Optmerng samband med produktonsplanerng av, och materalförsörjnng vd, underhåll av flygmotorer Nclas Andréasson 1 och Torgny Almgren 2 1. Matematk Chalmers teknska högskola 412 96 Göteborg 31-772 53 78 nclasa@math.chalmers.se 2. Volvo Aero 461 81 Trollhättan 52-944 32 torgny.almgren@volvo.com SAMMANFATTNING Det fnns två huvudsaklga anlednngar tll att en flygmotor kommer n för underhåll. Den ena är att någon eller några av motorns delar (komponenter) uppnått sn maxmala lvslängd, d.v.s. att antalet regstrerade förbruknngscykler börjar närma sg det maxmalt tllåtna. Den andra är att någontng ndkerar att motorn nte uppför sg rktgt som den ska. Vd själva underhållet byts eller repareras ett stort antal ngående delar. Dessa kan delas n två huvudtyper; de lvslängdsbegränsade (LLB) samt övrga delar där slumpen är med och styr lvslängden ( on condton, OC). Delarna är regel mycket dyrbara, samtdgt som underhållstllfället sg är förknppat med stora fasta kostnader för att ta n en motor tll verkstaden, t.ex. för transporter, admnstraton, nspekton, reservmotorer och drftstopp. Det är därför vktgt att man vd varje underhållstllfälle nte bara beaktar möjlgheten att byta ut de delar som uppnått sn maxmala lvslängd, utan även fattar beslut om LLB-delar som nte rktgt har nått sn lvslängd och om OC-delar som ännu nte är sönder, men där rsken för felutfall bedöms som tllräcklgt betydande (denna typ av underhåll brukar kallas opportunstskt ). Att vd varje specfkt underhållstllfälle fnna utbytesscheman som mnmerar den totala förväntade underhållskostnaden är emellertd ett mycket komplext optmerngsproblem, särsklt när även valet av tllgänglga delar ur lager beaktas.
I denna stude, som bedrvts på Volvo Aero och flygmotorn RM12 (som stter JAS 39 Grpen), beskrvs den på företaget befntlga metoden, en ålderspolcy och en matematsk optmerngsmodell (lnjär heltalsmodell) för att fatta opportunstska underhållsbeslut. Metoderna bygger på att de stokastska delarna betraktas som determnstska genom att man tlldelar dem lvslängder, t.ex. väntevärden. Den befntlga metoden och ålderspolcyn är heurstker tll det modferade determnstska problemet, medan den lnjära heltalsmodellen löser det modferade problemet tll optmum. Metoderna jämförs va genomförande av stokastska smulerngar och slutsatser dras avseende potentalen att nyttja metoderna vd fattande av underhållsbeslut. 1. BAKGRUND OCH INTRODUKTION 1.1. Volvo Aero och flygmotorunderhåll Volvo Aero (VAC) är ett företag nom Volvogruppen som bl.a. sysslar med underhåll av flygmotorer. Underhållet och övrga eftermarknadssektorn omsatte drygt 3 mljarder kronor under 24, och är en vktg del av den totala verksamheten. Underhållskunderna, främst flygoperatörerna, är ekonomskt pressade då de utsätts för en allt hårdare konkurrens, samtdgt som bränsleprserna stger. Det blr därför allt vktgare att VAC höjer sn konkurrenskraft genom att tydlgt kunna påvsa att kundernas totalkostnad sjunker om VAC väljs som leverantör. För att åstadkomma detta krävs att underhållet stör kundernas flygverksamhet så lte som möjlgt, samtdgt som kostnaderna assocerade med underhållet mnmeras. I praktken nnebär detta en mnmerng av såväl antalet underhållstllfällen som reservmaterelförbruknngen. Eftersom det fnns en tydlg kopplng mellan dessa faktorer nnebär det själva verket att det är den optmala balansen mellan dessa två kostnadsposter som eftersträvas, eller att varje underhållstllfälle måste utnyttjas maxmalt d.v.s. underhållet måste genomföras opportunstskt! 1.2. Varje underhållstllfälle är dyrt! Underhållet av flygmotorer är en mycket tdskrävande åtgärd; tden att utföra underhåll på en större jetmotor är ofta längre än 5 dagar. En flygmaskn är samtdgt en mycket kostsam nvesterng, som flygbolagen därför vll belägga så stor utsträcknng som möjlgt. Av denna anlednng nyttjas normalt reservmotorer, nte heller dessa är bllga, för att ersätta de motorer som underhålls. Utöver kostnaderna för reservmotorerna, som ofta hyrs n, vet man erfarenhetsmässgt att varje underhållstllfälle sg genererar en mängd
