Geometri på ytor i rummet

Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Differentialgeometri Geometri på ytor i rummet Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

Geometri på ytor i rummet 1 (18) 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi titta lite på den klassiska differentialgeometrin för ytor i rummet. Vi ska göra det med hjälp av Cartan s rörliga ramar på ytan, vilket är en teknik som enkelt låter sig generaliseras till inte bara situationer med högre dimensioner utan också med skalärprodukter som inte är positivt definita, vilka behövs i den allmänna relativitetsteorin. Efter att ha diskuterat rörliga ramar på ytor inför vi den första fundamentalformen, vilken fungerar som en metrik (en metod att mäta avstånd) på själva ytan, utan att vi behöver det omgivande rummet. Detta leder till att vi kan betrakta ytor både ur ett yttre och ett inre perspektiv. I det inre perspektivet ges vi endast ytan och metriken (ytan bör då egentligen ses som en abstrakt yta), medan det yttre perspektivet innebär att vi använder information om hur ytan ligger i det omgivande rummet. Till hjälp i det senare fallet har vi den andra fundamentalformen, som ger information just om hur ytan kröker i rummet. Dock visar det sig att en aspekt av krökningen, den gaussiska totalkrökningen, kan bestämmas inifrån ytan. Gauss kallade denna observation Teorema Egregium och det var den som ledde Riemann att gå vidare och studera geometrin för högredimensionella mångfalder försedda med en metrik ur ett inre perspektiv. I det sammanhanget dyker då begrepp som kovariant derivata upp, vilket handlar om hur man deriverar vektorfält på ytor om vi endast ser saker från det inre perspektivet måste vi få en derivata som kan tolkas därifrån. Vi studerar också kurvor på ytor, vilket leder oss dels till en diskussion om geodetiska kurvor på ytor som är motsvarigheten av räta linjer i planet men också till den generalisering av satsen om vinkelsumman i en triangel som går under namnet Gauss- Bonnets sats. Vi ska se hur både denna och Poincarés sats om nollställen till vektorfält på en yta är relaterade till Eulerkarakteristiken på ytan. 2 Rörliga ramar på ytor Vi börjar med att betrakta ytstycken Σ = ψ(u). Till varje punkt p = ψ(t) på ett kurvstycke har vi ett tangentplan, som vi vet har t.ex. de två vektorerna 1 ψ(t), 2 ψ(t) som bas. Vi säger att de tre vektorfälten e = (e 1, e 2, e 3 ) utgör ett ramverk på Σ om det i varje punkt p Σ gäller att e 1 (p), e 2 (p) utgör en bas för tangentplanet T p Σ, medan e 3 (p) inte ligger i planet. Om ytstycket är orienterat, d.v.s. vi har valt en normalriktning n, så säger vi att ramverket är anpassat till den orienterade ytan Σ om dessutom e 3 = n. Exempel 1 Funktionsytan Σ = {(x 1, x 2, x 3 ); x 3 = f(x 1, x 2 ), (x 1, x 2 ) U} parametriseras naturligtvis av t.ex ψ(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2, f(x 1, x 2 )), (x 1, x 2 ) U. Ett ramverk på ytan ges t.ex. av e 1 = 1 ψ = (1, 0, 1 f), e 2 = 2 ψ = (0, 1, 1 f), e 3 = e 1 e 2. Figuren nedan illustrerar denna ram på den övre halvsfären x 3 = 1 x 2 1 x 2 2.

Geometri på ytor i rummet 2 (18) Exempel 2 En parametrisering av enhetssfären ges av ψ(θ, φ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), (θ, φ) (0, π) (0, 2π). Vektorerna { θ ψ = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ), φ ψ = sin θ( sin φ, cos φ, 0) utgör då en bas för tangentrummet till enhetssfären i punkten φ(θ, φ). Anmärkning Strikt sett parametriserar ψ endast enhetssfären med en halv storcirkel från nordpol till sydpol borttagen. Vi kan kalla denna Greenwich-meridianen. Men om vi sluter intervallen får vi med hela enhetssfären, men då har vi inte längre en 1-1-korrepondens mellan punkter i parameterrummet och punkter på sfären. Däremot kan vi kontinuerligt utvidga vektorfälten så att vi får glatta vektorfält på hela sfären utom i polerna, där θ ψ är obestämd och φ ψ = 0. Låt e = (e 1, e 2, e 3 ) vara ett ramverk på ytstycket Σ = ψ(u). Eftersom vektorfälten e i endast är definierade på ytan, kan dess differential endast beräknas i tangentvektorer till ytan. Vidare gäller att differentialen de i, uträknad i en godtycklig tangentvektor u, måste vara en linjärkombination av e 1, e 2, e 3 : de i (u) = ω 1i (u)e 1 + ω 2i (u)e 2 + ω 3i (u)e 3, Här är koefficienterna koordinaterna för u i basen, och är därför linjära funktioner av u. Det betyder att det finns en matris ω av 1-former sådan att de(u) = eω(u). Denna matrix ω kallas konnektionsmatrisen till detta ramverk, och beskriver alltså hur ramverket ändrar sig när vi rör oss på ytan. Anmärkning Konnektionsmatrisen bestäms ur ramen, vilket betyder att om vi byter ram, ändras konnektionsmatrisen. Hur avgörs av en enkel räkning: om e = ea, gäller att de = dea + eda = e(ωa + da) = e (A 1 ωa + A 1 da), d.v.s konnektionsmatrisen ω till e -ramen ges av (1) ω = A 1 ωa + A 1 da.

