Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd c) För vilket x-värde antar y sitt största värde? Lösning: a) Eftersom det bara finns två trianglar, så måste det ju vara dessa två som är likformiga. Två trianglar är likformiga, speciellt om motsvarande vinklar är lika stora. Vi skriver y x = 6 x 4.5 som ger oss funktionen y(x) = x(6 x) 4.5 = 6x x 4.5 b) Vilka värden kan x anta? Tittar vi på funktionen verkar alla x vara tillåtna, men från figuren får vi definitionsmängden 0 x 6. c) Den gamla vanliga visan. Bestäm y (x). Lös ekvationen y (x) = 0. Använd y (x) för att bestämma typen hos eventuella extrempunkter. Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Bestäm y(0) och y(6) och jämför med eventuell maxpunkt. Planen är klar! y (x) = 0 ger Vi deriverar en gång till. y (x) = 6 x 4.5 6 x = 0 4.5 6 x = 0 x = 3 y (x) = 4.5 y (x) är alltid negativ, och vi har en maxpunkt för x = 3. Då y(0) = 0 och y(6) = 0 måste y(3) = vara funktionens största värde på intervallet. Svar: x = 3 (Bokens nr 317) En rektangulär parkeringsplats med arean 900 m ska inhägnas med ett staket. Vilka dimensioner ska man välja om man önskar minimera staketkostnaden? Lösning: En uppgift där det är enkelt att gissa svaret. Vi har alltså en rektangel där vi kallar den ena sidan a och den andra b. Vi vet nu att a b = 900. Vi kan nu lösa ut b ur detta samband och få b = 900. Omkretsen kan nu skrivas a O(a) = a + 1800 a För första gången har vi i dessa sammanhang fått en funktion som inte är ett polynom. Men planen är densamma. O (a) = 1800 a Var du med på den deriveringen? Vi får ekvationen 1800 a = 0 a = 1800 a = 900 a 1 = 30 (a = 30) Nu ska vi avgöra vilken typ av extrempunkt detta är och deriverar därför en gång till. O (a) = + 1800 a 3 Håkan Strömberg KTH Syd
O (30) = 6 > 0. Vi har hittat en minpunkt! Då a = 30 så blir b = 900 30 = 30 Svar: Vi får en kvadrat med sidan 30 meter, men det hade vi ju redan gissat. 3 (Bokens nr 31) Skissa grafen till tredjegradspolynom y = f(x) som uppfyller kraven. 1. f(0) = 1 och f (0) = 1. f (1) = 0 och f (3) = 0 Lösning: 1. Punkten (0, 1) ligger på kurvan. En tangent till kurvan i den punkten har k = 1.. För x = 1 och x = 3 har kurvan extrempunkter. Vi ska inte bara skissa kurvan här. Vi ska bestämma funktionen även om det är overkill och ganska svårt. Vi vet att vi söker ett tredjegradspolynom. Alla dessa kan skrivas f(x) = ax 3 + bx + cx + d där a, b, c och d är konstanter. När vi bestämt dem är hela polynomet bestämt. Tidigare har vi sagt att om vi har två punkter kan vi bestämma linjens ekvation. Har vi tre, kan vi bestämma parabelns ekvation (andragradspolynomet). Då gissar vi att om vi har fyra punkter, så kan vi bestämma ett tredjegradspolynom. Har vi fyra punkter här? Nej, men vi har fyra observationer och det duger. Med hjälp av dem kan vi ställa upp ett ekvationssystem. Men först bestämmer vi f (x) Nu till ekvationssytemet Utskrivet blir detta f(x) = 3ax + bx + c f(0) = 1 f (0) = 1 f (1) = 0 f (3) = 0 d = 1 c = 1 3a + b + c = 0 7a + 6b + c = 0 Eftersom vi redan har d och c, sjunker systemet ihop till { 3a + b + 1 = 0 7a + 6b + 1 = 0 Eftersom det var ett tag sedan vi hade ett ekvationssystem uppe på tavlan löser vi detta i detalj och multiplicerar båda leden i den övre ekvationen med 9. Vi får nu Håkan Strömberg 3 KTH Syd