kostnader beroende på en mängd faktorer: underhållstllfället medför en hel del admnstraton; delar som sg nte är underhållsdrvande kommer oundvklgen att bytas när motorn är nne; motorn måste provköras nnan leverans; etc. Sammantaget leder detta tll att varje underhållstllfälle sg medför en stor fast kostnad - som logskt kan lknas vd en ordersärkostnad. För att förstå vlka möjlgheter det fnns att påverka antalet underhållstllfällen krävs en vss förståelse för den allmänna logken krng flygmotorunderhållet. 1.3. Flygmotorunderhållets grundläggande logk Grundläggande är att komponenterna en flygmotor kan delas n två huvudtyper; de lvslängdsbegränsade (LLB), samt övrga delar där slumpen är med och styr lvslängden ( on condton, OC). För LLB-delarna förelgger lagkrav på att antalet regstrerade förbruknngscykler ej får överskrda gränsen för vad som är maxmalt tllåtet. Denna typ av komponenter styr stor utsträcknng när en motor tas n för underhåll. En annan orsak tll att ta n en motor för underhåll är att något ndkerar att motorn nte uppför sg rktgt som den ska, vlket kan vara en ndkaton på att någon av OC-delarna behöver åtgärdas. När motorn väl kommer n för underhåll demonteras den varerande grad. I samband med detta ges möjlghet att kontrollera ngående delar, och se om dessa behöver repareras eller bytas ut. Demonterngsgraden styrs av kvarvarande gångtd på LLB-delarna, modferngsbehov, värden på olka drftsparametrar, m.m. Efter demonterngen görs en noggrann kontroll av de blottlagda komponenterna varvd ytterlgare utbytesbehov dentferas. Det bör också nämnas att de olka komponenterna, precs som begagnade delar lager, betngar olka restvärden beroende på kvarvarande antalet cykler, försltnngsgrad och naturlgtvs även marknadsprser på ny och begagnad reservmaterel. Dessa restvärden utgör en del av beslutsunderlaget planerngsprocessen. Vd den slutgltga åtgärdsbestämnngen, och produktonsplanerngen, fnns stora möjlgheter att påverka hur lång td motorn kan nyttjas nnan den åter behöver underhållas. I denna fas fattas nämlgen en mängd beslut rörande vlka åtgärder som ska genomföras, och vlka komponenter som ska ersättas. Frågeställnngar som rör hur olka detaljer (LLB-delar och andra) ska kombneras, samt valet av ny kontra begagnad reservdelsmaterel motorerna är krtska för hur länge motorn kommer att kunna flyga tlls nästa underhållstllfälle, och slutändan för att uppnå kostnadseffektvtet.
1.4. Besparngspotental En dyr reservdel tll en jetmotor kan kosta storleksordnngen 2 Mkr, och den totala kostnaden för att underhålla en stor jetmotor lgger normalt ntervallet 15-3 Mkr. Att hyra en reservmotor kan kosta upp tll omkrng 15 kr/dygn. Den ekonomska potentalen att effektvsera underhållsverksamheten är således betydande, samtdgt som problemets stora komplextet gör det lämplgt för beslutsstöd va vss automaton. Av denna anlednng nterade logstkfunktonen på VAC ett forsknngsprojekt, delfnanserat av NFFP (Natonellt Flygteknskt ForsknngsProgram), med avskt att söka skapa beslutsstöd för opportunstskt underhåll, d.v.s. för att optmera balansen mellan ordersärkostnaden för att ta n motorer för underhåll kontra reservmaterelkostnaden. Denna rapport presenterar en fallstude vlken VAC:s befntlga metod jämförs med två metoder framtagna detta forsknngsprojekt. Som testproblem används en lågtrycksturbn den mltära flygmotorn RM12 (som stter JAS 39 Grpen). Metoderna jämförs med stokastska smulerngar och slutsatser dras avseende den ekonomska potentalen att utnyttja dem, samt om deras användbarhet en praktsk underhållsstuaton. 2. TESTPROBLEMET I smulerngarna kommer en lågtrycksturbn RM12-motorn att användas som testproblem, se tabell 1. Den fasta kostnaden är baserad på en uppskattnng av den verklga kostnaden för transport, nspekton, admnstraton o.s.v., som förknppas med varje underhållstllfälle oavsett vlka delar som byts. Tdshorsonten har satts tll den som vanlgtvs används på VAC vd beräknng av underhållsprognoser. Tden delas n tdssteg om 5 flygtmmar. På grund av sekretess ges nte kostnader och lvslängder explct. Varje LLB-del har en gven lvslängd. Lvslängderna för OC-delarna antas vara Webullfördelade, d.v.s. de är fördelade enlgt β F( t) = 1 exp( ( t / θ ) ), där θ och β är parametrar som bestämmer väntevärdet av lvslängden samt hur stor stokastsk sprdnng den har. OC-delarna har tlldelats uppskattnngar av förväntade lvslängder, men på grund av att antalet felutfall httlls är för få kan nte parametrarna Webullfördelnngarna skattas med någon större noggrannhet. I de stokastska smulerngarna vareras därför β -värdena och θ - värdena så att väntevärdena överensstämmer med de gvna uppskattnngarna. På så vs fås en förståelse för hur den stokastska sprdnngen påverkar lösnngarna från de modeller, för opportunstskt underhåll, som skall utvärderas.