Geometri på ytor i rummet 3 (18) Till ett givet ramverk på ett ytstycke definierar vi nu de duala 1-formerna θ 1, θ 2 genom dψ(u) = θ 1 (u)e 1 + θ 2 (u)e 2. Om vi skriver θ = (θ 1, θ 2, 0), fast tolkad som kolonnvektor, kan denna ekvation skrivas dψ = eθ. Anmärkning Notera att dψ(u) är en linjärkombination av 1 ψ, 2 ψ, och kan därför skrivas som en linjärkombination av e 1, e 2, som utgör en bas för tangentrummet. Om vi nu differentierar 1 ekvationen de = eω, så får vi att 0 = d 2 e = edω + de ω = e(dω + ω ω), och differentierar vi på samma sätt relationen dψ = eθ, så får vi att Resultatet, de två matrisekvationerna kallas Cartans strukturformel. 0 = d 2 ψ = de θ + edθ = e(dθ + ω θ). dθ + ω θ = 0, dω + ω ω = 0, Vi är intresserade huvudsakligen av ON-ramverk. Det betyder att ω ji (u) = de i (u) e j och eftersom e i e j = 0 medför att de i e j + e i de j = 0, följer att ω ji = ω ij. Konnektionsmatrisen ω är alltså skevsymmetrisk, d.v.s. ω t = ω, för ett ortogonalt ramverk. Då får Cartans strukturformler för en yta i rummet följande form: dθ 1 + ω 12 θ 2 = 0, dθ 2 ω 12 θ 1 = 0, ω 13 θ 1 + ω 23 θ 2 = 0, tillsammans med { dω 12 = ω 23 ω 13 (Gauss ekvation) dω 13 = ω 12 ω 23, dω 23 = ω 12 ω 13 (Codazzis-Maniardis ekvationer). Vi ser också att ds = θ 1 θ 2 är areaformen på Σ. Anmärkning Vi kan uppfatta ω och θ både som 1-former i parameterrummet U och på Σ. De dras tillbaka från Σ (där de ursprungligen definieras) till U med hjälp av ψ. Det är ofta konnektionsmatrisen som är av mest intresse för oss, och vad Cartan s strukturformler talar om för oss är hur vi kan bestämma den ur den duala basen, istället för ramverket. En illustration ges i nästa exempel.

Geometri på ytor i rummet 4 (18) Exempel 3 Om vi använder parametriseringen ψ av enhetssfären i Exempel 2 så kan vi konstrera en ON-ram på enhetssfären, förutom polerna, genom e 1 (p) = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ), e 2 (p) = ( sin φ, cos φ, 0), e 3 (p) = ψ(θ, φ). För att bestämma den duala basen noterar vi att dψ = dθ e 1 + sin θdφ e 2, varur vi ser att θ 1 = dθ, θ 2 = sin θdφ. Det följer direkt att ds = sin θdθ dφ. Givet endast den duala basen θ kan vi bestämma ω ur Cartan s strukturformler på följande sätt. Ekvationen dθ 1 + ω 12 θ 2 = 0 blir nu ekvivalent med att ω 12 θ 2 = 0, vilket betyder att ω 12 = adφ. Stoppar vi in det i ekvationen dθ 2 ω 12 θ 1 = 0 får vi att cos θdθ dφ adφ dθ = 0 och alltså att ω 12 = cos θdφ. Vidare gäller att ω 13 dθ + sin θω 23 dφ = 0, ω 23 ω 13 = dω 12 = sin θdθ dφ, varför vi får att ω 13 = sin θdφ, ω 23 = dθ. Om vi istället har en sfär med radien R ska vi multiplicera θ 1, θ 2 med R och får relationen vars betydelse snart ska framgå. dω 12 = R 2 ds, Anmärkning Det går inte att utvidga vektorfälten till polerna så att vi får en ram för hela sfären. Detta därför att enligt Poincarés sats om nollställen til vektorfält på en ytan gäller att ett vektorfält på en sfär måste ha minst ett nollställe, och faktum är att både e 1 och e 2 är normeringar av vektorfält som har nollställen i båda polerna. Vilken frihet har vi då att välja ramverk? Villkoret att vara anpassad till ytan är ekvivalent med att e 3 är en av de två enhetsnormalerna i punkten och alltså entydigt bestämd på en orienterad yta (vi kräver då att e 3 = n). Om vi håller oss till ortonormerade baser på ett orienterat ytstycke återstår därför endast en ortogonal transformation i tangentrummet, och då framför allt en rotation (som varierar från punkt till punkt). Ett sådant basbyte ē = et ges av matrisen cos θ sin θ 0 T = sin θ cos θ 0, 0 0 1 och stoppar vi in det i (1) får vi efter lite räknande att att ω 12 = ω 12 dφ, ω 13 = ω 13 cos φ + ω 23 sin φ, ω 23 = ω 13 sin φ + ω 23 cos φ.

