Komplexa tal med Mathematica

Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt att ekvationen saknar reella rötter. 15 10 5 3 1 1 3 Komplexa rötter förekommer alltid i par i polynomekvationer med reella koefficienter, som här 1±i. Vi återkommer till detta. Symbolen i = 1 skrivs i Mathematica med versalt (stort) I. Vi ser direkt att det fungerar genom dessa exempel. I^ I^3 I^4 som ger 1, i och 1. Här några enkla beräkningar med komplexa tal z1 = 5 + I; z = -3 + I; z3 = 1-4 I; z1 + z + z3 z1*z z1 (z + z3) z1/z Vi inleder med att definiera två komplexa tal som vi sedan använder i fem uttryck. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

Funktionerna Re och Im, realdelen respektive imaginärdelen, fungerar också som man kan förvänta sig Re[z1*z/(z1 + z)] Im[(z - z1)/z^] För att ta fram z, konjugatet till z skriver man Conjugate[z1] Conjugate[z1*z1*z1] och för absolutbeloppet z Abs[z] Abs[z1/z] Nedan startar vi med z = 3+i. Tar fram arg, vinkeln för z i polär form både exakt och i grader. Vi ser sedan att formeln gäller. z = z (cos(arg(z))+i sin(arg(z))) z = 3 + I; Arg[z] Arg[z] *180.0/Pi Abs[z] Abs[z] (Cos[Arg[z]] + I Sin[Arg[z]]) Ännu mera spännande är det att se att verkar stämma z n = z n (cos(n arg(z))+i sin(n arg(z))) z^3 Arg[z^3] Abs[z^3] Abs[z]^3 (Cos[3*Arg[z]] + I Sin[3*Arg[z]]) // Simplify Exempel 1. Bestäm z, då z+z = i Reduce[z + Conjugate[z] == - I] Vi får svaret z = 3 +i. Exempel. Bestäm z, då z+iz = +3i Reduce[ z + I Conjugate[z] == + 3 I] Håkan Strömberg KTH Syd

Vi får svaret z = 3 + 4i 3 Exempel 3. Bestäm z, då z+z(1 i) = +i Reduce[z + Conjugate[z] (1 - I) == + I] Vi får svaret z = 1 4i Exempel 4. Uttryck z = ( 1 + i 3 ) 3 som z = aib Expand[(1/ + I Sqrt[3]/)^3] Vi får z = 1 Exempel 5. Beräkna absolutbeloppet av ( i 1 ) 100 Abs[((I - 1)/)^100] 1 Svar 1158999068464 = 50. Hur kan man klara det utan dator? ( ) 1 100 ( 100 = ) 1 = 50 Exempel 6. Lös ekvationen i 1 = 1 och Solve[z^+(3+I)z+1+3I==0] z +(3+i)z+1+3i = 0 Svar z 1 = i och z = 1 i. Observera att då koefficienterna är komplexa är det ingen garanti att de komplexa rötterna är konjugerade! Exempel 7. Uttryck på formen z = a+bi Sqrt[3-4 I] 3 4i Fixar sig automatiskt till i Exempel 8. Skriv 6(cos π 3 +i sin π 3 ) på formen z = a+ib Håkan Strömberg 3 KTH Syd

z=6(cos[pi/3] + I Sin[Pi/3]) // Simplify Svar 3+3 3i Exempel 9. Bestäm z = ( 3+3i) 18 Expand[(Sqrt[3] + 3 I)^18] som blir z = 515978035 = 1 9. Vi tar det i etapper för att visa att Moivres formel gäller. Det vill säga att ( 3+3i) 18 = 3+3i 18 (cos 18π 18π +i sin 3 3 ) eftersom arg( 3+3i) = π 3 Abs[Sqrt[3] + 3 I] Sqrt[3] Arg[Sqrt[3] + 3 I] ( Sqrt[3])^18 (Cos[18*Pi/3] + I Sin[18*Pi/3]) Mer om ekvationssystem Ett kvadratiskt ekvationssystem A x = b har en entydig lösning då det A 0. I de problem vi kommer att stöta på nedan är en konstant a (eller någon eller några andra konstanter) alltid inblandad. Exempel 10. Vi startar med detta system x+3ay+z = 7 x+z = 3 y+z = 4 som ger m={{,3a,},{-1,0,},{0,,1}}; Det[m] Solve[Det[m]==0] Vi får att det M = 3a 1. Ekvationen leder till roten a = 4. Det vill säga då a 4 så finns det en entydig lösning, de tre planen som systemet beskriver skär varandra i en punkt. Men då vi sätter in a = 4 i systemet så får det första planet (första ekvationen i systemet) ett speciellt läge som gör att planen inte längre skär varandra i en punkt. Vi kan då ha noll eller oändligt många lösningar. Hur ska man veta vilket? tm={{, 3*4,, 7}, {-1, 0,, 3}, {0,, 1, 4}}; RowReduce[tm]//TableForm Håkan Strömberg 4 KTH Syd

