Räkneuppgifter i matematik, kemi och fysik för repetition av gymnasiet Farmaceutiska Fakulteten 2018
Del 1 - Matematik Algebra Algebraiska räkneregler Räkneregler för addition, subtraktion, multiplikation och division av algebraiska uttryck kan sammanfattas med följande samband. a (b + c) = ab + ac (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd aa bb ± cc aa ± cc = bb bb aa bb cc dd = aaaa bbbb aa cc = aa bb dd bb dd cc Lösning av andragradsekvationer av typen xx 22 + pppp + qq = 00 Många problem inom kemi och fysik kräver i slutändan att man måste lösa en så kallad andragradsekvation, dvs en ekvation som innehåller den obekanta variabeln i kvadrat (x 2 ). En andragradsekvation går att lösa med några olika metoder som kan sammanfattas med den så kallade pq-formeln. xx = pp 2 ± pp 2 2 qq För andragradsekvationer på formen aaaa 2 + bbbb + cc = 0 kan man börja med att dividera med a vilket ger p = b/a och q = c/a. 2
Räkneregler för exponentialuttryck Exponentialuttryck består av en bas (i tabellen nedan betecknad a) och en exponent (m eller n). Många matematiska uttryck kan förenklas genom att man använder sig av de räkneregler för exponentialuttryck som ges nedan. aa mm aa nn = aa mm+nn aa mm = aamm nn aann (aa mm ) nn = aa mmmm (aaaa) mm = aa mm bb mm aa bb mm = aamm bb mm aa mm/nn = aa 1/nn mm nn aa = aa 1/nn Övningsuppgifter 1. Utveckla och förenkla följande uttryck a) (2xx 2 6xx + 11) + ( 3xx 2 + 7xx 2) b) (6xx 1)(2xx 3) c) (3aa + bb) 2 d) (xx + 1)(xx + 2)(xx + 3) 2. Förenkla följande uttryck a) 9xx2 25 5 3xx b) 15xx3 9xx 2 / 6xx 10xx 2 c) 1 xx+1 / xx+3 2xx+2 d) xx+1 xx+2 xx2 +6xx+8 xx 2 +4xx+3 3. Förenkla följande uttryck genom att skriva som ett gemensamt bråk a) aa+1 aa 1 2 2 b) 6 xx 5 xx 2 c) 3xx 3xx+1 4 d) 1 + 1 xx 1 (xx 1) 2 4. Förenkla följande uttryck a) 5xxxx xxxx+7xxxx 5aa b) 4aa+3aaaa c) xx2 xx xx 1 d) aa aa bb 2 5. Lös följande ekvationer a) xx 4 + 9 = 3 xx 2 b) 4xx+2 + 8xx = 0 c) 0.10 = (2xx)2 d) 3 = 2 2 (0.20 xx) 2 xx+1 4xx+1 6. Lös följande andragradsekvationer b) xx 2 + 5xx + 6 = 0 b) 2xx 2 = xx + 4 c) 3xx 2 + 1 = 5xx d) 6xx 2 + 7xx = 3 3
7. Lös följande andragradsekvationer a) xx 2 + 3xx = 77 b) xx(2xx + 7) = 4 c) 4xx 2 = 0.33 (1 + xx) d) 2xx 2 + 0.0050 = 0.38xx 8. Förenkla följande uttryck a) 2 7 1 b) aa 1 bb 2 3 c) 3 5/2 3 3/2 3 7/2 3 9/2 d) xx1/3 yy 2/3 zz 1/4 xx 5/3 yy 1/3 zz 3/4 9. Förenkla följande uttryck a) 32yy 5 3 b) 7 2 8 18 + 4 72 c) 16xx 9 yy 4 zz 5 d) 16 8xx + xx 2 Exponentialfunktioner och logaritmer Exponentialfunktionen yy = aa xx har basen a och exponenten x. Exponentialfunktioner kan alltid skrivas på ett alternativt sätt med hjälp av logaritmfunktioner. Således är logaritmfunktionen yy = log aa xx ekvivalent med exponentialuttrycket xx = aa yy. Man säger att yy = log