8. Frekvensanalys För att förenkla presentationen antas inledningsvis att förstärkningen K 0, oh vi återkommer till negativt K senare. 8.1. Första ordningens system K y( s u( s Ts 1 Om vi antar att insignalen är sinusformad (U = konstant u( t U sin( t u ( s s U KU y ( s ( Ts 1( s Partialbråksuppdelning ger A Cs D A( s ( Cs D( Ts 1 y ( s ( Ts 1 ( s ( Ts 1( s Likhet måste gälla för alla potenser av s s s s d.v.s. 0 1 : A D KU : C DT 0 : A CT 0 D KU A C ( KU A A ( KU A T T 7-1
KUT A 1 T 3 KU T C ( KU 1 T 3 KU T D KU 1 T T C D KUT 1 T KU 1 T oh vi får y KU s 1 ( T T ( Ts 1 (1 Ts ( s ( KU t T y( t Te sin( t T os( t 1 ( T För stora t försvinner exponentialen (då T > 0 KU y( t sin( t T os( t 1 ( T Vi har den trigonometriska likheten a 1 os( t a sin( t a3 sin( t där a a oh artan 1 a 3 a1 a som ger i vårt fall KU y ( t sin( t 1 ( T artan T artan T. där 7-
kallas fasförskjutning oh ( A. Frekvensfunktionen K 1 ( T amplitudförhållande A oh kan även bestämmas med substitutionen s j i G (s: K 1T j G(j 1T j 1T j K(1 T j 1 ( T där ( I( j K ( 1 ( T, I( KT 1 ( T Amplitudförhållandet oh fasförskjutningen ges av K A I 1 ( T I artan artan( T artan( T 7-3
Allmänt fås A oh för ett godtykligt stabilt system G med substitutionen s j i G (s: G(j ( I( j A I G( j artan I G( j Im I A e Problem: Arustangens ger endast värden mellan / oh /, medan fasförskjutningen för ett system kan tänkas ta vilka värden som helst. Man kan lösa detta genom att alltid faktorisera upp system i första ordningens system, andra ordningens system oh dödtider I matematikkurser kallas A absolutbeloppet oh argumentet av det komplexa talet G ( j. Vi kan alltså skriva där j G(j A e A (os( jsin( I j A os( oh I A sin( 7-4
8.. Bodediagram Första ordningens system G ( s A K Ts 1 ( G(j K 1 ( T ( G(j artan( T Detta kan framställas grafiskt i Bodediagram, där amplitudförhållandet oh fasförskjutningen ritas som funktion av frekvensen: 10 0 A/K 10 1 Fasförskjutning (grader 10 10 10 1 10 0 10 1 10 ωt 0 0 40 60 80 100 10 10 1 10 0 10 1 10 ωt 7-5
Andra ordningens system Man kan på även räkna ut A oh för ett andra ordningens Kn system G( s : s ns n K A ( 1 4 n n artan n, 0 n 1 n ( 90, n n 180 artan, n 1 n Formeln illustrerar problemet med att artan endast ger värden i intervallet [-90 90 ]. T.ex. i Matlab finns en funktion atan som ger värden i intervallet [-180 180 ]. Dvs. använd atan(i, i stället för atan(i/. 7-6
10 1 ζ = 0.1 10 0 0. 0.3 0.4 0.5 0.7 1.0 A/K.0 10 1 10 10 1 10 0 10 1 0 ω/ω n 0 40.0 0. 0.3 0.4 0.5 0.7 1.0 ζ = 0.1 fasförskjutning ( o 60 80 100 10 140 160 180 10 1 10 0 10 1 ω/ω n 7-7
Dödtid Överföringsoperatorn för en dödtid L är ersätter s med j fås Lj j G( j e A e Ls G( s e. Då man Amplitudförhållande oh fasförskjutning fås således enkelt: A ( 1 (7.8 ( L (7.9 Vid växande frekvens så kommer den negativa fasförskjutningen att öka obegränsat, oh desto snabbare desto större dödtid man har. Ingen dämpning erhålles överhuvudtaget. Dödtid är typexemplet på ett ike-minimum-fas system, den är inte den realisation av amplitudförhållandet 1 som har minimal fasförskjutning. Förstärkningen 1 är nämligen det, den har fasförskjutningen 0. 7-8
10 1 A 10 0 10 1 10 10 1 10 0 10 1 0 ω L 100 fasförskjutning ( o 00 300 400 500 600 10 10 1 10 0 10 1 ω L 7-9
Element i serie Vi betraktar först två element G 1 oh G, med amplitudförhållandena A,1 oh A, samt fasförskjutningarna 1 oh, kopplade i serie G G G 1. Substitution av s j ger j j ( j 1 1 1,1,,1, G(j G (j G (j A e A e A A e Samma gäller för godtykligt antal element i serie: A A A A,tot,1,,3 tot 1 3 Vi kan ännu observera att logaritmering av en produkt är lika med summan av logaritmen av de enskilda faktorerna. A logaritmeras i Bodediagram, dvs. man kan från Bode-diagrammen av de enskilda seriekopplade elementen få det totala systemets Bodediagram. 7-10
Täljartidkonstanter Täljartidkonstaner förekommer ibland i system, t.ex. i samband med parallellkoppling, se avsn. 5.5, men även i samband med PIDregulatorer. G ( s Ts 1, Substitutionen s j ger: G(j Tj11T j Vilket ger amplitudförhållandet A ( 1 ( T (7.1 oh fasförskjutningen. ( artan( T (7.13 Teknet på tidkonstanten T påverkar ej amplitudförhållandet. Positiv tidkonstant T ger positiv fasförskjutning, medan negativt T ger lika stor negativ fasförskjutning. Negativa täljartidkonstanter är ett annat exempel på ikeminimum-fas system: Ts 1 Ts 1 har samma A som Ts 1 1, Ts 1 men de har olika fasförskjutning, mellan 0 oh exakt 0. - 180 respektive 7-11