Geometri på ytor i rummet 5 (18) Vi ser också att θ 1 θ 2 = θ 1 θ 2, ω 13 ω 23 = ω 13 ω 23. Den första av dessa betyder bara att areaformen i tangentplanen är invariant under en rotation, den andras betydelse framgår längre fram. Det ofta bekvämt att räkna med komplexa tal när man arbetar i planet. För att utnyttja det här, behöver vi införa en komplex struktur i varje tangentplan genom att välja ramverket lämpligt. Antag att Σ är orienterad och låt n vara ytans enhetsnormal. Om v är en vektor i tangentrummet så gäller då att v, n v, n blir ett positivt orienterat system i rummet. Vi kan därför definiera en komplex struktur genom att sätta iv = n v. Det betyder speciellt att e 2 = ie 1 och alltså att vektorn ae 1 + be 2 svarar mot den komplexa vektorn (a + ib)e 1. Vektorfältet e 1 får rollen av att definiera den positiva, reella, axeln. Härigenom övergår de två ekvationerna de 1 = ω 12 e 2, de 2 = ω 12 e 1 i den enda ekvationen de 1 = iω 12 e 1. 3 Den första fundamentalformen Vi ska nu diskutera hur man mäter längder och vinklar av tangentvektorer på en yta. För en yttre betraktare är detta inte speciellt konstigt, eftersom de erhålls ur den vanliga skalärprodukten. Men tangentvektorer har formen dψ(u), och för att uttrycka detta i vektorer i parameterrumet inför vi den symmetriska bilinjärformen I(p)(u, v) = dψ(p)(u) dψ(p)(v) = 2 g ij (p)u i v j, i,j g ij (p) = i ψ(p) j ψ(p), som kallas den första fundamentalformen för ytan. Den kan uppfattas både som en bilinjär form på tangentknippet till Σ och som en bilinjär form på parameterrummet U, definierad med hjälp av parametriseringen ψ av ytan. Man skriver gärna detta lite annorlunda genom att utnyttja att båglängden s för en kurva c = ψ u på ytan ges av ds = dψ( u) dt. Det betyder att ds 2 = I( u, u)dt 2 = I(du, du), vilket gör att vi ofta skriver den första fundamentalformen som ds 2 = i,j g ij du i du j. (Notera att du i (u) = u i.) Men för en ON-bas e 1, e 2 i tangentrummet gäller att θ i (u) = dψ(u) e i, vilket innebär att ds 2 = θ 1 (u) 2 + θ 2 (u) 2, så en ortonormerad bas i tangentrummet visar sig i form av sådana 1-former. Detta gör att vi kan bestämma de duala 1-formerna direkt ur den första fundamentalformen. Exempel 4 För en sfär med radien R har vi att ds 2 = R 2 dθ 2 + R 2 sin 2 θdφ 2, varifrån vi ser att θ 1 = Rdθ, θ 2 = R sin θdφ är dual bas till en ON-ram för tangentplanen. Från den kan vi sedan bestämma konnektionsmatrisen som vi gjorde ovan utan att någonstans behöva identifiera ON-basen e 1, e 2.

Geometri på ytor i rummet 6 (18) Vi gör nu följande obserationer: a) För en yttre betraktare är den första fundamentalformen inget annat än den vanliga skalärprodukten i rummet använd på endast tangentvektorer till ytan. b) Men den är också en storhet för myran på ytan. Men denne måste bestämma den på ett annat sätt, nämligen genom att beräkna båglängden längs olika kurvor på ytan. För myran får därför den första fundamentalformen karaktären av en metrik på ytan, och den ger en del information om hur ytan ligger i rummet (som dock inte myran kan förstå eftersom den saknar 3D-upplevelseförmåga). 4 Den gaussiska totalkrökningen Ett mått på hur mycket en del U av en orienterad yta Σ kröker sig kan man få genom att jämföra arean av n(u) med arean av U. Här är n : Σ S 2 den av orienteringen definierade enhetsnormalen i varje punkt. Den kallas ofta Gauss-avbildningen på Σ. Om vi sedan drar ihop U till en punkt p kan vi (intuitivt) definiera en totalkrökning i p genom På integralform blir detta (2) K(p) = lim U p area(n(u)) area(u) U K ds = n(u) = det dn(p). om U är liten. Om U inte är liten så måste man tolka integralen i högerledet beräknas med algebraisk multiplicitet (så att ett areaområde räknas det antal gånger det avbildas på). Vi väljer här att räkna arean på S 2 med tecken, så att om vi genomlöper randen U i positiv omloppsriktning (sett från spetsen av normalen), så ska randen n( U) också genomlöpas i positiv omloppsriktning (sett från den utåtriktade normalen) för att K(p) ska vara positiv. Annars blir den negativ. Exempel 5 Om Σ är ett plan gäller att n(p) är en konstant och n(u) har därför arean noll. Totalkrökningen för ett plan är därför noll. För en sfär med radien R gäller att n(p) = p/r, varför det följer att K(p) = 1/R 2. För en sfär är därför totalkrökningen densamma i alla punkter, vilket den måste vara eftersom sfären är rotationssymmetrisk. För en cylinder gäller att normalen hela tiden rör sig i ett plan, vilket betyder att n(u) endast blir ett linjestycke och därför har arean noll. Även för en cylinder gäller därför att totalkrökningen är noll överallt. Trots att den på ett intuitivt plan är krökt. Men den är bara en hoprullad variant av ett plan, dvs kan på ett korrekt sätt avbildas på ett plan. Exemplet med cylindern visar att K inte omfattar allt vi menar med att en yta är krökt. Exempel 6 En illustration på att krökningen kan vara negativ ges av sadelytan. Den röda kurvan på sadelytan begränsar ett område vars rand vi genomlöper i positiv omloppsriktning. På enhetssfären kommer emellertid motsvarande område att genomlöpas i negativ omloppsriktning, och resultatet blir en negativ areakvot. ds.

Geometri pa ytor i rummet 7 (18) Vi har sett att K(p) a r determinanten fo r den linja ra avbildningen dn(p) : Tp Σ Tn(p) S 2. Men tangentplanet till S 2 i punkten n(p) har som normal n(p), och kan da rfo r identifieras med Tp Σ och vi kan uppfatta dn(p) som en linja r avbildning pa Tp Σ. Avbildningen W (p) = dn(p) : Tp Σ Tp Σ kallas Weingartenavbildningen (eller form-avbildningen) och vi har alltsa att K(p) = det W (p). Fra n Weingarten-avbildningen definierar vi sedan den andra fundamentalformen pa Σ genom II(u, v) = W (u) v. Denna fo rha ller sig till matrisen ω av 1-former genom att ωi3 (u) = dn(u) ei = II(u, ei ). Villkoret ω13 θ1 + ω23 θ2 = 0 blir nu att II(u, e1 )v1 II(v, e1 )u1 + II(u, e2 )v2 II(v, e2 )u2 = II(u, v) II(v, u) = 0, sa denna Cartans strukturekvation a r ekvivalent med att II(u, v) a r symmetrisk. Men ur detta fo ljer sedan att ω13 ω23 = det II ds = det W ds = KdS, och ur Gauss ekvation fa r vi da den viktiga observationen dω21 (p) = K(p)dS. Exempel 7 Pa sfa ren med radien R sa g vi att ω12 = cos θdφ och att dω12 = R 2 θ1 θ2. Det fo ljer att K(p) = 1/R2 i alla punkter p pa en sfa r. Vi fa r ur detta en del intressanta observationer: a) Eftersom myran pa ytan kan besta mma ω12 (p) kan han besta mma dω12 (p) och da rmed K(p). Denna observation kallade Gauss Teorema Egregium den fantastiska satsen, och a r starten fo r den geometri pa ma ngfalder med metrik som kallas Riemanngeometrin. b) Eftersom II(u, v) = I(W (u), v), ser vi att vi i en parametrisering har att K = (det II)/ det G da r vi satt G = (gij ).