aa xx och yy = aa xx är varandras inversfunktioner. Logaritmfunktionen med basen 10, yy = log 10 xx (tiologaritmen), brukar i engelsk litteratur förkortas yy = log xx. I svensk litteratur används ibland förkortningen y = lg x. Inom kemin baserar sig ph begreppet på tiologaritmfunktionen. Annars är logaritmfunktionen med basen e 2.71828 (yy = log ee xx) speciellt viktig. Den brukar betecknas yy = ln xx och kallas för den naturliga logaritmen. Funktionerna yy = ee xx och yy = ln xx, som baseras på basen e, har bland annat fördelen att vara enklare att hantera vid derivering och integrering. Räkneregler för logaritmer (logaritmlagarna) Räkneregler för logaritmer är mycket viktiga att behärska för att kunna förenkla matematiska uttryck eller lösa vissa typer av ekvationer log aa xxxx = log aa xx + log aa yy log aa xx yy = log aa xx log aa yy log aa xx mm = mm log aa xx log aa aa = 1 log aa 1 = 0 log aa aa mm = mm aa log aa mm = mm Med hjälp av det sista sambandet kan man härleda samband mellan logaritmer med olika bas. Till exempel kan man skriva ln xx = ln 10 log xx = log xx ln 10 4
Övningsuppgifter 10. Finn en lösning till följande ekvationer a) 4xx 5 = 23 b) 4ππrr3 3 = 3 10 3 c) 0.03768 (480 tt) 1.85 = 1000 d) 4 = 3 1 + xx 100 3/2 11. Beräkna logaritmerna a) ln 1 b) ln ee c) ln ee 5/3 d) log 1000 12. Skriv om följande tiologaritmer som uttryck innehållande naturliga logaritmer a) log 10 b) log ee 13. Använd logaritmlagarana för att skriva om följande uttryck a) ln 7xx b) ln 3xx 5yy c) log 5 2 7 3 3 d) ln 9 5 4 3 14. Förenkla följande uttryck a) 2 log yy log yy 2 b) 4 ln xx + 2 ln 1 xx c) ln 9xx+ln 3xx2 3 d) ln(xx 2 + 3xx) ln(xx + 3) 15. Lös följande ekvationer a) 4 xx = 12 b) ee 2yy = 12 c) 10ee 3xx 7 = 5 d) log 7xx = 2 16. Lös följande ekvationer a) ln xx + ln 2xx = 3.6 b) log(xx + 5) + log(xx + 2) = 1 c) 3 ln 2 1 ln 2xx ln xx = 1 d) = 2 xx 2 ln xx 17. Lös följande ekvationer a) 300 = 6 + 3ee 2tt b) ln(2xx 3 + 1) = 3.0572 c) log 6 = 1.5 d) log xx + ln xx = 4 2+tt 5
Del 2 Kemi och fysik Enheter och sortomvandlingar SI enheter (Systéme International d Unités) är ett internationellt system för konventioner hur man använder enheter. Systemet baseras på sju grundenheter som visas i tabell 1.1. Observera att SI-enheten för storheten massa är kilogram [kg] och inte gram [g]. En fördel med att konsekvent använda SI-enheter är att om man sätter in alla storheter i SI-enheter i en ekvation så vet man att enheten på svaret också måste ha SI-enheter. Andra enheter kan härledas från de sju grundenheterna och kallas härledda enheter. De viktigaste av dem visas i tabell 1.2. Sammansatta enheter har fått egna namn men kan således alltid skrivas som en kombination av grundenheterna. Till exempel är SI-enheten för kraft [N] samma sak som [kg m s 2 ] (kraft = massa acceleration), SI-enheten för tryck [Pa = N m 2 = kg m 1 s 2 ] (tryck = kraft / area) och SI-enheten för energi [J = N m] (energi = kraft sträcka). Numera är det konvention att skriva [N m 2 ] istället för [N/m 2 ], även om det senare sättet att skriva fortfarande är vanligt förekommande och helt legitimt att använda om man så föredrar. 6
