Sammanfattning av Hilbertrumteorin

Sammanfattning av Hilbertrumteorin 9.1 Hilbertrum DEFINITION 9.1 Ett eulidist rum (prehilbertrum, rum med salärprodut, inreprodutrum) är ett lineärt rum försett med en salärprodut x y, och normen definierad av denna salärprodut x x x. DEFINITION 9.2 Ett Hilbertrum är ett fullständigt eulidist rum. DEFINITION 9.3 Två vetorer x och y sägs vara ortogonala, x y om x y 0. Sats 9.1 I ett eulidist rum gäller 1. Cauchy-Schwarz olihet: x y x y. Lihet gäller då och endast då x och y är lineärt beroende. 2. Triangeloliheten: x y x y. 3. Pythagoras sats: Om x y så är x y 2 x 2 y 2. Sats 9.2 (Reell polarisering) Låt V vara ett reellt eulidist rum. För varje x och y i V är då 4 x y x y 2 x y 2 Sats 9.3 (Komplex polarisering) Låt V vara ett omplext eulidist rum. För varje x och y i V är då 4 x y x y 2 i x iy 2 x y 2 i x iy 2 63

64 Sammanfattning av Hilbertrumteorin Ortogonala baser DEFINITION 9.4 En följd av vetorer x i i ett eulidist rum sägs vara ortogonal om x i 0 och x i x j 0 om i j. Den sägs vara ortonormerad om dessutom x i 1. DEFINITION 9.5 En ortogonal följd e i sägs vara en ortogonal bas, eller ett fullständigt ortogonalt system, för det eulidisa rummet V om för varje x i V det finns en följd av salärer c i sådan att x c i e i där serien onvergerar i norm. DEFINITION 9.6 Låt x i, 0 i n vara en följd av vetorer. Med det lineära höljet x 0 x 1 x n av följden menas mängden av alla lineärombinationer n c ix i av vetorer i följden. Sats 9.4 (Gram-Schmidt) Låt u i vara en linärt oberoende följd av vetorer i ett eulidist rum V. Reursionen e 0 u 0! u 0 n" 1 f n u n e i u i e i e n f n! f n ger då upphov till en ortonormerad följd e i i V, med e 0 e 1 # e n för varje n. x 0 x 1 # x n Ortogonalutveclingar Sats 9.5 Antag att e i är en ortogonal bas för V. Då ges för varje x oefficienterna i utveclingen av x av formlerna c $ e x e e x Sats 9.6 (Approximation) Antag att e, 0 # c e N är en ortogonal mängd i ett eulidist rum V. För varje x i V minimeras uttrycet x N c e av oefficienterna c $ ĉ $ e x e e

9.1 Hilbertrum 65 Sats 9.7 Antag att S är en tät delmängd i V. Antag att e är en ortogonal följd och att varje x i S an utveclas efter e. Då är e en ortogonal bas i V. Bessel, Parseval och Riesz-Fischer Sats 9.8 (Bessels olihet) Antag att e är en ortonormerad följd. För varje x är då c % 2 x 2 c $ e x Sats 9.9 (Parsevals lihet, fullständighetsrelationen) Antag att e är en ortonormerad följd. Den är en ortonormerad bas då och endast då för varje x i V det gäller lihet i Bessels olihet, c % 2 x 2 c $ e x Sats 9.10 (Riesz-Fischer) Antag att e är en ortonormerad bas i V. Rummet V är ett Hilbertrum då och endast då följande villor är uppfyllt: Serien c e är onvergent då och endast då följden c tillhör l 2, alltså då den positiva serien onvergerar. 2 c % Ortogonaluppdelningar DEFINITION 9.7 Låt X vara en delmängd av det eulidisa rummet V. Med ortogonalrummet X& till X menas mängden ' y y xför varje x i X(.. Sats 9.11 För varje X ) V är X& ett slutet lineärt underrum till V. Sats 9.12 (Ortogonalprojetion) Antag att E är ett slutet lineärt underrum till Hilbertrummet H. Då an varje x i H entydigt uppdelas x y z x * E y * E& Vetorn y är den vetor i E som ligger närmast x, alltså x y inf w+ E x w Den allas för projetionen av x på E och betecnas med P E x.