{ 7a 18b 9 = 0 7a + 6b + 1 = 0 När vi sedan adderar vänsterleden och högerleden får vi 1b 8 = 0 b = 3 Återstår att finna a. Om vi stoppar in b = i vilken ekvation vi vill och 3 löser ekvationen får vi a = 1. Vi kan nu skriva ned funktionen f(x). 9 f(x) = x3 9 x 3 + x + 1 Vi avslutar med att plotta funktionen och se att det stämmer med facit: 1.4 1. 0.8 1 3 4 0.6 0.4 Figur : Vår kurva är mer riktig än den i facit, men nu var det ju bara en skiss det gällde här. Så här skriver man när man vill lösa problemet med hjälp av Mathematica. f[x_]:=a*x^3+b*x^+c*x+d Solve[{f[0]==1,f [0]==1,f [1]==0,f [3]==0}] och så här testar man att det fungerar f[x_]:=x^3/9-x^/3+x+1 f[0] f [0] f [1] f [3] Man skulle kunna tro att kurvan tangerar x-axeln men så är det inte. När man med datorn löser ekvationen, får man bara en reell rot. Plottar man funktionen just runt x = 3 får man följande kurva (figur 3 Det är alltså skalan i den första figuren som missleder oss. 4 (Bokens nr 3) Undersök om det finns en tangent med lutningen 4 till kurvan y = f(x) = 6x 3 + 5x 3. Lösning: Det luktar KS3! Om det finns en tangent till funktionen med k = 4, så finns det ett x 1 för vilket f (x 1 ) = 4. Normalt är vi ute efter tangenter till Håkan Strömberg 4 KTH Syd
3.5 1.5 1 0.5.5 3 3.5 4 Figur 3: kurvan där k = 0 vi letar extrempunkter. Man kan förstås leta efter tangenter med vilket k-värde som helst. Derivatan blir f (x) = 18x + 5 Vi löser sedan ekvationen f (x) = 4 och får 18x + 5 = 4 x = 1 18 x = ± 1 18 Ekvationen saknar reella rötter och därför finns ingen tangent med lutningen 4. 5 (Bokens nr 34) En tangent till kurvan y = f(x) i punkten x = 3 går genom punkterna (, 3) och (4, 1). a) Bestäm f (3) och f(3) b) Ge ett rimligt värde på f(3.05) Lösning: a) Vi har två punkter och kan ta reda på tangentens ekvation. Då får vi ju samtidigt k-värdet för en tangent till x = 3. Detta är samma sak som f (3). k = 3 ( 1) 4 = 4 6 = 3 Återstår m-värdet behöver vi det? Ja, vi ska ju bestämma f(3) och vet inget om f(x), så det blir tangentens ekvation, som får hjälpa oss. Vi har nu 3 = 3 ( ) + m m = 5 3 y = x 3 + 5 3 Då x = 3 blir y = 1, vilket är liktydigt med att f(3) = 1 3 3 och kurvan tangerar varandra i denna punkt. eftersom linjen Håkan Strömberg 5 KTH Syd
a) Eftersom det efterfrågade funktionsvärdet f(3.05) ligger så nära det kända funktionsvärdet f(3) är det (oftast) bara lite fel att betrakta funktionen som en rät linje och då passar tangentens ekvation perfekt för detta ändamål y = 3.05 + 5 3 3 0.367 så därför säger vi att f(3.05) = 0.367 även om det inte är helt sant. 6 (Bokens nr 36) Figur 4: Kurvan y = f(x) = x(3 x), 0 x 3, innesluter tillsammans med x-axeln ett område, se figur 4. Bestäm det största värde som triangelarean T kan anta. Lösning: Basen är bestämd till b = x. Det vill säga avståndet från origo till den punkt på x-axeln som vi bestämmer. Låt säga att vi väljer x =. Där blir basen b = och höjden h = (3 ) =. Höjden är ju fastställd av funktionen h(x) = x(3 x) så fort x är bestämd. Genom A = bh = = Nu kan vi teckna en funktion av arean som beror av x A(x) = x x(3 x) = 3x x 3 Nästan alla uppgifter vi har löst i denna kategori slutar med en andragradsfunktion. Men denna uppgift bryter mot mönstret. Vi söker triangelns största area, som vi får genom att sätta A (x) = 0. Ekvationen A (x) = 6x 3x 6x 3x = 0 3x( x) = 0 x 1 = 0 x = Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Vi derivera en gång till och bestämmer A (x) s värde för rötterna. A (x) = 6 6x A (0) = 3 > 0 minpunkt. A () = 3 < 0 maxpunkt. Inte så oväntat. Eftersom definitionsmängden är 0 x 3 och både A(0) = 0 och A(3) = 0, så är den globala maxpunkten A() =. 