En enhet kan modifieras genom att lägga till ett prefix. Ett prefix betecknar multiplikation eller division med en exponentiell faktor med basen 10. Tabell 1.3 visar de vanligaste prefixen. Till exempel är 1 kg = 1 10 3 g = 1000 g och 1 µm = 1 10 6 m. Observera även att volymen 1 dm 3 motsvarar en kub med sidan 1 dm = 0.1 m så att 1 dm 3 = 0.1 m 0.1 m 0.1 m = 0.001 m 3. Man måste således dividera med 1000 för att omvandla dm 3 till m 3. På samma sätt är arean 1 dm 2 = 0.1 m 0.1 m = 0.01 m 2, dvs man dividerar med 100 för att omvandla dm 2 till m 2. Vanliga enheter som inte är SI-enheter är temperaturenheten grader Celsius [ C], längdenheten Ångström [Å], koncentrationsenheten molar [M = mol dm 3 ] samt tryckenheterna atmosfär [atm], bar och mmhg (även kallad torr). Den absoluta temperaturen i enheten kelvin [K] fås som T[K] = t[ C] + 273.15 Längdenheten Ångström motsvarar dimensioner av storleksordningen för enskilda atomer. 1 Å = 100 pm = 0.1 nm = 1 10 10 m Observera att volymenheterna 1 l (liter) = 1 dm 3, och 1 ml (milliliter) = 1 cm 3 och att 1 m 3 = 10 3 dm 3 = 10 6 cm 3. Koncentrationen 1 M (molar) = 1 mol dm 3 (mol per kubikdecimeter) betyder att 1 dm 3 lösning innehåller 1 mol substans. Det betyder att den större volymen 1 m 3 (mol per kubikmeter) måste innehålla en faktor 10 3 mer substans, dvs 1 mol dm 3 = 1000 mol m 3. SI-enheten för molär koncentration är mol m 3 vilket faktiskt är ekvivalent med mm (millimolar). 7
Normalt lufttryck är 1 atm = 1.013 10 5 Pa = 1.013 bar = 760 mmhg. Det betyder t ex att trycket p i SI-enheten Pa (= N m 2 ) kan beräknas enligt pp[pa] = pp[atm] 1.013 10 5 = pp[bar] 1 10 5 = pp[mmhg] 1.013 105 760 En stor fördel med systemet med SI-enheter vid hantering av formler för beräkningar av fysikaliska storheter. Om man konsekvent använder SI-enheter på de olika storheterna i en formel vet man att storheten man beräknar också kommer att ha SI-enheter. Vi kan ta allmänna gaslagen som exempel pppp = nnrrtt Som ger ett samband mellan tryck (p), volym (V), absolut temperatur (T) och substansmängd (n) för en gas vid låga eller måttliga tryck. R = 8.3145 Pa m 3 mol 1 K 1 är en universalkonstant som kallas gaskonstanten kort och gott. Om man vill beräkna trycket för 1 mol av en gas med volymen 1 dm 3 och temperaturen 25 C får man om man sätter in volymen V = 10 3 m 3, temperaturen T = 25 + 273 = 298 K, substansmängden