Vi sätter upp totalmatrisen, precis som när vi genomförde Gausselimination, för a = 4. Det betyder att vi lägger till högerledet sist på varje rad Vi får 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 Från den sista raden ser vi att systemet saknar lösning för a = 4, ty 0x+0y+0z = 1 har ingen lösning. Ett annat sätt att lösa systemet direkt är att använda Reduce. Reduce[{x+3ay+z==7,-x+z==3,y+z==4},{x, y, z}] Vi får lösningen -4+a!=0 && x==(-16+15a)/(3(-4+a)) && y==(5-x)/4 && z==(3+x)/ Då 4+a 0 ges lösningen för x,y och z. Vi ser nu också varför a = 4 är ett ömtåligt värde. Exempel 11. Nu över till ett exempel där det är uppenbart att planen kan bli parallella. x+y+az = 1 x y z = 3x+3y+3z = 3 Hur kan man veta det? Jo, alla normalvektorerna är parallella. Vi löser problemet med samma teknik som i förra exemplet. m = {{1, 1, a}, {-, -, -}, {3, 3, 3}}; Solve[Det[m] == 0] Ekvationen saknar lösning därför att det M = 0 för alla värden på a. Så måste det ju vara då planet på rad är identiskt med det på rad 3. Då kan det inte finnas någon entydig lösning. Vi ska nu använda RowReduce för olika värden på a och börjar med a = 1. tm = {{1, 1, 1, 1}, {-, -, -, -}, {3, 3, 3, 3}}; RowReduce[tm] Vi får 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Vilket vittnar om att det finns oändligt många lösningar och att de ligger på ett plan. Därför två rader med 0:or. Vilket plan då? börja med att sätta z = t och y = s. Genom bakåtsubstitution får vi x + s + t = 1 eller x = 1 s t. Planet på vektorform p(s,t) = (1,0,0) + s( 1,1,0) + t( 1,0,1) eller på normalform x + y + z = 1, som inte är något överraskande resultat. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

Exempel 1. För vilka värden på a har ekvationssystemet entydiga lösningar? ax+y+3z = 4 x+y+5z = 7 3x+y+az = Vi använder oss av samma metod igen m = {{a, 1, 3}, {-1,, 5}, {3, 1, a}}; Solve[Det[m] == 0] Den här gången fick vi två otillåtna värden a = 3 och a = 1. Det betyder att vi måste göra två undersökningar med RowReduce. tm = {{3, 1, 3, 4}, {-1,, 5, 7}, {3, 1, 3, }}; RowReduce[tm] ger 1 1 0 7 0 18 0 1 7 0 0 0 0 1 Alltså ingen lösning då a = 3 tm = {{-1, 1, 3, 4}, {-1,, 5, 7}, {3, 1, -1, }}; RowReduce[tm] ger Inte heller a = 1 ger någon lösning. 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 Exempel 13. Lös för alla möjliga a, ekvationssystemet ax+y+z = 1 x+ay+z = a x+z+az = a Först bestämmer vi determinanten för koefficientmatrisen. a 1 1 1 a 1 1 0 1+a = a (1+a)+1 a (1+a) = a 3 +a a Ekvationen a 3 +a a = 0 har rötterna a 1 = 0, a = 1 och a 3 =. För dessa tre värden på a finns ingen entydig lösning till systemet. Vi ställer nu upp totalmatrisen och ser vad Gausseliminationen leder till för de tre fallen. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