Tabell 1: Testproblemet; en lågtrycksturbn RM12-motorn. Del Benämnng LLB/OC 1 HTT tätsegment OC 2 LT turbnskva LLB 3 Lufttätrng LLB 4 LTT tätsegment OC 5 LTT munstyckshus OC 6 Ledskenesegment OC 7 LT turbnnav LLB 8 LT turbnskovel LLB 9 HT turbntäthus OC 1 LT turbnhus OC I den kommande framställnngen kommer v på flera ställen att referera tll det determnstska problemet och menar då alltd underhållsproblemet som fås då OC-delarna betraktas som LLB-delar genom att de tlldelas lvslängder enlghet med uppskattnngarna av väntevärdena. 3. MODELLERNA V kommer att undersöka tre olka modeller som kan styra det opportunstska underhållet, nämlgen: Den befntlga metoden En ålderspolcy En lnjär heltalsmodell Den lnjära heltalsmodellen är en matematsk optmerngsmodell som löser det determnstska problemet tll optmum, men kräver avancerad programvara för att kunna lösas. Den befntlga metoden och ålderspolcyn fnner endast approxmatva lösnngar (d.v.s. är nte garanterat optmala) tll det determnstska problemet, men är å andra sdan enkla att lösa. V ger här korta beskrvnngar av de olka modellerna, men går nte n på några detaljer. Utförlga beskrvnngar ges blaga 1. 3.1. Den befntlga metoden Den befntlga metoden är en kombnaton av en värderngspolcy och manuellt arbete. Först tas ett grundutbytesschema fram med hjälp av en värderngspolcy. Denna går ut på att man vd varje underhållstllfälle jämför delarnas återstående värde med den fasta kostnaden. Om det återstående värdet för en vss del är lägre än den fasta kostnaden byts delen. Det återstående värdet för varje del uppskattas med en lnjär avskrvnng av nyprset. Ett problem med denna metod uppstår för
delar vars nyprs är lägre än den fasta kostnaden. Polcyn ndkerar nämlgen att sådana delar skall bytas oavsett den kvarvarande lvslängden, vlket nnebär att nästan nya delar byts. För att undvka detta nförs för dessa delar en lvslängdsgräns, och om den kvarvarande lvslängden är större än denna byts nte delen. Lvslängdsgränsen baseras på kundens krav för hur många flygtmmar motorn mnst måste ha efter varje underhållstllfälle. Grundschemat från värderngspolcyn llustreras grafskt ett Excel-blad och användaren gör sedan manuellt justerngar syfte att fnna ett bllgare utbytesschema för det determnstska problemet. Detta nnebär att den befntlga metoden som bäst klarar att fnna ett optmum tll det determnstska problemet. Det krävs dock stor skcklghet, tålmodghet och tur om användaren alltd skall fnna detta optmum. Den befntlga metoden llustreras fgur 1. Värderngspolcy Illustraton Excel-blad Manuell förbättrng Slutlgt utbytesschema Fgur 1: Den befntlga metoden. 3.2. Ålderspolcyn En populär metod, både den vetenskaplga ltteraturen och praktken, för att fatta opportunstska underhållsbeslut är att använda en så kallad ålderspolcy. Vd en sådan polcy ges varje del motorn en åldersgräns. Om vd ett specfkt underhållstllfälle tden drft (åldern) överstger åldersgränsen byts delen. Att htta optmala värden på åldersgränserna är generellt sett ett komplext problem. V använder oss här av en metod som approxmatvt httar åldersgränserna. Ålderspolcyn llustreras fgur 2. Är delens ålder större än åldersgränsen? Ja Byt delen Nej Byt nte delen Fgur 2: Illustraton av ålderspolcyn.
3.3. Den lnjära heltalsmodellen En vanlg metod nom matematsk optmerng för att lösa beslutsproblem är att använda så kallade bnära varabler, d.v.s. varabler som endast kan anta värdena eller 1. Fgur 3 vsar ett exempel på hur en bnär varabel kan användas en beslutsstuaton. Beslutsproblem Fråga x = 1 x = Ja Nej Fgur 3: Exempel på hur en bnär varabel kan kopplas tll ett beslutsproblem. Fguren vsar att v har ett beslutsproblem som kan formuleras som en fråga vlken kan besvaras med ja eller nej. Den bnära varabeln x nförs och kopplas tll frågan så att x = 1 betyder ja och x = betyder nej. I fallet med underhåll av flygmotorer är det lämplgt att dela n tden tdssteg enlgt t =,1,..., T och sedan nföra en bnär varabel för varje komponent och varje tdpunkt. Om x t är en bnär varabel för en del motorn vd tden t gäller att x t = 1 om delen skall bytas vd t och x t = om delen nte skall bytas. Detta beslutsproblem llustreras fgur 4. Underhållsbeslut Skall delen bytas? x = 1 x = Ja Nej Fgur 4: Beslutsproblemet som uppkommer vd underhåll av flygmotorer. Med hjälp av denna typ av bnära varabler kan man konstruera bvllkor och målfunkton och tll slut få en lnjär heltalsmodell som tll det determnstska problemet httar ett utbytesschema som mnmerar den totala kostnaden för att ha en fungerande motor mellan tden t = och t = T.