Integrerande system Typexemplet på ett integrerande system är en vätskebehållare, se avsnitt 5.1. Överföringsfunktion: G( s Som vanligt gör vi substitutionen s j: K K G(j j j Vilket ger amplitudförhållandet ( K A (7.14 oh fasförskjutningen. K / ( artan artan( 90 (7.15 0 Bodediagrammet blir enkelt, A är en rak linje (i ett diagram med logaritmisk skala med lutningen -K, oh är konstant. K s 7-1
Deriverande system Överföringsfunktion Gs ( s Som vanligt gör vi substitutionen s j : G(j j Vilket ger amplitudförhållandet A ( (7.14 oh fasförskjutningen. ( artan artan( 90 (7.15 0 Bodediagrammet blir enkelt, A är en rak linje (i ett diagram med logaritmisk skala med lutningen 1, oh är konstant. 7-13
Negativ förstärkning Hittills har vi antagit att förstärkningen K har varit positiv, vad händer om den är negativ? Betrakta ett system med förstärkningen -1, insignalen u( t U sin( t kommer att leda till utsignalen y( t Usin( t Usin( t. Det vill säga ett tekenbyte motsvaras av en fasförskjutning på - 180. Samtliga formler för fasförskjutningar kan utvidgas till negativ förstärkning genom att sätta till ett alternativt utryk för K<0, som ger en extra term - i uttryket för fasförskjutningen (se kompendiet OBS: Seriekopplingen av två system med negativ förstärkning betyder inte att vi får en fasförskjutning på -360, utan som väntat fås en nettofasförskjutning 0. Så negativ förstärkning kräver speialbehandling, man kan inte tillämpa seriekopplingsformler, oh begreppet ike-minimum fas blir okså lite problematiskt (en negativ förstärkning är nog till naturen minimum-fas, eftersom det är trivialt att kompensera för. 7-14
8.3 Stabilitetskriterier för återkopplat system 8.3.1 Bodes stabiliteskriterium r + y G G G y m - G m v p Överföringsfunktionen för den öppna slingan ges av kretsöverföringen G k G G G G G k m p v 0.1s e Antag G m G v 1, G p oh G K. Då blir 0.5s 1 0.1s Ke K 0.1s Gk e 0.5s1 0.5s1 Vid frekvensen 17 rad / s fås fasförskjutningen artan( 0.517 0.117 180 Den frekvens där kretsöverföringens totala fasförskjutning är 180 kallas för systemets kritiska frekvens. I vårt exempel är amplitudförhållandet vid den kritiska frekvensen K A (17 0.117 K 1 (0.517 Om K 1/ 0.117 8. 56 så fås A (17 = 1. 7-15
Om ledvärdet r sin( 17t oh kretsen är öppen så blir ym A (17 sin(17 t sin(17 t efter en stund. Om kretsen samtidigt slutes oh r 0, så blir insignalen till G r y m sin( 17t, dvs samma som tidigare, kretsen fortsätter att osillera av sig själv! 1. Antag att K 8. 56, dvs A > 1 vid 17. Om vi upprepar samma som ovan blir ym Asin(17 t i öppen krets, oh när kretsen slutes har insignalen till G större amplitud än tidigare, y m blir större exponentiellt ökande osillationer kretsen är instabil!. Antag att K 8. 56, dvs A 1 vid 17. Vid slutning av kretsen fås då exponentiellt avtagande osillationer kretsen är stabil! Bodes stabilitetskriterium: Ett återkopplat system är instabilt om A 1 vid den kritiska frekvensen för kretsöverföringen G k, annars är det stabilt. OBS 1. Om vi testar Bodes stabilitetskriterium på G k, så avgörs G stabilitet för, d.v.s. den slutna kretsen. G får innehålla 1 Gk ett godtykligt antal av delelementen i G k. OBS. Om vi har positiv återkoppling, det vill säga kretsöverföringen Gk GmGpGvG har negativt förteken, betyder det att vi får en extra fasförskjutning på 180 från tekenbytet. Det vill säga om de övriga elementen i kretsen enbart har negativ fasförskjutning, så betyder det att förstärkningen G måste vara mindre än 1 för alla frekvenser. k 7-16
I praktiken så bör följande två steg utföras vid test av Bodes stabilitetskriterium: 1. Bestäm den kritiska frekvensen, d.v.s. den frekvens som kretsöverföringen fasförskjuter med 180. Bestäm kretsöverföringens amplitudförhållande vid den kritiska frekvensen ( A (. Om A ( 1 så är den slutna kretsen stabil, annars instabil. Dessa två steg kan i sin tur utföras på två olika sätt: 1. Grafiskt genom att rita Bode-diagram för kretsöverföringen. Den kritiska frekvensen kan utläsas ur fasförskjutningsdiagrammet, oh amplitudförhållandet vid ur A -diagrammet.. Numeriskt, genom att lösa ekvationen L (, där L avser kretsöverföringens fasförskjutning, m.a.p. frekvensen. 3. Experimentellt genom stående svängning, enligt avsn. 7.4.1. Eftersom K,max A ( 1, gäller att A ( 1 K,max 7-17