Då a = 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 By plats på rad 1 och rad. Addera 1 gånger rad1 till rad3. 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 När a = 0 har vi oändligt många lösningar. För att se vad dessa lösningar bildar sätter vi z = t, som ger y = 1 t och till sist x = t. Lösningarna bildar alltså linjen (x,y,z) = (0,1,0) +(1, 1, 1)t Då a = Vi får totalmatrisen 1 1 1 1 1 1 0 1 4 Byt plats på rad1 och rad 1 1 1 1 1 1 0 1 4 Addera gånger rad1 till rad. Addera 1 gånger rad1 till rad3 1 1 0 3 3 3 0 6 Addera /3 gånger rad till rad3 1 1 0 3 3 3 0 0 0 4 Ur totalmatrisen får vi då att för a = saknas lösning. Håkan Strömberg 7 KTH Syd

Då a = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 Addera 1 gånger rad1 till rad. Addera 1 gånger rad1 till rad3. Byt plats på rad och rad3. 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 Systemet har oändligt många lösningar. Som tidigare sätter vi z = t och får då y+t = 0, y = t. Till sist får vi x + t + t = 1, som ger x = 1 t. Lösningarna ligger utefter linjen: (x,y,z) = (1,0,0) +(,1,1)t För a då det(a) 0 Detta blir den mest krävande beräkningen. Vår totalmatris är a 1 1 1 1 a 1 a 1 0 1+a a Byt plats på rad1 och rad3 1 0 1+a a 1 a 1 a a 1 1 1 Addera 1 gånger rad1 till rad. Addera a gånger rad1 till rad3. 1 0 1+a a 0 a a a a 0 1 1 a a 1 a 3 Addera 1/a gånger rad till rad3 1 0 1+a a 0 a a a a 0 0 a a a 3 +a Jaha! Vi får z = a3 +a a = a(a 1)(a+1) = a(a+1) (a 1)() Håkan Strömberg 8 KTH Syd

Detta z substituerar vi nu i rad och får ay a (a+1) y = y = y = y = = a a a a + a (a+1) a (a a )()+a (a+1) a (a a )()+a (a+1) a a a y = Återstår så att lösa ut x. Vi får genom substitution x+ a(a+1) = a x = a () a(a+1) x = a Till sist får vi lösningen: x = a y = z = a(a+1) Exempel 14. Bestäm under vilken vinkel linjen x = 3 t y = 1+t z = t skär planet 3x+y z 1 = 0. Vi har linjens riktningsvektor r = (,1, 1) och planets normalvektor n = (3,, 1). Vi startar med att med hjälp av formeln θ = arccos n r n r Håkan Strömberg 9 KTH Syd

bestämma vinkeln mellan dessa två vektorer Detta leder till θ = arccos (3,, 1) (,1, 1) (3,, 1) (,1, 1) θ = arccos Slår vi detta resultat på dosa får vi θ 109.1. Vinkeln mellan de två vektorerna kan ses som både 109.1 och 180 109.1 70.9. Vi är intresserade av ett resultat som är < 90 och väljer därför 70.9. Vinkeln mellan planet och linjen blir då 90 70.9 19.1 3 7 Exempel 15. Lös ekvationssystemet { x 3y+z = 8 4x 6y+z = 17 Lösningen kan ses som skärningen mellan två plan. Systemet är underbestämt, det finns fler obekanta än ekvationer. Vi vet att detta system inte kan ge en entydig lösning två plan kan inte skära varandra i endast en punkt! Vi tar till Gausselimination och ställer upp totalmatrisen [ ] 3 1 8 4 6 17 Addera gånger rad1 till rad [ 3 1 8 0 0 0 1 Detta betyder att systemet saknar lösning. Planen är parallella vilket vi lätt kan se när vi betraktar planens normalvektorer Exempel 16. Vi tar ett till liknande { x+3y z = 5 4x+6y+z = 8 Upp med totalmatrisen Addera gånger rad1 till rad [ 3 1 5 4 6 1 8 [ 3 1 5 0 0 3 Ur detta får vi att z = 3. Men sedan? Vi substituerar z i första ekvationen och får ] ] ] x+3y+ 3 = 5 x+3y = 13 3 Sätt y = t och lös ekvationen med avseende på x x+3t = 13 3 x = 13 6 3t Håkan Strömberg 10 KTH Syd