4. UNDERSÖKNING AV MODELLERNA VIA SIMULERINGAR V skall nu med hjälp av smulerngar jämföra de olka metoderna och specellt påvsa nyttan med att använda matematsk optmerng form av den lnjära heltalsmodellen. För att få en uppfattnng om värdet av att överhuvudtaget utföra opportunstskt underhåll jämförs metoderna med metoden att aldrg byta ut en LLB-del som nte har nått sn lvslängd eller en OC-del som nte är sönder (d.v.s. nget opportunstskt underhåll utförs). Om ngen dskretserng av tden görs är denna metod praktken fullkomlgt ormlg, då den kan leda tll att delar vars återstående lvslängd endast är bråkdelar av en flygtmme nte byts ut, vlket nnebär att motorn måste tas tll verkstaden gen om den prncp bara startas. I nedanstående smulerngar används dock en dskretserng av tden tdssteg om 5 flygtmmar, vlket nnebär att delar vars lvslängd är mndre än 25 flygtmmar vd ett specfkt underhållstllfälle betraktas som förbrukade och byts ut. 4.1. Det determnstska problemet V börjar med att betrakta alla delar som LLB-delar genom att tlldela OCdelarna lvslängder med väntevärden. På detta sätt fås det determnstska problem för vlket den lnjära heltalsmodellen fnner en optmal lösnng. Lösnngarna från de olka metoderna vsas tabell 2 och fgur 5. Här betyder Befntlg att värderngspolcyn den befntlga metoden har använts, Ålder att ålderspolcyn har använts, Heltal att den lnjära heltalsmodellen har använts och Ingen att metoden att aldrg byta ut en LLB-del som nte har nått sn lvslängd, eller en OC-del som nte är sönder, har använts. De olka kolumnerna tabellen utgörs av # UH vlket står för antal underhållstllfällen (d.v.s. antalet gånger som modulen har tagts tll VAC), Kostn. är den totala underhållskostnaden (samtlga kostnader har dvderats med kostnaden för den befntlga metoden) och övrga kolumner vsar hur många gånger respektve del har bytts ut. I den övre delen av fguren vsas totalkostnaden och antalet underhållstllfällen för de olka metoderna. Staplarna för den befntlga metoden är tonade, vlket skall ndkera att det nte är känt hur stor den manuella förbättrngen blr. I den nedre delen av fguren vsas antalet utbyten av delar genom att varje del har tlldelats fyra staplar. Den första stapeln anger hur många utbyten som görs om den befntlga metoden används, den andra hur många utbyten som görs om ålderpolcyn används, den tredje hur många utbyten som görs om den lnjära heltalsmodellen används och den fjärde anger antalet utbyten om nget
opportunstskt underhåll görs. Observera att en nedre gräns för antalet utbyten av delar fås om nget opportunstskt underhåll utförs. Tabell 2: Resultat för det determnstska problemet. Metod # UH Kostn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Befntlg 9 1. 2 1 1 2 1 9 4 4 5 2 Ålder 3.49 3 1 1 2 1 3 1 2 3 3 Heltal 4.46 2 1 1 2 1 3 1 2 2 2 Ingen 14.69 2 1 1 2 1 3 1 2 2 2 Total kostnad Antal underhållstllfällen 1,8,6,4,2 Befntlg Ålder Heltal Ingen 15 1 5 Befntlg Ålder Heltal Ingen Antal utbyten av delar 1 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Befntlg Ålder Heltal Ingen Fgur 5: Resultat för det determnstska problemet. V ser att om nget opportunstskt underhåll utförs tas modulen n för underhåll 14 gånger. För samtlga av de opportunstska metoderna reduceras detta antal avsevärt. Den befntlga metoden reducerar antalet underhållstllfällen tll 9. Strategn som används för att uppnå denna redukton är att ofta byta ut delarna 6, 7, 8 och 9. Vnsten av reduktonen på 5 underhållstllfällen är dock nte nvå med kostnaden för det stora antalet utbyten av delarna, vlket leder tll en mycket högre kostnad än för samtlga av de övrga metoderna. Det är därför nte lämplgt att använda den befntlga metoden på det gvna testproblemet, vlket även nedanstående stokastska smulerngar kommer att vsa. Ålderspolcyn reducerar antalet underhållstllfällen tll 3 och uppnår detta genom att byta ut delarna 1, 9 och 1 en gång mer än nödvändgt. Vnsten av den kraftga reduktonen antalet underhållstllfällen överstger med bred
margnal kostnaden för de extra utbytena, vlket leder tll att den totala underhållskostnaden blr 49 % av kostnaden för den befntlga metoden. Heltalsmodellen fnner den optmala lösnngen, vlken vsar sg ha en totalkostnad som är 46 % av kostnaden för den befntlga metoden. Heltalsmodellen reducerar antalet underhållstllfällen tll 4. V ser att antalet utbyten för samtlga delar är lka med den nedre gränsen som fås om nget opportunstskt underhåll utförs. Heltalsmodellen fnner alltså ett utbytesschema som mnmerar den totala underhållskostnaden endast genom att gruppera utbytena på ett smart sätt! 4.2. Stokastska smulerngar V skall nu undersöka hur de olka metoderna fungerar stokastska stuatoner. För detta ändamål skapas 2 scenarer som representerar modulens verklga uppträdande (se blaga 2 för en beskrvnng av hur scenarerna skapas) och sedan körs de olka metoderna för varje scenaro varpå medelvärden för totalkostnad och totalt antal underhållstllfällen beräknas. Smulerngsprocessen llustreras fgur 6. Fgur 6: Illustraton av smulerngsprocessen. För att få en uppfattnng om hur den stokastska sprdnngen påverkar det opportunstska underhållet kommer v att varera β -värdena Webullfördelnngarna för OC-delarna. Ett högt β -värde nnebär lten stokastsk sprdnng och ett lågt β -värde nnebär stor stokastsk sprdnng. Erfarenhetsmässgt vet man att det vanlgtvs gäller att 2 β 6 för flygmotorkomponenter och därför vareras β -värdena detta ntervall.