66 Sammanfattning av Hilbertrumteorin Lineära funtionaler och operatorer DEFINITION 9.8 En lineär operator T mellan två normerade rum V och W är en avbildning T : V, W som uppfyller T cx dy ct x - dt y för alla element x y i V och alla salärer c d. DEFINITION 9.9 En lineär funtional på V är en lineär avbildning från V till salärerna. DEFINITION 9.10 En lineär operator T sägs vara begränsad om Detta innebär att Tx T sup x. 0 x 0/ Tx 1 T 2 x och att T inte an ersättas med något mindre tal i oliheten. Talet T allas för operatornormen av T. Sats 9.13 (Kontinuitet av lineära avbildningar) För en lineär avbildning T : V, W är följande villor evivalenta (dvs om ett av dem gäller så gäller alla de andra): 1. T är begränsad 2. T är ontinuerlig i x 0 3. T är ontinuerlig i hela V 4. T är liformigt ontinuerlig i V Motsvarande resultat gäller för lineära funtionaler (specialfallet då W är endimensionellt). Lineära funtionaler i Hilbertrum Sats 9.14 Antag att u är ett (fixt) element i det eulidisa rummet V. Funtionen f : x 3, u x är då en ontinuerlig lineär funtional på V, och operatornormen för f är lia med normen för u. Sats 9.15 (Riesz representationssats) Antag att H är ett Hilbertrum. För varje ontinuerlig lineär funtional f på H finns då ett (entydigt bestämt) element i H, sådant att f x 4 u x för varje x.

9 / 9.2 Operatorer i Hilbertrum 67 9.2 Operatorer i Hilbertrum Operatoralgebra DEFINITION 9.11 Låt T och U vara operatorer sådana att värderummet för U är innehållet i definitionsrummet för T. Produtoperatorn TU definieras då genom TU x $ T U x #. Sats 9.16 Operatornormer har följande egensaper: 1. T 15 0, T 0 endast om T 0. 2. ct c 6 T 3. T U 7 T 8 U 4. TU 1 T 2 U DEFINITION 9.12 Låt V och W vara normerade rum. Sätt V W $ :' T T : V, W begränsad lineär operator( Sats 9.17 Operatorrummet 9 V W är försett med operatornormen ett normerat lineärt rum. Om W är ett Banachrum, så är även 9 V W ett Banachrum. Följande har vi nämnt långt innan. DEFINITION 9.13 En serie x i ett normerat rum sägs vara absolut onvergent eller normalt onvergent om den positiva serien x är onvergent. Jag påminner om att serien onvergerar (i norm) i V med summan s betyder att s n x ;, 0 då n,. Det är inte alltid samma sa som absolut onvergens. Sats 9.18 Låt V vara ett normerat rum. Då är V fullständigt då och endast då varje normalt onvergent serie i V onvergerar i norm i V. Sats 9.19 (Potensserier av operatorer) Låt V vara ett Banachrum. Antag att c z är en potensserie med onvergensradie R. Om A är en lineär operator i 9 V V med operatornorm T R, så onvergerar serien i V. c A

/ / 68 Sammanfattning av Hilbertrumteorin Sats 9.20 Antag att V ett Banachrum och A en operator i V. Om A I A inverterbar, och 1 så är Vidare är I A " 1 I A " 1 1 A 1 1 A Sats 9.21 Antag att V är ett Banachrum och A och B begränsade operatorer i V. Antag vidare att A är inverterbar och att B inverterbar, och A B " 1 1 A " 1 1 A 1 2 B A " 1. Då är även A B Självadjungerade operatorer Sats 9.22 Låt A : H, H vara en begränsad lineär operator i Hilbertrummet H. Då finns en entydigt bestämd lineär operator A< sådan att x Ay $ A< x y för alla x y i H. Operatorn A< är begränsad lineär, och A< = > A. Den allas för den adjungerade operatorn (eller adjunten) till A. DEFINITION 9.14 En begränsad lineär operator A sägs vara självadjungerad om A< A. Sats 9.23 Om A är självadjungerad, så är Ax x reell för alla x. Dessutom är A? @ sup @ Ax x B Ax x A sup x 1 x. 0 x 2 DEFINITION 9.15 En självadjungerad operator A sägs vara positiv om Ax x $5 0 för alla x. Sats 9.24 Integraloperatorn Tu x C I x y u y dy är självadjungerad då ärnan är Hermitest symmetris, y x 4 x y