Lösningen är som väntat en linje x = 13 9t 6 y = t z = 3 Exempel 17. Lös ekvationssytemet x+y+z+w = 1 x y+z w = 1 x y+z+w = 1 Åter ett underbestämt problem med följande totalmatris 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Addera 1 gånger rad1 till rad. Addera rad1 till rad3. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Sätt w = t ger z = 1 t. Sätt in w = t i rad, ger y t = 0, y = t. Till sist får vi x genom x t+(1 t)+t = 1 och x = t. Svar: x = t,y = t,z = 1 t,w = t Exempel 18. Lös det underbestämda ekvationssystemet x+y+z+w = 8 x+y+3z+4w = 10 3x+4y+5z+6w = 18 Vi får totalmatrisen Byt plats på rad1 och rad 8 1 3 4 10 3 4 5 6 18 1 3 4 10 8 3 4 5 6 18 Addera gånger rad1 till rad. Addera 3 gånger rad1 till rad3. 1 3 4 10 0 4 6 1 0 4 6 1 Addera 1 gånger rad till rad3 1 3 4 10 0 4 6 1 0 0 0 0 0 Håkan Strömberg 11 KTH Syd

Sätt z = s och w = t ger från rad ekvationen y 4s 6t = 1, y = 6 3t s. In med y,z och w i rad1 ger x+(6 3t s)+3s+4t = 10, x = +s+t. Svar: x = +s+t y = 6 3t s z = s w = t Exempel 19. Denna uppgift består i att först bestämma två tredjegradspolynom och därefter ta reda på i vilka punkter de skär varandra. Man vet att det första polynomet går genom följande punkter och att det andra har följande data x 5 8 3 y 50 838 68 x 1 4 5 - y - 160 306 - Vi första polynomet har följande utseende Det andra p 1 (x)a 3 x 3 +a x +a 1 x+a 0 p (x)b 3 x 3 +b x +b 1 x+b 0 Det är de 8 koefficienterna som ska bestämmas. Det första polynomet med tillhörande data ger ekvationssystemet 15a 3 +5a +5a 1 +a 0 = 50 51a 3 +64a +8a 1 +a 0 = 838 7a 3 +9a +3a 1 +a 0 = 68 8a 3 +4a +a 1 +a 0 = Har en lösning som leder fram till polynomet Över till det andra polynomet som har en lösning som leder till p 1 (x) = x 3 +5x +x 10 b 3 +b +b 1 +b 0 = 64b 3 +16b +4b 1 +b 0 = 160 15b 3 +5b +5b 1 +b 0 = 306 8b 3 +4b b 1 +b 0 = p (x) = x 3 +3x 3x 4 För att se var dessa polynom skär varandra sätter vi p 1 (x) = p (x) x 3 +5x +x 10 = x 3 +3x 3x 4 x 3 x 5x+6 = 0 Här kan man gissa all tre rötterna om man har tur! x =, x = 1 och x = 3. Återstår att bestämma p 1 ( ) =,p 1 (1) = och p 1 (3) = 68, som ger skärningspunkterna (, ), (1, ), (3,68) Håkan Strömberg 1 KTH Syd

60 40 0-3 - -1 1 3 4 Nu har vi klarat av hälften av den teori som gäller inför KS. Studera nu gamla kontrollskrivningar, rekommenderade problem ur boken och de lösta problem som finns i dessa föreläsningsanteckningar. Du måste själv genomföra ett antal Gausseliminationer och matrisinverteringar med Jacobis metod, för att upptäcka svårigheten att göra allt rätt. Kokboken kommer i nästa vecka! 6.8 b) En korrekt gissning är ( ) A 4 0 = 0 9 ( ) A 3 16 0 = 0 81 A n = ( n 0 0 3 n ( ) A 3 8 0 = 0 7 ( ) A 4 3 0 = 0 43 ) 6.17 Bestäm 1 1 1 1 a 1 1 1 a = a 1 1 a 1 a då a a 3 = 0 saknar matrisen invers. Ekvationen har rötterna a 1 = 1 och a = 3. Svar: för a 1 och a 3 har matrisen en invers. Håkan Strömberg 13 KTH Syd