n = 1 mol och gaskonstanten. R = 8.3145 Pa m 3 mol 1 K 1 i SI-enheter, trycket i SI-enheten Pa pp = 1 mol 8.314 Pa m3 mol 1 K 1 298 K 10 3 m 3 = 2.48 10 6 Pa Att det blir så kan man också se genom att utföra en så kallad enhetsanalys eller dimensionsanalys Pa m3 [mol] [K] 1 = Pa mol K [m 3 ] Eftersom [J = Nm] och [Pa = N m 2 = J m 3 ] så brukar man ofta skriva enheten för gaskonstanten [Pa m 3 mol 1 K 1 ] = [J m 3 m 3 mol 1 K 1 ] = [J mol 1 K 1 ], dvs R = 8.3145 J mol 1 K 1. Gaskonstanten kan också anges med andra enheter än SI-enheter, till exempel R = 0.08206 dm 3 atm mol 1 K 1. Använder man det senare värdet och enheten på gaskonstanten i allmänna gaslagen så måste vid beräkningar volymen anges i dm 3 och trycket i atm. Man kan på så sätt utföra enklare beräkningar utan att omvandla till SI-enheter om man tillämpar enhetsanalys. Observera att det vid sådana beräkningar är viktigt att man är konsekvent med enheter man använder och inte blandar olika prefix. Anger man längder till exempel i cm eller Å måste volymer anges i cm 3 respektive Å 3 etc. 8
Övningsuppgifter 18. Omvandla följande kvantiteter till SI-enheter a) 500 g b) 7.5 µm c) 2.4 ton d) 210 Å 19. Omvandla följande kvantiteter till SI-enheter a) 150 nanometer b) 50 mm 2 c) 1.0 atm d) 14 timmar 20. Omvandla följande kvantiteter till SI-enheter a) 154 mm b) 1.25 g cm 3 c) 4.5 kj g 1 d) 30 km h 1 21. Omvandla följande kvantiteter till SI-enheter a) 55 kg dm 3 b) 12 g mol 1 c) 10 mol dm 3 d) 650 cm 1 22. Uttryck följande volymer i m 3 a) 2 km 3 b) 100 cm 3 c) 300 µm 3 d) 15 liter 23. En sluten behållare innehåller 10 dm 3 av gas. Vad blir denna volym uttryckt i a) m 3 b) cm 3 c) dl d) nm 3 24. Syrgas O 2 har smältpunkten 218.4 C och kokpunkten 183.0 C. Ange dessa temperaturer i enheten kelvin. 25. En gas har trycket 615 mmhg. Vad blir detta tryck uttryckt i a) kpa b) MPa c) mbar d) atm 26. En oral suspension av ibuprofen för spädbarn innehåller 20 mg ml 1 ibuprofen. Den rekommenderade dosen är 10 mg kg 1 kroppsvikt. Hur många milliliter av suspensionen bör man ge ett spädbarn som väger 8.0 kg. 27. Beräkna den volym som 0.845 mol kvävgas upptar vid trycket 1.37 atm och temperaturen 315 K. Utför beräkningen med hjälp av enhetsanalys genom att skriva gaskonstanten på formen R = 8.3145 J mol 1 K 1, och även samma beräkning genom att skriva den på formen R = 0.08206 dm 3 atm mol 1 K 1. 9
