9 Läxa Lösning 3. x+5 = x ( x+5 ) = ( x) x+5 = x+x x 3x = 0 0 = 3x+x x = 3 ± 9 + x = 3 ± 5 x = 3 ± 5 Vi testar x = som är falsk. Sedan testar vi x = x = x = V.L. +5 = 3 H.L. = 3 V.L. +5 = H.L. ( ) = Håkan Strömberg 9 KTH STH
som är äkta Svar: x = Läxa Lösning. Vi vet att en rot är x = och sätter därför in den Båda dessa ekvationer har en rot x = och Läxa Lösning 5. Vi substituerar t = x. ax (a 5)x (a ) = 0 a (a 5) (a ) = 0 a a+5 a + = 0 a +a 6 = 0 a = ± +6 a = ± + a = ± 5 a = a = 3 x ( 5)x ( ) = 0 x +x 3 = 0 x = x = 3 ( 3)x ( ( 3) 5)x (( 3) ) = 0 3x +x 8 = 0 x = x = 8 3 x 0x +9 = 0 t 0t+9 = 0 t = 5± 5 9 t = 5± t = 9 t = I nästa steg löser vi först och sedan Svar: x = 3, x = 3, x 3 =, x = 9 = x x = ± 9 x = 3 x = 3 = x x = ± x 3 = x = Håkan Strömberg 0 KTH STH
Problem 9. (a b)(a +ab+b )+(a+b)(a ab+b ) (a b)(a +ab+b )+(a+b)(a ab+b ) (a 3 +a b+ab a b ab b 3 )+(a 3 a b+ab +a b ab +b 3 ) a 3 +a b+ab a b ab b 3 +a 3 a b+ab +a b ab +b 3 3 a 3 +a 3 +a b a b a b+a b+ab +ab ab ab b 3 +b 3 a 3 När man multiplicerar en parentes med 3 termer med en med termer får man total 3 = 6 termer. Total ska vi här alltså hantera termer (). I (3) har vi samlat ihop liknade termer. Den som har en administrativ vana kan gå direkt från () till svaret. Svar: a 3 Problem 0. a a 3 a+ a 3 a a 3 a+ a 3 3a 3 a 3 3a 3 + a 3 3a a 3 3a+a 3 3 a 3 3 a Vi startar med att göra de liknämnigt i täljaren och nämnaren oberoende av varandra. Nu råkar båda ha samma minsta gemensamma nämnare (). Nu kan vi skriva termerna på samma bråkstreck (). Division av två bråk är samma sak som att multiplicera det första med det andra inverterat (3). Efter förkortning får vi Svar: Håkan Strömberg KTH STH
Problem. (6a+9) (a+9) (a+6) (6a+9) (a+9) (a+6) (36a +36+8a) (a +8+36a)) a +36+a 3 3a 9a+80 a +a+35 8(a a+35) a +a+35 8 Två gånger första kvadreringsregeln i täljaren och en gång i nämnaren ger (). Sammanslagning av termer ger (). I () ser vi att det är möjligt att bryta ut 8 i täljaren som ger (3). Svar: 8 Problem. a b a + a a b ab+b a ab a b a + a a b ab+b a ab (a b) (a b) (a b) a + a a a (a b) b(a+b) a(a b) (a b) +a b(a+b) a(a b) 3 5 a +b ab+a ab b 3a 3ab a(a b) 3a(a b) a(a b) a(a b) 6 3 Vi strävar nu efter att kunna skriva de tre bråken på samma bråkstreck. a(a b) är en gemensam nämnare (för övrigt den minsta). Vi förlänger bråken med lämpliga uttryck (). Nu har vi nått första målet (). I (3) förenklar vi täljaren till resultatet i (). I () ser vi att det är möjligt att bryta ut 3a. Efter förkortning av (5) för vi Svar: 3 Håkan Strömberg KTH STH