7 (Bokens nr 337) Figur 5: a) Bestäm en ekvation för linjen genom punkterna A(0, 3) och B(6, 0) i figur 5. b) Bestäm det största värde som rektangelarean R kan anta när P rör sig mellan A och B. Lösning: a) Vi är på jakt efter k och m till y = kx + m. k = 3 0 0 6 = 1 Vi har nu y = 1 x + m och får m genom 3 = 1 0 + m m = 3 vilket vi hade kunna se direkt från punkten A. Ekvationen blir alltså y = x + 3 b) Rektangelns area bestäms som bekant genom A = b h. För att kunna teckna en funktion väljer vi en bas b = x i intervallet 0 x 6 (definitionsmängd). För detta x (som alltså är basen) kan vi bestämma h = y som vi får genom y = x + 3. Arean kan nu tecknas som funktion av x. A(x) = x(3 x x ) = 3x Det är den här funktionen vi ska bestämma en maxpunkt för. Vi deriverar A (x) = 3 x Håkan Strömberg 7 KTH Syd
A (x) = 0 då x = 3. Även om vi är helt säkra på att detta är en maxpunkt måste vi enligt reglementet visa detta. För omväxling skull gör vi det med ett teckenschema. x x < 3 x = 3 x > 3 f (x) + 0 f(x) ր max ց Så fort det handlar om ett intervall, som här, måste vi dessutom ta reda på funktionsvärdena i intervallets ytterkanter. A(0) = 0 och A(3) = 0. 1 Kaninen Tösen från Danmark satte 1997 världsrekord i höjdhopp för kaniner. Enligt en modell gäller att Tösens höjd under hoppet ges av h(x) = 4x 4x där h är höjden i meter över golvet och där x är avståndet i meter längs golvet från avstampet. Beräkna med hjälp av derivata Tösens maximala hopphöjd. Bestäm funktionens f(x) = x3 3 + x 1x största och minsta värde i intervallet x. 3 Bestäm extrempunkterna till f(x) = x4 4 x3 3 + x 4 Lite svårare. Lösningen får du under nästa föreläsning. En varg har blivit skjuten av en tjuvskytt. Du, som är känd under smeknamnet Skärlock Holm, är ombedd att utreda fallet. De tre misstänkta till dådet, Darth Vadar, Jokern och Al Capone har alla alibi för dagen utom under följande tider. Darth har inget alibi för tiden kl 8 11 den aktuella dagen. Jokern har inget alibi för tiden kl 11 15 den aktuella dagen. Al har inget alibi för tiden kl 15 1 den aktuella dagen. De misstänkta kan endast ha begått brottet under den tidsperiod de inte har alibi. Ditt uppdrag, som du väljer att acceptera, är att fastställa tidpunkten för dådet och besvara frågan vem av de misstänkta som kan ha begått brottet. För att bestämma tidpunkten för vargens död mäter du dess kroppstemperatur vid två tillfällen. Den första mätningen gör du kl 1.00 den dag vargen blev skjuten och vargens temperatur är då 8.0 C. Tre timmar senare mäter du vargens temperatur till 5.6 C. Du antar att kroppstemperaturen efter vargens död avtar exponentiellt med tiden och att en levande vargs kroppstemperatur är 36.9 C. Vem av de misstänkta kan ha begått brottet? På grund av situationens allvar är det naturligtvis viktigt att du visar dina beräkningar och motiverar ditt svar. Håkan Strömberg 8 KTH Syd
