TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad. 1. Beräkna följande gränsvärden x 5 a.) lim x 5 x 5 x 3 x + x b.) lim x x x 3 c.) lim t t 3 t. Derivera följande funktioner (och förenkla) (a) f(x) = 3 x 3 + x (b) g(x) = cos x sin x (c) h(x) = (1 + x ) arctan x 3. (a) Funktionen f(x) = x + x, x 1, har en invers funktion f 1. Beräkna inversen och skissa dess graf. (b) Ange definitionsmängd och värdemängd till f och f 1.. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf. 5. (a) Beräkna tredje ordningens Taylorpolynom för sin x centrerad i origo. (b) Använd approximationen från uppgift a) för att beräkna ett närmevärde för sin π/. Vad är det exakta värdet? (c) Beräkna feltermen och gör en uppskattning av hur stort felet är.. Beräkna integralerna (a) xe x dx (b) x e x dx 7. Beräkna integralen I 7 = x + x 3 + x + x dx 8. Ett område i planet begränsas av linjen y = x och kurvan y = x. Beräkna volymen av den kropp som bildas då detta område roterar kring x-axeln. Rita figur.
Svar till tentamen i Envariabelanalys, 1 8. 1. a.) 1 1 b.) 3 c.). (a) f (x) = (x + 3) (b) g (x) = sin(x) cos(x) (c) h (x) = 1 + x arctan x 3. f 1 (x) = 1 1 + x. Se lösningen! 5. (a) p 3 (x) = x x3 (b) π π3 8.98. Det exakta värdet: sin π/ = 1 (c) Feltermen:: E 3 (π/) = sin c π π Maximala felet:: 38.537. (a) e x / + C (b) e x x e x x + e x + C = e x ( x x + ) + C 7. 1 ln(x 1) ln(x + ) + 11 8. π 15 ln(x + 3) + C
Lösningar till tentamen i Envariabelanalys, 1 8. 1. (a) Gränsen insatt i kvoten ger att vi har att både täljare och nämnare går mot noll. Utveckla nämnaren: x 5 x 5 x 5 = ( x + 5)( x 5) = 1 som går mot 1 då x 5 x + 5 1 (b) Både täljare och nämnare går mot oändlighet när x går mot oändligheten. x 3 är snabbast växande term i både täljare och nämnare och om vi dividerar både täljare och nämnare med x 3 så får vi, x {}}{ x 3 x + x x x 3 = 1 x + 1 x x 3 1 x }{{}, x = 3, x (c) I denna uppgift så har kvoten inga problem när t. Kvoten är alltså kontinuerlig i t = så vi behöver vara sätta in t = i kvoten för att få gränsvärdet. lim t. (a) Med hjälp av kvotregeln så får man (b) Här ger kedjeregeln t 3 t = ( )3 ( ) = 8 = ( ) 3 x (3 + x) (3 x) = 3 + x (3 + x) = (3 + x) g (x) = ( cos x) ( sin x) sin x cos x = sin x cos x (c) I denna uppgift har vi en produkt av de två funktionerna 1 + x och arctan x. Derivering med Produktregeln ger oss h (x) = (1+x ) arctan x+(1+x )(arctan x) = x arctan x+(1+x 1 ) = 1+x arctan x 1 + x 3. (a) För att beräkna inversen så sätter vi y = x +x och löser ut x, vilket kräver användande av kvadratkomplettering eller den s.k. pq-formeln, y = x + x x + x y = x = 1 ± 1 + y, y 1 Från förutsättningarna så hade vi att x 1 vilket ger att endast lösningen med fungerar. Genom att göra speglingen y x så får vi således inversen som funktion av x: f 1 (x) = 1 1 + x, x 1 (1)
5 1 15 Figure 1: Grafen till den inversa funktionen f 1 (x) = 1 1 + x, tillsammans med linjen y = x i rött. (b) Definitionsmängden för f angavs i uppgiften att x 1 vilket ger att dess värdemängd är V f = [ 1, + ) För inversen har vi att denna värdemängd blir inversens definitionsmängd D f 1 = [ 1, ), V f 1 = (, 1] där värdemängden bestäms av (1), och inversens definitionsmängd.. Låt oss börja med att skriva om funktionen som y = 1 x 1 + x = x 1 = x + 1 = x + {}}{ 1 1 1 x + 1 = x + 1 x + 1 x + 1 = 1 x + 1, = Från sista formen 1 x+1 ser man direkt att funktionen närmar sig x = 1 då x >>. Detta är en horizontell