Geometri på ytor i rummet 8 (18) c) Konnektionsmatrisens element ω 12, ω 13 och ω 23 kan alla uttryckas i den första och den andra fundamentalformen (alternativt Weingartenavbildningen). Av dessa krävs endast den första fundamentalformen (alltså metriken) för ω 12. d) Totalkrökningen är den ena invarianten av Weingartenavbildningen. Den andra definierar medelkrökningen: H(p) = Tr W (p) = ω 13 (p)(e 1 ) ω 23 (p)(e 2 ). Denna kan alltså inte beräknas utifrån endast den första fundamentalformen. 5 Krökningsriktningar Vi har sett att totalkrökningen K(p) i punkten p Σ bestäms som determinanten av den bilinjära formen II(p), alltså som produkten av dess egenvärden. Eftersom II är symmetrisk finns det en bas av två ortonormerade egenvektorer e 1, e 2 med tillhörande egenvärden κ i = II(e i, e i ). Dessa egenvektorer kallas huvudkrökningsriktningar. För en godtycklig enhetsvektor v = cos θe 1 + sin θe 2 gäller därför att krökningen i den riktningen är κ v = II(v, v) = κ 1 cos 2 θ + κ 2 sin 2 θ. Det följer att huvudkrökningsriktningarna definierar de riktningar i vilka krökningen är som störst och minst, utom då κ 1 = κ 2 då det gäller att alla riktningar har samma krökning. En sådan punkt kallas en navelpunkt (umbilic point) på ytan, utom då κ 1 = κ 2 = 0, i vilket fall vi har en plan punkt. Från huvudkrökningarna kan vi beräkna inte bara totalkrökningen K(p) = κ 1 κ 2 utan också medelkrökningen H(p) = 1 2 (κ 1 + κ 2 ) = 1 2π κ v dθ. 2π 0 För att geometriskt tolka vad κ v = II(p)(v, v) betyder för en godtycklig riktningsvektor v i T p Σ, tar vi det plan som definieras av enhetsnormalen n(p) och vektorn v och skär det med ytan Σ. Vi kommer då att få ett kurvstycke kring p som vi kan parametrisera så att ċ(0) = v, vilket blir ett geodetiskt kurvstycke eftersom c är parallell med n, och dess krökning som plan kurva ges av κ v. På detta sätt kan vi återföra bestämmandet av krökningen av en yta på krökningarna av plana kurvor.

Geometri pa ytor i rummet 9 (18) Exempel 8 Om Σ a r ett plan ga ller att dessa kurvstycken alla blir ra ta linjer och da rfo r att kro kningen a r noll i alla riktningar. Om Σ a r en sfa r a r den uta triktade normalen i p lika med p/r och ska rningskurvorna blir alla storcirklar. Dessa har alla kro kningen 1/R sa det fo ljer att H(p) = 1/R och K(p) = 1/R2 ba da a r konstanta. Fo r cylindern ser vi att vi har tva huvudkro kningsriktningar av vilka den ena a r noll. Da rfo r a r totalkro kningen noll, medan medelkro kningen inte a r det. Exemplet med cylindern visar att all kro kningsinformation inte finns i K(p). Men vad a r det da fo r ytor som har totalkro kning noll o verallt? En regelyta uppkommer ur en rymdkurva γ = c(i) och ett vektorfa lt ξ pa denna, genom att vi sa tter ψ(s, u) = c(s) + uξ(s), (s, u) I R. Kurvan kallas da ytans direktris och vektorfa ltet dess linjering. Sa dana ytor har K = 0 o verallt, och omva nt har vi: Om K = 0 o verallt pa en yta som saknar plana punkter, sa a r ytan en regelyta vars tangentplan a r konstant la ngs linjerna. Fo r att visa det va ljer vi en ram da r e1, e2 a r principalriktningar sa dan att κ1 = 0, alltsa ω13 = 0. Da fo ljer ur Codazzis ekvationer att 0 = dω13 = ω12 ω23 = ω12 κ2 θ2. Men κ2 6= 0 vilket medfo r att ω12 θ2 = 0, sa vi ma ste ha att ω12 = f θ2. Det fo ljer att ω12 (e1 ) = 0, sa de1 (e1 ) = ω12 (e1 )e2 ω13 (e1 )e3 = 0. e1 a r alltsa konstant na r vi ro r oss i e1 -riktning, sa fo ljer vi den fa r vi en ra t linje. Vidare a r de3 (e1 ) = 0 eftersom κ1 = 0, sa tangentplanet till ytan a r konstant la ngs den linjen.