Notera att om β = 1 fås en exponentalfördelnng, vlket nnebär att delarna nte åldras. En del som nte åldras skall så klart aldrg bytas ut om den nte går sönder, vlket medför att det är optmalt att nte utföra något opportunstskt underhåll. För t.ex. β = 2 är stuatonen nte lka extrem, men det är vktgt att förstå att nyttan med att utföra opportunstskt underhåll generellt sett är mndre vd låga β -värden än vd höga. V genomför fyra stokastska smulerngar enlgt: Smulerng 1: Samtlga OC-delar har β = 6. Smulerng 2: Samtlga OC-delar har β = 4. Smulerng 3: Samtlga OC-delar har β = 2. Smulerng 4: Delarna 1 och 4 har β = 2, delarna 5 och 6 har β = 4 och delarna 9 och 1 har β = 6. Totalkostnaderna från de olka smulerngarna sammanfattas fgur 7. (Samtlga kostnader har dvderats med kostnaden för den befntlga metoden för det determnstska problemet.) Det framgår att den befntlga metoden samtlga fall är dyrare än de övrga metoderna. Vdare ser v att kostnaderna för ålderpolcyn och heltalsmodellen ökar med ökat stokastskt nslag (d.v.s. mnskande β -värden). Vd β = 2 ser v att ålderspolcyn t.o.m. blr dyrare än om nget opportunstskt underhåll utförs. Heltalsmodellen ger samtlga testkörnngar den lägsta totalkostnaden och är ungefär 35 % bllgare än den befntlga metoden och 1 % bllgare än ålderspolcyn. 1,2 Total kostnad 1,8,6,4,2 Befntlg Ålder Heltal Ingen Determ. = 6 = 4 = 2 Blandat Fgur 7: Sammanställnng av de totala underhållskostnaderna.
Antalet underhållstllfällen för de olka metoderna sammanfattas fgur 8. V ser att alla de opportunstska metoderna mnskar antalet underhållstllfällen jämfört med om nget opportunstskt underhåll utförs. Vdare framgår att antalet underhållstllfällen ökar med ökat stokastskt nslag, vlket är ett resultat av att det blr svårare att planera underhållet. Ålderspolcyn ger samtlga testkörnngar det lägsta antalet underhållstllfällen. Antal underhållstllfällen 18 16 14 12 1 8 6 4 2 Determ. = 6 = 4 = 2 Blandat Befntlg Ålder Heltal Ingen Fgur 8: Sammanställnng av antalet underhållstllfällen. 4.3. Ålderspolcyn kontra den lnjära heltalsmodellen Ovanstående smulerngar vsar att ålderspolcyn många fall ger goda underhållsbeslut. Dessutom kan ålderspolcyn, utan några beräknngsteknska problem, applceras på prncp hur stora system som helst. Betyder detta att ålderspolcyn kan ersätta den jämförelsevs komplexa lnjära heltalsmodellen? Svaret på denna fråga är tyvärr negatvt. Ålderspolcyn är nämlgen en heurstsk metod och det fnns nte någon garant för att den fungerar väl för alla problem. Man kan ganska enkelt konstruera problem för vlka ålderspolcyn är 5 % dyrare än heltalsmodellen. En stor nackdel med ålderspolcyn är alltså att dess användbarhet är problemberoende; bland fungerar den bra, men bland fungerar den dålgt. Det är vdare svårt att avgöra exakt när det är lämplgt att använda den. Detta nnebär att användaren måste ha goda kunskaper om polcyns matematska egenskaper och vara försktg vd användnng av den. Den lnjära heltalsmodellen, å andra sdan, är nte problemberoende; den fnner alltd en optmal lösnng tll det determnstska problemet. Prset man får betala för denna trygghet är att modellen är förhållandevs komplex och svår att lösa.
Har man väl mplementerat den, och funnt en effektv algortm för att lösa den, krävs emellertd ngen specalstkunskap hos användaren; lösnngen som erhålls är alltd en optmal lösnng tll det determnstska problemet. Ålderspolcyn är dessutom svår att expandera om så skulle erfordras; en sådan expanson är att nkludera ett lager med begagnade reservdelar. 5. DEN LINJÄRA HELTALSMODELLEN MED LAGER I det verklga lvet fnns normalt ett lager med begagnade reservdelar som det är vktgt att kunna nyttja på ett bra sätt då dessa delar är bllgare än nya, särsklt som en del delar som tdgare bytts ut - andra motorer - fortfarande kan ha en hel del lv kvar. V antar därför att v har ett lager med begagnade delar som kan utnyttjas vd underhållet. Varken den befntlga metoden eller ålderspolcyn kan på ett naturlgt sätt utvdgas tll att ta hänsyn tll denna stuaton. Detta är dock möjlgt för den lnjära heltalsmodellen genom att man nför en bnär varabel för varje del lagret. Den lnjära heltalsmodellen med lager llustreras fgur 9. En detaljerad beskrvnng av lagermodellen ges blaga 3. Underhållsbeslut med hänsyn tll lager Skall delen ur lagret användas? x = 1 x = Ja Nej Fgur 9: Illustraton av lagermodellen. För att undersöka hur lagermodellen fungerar betraktas delarna 1, 4 och 5 som OC-delar och övrga som LLB-delar. Vdare antas att del 1 har β = 2, att del 4 har β = 4 och att del 5 har β = 6. För varje LLB-del nförs två begagnade exemplar enlgt: Begagnat exemplar 1: Begagnat exemplar 2: Lvslängd: 2/3 Nylvslängd Prs: 1/2 Nyprs Lvslängd: 1/3 Nylvslängd Prs: 1/8 Nyprs Resultaten ges tabell 3 och fgur 1. Här nnebär Heltal att den lnjära heltalsmodellen utan lager har använts och Lager att den lnjära