5 Lite svårare. Lösningen får du under nästa föreläsning. Kurvan f(x) = ax + bx + c tangerar linjen y = x i origo. Kurvan tangerar också linjen y = x 3. Bestäm konstanterna a, b och c. 6 Lite svårare. (Lösningen får du under nästa föreläsning) Figur 6 visar det linjära sambandet mellan priset per enhet, p kr och såld kvantitet av en vara, x enheter. Figur 6: Den totala kostnaden T(x) kr, för att tillverka och försälja x enheter ges av uttrycket T(x) = 10x + 300 Vinsten vid tillverkning och försäljning av x är V(x) kr a) Bestäm uttrycket V(x). Svara på enklaste form. b) Det finns ett värde på x för vilket vinsten blir maximal. Bestäm detta x-värde med hjälp av derivata. 1 Vi deriverar h (x) = 4 8x h (x) = 0 då x = 1. Vi tar fram andraderivatan h (x) = 8 Då h ( 1 ) = 8 < 0 har vi funnit en maxpunkt. Vi bestämmer funktionsvärdet för x = 1 Svar: 1 meter h( 1 ) = 4 1 4 ( ) 1 = 1 Håkan Strömberg 9 KTH Syd
Vi startar direkt med att bestämma f (x) och därefter lösa ekvationen f (x) = 0 f (x) = x + x 1 f (x) = 0 leder till x + x 1 = 0 1 x = 1 ± + 48 4 4 x = 1 ± 7 x 1 = 4 x = 3 Observera att ingen av dessa x ligger i intervallet. Detta betyder att vi får svaret genom att bestämma f( ) = 70 och f() = 3 58. Kurvan måste ju vara 3 avtagande eller växande i hela intervallet (avtagande i detta fall). Svar: Största värde är 70 och minsta värde är 3 58 3 Figur 7: 3 Vi deriverar och får och löser nu f (x) = 0 f (x) = x 3 x + x x 3 x + x = 0 x(x x + 1) = 0 x(x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1 x 3 = 1 Vi har funnit för vilka x det finns extrempunkter och ska nu med hjälp av f (x) avgöra vilken typ de tillhör f (x) = 3x 4x + 1 Vi får och f (0) = 1 > 0 alltså en minpunkt f (1) = 0 Håkan Strömberg 10 KTH Syd
Aj då! det är första gången vi träffat på detta. Om f (x) = 0 kan man inte avgöra vilken typ av extrempunkt vi har. Tyvärr är vi tvungna att gå över till teckensschema x x < 1 x = 0 0 < x < 1 x = 1 x > 1 f (x) 0 + 0 + f(x) ց terrass ց min ր Svar: Vi har funnit två extrempunkter. En minpunkt för x = 0 och en terrasspunkt för x = 1. Räkna bokens uppgifter: 315, 318, 319, 30, 33 315 TB: Normalt räknar man ut arean hos en triangel med formeln A T = b h/, men här finns vare sig höjd eller bas given till den skuggade triangeln. Hur gör man då? KTH: Tänk en liten stund så kommer du säkert på det. TB: Arean för hela rektangeln kan man räkna ut A R = 16 1 = 19. Sedan finns det tre rätvinkliga trianglar där höjd och bas alla är givna, eller åtminstone uttryckta med hjälp av x. Jag tror att jag får rita en ny figur. Figur 8: Nu kan jag skriva arean A(x) för den grå triangeln: ( 16(1 x) A(x) = 1 16 + 1 x A(x) = 19 (96 8x + 1x + 8x x ) A(x) = 96 1x + x + ) x(16 x) Håkan Strömberg 11 KTH Syd
Vad ska jag nu med denna funktion till? Jo jag vill veta för vilket x som A(x) blir så liten som möjligt. Derivera mera... A(x) = 96 1x + x A (x) = x 1 A (x) = 0 då x = 6 A(6) = 60 är den minsta arean. En ny figur visar när detta inträffar. Figur 9: KTH: För vilket x har triangeln så stor area som möjligt? TB: Nu kommer du med egna frågor igen. Vad vill du jag ska svara? Det handlar om ett polynom av andra graden med positiv koefficient till x. Det finns bara en extrempunkt och det är ett minimum. Alltså finns det ingen största triangel. KTH: Du behöver väl inte brusa upp! Mellan vilka värden kan x ligga? TB: 0 x 6 eller hur. KTH: Ja, då plottar vi funktionen så kommer du att få en aha-upplevelse. 