Geometri på ytor i rummet 10 (18) Anmärkning Det finns också en tredje fundamentalform III definierad genom III(u, v) = dn(u) dn(v). Denna är inget annat än första fundamentalformen för n(σ) och har följande relation till de två andra: III 2HII + KI = 0. Detta får vi om vi betraktar (dn(u) + κ 1 dψ(u)) (dn(v) + κ 2 dψ(v)), som utvecklat blir uttrycket i vänsterledet. Men denna bilinjärform är noll i båda huvudkrökningsriktningarna, och måste därför vara identiskt noll. 6 Geodetiska kurvor och trianglar Låt vara ett område på Σ som bijektivt avbildas på en sfärisk triangel n( ) på S 2. Vi vet då från den sfäriska geometrin att arean av n( ges hur mycket mer triangelns vinkelsumma är än π. Det ur (2) att (3) K(p)dS = vinkelsumman π, vilket blir det påstående som svarar mot att vinkelsumman av en plan triangel är π. Vad är det då som karakteriserar de kurvor som genom Gaussavbildningen definierar storcirklar på enhetssfären? Vi har identifierat tangentplanet i n(p) till S 2 med tangentplanet T p Σ till ytan. Det som karakteriserar en storcirkel är att accelerationen c(0) (båglängdsparametriserad) i punkten p = c(0) är proportionell mot n(p), eftersom den är en plan kurva. Samma egenskap ska därför gälla kurvan på ytan Σ som definierar storcirkeln: med konstant fart ska accelerationen i punkten p vara ortogonal mot tangentplanet T p Σ. Sådana kurvor kallas geodetiska kurvor på Σ och kan fysikaliskt motiveras med att om partikel rör sig med konstant fart, så gäller att den enda kraft som ska verka på den är vinkelrät mot ytan, vilket är den kraft som behövs för att hålla partikeln kvar på ytan. Exempel 9 Om Σ är ett plan innebär detta att c(t) = a(t)n där n är normal till planet. Men å andra sidan gäller att n c(t) är konstant eftersom rörelsen sker i ett plan, vilket medför att a(t) = n c(t) = 0. Om Σ är en sfär med radien R och medelpunkt i origo gäller att normalen i punkten c(t) är lika med c(t)/r. Åter igen blir villkoret därför att c(t) = a(t)c(t) och det följer att d (c ċ)(t) = a(t)c(t) c(t) = 0, dt så c(t) ċ(t) = v för någon konstant vektor v. Det i sin tur innebär att c(t) v = 0, dvs banana ligger i det plan som går genom origo och har v som normal. Med andra ord en storcirkel. Låt ξ vara ett vektorfält, på en orienterad yta M, med endast isolerade nollställen. I ett sådant isolerat nollställe p definierar vi ξ:s index på följande sätt. I en liten omgivning

Geometri på ytor i rummet 11 (18) till p och låt γ vara bilden av en liten cirkel c ɛ i kartan med medelpunkt i p. Låt θ vara vridningsvinkeln. Då definierar vi ind ξ (p) = 1 dθ, 2π c ɛ där kurvan genomlöps moturs. Denna definition är oberoende av val av kurva enligt Stokes sats. Intuitivt får vi index genom att vi går runt γ, och se efter hur många varv ξ snurrar medan vi gör det. Indexet är alltid ett heltal. Vi ska nu dela upp M i två delar, en delmängd U på vilken ξ är komplicerad men som har en enkel topologi, och en delmängd M \ U där ξ är enkel, men vars topologi vi inte vet något om. För detta, låt p 1,..., p r vara de isolerade nollställena till ξ och ta kring varje sådant en liten, enkelt sammanhängande omgivning B i med C 1 -rand. Låt U vara unionen av alla dessa. På M = M \ U, som är en mångfald med rand, gäller att ξ 0 överallt. Vi kan därför välja en ON-ram på M sådan att e 1 = ξ/ ξ och e 2 av orienteringen av Σ. Vi har då K ds = dω 12 = ω 12 = ω 12. M M M k B i I varje B i kan vi välja en annan ram, med konnektionsform ω12, i så att vi har att KdS = ω12. i B i B i Men av vad vi sett gäller att ω12 i = ω 12 dθ där båda ramarna är definierade, alltså speciellt i en omgivning av B i. Genom summering får vi då att KdS = (ω12 i ω 12 ) = dθ = 2π ind ξ (p i ). M i B i i B i i Speciellt ser vi att indexsumman inte beror av vilket vektorfält (med isolerade nollställen) som vi valt! Låt ytan ha en triangulering. Då kan vi definiera ett vektorfält ξ i varje triangel enligt a) En sänka i varje hörn, index +1 b) En sadelpunkt i mitten på varje sida, index 1 c) en källa i tyngdpunkten på varje triangel, index +1 Om V är antal hörn, E antal kanter och F antal ytor följer då att k ind ξ(p k ) = V E+F, vilket är Eulerkarakteristiken för M. Vi har därmed visat att 1 KdS = ind ξ (p i ) = χ(m). 2π Den sista likheten är av Poincaré år 1883. Vad detta visar är M a) Att Eulerkarakteristiken inte beror av vilken triangulering vi väljer (så länge det finns en vilket det alltid gör) b) Att indexsumman inte beror av vilket vektofält vi tar c) Att integralen av totalkrökningen över hela ytan alltid är en heltalsmultipel av 2π.