heltalsmodellen med lager har använts. Vdare anger tabellen 2/3 antalet exemplar från lagret med 2/3 kvar av nylvslängden och 1/3 antalet exemplar från lagret med 1/3 kvar av nylvslängden som används underhållet. Den nedre delen av fguren ger antalet utbyten av delar. Varje del kan ha 4 staplar, där den första anger hur många gånger delen byts med heltalsmodellen utan lager, den andra anger hur många nya delar som används lagermodellen, den tredje hur många 2/3-exemplar som används lagermodellen och den fjärde hur många 1/3-exemplar som används lagermodellen. Tabell 3: Resultat med lager då OC-delarna har blandade β -värden. Metod #UH Kostn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Heltal 6.16 1. 3.2 1. 1. 2.3 1.3 3. 1. 2. 2. 2. Lager 5.64.94 3.4 1. 1. 2.4 1.3 2.2 1. 1.1 1.9 1.5 2/3.96.94.7.47 1/3.1.1.12.3 1,9,8,7,6,5,4,3,2,1 Total kostnad Heltal Lager 7 6 5 4 3 2 1 Antal underhållstllfällen Heltal Lager Antal utbyten av delar 4 3 2 1 Heltal Lager 2/3 1/3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Fgur 1: Resultat med lager då OC-delarna har blandade β -värden. V ser att lagermodellen genom att använda 2/3-exemplar av delarna 6, 8, 9 och 1 ganska stor utsträcknng och 1/3-exemplar av delarna 2, 3, 8 och 9 mndre utsträcknng mnskar antalet underhållstllfällen och sänker den totala underhållskostnaden med 6 %. Observera att de delar för vlka begagnade
exemplar fnns är 2, 3, 6, 7, 8, 9 och 1, och för samtlga av dessa delar utom del 7 utnyttjar lagermodellen begagnade exemplar varerande utsträcknng. 6. SAMMANFATTNING OCH DISKUSSION För samtlga av ovanstående smulerngar ger den lnjära heltalsmodellen den lägsta totalkostnaden av de undersökta metoderna. De största skllnaderna fås om den stokastska sprdnngen är lten. Det är också detta fall det generellt sett fnns störst ekonomsk potental att utföra opportunstskt underhåll. Den genomförda studen ndkerar en besparngspotental - jämfört med den befntlga metoden - på, storleksordnngen, 1-3 %. Ålderspolcyn fungerar också bra, men vd stor stokastsk sprdnng blr kostnaden lka hög som då nget opportunstskt underhåll utförs. Det är dock vktgt att notera att ålderspolcyn mnskar antalet underhållstllfällen avsevärt samtlga fall. Den befntlga metoden reducerar antalet underhållstllfällen, men nte lka mycket som heltalsmodellen eller ålderspolcyn. Dessutom sker detta på bekostnad av att vssa delar byts för ofta, vlket samtlga tester leder tll att totalkostnaden är mycket högre än för de övrga metoderna. Den ekonomska nyttan med att utföra opportunstskt underhåll ökar med ökad fast kostnad. Testproblemet denna rapport är hämtat från det mltära underhållet av RM12-motorn. Vd mltärt underhåll är den fasta kostnaden regel lägre än vd cvlt underhåll, vlket beror på att tllgänglghet nte värderas lka högt det mltära fallet. I det cvla fallet kostar det mycket om planet står stlla då detta nnebär produktonsbortfall och därför tas ofta leasngmotorer n när de ordnare motorerna är på verkstaden, vlket är förknppat med stora kostnader. Den fasta kostnaden som har använts här är alltså förmodlgen för låg för den cvla stuatonen och den ekonomska nyttan med det opportunstska underhållet skulle därmed ha blvt ännu större om det cvla fallet beaktats. En av de stora fördelarna med den lnjära heltalsmodellen är att den förhållandevs enkelt kan utvdgas på olka sätt. I den här rapporten vsades hur den kan utvdgas för att ta hänsyn tll lager, men också andra utvdgnngar, som t.ex. kundkrav, motorstruktur, arbetskostnader och dskonterade kostnader, är möjlga. Det bör dock noteras att komplexteten hos modellen snabbt ökar vd utvdgnngar, vlket gör att den blr svårare att lösa. I de stokastska smulerngarna med lager vsade det sg att lagermodellen kan utnyttja ett lager och på så vs sänka den totala underhållskostnaden.