asymptot. Vi har också en vertikal asymptot då x = 1 eftersom funktionen ej är definierad där. Eftersom extrempunkter ofta återfinns i kritiska punkter och singulära punkter så behöver vi derivera y (x) = (1 + x) y (x) = (1 + x) 3 Från detta ser vi att det inte finns varken kritiska punkter (derivatan aldrig noll) eller inflexionspunkter (andra derivatan aldrig noll) Derivatan ej definierad i x = 1 ger oss en singulär punkt. Teckenstudium x x < 1 1 x > 1 y ej def y + ej def + y ej def y + ej def Table 1: teckenstudium
1 5 5 1 Figure : Grafen och asymptoter till funktionen x 1 x+1 i uppgift 5. (a) M.h.a Taylors sats så ges tredje ordningens Taylorpolynom av p 3 (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)! som i vårt fall, då a = och f(x) = sin x, så får vi (x a) + f (a) (x a) 3 3! vilket följer eftersom sin =. p 3 (x) = x x3, (b) Ett närmevärde till sin π/ får vi om vi sätter x = π/ i p 3 (x), som då blir p 3 (π/) = π/ (π/)3 = π π3 8.98 (c) Vi vet ju att sin π/ = 1 och då kan man ju uttrycka felet som felet = det rätta minus det ( ) approximativa π felet = 1 π3 1.98 =.75 8 Feltermen för approximationen blir enligt Taylors sats: E 3 (x) = f () (c) x,! där c ligger mellan x = π/ och. Eftersom fjärdederivatan av sin x är sin x så har vi E 3 (π/) = sin c π = π 38 sin c π 38.537 där den sista olikhet följer eftersom sin c 1. Denna feluppskattning betyder att det från approximationen så är det inte möjligt att säga mer om det korrekta värdet för sin π/ än att det ligger i intervallet [.98.537,.98 +.537] = [.711, 1.1785] vilket ju stämmer eftersom det rätta värdet är 1. Denna approximation är inte så bra och anledningen är att vi använt Taylorpolynomet med centrum i origo och origo ligger för långt ifrån π/ för att vi ska kunna få ett bra närmevärde. Graferna till sin x och p 3 (x) är plottade tillsammans i figur 3. 5
.8... Π Π 3 Π Π Figure 3: Jämförelse mellan sin x och dess tredjegradens Taylorpolynom. Notera att i vår punkt π/ så ligger kurvorna en bit från varandra.. (a) Substitution: u = x, du = xdx ger oss 1 e u du = e u / = e x / + C (b) Partiell integration i två steg ger oss x e x dx = x e x xe x dx = x e x (xe x e x dx) = x e x xe x + e x + C 7. Det är lätt att se att x = 1 är ett nollställe till nämnarpolynomet och ger således en faktorisering x 3 + x + x = (x 1)(x + 5x + ) = (x 1)(x + )(x + 3) där den sista faktoriseringen kommer efter att vi beräknat nollställena till x + 5x +. Faktoriseringen ger oss följande partialbråksuppdelning av integranden: x + (x 1)(x + )(x + 3) = A x 1 + A, B och C beräknas mha handpåläggning: B x + + C x + 3 Vår integral blir nu A = B = C = I 7 = 1 = 1 1 + (1 + )(1 + 3) = 1 ( ) + ( 1)( + 3) = 3 1 = ( 3) + ( 3 1)( 3 + ) = 11 ( ) ( 1) = 11 dx x 1 dx x + + 11 ln(x 1) ln(x + ) + 11 dx x + 3 = ln(x + 3) + C
8. Om vi tittar på området som skall roteras kring x-axeln så är det inte svårt att förstå att det roterade området som vi söker volymen av kan fås genomatt beräkna volymen V 1 som uppstår genom att rotera området under y = x och subtrahera volymen V som uppstår då vi roterar y = x. Vi har 1 [ ] x V 1 = πx 3 1 dx = π = π 3 3 och 1 [ ] x V = πx 5 1 dx = π = π 5 5, vilket ger att volymen som vi söker blir V = V 1 V = π 3 π 5 = π ( 5 3 15 ) = π 15 1..8.......8 1. Figure : Området i uppgift 8 som skall roteras kring x-axeln. Det rödaktiga området roteras och blir volymen V. Det blå och röda tillsammans roteras och blir volymen V 1. 7