Geometri på ytor i rummet 12 (18) 7 Den kovarianta derivatan på en yta Låt oss fortsätta diskutera myrans perspektiv på vad som händer. Det enda myran kan uppfatta av ett vektorfält på Σ är hur det ser ut i tangentplanet, dvs π p (ξ(p)), där π p : R 3 T p Σ är den ortogonala projektionen på tangentplanet. Det betyder att den kan uppfatta ett tangentiellt vektorfält fullt ut, men av dess differential endast delar. För ett allmänt vektorfält ξ och ett tangentiellt vektorfält η definierar vi η ξ(p) = π p (dξ(p)(η)), som kallas den kovarianta derivatan av ξ längs η. Denna är alltså den ortogonala projektionen på tangentplanet av differentialen av vektorfältet. Den fungerar som en sorts tangentiell riktningsderivata och operationen är en derivation i den meningen att fη ξ = f η ξ, η (fξ) = df(η)ξ + f η ξ. Exempel 10 Vi kan plocka fram ett explicit uttryck för η ξ genom att använda den vanliga projektionsformeln η ξ = dξ(η) (dξ(η) n)n. Eftersom dξ n = ξ 1 ω 13 + ξ 2 ω 23, där ξ i = θ i (ξ), ger en kort räkning att η ξ = (dξ 1 (η) + ξ 2 ω 12 (η))e 1 + (dξ 2 (η) ξ 1 ω 12 (η))e 2. På matrisform uttryckt, i basen e 1, e 2, blir detta η ξ = dξ(η) + ω(η)ξ, ω = ( ) 0 ω12. ω 12 0 Notera den viktiga observationen att om ξ, η, ζ är tangentiella vektorfält på Σ, så gäller att (4) d(ξ ζ)(η) = η ξ ζ + ξ η ζ. En kort sammanfattning av den kovariata derivatan av vektorfält: a) För en yttre betraktare är den den ortogonala projektionen av 3D-derivatan av vektorfältet på tangentplanen, som är 2D, medan den för myran på ytan är den enda förändring av vektorfältet den kan uppfatta. b) I det inre perspektivet ser vi på den kovarianta derivatan som något som opererar på storheter i parameterrrummet U. c) Vi vet att η e 1 = ω 12 (η)e 2, och alltså att ω 12 (η) = η e 1 e 2. Det betyder att myran kan bestämma 1-formen ω 12 på vektorer i parameterrummet. (Strikt sett är konnektionsformen här ψ ω 12, om vi utgår från vår ursprungliga definition.) d) Igen förenklas räkningarna ofta om vi istället räknar med komplexa tal: med ξ = (ξ 1 + iξ 2 )e 1 har vi η ξ = dξ(η) iω 12 (η)ξ.

Geometri på ytor i rummet 13 (18) 8 Parallellförflyttning av vektorfält Animationen nedan visar vad som menas med att parallellförflytta en vektor ξ 0 längs en plan kurva c(t). Vad vi får är ett vektorfält ξ(t) som är sådant att vinkeln mellan ξ(t) och tangentvektorn ċ(t) hela tiden är konstant, vilket i sin tur betyder att vektorns projektion på tangenten inte ändrar sig. Att projektionen inte ändrar sig är det samma som att projektionen av ξ(t) på tangenten är noll. En individ som lever på kurvan kan bara observera vad som händer i tangentrummet, vilket betyder att han i detta fall uppfattar att ξ(t) = 0. Motsvarande händer i rummet. Att parallellförflytta en given (tangent-)vektor ξ 0 längs en kurva c = ψ u på Σ innebär att vi bestämmer vektorer ξ(t) i c(t) för alla t sådana att ξ dt (t) = ċ(t)ξ(t) = 0. Vi kan uttrycka ekvationen i koordinater genom att skriva ξ(t) = dψ(v(t)), där v(t) är ett plant vektorfält. Då gäller att ξ i (t) = θ i (v(t)). Låt vidare c(t) = ψ(u(t)). Då ser vi att ekvationen ovan innebär systemet ξ 1 + ξ 2 ω 12 ( u) = 0, ξ2 ξ 1 ω 12 ( u) = 0. Vi har sett att detta villkor svarar mot ett system av ODE, så om vi har en given vektor ξ 0 i en punkt, så kan vi alltid parallellförflytta den på ett entydigt sätt längs en kurva. På komplex form får vi ekvationen vilket vi integrerar till ξ iω 12 ( u)ξ = 0, ξ = ξ 1 + iξ 2, ξ(t) = exp(i t 0 ω 12 ( u(τ))dτ)ξ(0). Exempel 11 På enhetssfären har vi att ω 12 = cos θdφ, så systemet blir ξ + i cos θ φ ξ = 0.

Geometri pa ytor i rummet 14 (18) Om vi t.ex. parallellfo rflyttar vektorfa ltet la ngs en meridian da r φ = φ0 fa r att ξ = 0 och alltsa att ξ inte a ndrar sig (relativt e1, e2 ). La t oss sa parallellfo rflytta la ngs en cirkel θ = θ0. Pa den ga ller att ba gla ngden ges av ds = sin θ0 dφ, sa med ba gla ngden som parameter fa r vi ekvationerna ξ + i cot θ0 ξ = 0, vilken har lo sningen ξ(s) = exp( i cot θ0 s)ξ(0). Vi ser att parallelltransport inneba r en kontinuerlig rotation med vinkeln α(s) = s cot θ0 = φ cos θ0 av baselementen la ngs kurvan. Na r det ga ller parallelltransporten la ngs cirkeln θ = θ0 kan vi observera fo ljande: a) Na r vi ga tt runt ett varv (s = 2π sin θ0 ) fa r vi vektorn ξ(2π) = exp( 2πi cos θ0 )ξ(0) vilken i allma nhet a r en annan a n startvektorn. Detta faktum a r kopplat till att ytan a r kro kt. b) Na r vi ga r runt ekvatorn (θ0 = π2 ) fa r vi tillbaka va r startvektor. Detta beror pa att denna a r en geodetisk kurva. c) Om vi la ter θ0 0, sa att cirkeln o verga r i nordpolen, ser vi att ξ(2π) = 2π. En infinitesimalt liten loop runt nordpolen ger alltsa en rotation pa ett varv. Detta a r ett ma tt pa kro kningen i punkten. d) Vektorn roterar medurs, vilket beror pa att om vi bara tar den kovarianta derivatan av cirkelns tangent, sa pekar den uppa t. Sa vektorfa ltet ma ste rotera medurs fo r att motverka denna effekt. Anma rkning Foucalt observerade 1851 att en pendel som sva nger pa latituden θ0 precessar med en period av T = 24/ cos θ0 timmar. Om vi fo resta ller oss jorden som fix och transporterar den sva ngande pendeln ett varv runt cirkeln pa 24 timmar. Med en la ng pendel och en kort sva ngning a r ro relsen va sentligen tangentiell och om vi ro r oss la ngsamt kommer krafterna att va sentligen vara normala till sfa ren. En uppskattning ger att om R a r jordradien sa a r den tangentiella komponenten av centripetalkraften (R sin θ0 ) cos θ0 ( 2π 2 2π 2 R ) 218.3km/h2 0.17%g. 2 24 24 Alltsa a r sva ngningvektor ur alla praktiska perspekiv parallell med kurvan. Den roterar da rfo r en vinkel 2π cos θ0 pa ett varv, sa det tar 24/ cos θ0 timmar fo r den att a terga till startpunkten. Vi ska nu fo rtydliga en del av dessa kommentarer.