6.1. För- och nackdelar med de olka metoderna De olka metodernas för- och nackdelar sammanfattas enlgt följande: Den befntlga metoden + Reducerar antalet underhållstllfällen jämfört med om nget opportunstskt underhåll utförs. + Är mycket enkel att mplementera och VAC:s befntlga programvara är tllräcklg. - Om den fasta kostnaden är hög byts vssa delar ut för ofta, vlket medför att totalkostnaden blr avsevärt högre än för de andra metoderna. - Ej automatsk och det manuella arbetet är svårt (och tråkgt) att utföra. - Underhållsbeslutens kvaltet är starkt beroende av vem som utför det manuella arbetet. - Svår att utvdga med t.ex. lager. Ålderspolcyn + Reducerar antalet underhållstllfällen och totalkostnad jämfört med om den befntlga metoden används, eller om nget opportunstskt underhåll utförs. + Är mycket enkel att mplementera och VAC:s befntlga programvara är tllräcklg. - Är en heurstsk metod, vlket nnebär att lösnngarna för vssa problem kan bl mycket kostsamma. Vdare är det svårt att avgöra exakt när ålderspolcyn fungerar bra eller dålgt. - Svår att utvdga med t.ex. lager. Den lnjära heltalsmodellen + Ger den lägsta totalkostnaden av samtlga metoder. + Reducerar antalet underhållstllfällen jämfört med om den befntlga metoden används eller om nget opportunstskt underhåll utförs. + Httar garanterat en optmal lösnng tll det determnstska problemet, vlket ger en form av kvaltetssäkrng av underhållsbesluten. + Medger stor flexbltet och kan utvdgas tll att ta hänsyn tll lager, motorstruktur, arbetskostnader, kundkrav, m.m. - Kräver avancerade matematska metoder för att kunna lösas. - Den befntlga programvaran på VAC räcker nte för att lösa den lnjära heltalsmodellen. 6.2. Slutrekommendaton Studen vsar att den lnjära heltalsmodellen ger de bästa opportunstska underhållsbesluten av de undersökta metoderna. Problemet är att denna modell nuläget endast kan lösas för ensklda moduler, d.v.s. för system med högst 1-15 delar. Forsknng nom NFFP syftar dock tll att fnna effektva lösnngsmetoder
för större system. Vdare kräver den lnjära heltalsmodellen optmerngsprogramvara för att kunna lösas. En möjlghet är att mplementera heltalsmodellen med hjälp av tlläggsprogramvara tll Excel, vlket skulle vara lämplgt då Excel är det verktyg som dag används på VAC för hanterng av underhållsdata. Det krävs således en del arbete nnan den lnjära heltalsmodellen kan börja användas den daglga verksamheten på VAC. Både ålderspolcyn och den befntlga metoden kan användas nuläget. Den befntlga metoden ger alldeles för dyra underhållsbeslut för att vara lämplg, men ålderspolcyn ger många fall goda underhållsbeslut. Slutrekommendatonen blr därför att nlednngsvs använda ålderspolcyn för att fatta opportunstska underhållsbeslut, men att på skt nförskaffa nödvändg programvara och mplementera den lnjära heltalsmodellen, lämplgen även med hänsynstagande tll lager. 6.3. Framtdsvson Ett framtda underhållssystem vsas fgur 11. Tanken är att systemet ska utgöra ett beslutsstöd för åtgärdsbestämmaren och produktonsplaneraren, och vara centrerat runt Excel. När motorn kommer n tll verkstaden överförs data om delarnas åldrar tll ett Excel-blad, lksom data om delarna lagret. Med tlläggsprogramvara tll Excel (t.ex. optmerngsprogramvaran Xpress) kan sedan den lnjära heltalsmodellen mplementeras och lösas. Efter en knapptrycknng av användaren löser datorn modellen och ut kommer ett utbytesschema! Fgur 11: Ett framtda underhållssystem.
REFERENSER Dckman, B., Epsten, S. och Wlamowsky, Y. (1991) A mxed nteger lnear programmng formulaton for mult-component determnstc opportunstc replacement. The Journal of the Operatonal Research Socety of Inda, 28, 165-175. BILAGA 1: Beskrvnngar av modellerna Nedan presenteras de tre modellerna för opportunstskt underhåll. I samtlga fall betraktas en motor/modul som består av N stycken LLB-delar och för att förenkla notatonen nförs mängden ℵ = { 1,..., N}. Vdare antas att tdshorsonten är T och att motorn då tas ur bruk. Lvslängden för en ny del av typ ℵ ges av T och kostar c. Utöver delarnas kostnad är varje underhållstllfälle förknppat med en fast kostnad d oberoende av hur många delar som byts. Metoderna utvecklas först för LLB-delar och sedan beskrvs hur även OC-delar kan nkluderas. Värderngspolcyn den befntlga metoden Introducera för varje del ℵ kostnaden per tdsenhet, c, enlgt följande: c = c / T, ℵ. Om τ är den kvarvarande lvslängden för del ℵ kan värdet, v, av denna del uppskattas med v = τ c. Värderngspolcyn går ut på att man vd varje underhållstllfälle jämför delarnas värde med den fasta kostnaden d, och byten sker av alla delar ℵ sådana att v d. Ett problem med denna polcy uppstår för delar ℵ för vlka c d. Polcyn ndkerar nämlgen att sådana delar alltd skall bytas oavsett deras kvarvarande lvslängd, vlket nnebär att det närmaste nya delar byts ut. För att förhndra detta nförs en gräns T mn, och om den kvarvarande lvslängden för en del sådan att c d är större än T mn byts nte delen. Parametern T mn väljs baserat på kundens krav för hur många flygtmmar motorn mnst måste ha efter varje underhållstllfälle. För mltärt underhåll är T mn = 15 flygtmmar en vedertagen gräns. Värderngspolcyn är utvecklad för LLB-delar. För att nkludera en OC-del kan T för denna sättas tll väntevärdet av lvslängden för en ny del och den kvarvarande lvslängden τ vd varje specfkt underhållstllfälle kan sättas tll det betngade väntevärdet.