110 100 90 80 70 4 6 Figur 10: 318 Minimum får vi mycket riktigt för x = 6 och maximum i en av intervallens ändpunkter, för x = 0, då triangeln utgör halva rektangeln A(0) = 96 TB: Problemen har blivit lite svårare plötsligt. Här handlar det om en kartong. Jag måste rita den med mina egna beteckningar insatta. Är du med på mina beteckningar? Jag har bestämt att de kvadrater, som ska skäras ut och som alla är lika stora har sidan x. Nu kan jag sätta upp en funktion V(x), volymen som funktion av x Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Figur 11: 160 3x V(x) = x(100 x) Det är den här funktionen jag ska derivera och finna eventuella extrempunkter för. Jag ser att det rör sig om ett polynom av tredje graden. Men innan jag kan derivera måste jag förenkla funktionen multiplicera samman parenteserna. Jag tar inte med alla stegen här: V(x) = 8000x 310x + 3x 3 V (x) = 8000 60x + 9x x 1 = 17.1954, x = 51.6935 Två rötter men x fungerar inte, så stora kvadrater kan man inte skära ut. Maximal volym blir då V[17.1954] = 61154.9. Taskiga siffror den här gången. Nej, det stämmer inte med facit! KTH: Jaså. Nu förstår jag inte... Nu ser jag. Jämför din figur med den i boken. TB: Åh, nej jag orkar inte. KTH: Bit ihop och kom igen. Vad jag kan se har du funnit korrekt lösning till fel problem. TB: Hur skulle du ha bedömt detta på en tentamen? KTH: Fullt rätt kan du aldrig få även om du beräkningarna blivit svårare. En tröstpoäng möjligen får du nöja dig med. TB: OK, här är min nya figur. Vad tycker du om den? Funktionen blir nu istället: V(x) = x(80 x)(100 x) V(x) = 8000x 60x + x 3 V (x) = 8000 50x + 6x x 1 = 0, x = 00/3 x är på tok för stort, ligger utanför intervallet 0 < x < 50. Så svaret är alltså x = 0 och V(0) = 7000. Du, en sak som jag kom att tänka på. Då vi maximerade areor, så handlade det alltid om andragradare och nu när det är volymer så är det tredjegradare som gäller. Så är det väl? Håkan Strömberg 13 KTH Syd
Figur 1: KTH: Ja, det är en korrekt upptäckt. 319 TB: Det här är faktiskt en ganska rolig uppgift. Ja, jag tycker det. Med hjälp av Pythagoras sats kan vi bestämma den tredje och just nu obekanta sidan y, i triangeln behövs det? y + 40 = 58 y = 58 40 y = 4 y = 4, det blev ett heltal, vilken tur vi hade. Figur 13: Nu blir det lite geometri här. Topptriangeln är likformig med hela triangeln och vi kan sätta upp följande samband som bygger på likformighet: x 4 = 40 z 40 Löser jag ut x ur denna funktion får jag x = 1(40 z) 0 Håkan Strömberg 14 KTH Syd
Nu kan jag teckna rektangelns area A(z) = 1(40 z)z 0 A(z) = 4z 1z 0 A (z) = 4 1z 10 A (z) = 0 då 4 1z 10 = 0 z = 0 30 Jag har en andragradspolynom med ett maximum. Jag vet att 0 z 40. Alltså ger z = 0 maximalt värde. Jag får x = 1 och att den maximala tomten är 40 m. TB: En uppgift utan tillhörande historia. Jag börjar med att derivera: 33 f(x) = x 3 + x + 3x + 4 f (x) = 3x + 4x + 3 f (a) = då 3a + 4a + 3 = a 1 = 1 3, a = 1 Det finns två värden på a sådana att f (a) =. TB: Funktionen har en positiv derivata fram till x = a då ett maximum inträffar. Sedan har kurvan en negativ lutning fram till x = b då den åter blir 0. Vi har nått fram till ett minimum. Nu är lutningen positiv tills den åter blir 0 i x = c. Eftersom lutningen fortsätter att vara positiv så finns det en terrasspunkt i x = c. Håkan Strömberg 15 KTH Syd