SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Relevanta dokument
Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen: Lösningsförslag

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentan , lösningar

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

Tentamen: Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösning till kontrollskrivning 1A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Övningstenta: Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

= 0 genom att införa de nya

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Kontrollskrivning 1A

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Campus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Lösningar till Matematisk analys 4,

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Lösningsförslag till TMA043/MVE085

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

MMA127 Differential och integralkalkyl II

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

Transkript:

Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen utgörs av de tre första uppgifterna. Till antalet erhållna poäng från del A adderas dina bonuspoäng. Poängsumman på del A kan dock som högst bli poäng. Bonuspoängen beräknas automatiskt. Antal bonuspoäng framgår från resultatsidan. De tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del, som främst är till för de högre betygen. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B D E Fx Total poäng 7 4 8 6 5 varav från del 6 3 För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. Var god vänd!

SF66 Flervariabelanalys Tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära (sfäriska) koordinaterna för punkterna A, B och. ( p) (b) Bestäm en parametrisering i x,y,zkoordinater av kvartscirkelbågen γ i yz-planet med medelpunkt i origo. ( p) (c) Bestäm en tangentvektor till kurvan γ i punkten. ( p) x A z B γ y. En liten kula placeras på ovansidan av funktionsytan z = 3 x + 4 y i punkten (3,, 4) och börjar sedan rulla på grund av tyngdkraften som verkar nedåt i negativa z-axelns riktning. (a) Åt vilket håll börjar den rulla om vi bortser från z-riktningen? (3 p) (b) Hur brant är det där kulan släpps? ( p) 3. Arean av området som innesluts av en sluten, enkel kurva kan enligt Greens formel beräknas med hjälp av en kurvintegral, x dy eller y dx. (a) Vilken orientering ska kurvan ha för att den första av integralerna ska ge arean med positivt tecken? (Glöm inte att motivera sva- y ret.) ( p) (b) Använd någon av de två integralerna för att beräkna arean innanför kurvan som parametriseras av r(t) = (sin t, sin t), där t π. (3 p) x

SF66 Flervariabelanalys Tentamen 7-3-5 DEL B 4. Bestäm det största och minsta värdet av f(x, y) = x xy + y i området D som definieras av x, y, (x + )(y + ) 6. y x Området D 5. Använd variabelbytet u = x + y, v = y x för att beräkna integralen x (y x) x + y dy dx (4 p) (4 p) 6. Låt F vara vektorfältet i rummet som ges av ( F(x, y, z) = e y z, e x z, e x y ). Låt S vara den sneda kon utan botten som består av alla räta linjesegment vars ena ändpunkt är (,, 3) och vars andra ändpunkt ligger på cirkeln x + y = 4 i xy-planet z =. Använd divergenssatsen för att beräkna flödet av F upp genom ytan S (4 p) 3 Var god vänd!

SF66 Flervariabelanalys Tentamen 7-3-5 DEL 7. Låt S vara den orienterade yta i rummet R 3 som ges av r(s, t) = (s, t, st) där s + t och vars normalvektor har positiv z-komponent. Låt vara den orienterade randkurvan till S och låt vektorfältet F ges av F(x, y, z) = (y, xy, z ). Stokes sats relaterar flödet av rotationen av ett vektorfält genom en yta med kurvintegralen av fältet längs randkurvan. Formulera Stokes sats och använd den för att beräkna kurvintegralen F dr = y dx + xy dy + z dz. 8. Låt S vara lösningsmängden till ekvationen x + y = z cos z. (4 p) (a) Förklara hur vi kan vara säkra på att det finns en funktion f(x, y) sådan att S i en omgivning till punkten (x, y, z) = (,, ) sammanfaller med grafen z = f(x, y). ( p) (b) Visa att (x, y) = (, ) är en kritisk punkt till funktionen f. ( p) (c) Undersök om denna kritiska punkt är ett lokalt minimum, ett lokalt maximum eller ingetdera. ( p) 9. För en given kurva i planet R kan vi definiera det genomsnittliga avståndet mellan två punkter på som d() = r(s) r(t) dsdt, L där L är längden av och r(t) är en båglängdsparametrisering av. (a) Beräkna d() där är linjestycket från (, ) till (, ). ( p) (b) Beräkna d() där = S = {(x, y) R x + y = }, enhetscirkeln i planet. ( p) 4

Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära (sfäriska) koordinaterna för punkterna A, B och. ( p) (b) Bestäm en parametrisering i x,y,zkoordinater av kvartscirkelbågen γ i yz-planet med medelpunkt i origo. ( p) (c) Bestäm en tangentvektor till kurvan γ i punkten. ( p) x A z B γ y Lösningsförslag. Rymdpolära koordinater är (R, φ, θ), där R är vektorns längd, φ är vinkeln mot z-axeln, och θ vinkeln i xy-planet för projektionen (longitud). (a) A: (R, φ, θ) = (4, π/, ). B : (R, φ, θ) = ( 5, π/, π/4) : (R, φ, θ) = ( 8, π/4, π/) (b) irkeln har radie 8 och vi använder polära koordinater i yz-planet för att beskriva den. Eftersom x = på cirkeln blir parametriseringen (x, y, z) = (, 8 cos t, 8 sin t), där t π/. (c) Derivering av parametriseringen ger att ( ẋ(π/4), ẏ(π/4), ż(π/4) ) = (, 8/, 8/ ) = (, 3, 3). Svar. (a) A: (R, φ, θ) = (4, π/, ). B : (R, φ, θ) = ( 5, π/, π/4) och : (R, φ, θ) = ( 8, π/4, π/). (b) (x, y, z) = (, 8 cos t, 8 sin t), där t π/. (c) (, 3, 3) är en tangentvektor till γ i.

SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5. En liten kula placeras på ovansidan av funktionsytan z = 3 x + 4 y i punkten (3,, 4) och börjar sedan rulla på grund av tyngdkraften som verkar nedåt i negativa z-axelns riktning. (a) Åt vilket håll börjar den rulla om vi bortser från z-riktningen? (3 p) (b) Hur brant är det där kulan släpps? ( p) Lösningsförslag. (a) Låt f(x, y) = 3 x + 4 y och beräkna gradienten: f = ( x, y). I punkten (x, y) = 3 (3, ) blir gradienten f(3, ) = (, ). Gradienten pekar pekar motsatt mot starkaste avtagandet så i xy-planet kommer kulan att rulla i samma riktning som f(3, ) = (, ). En normaliserad riktningsvektor i xy-planet blir 5 (, ). (b) Riktningsderivatan i gradientents rikning talar om hur stor lutningen maximalt är. I det här fallet är gradientens belopp + = 5. Svar. (a) Riktningen blir i xy-planet 5 (, ). (b) Lutningen är 5.

SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 3. Arean av området som innesluts av en sluten, enkel kurva kan enligt Greens formel beräknas med hjälp av en kurvintegral, x dy eller y dx. (a) Vilken orientering ska kurvan ha för att den första av integralerna ska ge arean med positivt tecken? (Glöm inte att motivera sva- y ret.) ( p) (b) Använd någon av de två integralerna för att beräkna arean innanför kurvan som parametriseras av r(t) = (sin t, sin t), där t π. (3 p) x Lösningsförslag. (a) Enligt Greens formel P dx + Qdy = D (Q x P y)dxdy blir x dy lika med arean, förutsatt att är i positiv led. Detta beror på att med P = och Q = x blir Q x P y = = och integralen av över området D innanför ger områdets area. (b) Kurvan är orienterad i positiv led, så vi använder den första integralen för att uttrycka arean. Då blir π π [ ] π x dy = sin(t) cos tdt = sin t cos tdt = cos3 t = 4 3 3 vilket alltså uttrycker arean innanför kurvan. Svar. Arean är 4/3. 3

SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL B 4. Bestäm det största och minsta värdet av f(x, y) = x xy + y i området D som definieras av x, y, (x + )(y + ) 6. y x Området D (4 p) Lösningsförslag. Funktionen f är kontinuerligt deriverbar och området D är kompakt. Därför antas största och minsta värde i någon av följande punkter (a) inre kritiska punkter, (b) max- och minpunkter längs randen, (c) hörnpunkterna. Vi får att (a) Gradienten är f(x, y) = ( y, x) som är lika med nollvektorn precis då (x, y) = (, ). Alltså är (, ) den enda kritiska punkten och där har vi f(, ) =. (b) Vi har tre delar av randen. Vi börjar med att undersöka randkurvan (x+)(y+) = 6 med hjälp av Lagranges metod. Då kan vi bilda hjälpfunktionen F (x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) = x xy + y + λ((x + )(y + ) 6) där g uttrycker bivillkoret. Stationära punktvillkoret på randkurvan ges av att gradienten av F är noll med avseende på alla tre variablerna: F (x, y, λ) = ( y + λ(y + ), x + λ(x + ), (x + )(y + ) 6) och vi får ekvationssystemet y + λ(y + ) =, x + λ(x + ) =, (x + )(y + ) 6 =. Eftersom x + och y + får vi som ger λ = y y + = x x + (x + )(y ) = (x )(y + ) xy + y x = xy + x y x = y 4

SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 När vi sätter in detta i den sista ekvationen får vi (x+) = 6, vilket ger x = ±4. Eftersom x finns bara lösningen x = y = 3 i det givna området och värdet på funktionen blir där f(3, 3) = 3. Alternativt kan vi välja att parametrisera randen genom x = 4e t och y = 4e t vilket ger funktionen h(t) = f(4e t, 4e t ) = 4e t (4e t )(4e t ) + 4e t = 4e t 6 + 4e t + 4e t + 4e t = 8(e t + e t ) 9. Vi letar sedan efter kritiska punkter till denna och får h (t) = 8(e t e t ) som är noll bara när t =. Därmed leds vi till x = 4 = 3 och y = 4 = 3 som förut. Detta är ett minimum längs randkurvan och maximum ges vid ändpunkterna. Det återstår randpunkterna längs med axlarna. Längs x-axeln har vi f(x, ) = x och här gäller att x 5. Maximum där blir 5 och minimum. På samma sätt är det för y-axeln: f(, y) = y där y 5 med maximum 5 och minimum. (c) Hörnpunkterna är (, ), (5, ) och (, 5) där funktionens värden är, 5 respektive 5. Våra kandidatpunkter är: den inre stationära punkten (, ), punkten (3, 3) längs med den krökta randkurvan, samt punkterna längs med de linjära randsegmenten, där extremvärdena antas i ändpunkterna (, ), (5, ), samt (, 5). Vi jämför nu värdena i dessa punkter och finner att f(, ) =, f(3, 3) = 3, f(, ) =, f(5, ) = 5 och f(, 5) = 5. Därför är minsta värde 3 och största värde 5. Svar. Minsta värde är 3 och största värde 5. 5

SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 5. Använd variabelbytet u = x + y, v = y x för att beräkna integralen x (y x) x + y dy dx Lösningsförslag. Vid variabelbytet är Jacobianen [ ] (u, v) (x, y) = det = ( ) = 3 (4 p) så att dxdy = dudv. Integrationsgränserna bildar en triangel med villkoren x, 3 y, och x + y. Hörnen i denna triangel är (, ), (, ) och (, ). För att se hur gränserna blir i de nya variablerna kan vi se hur hörnpunkterna avbildas i och med att det är en linjär avbildning. Vi har att (x, y) = (, ) ger (u, v) = (, ), (x, y) = (, ) ger (u, v) = (+, ) = (, ) och (x, y) = (, ) ger (u, v) = (+, ) = (, ). Denna triangel ges av olikheterna u och u v u. y v u x Integralen blir således lika med u v dv du [ v 3 u = 3 9 u FIGUR. De två områdena ] u u u du = u 3 [ u 9/ u du = 9/ ] = 9. Svar. Integralens värde är /9. 6

SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 6. Låt F vara vektorfältet i rummet som ges av ( F(x, y, z) = e y z, e x z, e x y ). Låt S vara den sneda kon utan botten som består av alla räta linjesegment vars ena ändpunkt är (,, 3) och vars andra ändpunkt ligger på cirkeln x + y = 4 i xy-planet z =. Använd divergenssatsen för att beräkna flödet av F upp genom ytan S (4 p) Lösningsförslag. Eftersom så har vi att F(x, y, z) = (e (y +z ), e (x +z ), e (x +y ) ) div F = +z) x e (y + +z) y e (x + +y) z e (x = + + =. Då vektorfältet F är definierat över hela rummet kan vi använda divergenssatsen för att flytta ytan S till en annan yta S med samma randkurva utan att ändra värdet på flödet genom ytan. Detta eftersom flödet ut genom en tillslutning av ytan genom att lägga till en annan yta med samma randkurva blir noll, varför flödet ut genom den givna ytan måste vara lika med flödet in genom den vi lägger till. Vi flyttar S till ytan S som är cirkelskivan D med radie runt origo i xy-planet med uppåtriktad normalvektor ˆN = (,, ). Det sökta flödet är alltså F ˆN ds = F ˆN ds S S = (e y, e x, e (x +y ) ) (,, ) da D = e (x +y ) da D π ( ) = e r r dr dθ = π = π [ ] e r dθ ( e 4 + ) = π ( e 4). Svar. Flödet är π ( e 4 ). 7

SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL 7. Låt S vara den orienterade yta i rummet R 3 som ges av r(s, t) = (s, t, st) där s + t och vars normalvektor har positiv z-komponent. Låt vara den orienterade randkurvan till S och låt vektorfältet F ges av F(x, y, z) = (y, xy, z ). Stokes sats relaterar flödet av rotationen av ett vektorfält genom en yta med kurvintegralen av fältet längs randkurvan. Formulera Stokes sats och använd den för att beräkna kurvintegralen F dr = y dx + xy dy + z dz. Lösningsförslag. Stokes sats säger att F dr = S curl F nds (4 p) om F är ett kontinuerligt deriverbart fält och är den orienterade slutna randkurvan till en begränsad slät orienterad yta S. Beräkning av rotationen för det givna vektorfältet ger att ( curl F(x, y, z) = y z z xy, z y x z, x xy ) y y = (,, y ). Därför måste vi fortsätta att beräkna normalen gånger areaelementet och integrera enligt Stokes formel. Vi parametriserar ytan S med polära koordinater, dvs x = r cos θ, y = r sin θ, och z = xy = r cos θ sin θ, där r och θ < π. Ytelementet med normalriktning blir då så att S nds = r r r θ drdθ = ( r sin θ, r cos θ, r)drdθ, curl F nds = π (r sin θ )r dθdr = π r dθdr = π, eftersom sin θ har medelvärde noll och den sista integralen ger arean av enhetscirkeln. Vi kan också använda den givna parametriseringen av ytan och får då att flödet ges av integralen av av trippelprodukten curl F r s r t = det t t = t. s Detta ska integreras över enhetscirkeln och då t har medelvärde blir integralen π. Svar. Kurvintegralens värde är F dr = 8 y dx + xy dy + z dz = π.

SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 8. Låt S vara lösningsmängden till ekvationen x + y = z cos z. (a) Förklara hur vi kan vara säkra på att det finns en funktion f(x, y) sådan att S i en omgivning till punkten (x, y, z) = (,, ) sammanfaller med grafen z = f(x, y). ( p) (b) Visa att (x, y) = (, ) är en kritisk punkt till funktionen f. ( p) (c) Undersök om denna kritiska punkt är ett lokalt minimum, ett lokalt maximum eller ingetdera. ( p) Lösningsförslag. (a) Sätt F (x, y, z) = x + y z cos z. Vi ser att F (x, y, z) = för alla x, y, z R. Vi ser att F = (x, y, z sin z cos z). För att implicita funktionssatsen skall kunna tillämpas ska samtliga partiella derivator vara kontinuerliga i en omgivning av (x, y, z) = (,, ) och F för i denna punkt. Vi ser att detta är uppfyllt och drar z slutsatsen att ytan S ges av grafen av en funktion z = f(x, y) nära punkten (,, ). (b) Betänk att z = z(x, y). Vi deriverar implicit med avseende på x och y och får att x = cos z z z z sin z x x och y = cos z z z z sin z y x Insättning av punkten (x, y, z) = (,, ) ger att z = z = dvs vi har en kritisk x y punkt. (c) Eftersom vänsterledet inte kan vara negativt och högerledet är negativt för π/ < z < har vi att f(x, y) = f(, ) i en omgivning av origo. Därmed är origo ett lokalt minimum. Vi kan också se detta genom att beräkna Hessianen. Vi behöver derivera implicit en gång till för att få fram z, z och z. x y x y ( ) ( ) ( ( ) ) z = sin z + cos z z z x x z cos z sin z z z z x x + x ( ) ( ) ( ( ) ) z = sin z + cos z z z y y z cos z sin z z z z y y + y = sin z z ( z x y + cos z z z z z cos z x y x y sin z z z x y + z ) z x y Insättning av punkten (x, y, z) = (,, ) ger att z =, z = och z x y x y får då att Hessianen är positivt definit och att vi har en minpunkt. =. Vi Svar. (c) Origo är ett lokalt minimum. 9

SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 9. För en given kurva i planet R kan vi definiera det genomsnittliga avståndet mellan två punkter på som d() = r(s) r(t) dsdt, L där L är längden av och r(t) är en båglängdsparametrisering av. (a) Beräkna d() där är linjestycket från (, ) till (, ). ( p) (b) Beräkna d() där = S = {(x, y) R x + y = }, enhetscirkeln i planet. ( p) Lösningsförslag. (a) Vi båglängdsparametriserar linjestycket y = x enligt x = s dvs r(s) = (s, s) vilket ger att r(s) r(t) = s t. Längden L =. d() = s t dsdt = ( t ) (t s)ds + (s t)ds dt t = ( t ) t + dt = 3. (b) Vi båglängdsparametriserar linjestycket enligt x = cos t, y = sin t och får att r(s) r(t) = (cos s cos t) + (sin s sin t) = cos(s t) ( ) (s t) = ( sin = (s t) sin Vi ser att sin (s t) är en periodisk funktion och att vi integrerar över period. Således påverkar translationen med t ej integralens värde. Längden av cirkeln blir π. d() = π π (s t) 4π sin dsdt = π 4π π sin s ds = π π sin s ds = π [ cos s ] π Svar. (a) d() = /3 för linjestycket från (, ) till (, ). (b) d() = 4/π för enhetscirkeln. = π ( ( ) + ()) = 4 π