C C F 9.2 Operatorer i Hilbertrum 69 DEFINITION 9.16 En begränsad lineär operator U i Hilbertrummet H sägs vara unitär om den är inverterbar och U " 1 U<. DEFINITION 9.17 (ISOMETRI) En begränsad lineär operator A : V, W mellan två eulidisa rum sägs vara en isometri om den är inverterbar och Au 7 > u för alla u. Sats 9.25 Låt H vara ett Hilbertrum och e en ortonormerad bas. Då är avbildningen x 3,D e x en isometri från H till l 2. Sats 9.26 En inverterbar begränsad lineär operator U : H, och endast då den är unitär. H är en isometri då Egenvärden och egenvetorer Definitionen är beant från ettans urser, lisom att eventuella egenvärden till självadjungerade operatorer är reella ( u Au E u λu B λ u u reellt ger λ reellt.) Exempel 9.1 Det finns operatorer som inte har något egenvärde. Låt V l 2 och låt T vara siftoperatorn T x 0 x 1 x 2 # 0 x 0 x 1. Då har för varje λ evationen T x λx bara lösningen x 0. F Exempel 9.2 Det finns självadjungerade operatorer som inte har något egenvärde. Låt V L 2 0 1. Definiera operatorn A genom Au x E x G u x. Den är självadjungerad ty Au v 0 1 xu x v x dx 0 1 u x xv x dx u Av för alla u och v. Men evationen Au x xu x ; λu x (nästan överallt) ger att x λ u x ; 0, dvs u x? 0 nästan överallt, så det finns inga egenfuntioner i L 2. Man an säga att distributionerna φ x $ δ x λ, med 0 λ 1, är ett slags egenfuntioner till A, men de ligger ej i L 2. Sats 9.27 Om A är självadjungerad, så är samtliga egenvärden (om det finns några) reella, och egenvetorer som hör till olia egenvärden är ortogonala. DEFINITION 9.18 Antag att A är en begränsad operator. Ett omplext tal z sägs vara ett regulärt värde för operatorn A om zi A " 1 existerar och är en begränsad operator. I motsatt fall sägs z tillhör spetrum för A. Operatorn R A z $ zi A " 1 allas för resolventen till A. Sats 9.28 Varje egenvärde λ till en operator A tillhör spetrum för A, och det gäller en uppsattning λ H A Spetrum för A är innehållet i cirelsivan z A.

C / 70 Sammanfattning av Hilbertrumteorin Bevis: Om λ är ett egenvärde, så an inte λi A vara inverterbar, eftersom motsvarande egenvärden tillhör nollrummet I A. Antag att z J> A. Då an vi onstruera resolventen genom serieutvecling: zi A " 1 z " 1 I A! z " 1 A z " " 1 där den geometrisa serien onvergerar eftersom A! z z KJ A regulära värden för A. F 1. Alltså är alla z med Sats 9.29 Antag att A är en självadjungerad operator. Då är spetrum av A reellt, och varje egenvärde λ uppfyller λ @ sup @ Ax x B x 1 Kompata operatorer DEFINITION 9.19 En delmängd X av ett normerat rum V sägs vara relativt ompat om varje begränsad följd x n i X har en delföljd L x n M som onvergerar i V. Det är samma sa som att det slutna höljdet X av X i V är ompat. DEFINITION 9.20 En operator A i det normerade rummet V sägs vara ompat om den avbildar varje begränsad mängd på en ompat mängd. Varje ompat operator är begränsad, men det finns många operatorer som är begränsade men ej ompata. Ett vitigt exempel är identititetsoperatorn I, Ix x, i ett ändligtdimensionellt rum. I, där I är ett ompat intervall. Antag att x y är onti- Sats 9.30 Låt V N nuerlig på I O I. Då är integraloperatorn T, en ompat operator. Tu x I x y u y dy Detta bevisas med hjälp av liformig ontinuitet och Arzelà-Ascolis sats om ompata mängder i V N I. DEFINITION P 9.21 En lineär operator A sägs ha ändlig rang om dess värdemängd A är ändligtdimensionellt. Sats 9.31 Antag att A : V, Om g, 1 n är en bas i P A, så an A srivas W är en begränsad lineär operator med ändlig rang. Ax n f x g 1 där f, 1 n är ontinuerliga lineära funtionaler på V.