Ålderspolcyn Vd en ålderspolcy tlldelas varje del ℵ en åldersgräns a, och om vd ett specfkt underhållstllfälle tden drft (åldern) T för del ℵ överstger a byts delen. Att htta optmala värden på åldersgränserna a, ℵ, är generellt sett ett svårt problem. Ålderspolcyn som beskrvs här bygger på en heurstsk metod för att fnna a, ℵ. Låt δ vara en parameter som styr åldersgränserna enlgt följande samband: (1) a = T δ, ℵ. Problemet att fnna de N parametrarna a, ℵ, överförs på detta sätt tll att endast fnna en parameter δ. Det optmala värdet på δ kan httas numerskt genom att för varje δ =,1,..., T beräkna den totala underhållskostnaden vd användande av ålderspolcyn enlgt (1) och sedan välja det δ som ger mnst kostnad. Denna metod kan användas för system bestående av LLB-delar. I en praktsk underhållsstuaton måste hänsyn även tas tll OC-delar. Man kan då först betrakta OC-delarna som LLB-delar genom att tlldela dem lvslängder enlghet med deras förväntade lvslängder. För det nya system som erhålls kan sedan ett optmalt värde på δ beräknas. Vd varje specfkt underhållstllfälle byts sedan de LLB-delar för vlka T a = T δ, och för varje OC-del beräknas först den förväntade återstående lvslängden och om denna är mndre än δ byts delen. Den lnjära heltalsmodellen Modellen som presenteras är en utvdgnng och modfkaton av den lnjära heltalsmodellen Dckman et al. (1991). Dela n tden tdsstegen t =,1,..., T. (Ett tdssteg kan vara en eller flera flygtmmar; smulerngarna används tdssteg om 5 flygtmmar.) Vd tden t = antas att del ℵ har lvslängden τ T. Om alla delarna är nya vd t = gäller att τ = T, ℵ. Vdare antas att motorn vd tden t = befnner sg på verkstaden, vlket nnebär att detta underhållstllfälle nte är förknppat med den fasta kostnaden. För att formulera en lnjär heltalsmodell nförs för ℵ och t =,1,..., T de bnära varablerna x t sådana att x t =1 om del byts vd tden t, x t = om del nte byts vd tden t, och de bnära varablerna z t sådana att z t =1 om någon av delarna byts vd tden t, z = om ngen del byts vd tden t. t
Den lnjära heltalsmodellen som mnmerar kostnaden för att ha en fungerande motor mellan t = och t = T ges av: Mnmera c + T x cxt + dzt ℵ t= 1 ℵ τ x t t= då 1, T + 1 t t= ℵ, x 1, =,..., T T, ℵ, 1 xt z t, t = 1,..., T, ℵ, x t, z t {,1}, t =,..., T, ℵ. I en praktsk underhållsstuaton tas motorn n tll verkstaden om en LLB-del når sn lvslängd eller om en OC-del går sönder. I den lnjära heltalsmodellen antas att detta har skett vd t =. Låt T, ℵ, vara antalet flygtmmar som del ℵ vart drft vd tden t =. För varje LLB-del sätts τ = T T, och för varje OC-del sätts τ tll det betngade väntevärdet av återstående lvslängd, d.v.s. väntevärdet gvet att delen nte är sönder efter att ha vart drft T flygtmmar. Härefter löses den lnjära heltalsmodellen och ett utbytesschema väljs enlgt de optmala värdena på x varablerna. BILAGA 2: Defnton av scenarer Ett scenaro, w, för en OC-del defneras som s 1 R (2) w s = ( Ts, Ts,..., Ts ), där T s är (den verklga) lvslängden för exemplaret som stter modulen vd 1 t =, T s lvslängden för exemplaret som sätts modulen vd det första bytet, 2 T s lvslängden för exemplaret som sätts modulen vd det andra bytet, o.s.v. Antalet lvslängder, R, skall väljas så stort att antalet utbyten aldrg kan överskrda det. (Eftersom tden dskretseras kan detta alltd erhållas genom att sätta R = T.) Ett scenaro för ett system av flera OC-delar defneras som en sammanställnng av scenarer enlgt (2) för respektve del. I smulerngarna skapas först 2 scenarer genom att lvslängderna för OC-delarna dras slumpmässgt baserat på respektve fördelnngsfunkton. BILAGA 3: Den lnjära heltalsmodellen med lager Antag att det vd t = för varje del ℵ fnns N begagnade exemplar och att j j T respektve c är lvslängden respektve kostnaden för den j :te begagnade delen av typ ℵ.
Introducera för ℵ och j = 1,..., N varablerna x = 1 om den j :te begagnade delen av typ ℵ används vd t =, j j x = annars. Den lnjära heltalsmodellen med lager blr enlgt följande: N T j j Mnmera c x + c x + c xt + dzt ℵ j= 1 t= 1 ℵ τ j då x t + x 1, N t= j= 1 j T t= ℵ, j x, j = 1,..., N, ℵ, T + 1 t t= t x x 1, =,..., T T, ℵ, 1 xt z t, t = 1,..., T, ℵ, j x, x, z {,1}, t =,..., T, ℵ, j = 1,..., N. t t För att ta hänsyn tll begagnade exemplar av OC-delar kan ovanstående modell j användas genom att T sätts tll det betngade väntevärdet av den kvarvarande lvslängden för exemplar j av typ ℵ.