Geometri på ytor i rummet 15 (18) Ett tangentiellt fält av enhetsvektorer längs en kurva γ = c(i) kan skrivas ξ(t) = e iθ(t) e 1 (c(t)) för någon vinkel θ(t). Att ξ parallellförflyttas längs γ innebär då att ξ dt = (d(eiθ )( u) iω 12 ( u)e iθ )e 1 = ( θ ω 12 ( u)ie iθ e 1 = 0, så villkoret för att ξ(t) ska vara ett parallellförflyttat vektorfält blir att θ(t) = ω 12 ( u(t)). Den vinkel en vektor roterar relativt en given ram medan vi parallellförflyttar den ett varv runt c kallas holonomin runt kurvan. Vi har då sett att den totala holonomin runt en kurva γ = D ges av θ = ω 12 = dω 12. D Exempel 12 Från föregående exempel ser vi att holonomin runt cirkeln θ = θ 0, genomlöpt medurs, blir 2π cos θ 0. Men hur ser då en geodetisk kurva ut från myrans perspektiv? Hur avgör den om accelerationen är vinkelrät mot ytan? Derivatan av vektorfältet ξ(t) = ċ(t) är accelerationen, och av den ser myran endast d ξ/dt, så villkoret kan skrivas D ċ(t) ċ(t) = 0. Detta är ett system av ODE och har en entydig lösning med givet c(0) och ċ(0), vilket betyder att det till varje punkt och tangentriktning finns precis en geodetisk kurva. Speciellt får vi ur det att det går att triangulera en godtycklig yta med (tillräckligt små) geodetiska trianglar. För att härleda ekvationerna till en given yta använder vi att ξ i = θ i ( u), som följande exempel illustrerar. Exempel 13 På enhetssfären har vi θ 1 = dθ och θ 2 = sin θdφ medan ω 12 = cos θdφ. Det betyder att ξ = θ(t) + sin θ(t) φ(t) och ODE:n blir ( θ+i cos θ θ φ+i sin θ φ+i cos θ φ( θ+i sin θ φ) = ( θ cos θ sin θ φ 2 )+i sin θ( φ+2 cot θ φ θ) = 0. Med andra ord, de geodetiska kurvornas ekvation ges av det reella systemet θ cos θ sin θ φ 2 = 0, φ + 2 cot θ φ θ = 0. Det enklaste sättet att lösa dessa är att se att kurvan θ = θ 0 + t, φ = φ 0 är den entydiga lösningen till ekvationen i punkten (θ 0, φ 0 ) med startvektor (1, 0), vilket svarar mot en meridian. Men vi kan alltid rotera cirkeln så att vi får den startvektorn, vilket visar att de geodetiska kurvorna är precis storcirklarna.

Geometri på ytor i rummet 16 (18) 9 Geodetisk krökning av kurvor på ytor Vad kan vi då säga om allmänna, icke-geodetiska, kurvor på ytan Σ? Det finns olika typer av ramverk som man kan sätta längs en sådan kurva, vilka ger lite olika information. Om kurvan ligger på en orienterad yta är Frenet-ramen inte anpassad till denna. För att få något som liknar Frenet-ramen, men är anpassad till ytan, väljer vi samma e 1 som i Frenet-fallet: e 1 (c(s)) = ċ(s) (vi antar att kurvan är parametriserad med båglängden). Då är två vektorer i basen givna, e 1 och e 3 = n, och vi får den sista genom e 2 = n e 1. En sådan ram kallas en Darboux-ram. Om vi jämför Darboux-ramen med Frenet-ramen så kommer skillnaden att vara en rotation i e 2 e 3 -rummet. Låt e i beteckna Darboux-ramen och ê i Frenet-ramen, så har vi att ˆω 21 = κθ 1 = cos θω 21 + sin θω 31, ˆω 31 = 0 = sin θω 21 + cos θω 31, ˆω 32 = τθ 2 = ω 32 + dθ. Om vi startar med en ram e 1, e 2, n anpassad till en orienterad yta och sedan tar en Darboux-ram ē 1, ē 2, n längs en given kurva, så kommer dessa därför att skilja sig åt genom en rotation i tangentplanet. För en Darboux-ram kan vi definiera följande storheter: ω 21 = κ g ds, ω 31 = κ n ds, ω 32 = τ g ds Här kallas κ g den geodetiska krökningen av kurvan, κ n normalkrökningen och τ g den geodetiska torsionen. Totalt får vi strukturekvationerna ē 1 = κ g ē 2 + κ n ē 3, ē 2 = κ g ē 1 + τ g ē 3, ē 3 = κ n ē 1 τ g ē 2. Speciellt har vi att κe 2 = κ g ē 2 + κ n n, så κ n = κ(e 2 n) = κ cos θ, κ g = ±κ sin θ. Här är θ vinkeln mellan Frenet-ramens andra vektor och ytans normal. Formeln för κ g följer av att vi har κ 2 = κ 2 g + κ 2 n. Vi ser att kurvan är en geodetisk kurva precis då κ g = 0, eftersom det blir kriteriet på att c är ortogonal mot ytan. Exempel 14 Låt oss bestämma den geodetiska krökningen av en allmän cirkel på en sfär med radien R. Vi kan beskriva en sådan cirkel som θ = θ 0 och vi låter e 1, e 2, e 3 vara motsvarande ram på sfären. Vi inför då en Darboux-ram för vår cirkeln genom att sätta ē 1 = e 2, ē 2 = e 1, för vilken vi får att ω 12 = ω 21 = ω 12. Vidare har vi att κ g = ω 12 (ē 1 ) = ω 12 (e 2 ), och eftersom ω 12 = cot θθ 2 får vi att κ g = cot θ 0. Man säger att en kurva γ är asymptotisk om ċ hela tiden pekar i en riktning sådan att κ n = 0. För en sådan gäller att κ = κ g och Darboux-ramen överensstämmer med Frenet-ramen överallt. Vi kan faktiskt använda dessa resonemang till att visa att den första och den andra fundamentalformen bestämmer en yta på kongruens när. Låt ytorna vara Σ 1 = ψ 1 (U) och Σ 2 = ψ 2 (U), som vi antar orienterade och sammanhängande. Genom en Euklidisk transformation kan vi flytta Σ 2 så att den sammanfaller med Σ 1 vad gäller läge och