Substansmängd och molmassa Substansmängden [n] har enheten mol. En mol innehåller alltid N A = 6.022 10 23 atomer, molekyler eller joner etc. N A är en universalkonstant och kallas för Avogadro s tal efter den italienske kemisten Amedeo Avogadro (1776-1856). Sambandet mellan massa (m) och substansmängd (n) ges av mm = nn MM där M betecknar ett ämnes molmassa. Varje grundämne har en atommassa som brukar anges i grundämnenas periodiska system. En molekyls molmassa får man genom att summera atommassorna för varje atom i molekylen. Grundämnet klor har t ex atommassan 35.45 g mol 1. En klorgasmolekyl får därför molmassan M = 2 35.45 = 70.9 g mol 1. Molmassan brukar anges i enheten g mol 1 vilket betyder att vid beräkningar måste massan anges i enheten gram. Observera dock att SI-enheten för massa är kg och för molmassa kg mol 1. Övningsuppgifter 28. Bestäm substansmängden av atomer för följande grundämnen a) 22.0 g magnesium b) 42.2 g klor c) 126 mg guld d) 1.00 kg kvicksilver 29. Beräkna substansmängden för följande prov a) 89.2 g koldioxid (CO 2) b) 43.3 g klor (Cl 2) c) 0.48 kg kalciumhydroxid (Ca(OH) 2) d) 25 ton vatten (H 2O) 30. Beräkna massan (i gram) för följande prov a) 5.46 mol CuO b) 0.107 mol KMnO 4 c) 2.85 mmol C 2H 5OH d) 1.95 µmol HCN 31. Beräkna det totala antalet molekyler i följande prov a) 6.50 mol H 2O b) 389 g CBr 4 c) 22.1 µg O 2 d) 19.3 milligram C 8H 10 10
Lösningar och koncentrationer Lösningar eller blandningar består av minst två kemiska ämnen. Förhållandet mellan de olika ämnena i en lösning utrycks genom att ange lösningens koncentration. För det enklaste fallet med endast två ämnen i lösningen brukar man beteckna ämnet man har mest av för lösningsmedel och det man har minst av upplöst ämne. Koncentration kan utryckas med flera olika storheter. Några vanliga storheter är definierade nedan. Storheter för koncentration A = Lösningsmedel, B = Upplöst ämne V = volym, n = substansmängd, m = massa Molaritet: [B] = nn BB VV [M = mol dm 3 ] Masskoncentration: cc BB = mm VV Molalitet: bb = nn BB mm AA [mol kg 1 ] Molbråk: xx BB = Viktbråk: ww BB = nn BB nn AA +nn BB mm BB mm AA +mm BB Sammansättning i molprocent = xx BB 100 [mol %] Sammansättning i viktprocent = ww BB 100 [vikt %] Observera att molaritet är definierad så att enheten alltid är M (molar) = mol dm 3 (mol per kubikdecimeter). På samma sätt anges molaliteten alltid i enheten mol kg 1. Vill man ange substansmängd per volymenhet med en annan enhet än molar brukar man beteckna storheten molär koncentration. Sambandet mellan molär koncentration [B] och masskoncentration c B fås genom att dividera m = n M med volymen V vilket ger c B = [B] M där M är molmassan. Molbråk och viktsbråk saknar alltid enhet. Man säger att storheterna är dimensionslösa. En lösnings densitet definieras som ρρ = mm tttttt VV = mm AA + mm BB VV Densiteten är inte en koncentration (trots att den kan ha samma enhet som masskoncentration) eftersom den inte anger sammansättningen i lösningen utan är en relation mellan den totala massan och den totala volymen för ett ämne eller blandning av ämnen. 11