C 9.3 Spetralsatsen för ompata självadjungerade operatorer 71 Sats 9.32 Om A är ontinuerlig lineär med ändlig rang, så är A ompat. Sats 9.33 Om A är en följd av ompata lineära operatorer, och om A n, operatornorm, så är A en ompat operator. A i DEFINITION 9.22 En integraloperator A i L 2 I (I begränsat intervall) sägs har separabel ärna x y om den an srivas x y 4 n i 1 p i x q i y där p i och q i tillhör L 2 I. Då an Ax srivas Ax n i 1 q i x p i Det är lart att en operator med separabel ärna är av ändlig rang, värderummet spänns upp av p i -na. Sats 9.34 Antag att A är en lineär integraloperator på L 2 I, och att ärnan till A har ändlig Hilbert-Schmidtnorm, dvs 2 HS C I I x y A 2 dxdy / Då är A en ompat operator. 9.3 Spetralsatsen för ompata självadjungerade operatorer Spetralsatsen Sats 9.35 Antag att A är en ompat självadjungerad operator. Då finns en normerad vetor x som maximerar Ax x B. Den är en egenvetor till A, Ax λx, där λ % A. Sats 9.36 (Spetralsatsen för ompata självadjungerade operatorer) Antag att A är en ompat självadjungerad operator på ett Hilbertrum H. Då finns en or- λ e. Om H är tonormerad bas e i H som består av egenvetorer till A, Ae oändligtdimensionellt så gäller att motsvarande egenvärden λ har gränsvärdet 0 då,. Om x utveclas efter basen e, så har Ax utveclingen x c e c $ e x Ax λ c e

72 Sammanfattning av Hilbertrumteorin Sats 9.37 En ompat självadjungerad operator är positiv då och endast då alla dess egenvärden är 5 0. Sats 9.38 (Kommuterande operatorer) Om A och B är ommuterande självadjungerade ompata operatorer (dvs AB BA) så finns en ortonormerad bas e som består av gemensamma egenvetorer till A och B, Ae λ e och Be µ e för varje. Projetionsoperatorer Sats 9.39 Antag att H är ett Hilbertrum och E ett slutet lineärt underrum till H. Låt P E vara (ortogonal)projetionsoperatorn på E. 1. P E är en lineär operator. 2. P E är självadjungerad. 3. P 2 E P E. 4. P E x x då och endast då x tillhör E. 5. P E x 0 då och endast då x tillhör E&. 6. P E 1 utom om E ' 0(. 7. I P E är projetionsoperatorn på E&. Sats 9.40 Om P är en begränsad självadjungerad operator som uppfyller P 2 P, så är P projetionsoperatorn på värderummet E RQ P. DEFINITION 9.23 Två underrum E och F till ett eulidist rum V sägs vara ortogonala om x y 0 för varje x * E och y * F. Två ortogonalprojetioner P 1 och P 2 sägs vara ortogonala om deras värderum är ortogonala. Sats 9.41 Ortogonalprojetionerna P 1 och P 2 är ortogonala då och endast då P 1 P 2 0. Detta villor är evivalent med att Q P 1 ;)SQ P 2 &. i P i en ortogonal- Sats 9.42 Antag att P i är ortogonala projetioner. Då är P projetion. Sats 9.43 (Spetralsatsen med projetioner) Låt A vara en ompat självadjungerad operator på ett Hilbertrum H, låt λ vara dess egenvärden och låt P vara projetionerna på motsvarande underrum av egenvetorer. Då är I P och A där serierna onvergerar i operatornorm. λ P

9.3 Spetralsatsen för ompata självadjungerade operatorer 73 DEFINITION 9.24 (FUNKTIONER AV OPERATORER) Antag att A λ P är en ompat självadjungerad operator. Antag att den begränsade salärvärda funtionen f är definierad på egenvärdena till A. Då sätter vi f A f λ P Sats 9.44 Operatorn f A är en begränsad lineär operator, med operatornorm f A A 7 sup f λ % Om f och g är två funtioner så gäller att f g A f A T g A f g A 4 f A g A Alla operatorer av formen f A ommuterar med A och med varandra. Sats 9.45 Låt A genom λ P vara ompat självadjungerad positiv. Definiera U A U A λ P Då är U A en ompat självadjungerad positiv operator som uppfyller U AU A A.

74 Sammanfattning av Hilbertrumteorin