Geometri på ytor i rummet 17 (18) orientering i en punkt p = ψ(u 0 ). Tag nu en kurva γ = c(i) på Σ 1 som förbinder p med en (godtycklig) annan punkt q på Σ 1. Vi ska då visa att q även ligger på Σ 2. Om e är ett ramverk på Σ 1 sådant att de = eω, så gäller att vi har ramverket e(t) = c e på γ som är sådant att ė = e ω, där ω = c ω. Men ω bestäms entydigt av första och andra fundamentalformen, så denna differentialekvation bestämmer även en väg på Σ 2 som slutar i q. Vilket visar att q ligger också på Σ 2 och därmed påståendet. 10 Gauss-Bonnets sats Om e 1, e 2, e 3 är en given ON-ram på ytan Σ och c = ψ u en kurva på Σ med tillhörande Darboux-ram ê 1, ê 2, ê 3, så gäller att dessa skiljer sig åt på en rotation vinkeln θ i tangentplanet och att det då gäller att ˆω 12 = ω 12 dθ. Men vänsterledet har vi här sett är detsamma som κ g θ 1, så vi har den fundamentala relationen längs kurvan. κ g (s) = θ(s) ω 12 ( u(s)) Anmärkning Den geodetiska krökningen av en kurva på en yta mäter med vilken hastighet enhetstangenten roterar relativt ett parallellt vektorfält längs kurvan. θ mäter dess rotation runt e 1, som själv roterar med en hastighet som ges av ω 12. Holonomin runt randen R på ett område R ges av KdS och vi har att R φ = κ g ds + KdS. R Om R är enkelt sammanhängande måste θ = 2π. Intuitivt kan vi dra ihop kurvan till en punkt, i vilket fall e 1 blir konstant längs kurvan men tangentvektorn måste gör ett helt varv. Så om R är ett enkelt sammanhängande område vars rand är en geodetisk kurva, så gäller att KdS = 2π. R Betrakta nu en orienterad yta Σ och ett polygonalt område P på detta. Tag Darbouxramen till randen P. Med hjälp av Stokes sats får vi nu att KdS = dω 12 = ω 12 = (dθ κ g θ 1 ) = κ g ds + (2π α j ). P P P P P j Sammanfattningsvis får vi vad som kallas den lokala formen av Gauss-Bonnets sats κ g ds + K ds + α j = 2π, P P j där α j betecknar den yttre vinkeln vid hörnet j. Gauss-Bonnets sats utgör i någon mening den yttersta generaliseringen av att vinkelsumman i en plan triangel är π. Men från denna lokala form av Gauss-Bonnets sats följer också en global variant. Antag att vi har en orienterad yta Σ vars rand Σ är en styckvis reguljär kurva med yttre vinklar α j i hörnen. Då gäller att KdS + κ g ds + α j = 2πχ(Σ). Σ Σ j R

Geometri på ytor i rummet 18 (18) Detta är samma sak som vi tidigare har visat i specialfallet att vi har en triangulering i geodetiska trianglar. Beviset är detsamma det enda vi behöver notera är att när vi summera den geodetiska krökningen över kurvstycken så kommer vi att göra det två gånger med motsatt orientering på alla inre kanter och kvar blir endast de som ligger på randen. En intressant tillämpning av detta observerades år 1843 av Jacobi. Låt c vara en sluten, reguljär kurva vars krökning aldrig är noll. Låt e 1 (t), e 2 (t), e 3 (t) vara dess Frenet-ram. Då gäller att om e 2 (t) definierar en sluten reguljär kurva på S 2, så kommer den att dela upp S 2 i två lika stora delar (som båda har arena 2π). För beviset, antag att kurvan är parametriserad med båglängd och definera θ(t) genom cos θ(t) = κ(t) κ(t)2 + τ(t), sin θ(t) = τ(t) 2 κ(t)2 + τ(t). 2 Då blir E 1 (t) = cos θ(t)e 1 (t) + sin θ(t)e 3 (t) enhetstangentvektor till kurvan t e 2 (t), och E 2 (t) = sin θ(t)e 1 (r) + cos θ(t)e 3 motsvarande ortogonala enhetsvektor i tangentrummet T e2 (t)s 2. En derivation visar att E 1 dt = θe 2, κ g = E 1 dt E 2 = θ. Låt nu P vara området som begränsas av kurvan på S 2. Då gäller att ds + θds = ds = 2π. Noteringar P P P 1. Detta är inte så banalt som det verkar.