Övningsuppgifter 32. Hur många mol KCl innehåller följande lösningar a) 0.556 dm 3 av en 2.3 M KCl lösning b) 1.8 liter av en 0.85 M KCl lösning c) 114 cm 3 av en 1.85 M KCl lösning d) 2.50 dm 3 av en KCl lösning med masskoncentrationen 0.15 g cm 3 33. 56.0 g ättiksyra (CH 3COOH) blandas med 500.0 g vatten och bildar en lösning med densiteten ρ = 1.01 g cm 3. Beräkna lösningens a) viktsbråk b) molbråk c) molalitet d) molaritet 34. Man bereder en lösning genom att väga upp 0.587 g KMnO 4 och sedan tillsätta vatten så man får 1.00 dm 3 lösning. Lösningen har densiteten 1.00 g cm 3. Beräkna koncentrationen uttryck i a) molar b) gram per milliliter c) vikt % d) molal 35. En bilägare vill skydda sin bilmotor från att frysa på vintern och blandar etylenglykol (C 2H 6O 2) i kylarvattnet så att det består av 40.0 vikt % etylenglykol. Lösningens densitet är 1.05 g cm 3. Beräkna lösningens a) masskoncentration b) molaritet c) molalitet d) molbråk 12
13
Svar 1. a) xx 2 + xx + 9 b) 12xx 2 20xx + 3 c) 9aa 2 + 6aaaa + bb 2 d) xx 3 + 6xx 2 + 11xx + 6 2. a) 3xx/5 b) 25xx 2 /9 c) 3. a) 1 b) xx 12 xx(xx 2) 2 xx+3 c) 9xx 1 4 d) xx+4 xx+3 d) xx (xx 1) 2 4. a) 5/8 b) 5 4+3bb c) x d) aa+bb 2 5. a) x = 8 b) x = 0.1 c) 0.0376, 0.0273 d) x = 0.1 6. a) 3, 2 b) 1± 33 4 c) 5± 13 6 d) 3/2, 1/3 7. a) 3± 317 2 b) 4, 1/2 c) 0.249, 0.331 d) 0.0142, 0.176 8. a) 3.5 b) aa 3 bb 6 c) 1 d) yy xx 4/3 zz 1/2 9. a) 4yy 2 2yy b) 7 2 c) 2xx 2 3 yyyy 2xx 2 yyzz 2 d) 4 xx 10. a) 1.419 b) 0.08947 c) 233.8 d) 21.14 11. a) 0 b) 1 c) 5/3 d) 3 12. a) ln 10 = 1 b) 1 ln 10 ln 10 13. a) ln 7 + ln xx b) ln 3 ln 5 + ln xx ln yy c) log 5 + log 2 log 7 2 3 d) ln 9 + ln 5 ln 3 3 4 14. a) 0 b) 0 c) ln 3xx d) ln xx 15. a) ln 12 ln 4 b) ln 12 2 c) 7 ln 2 3 d) 100 7 16. a) ee1.8 = 4.28 b) 0 c) 2.4105 d) 2 2 17. a) 2.2925 b) 2.164 c) 1.810 d) 16.26 18. a) 0.500 kg b) 7.5 10 6 m c) 2400 kg d) 2.1 10 8 m 19. a) 1.5 10 7 m b) 0.50 cm 2 c) 1.013 10 5 Pa d) 50 400 s 20. a) 154 mol m 3 b) 1250 kg m 3 c) 4.5 10 6 J kg 1 d) 8.33 m s 1 21. a) 5.5 10 4 kg m 3 b) 1.2 10 2 kg mol 1 c) 1 10 4 mol m 3 d) 6.5 10 4 m 1 22. a) 2 10 9 m 3 b) 1 10 4 m 3 c) 3 10 16 m 3 d) 1.5 10 2 m 3 23. a) 0.010 m 3 b) 1 10 4 cm 3 c) 100 dl d) 1 10 25 nm 3 24. smältpunkt = 54.8 K, kokpunkt = 90.2 K 25. a) 82.0 kpa b) 8.2 10 2 MPa c) 820 mbar d) 0.81 atm 26. 4 ml = 4 cm 3 14
27. 15.9 dm 3 28. a) 0.905 mol b) 1.22 mol c) 6.40 10 4 mol d) 4.99 mol 29. a) 2.03 mol b) 0.609 mol c) 6.48 mol d) 1.4 10 6 mol 30. a) 434 g b) 16.9 g c) 0.131 g d) 5.27 10 5 g 31. a) 3.91 10 24 b) 7.06 10 23 c) 4.16 10 17 d) 1.02 10 20 32. a) 1.28 mol b) 1.53 mol c) 0.211 mol d) 5.03 mol 33. a) 0.101 b) 0.0325 c) 1.87 mol kg 1 d) 1.69 mol dm 3 34. a) 3.71 10 3 M b) 5.87 10 4 g cm 3 c) 0.0587 vikt % d) 3.72 10 3 mol kg 1 35. a) 420 g cm 3 b) 6.77 M c) 10.7 mol kg 1 d) 0.162 15