Introduktion till partiella differentialekvationer

KAPITEL 4 Introduktion ti partiea differentiaekvationer 4.1. Några eempe Eempe 4.1. (Den endimensionea värmeedningsekvationen Vi betraktar värmeedningsprobemet (se Kapite 1 i en (oändigt tunn stav av ängd. Låt värmen i punkten vid tidpunkten t ges av u(,t. Antag att värmen i staven vid tiden beskrivs av funktionen f (, och att värmen i ändpunkterna = och = ges av funktionerna h(t, respektive g(t (i praktiken är h och g uppmätta kvantiteter. Då beskrivs u(, t av den s.k. värmeedningsekvationen: u t ku =, t >, < <, u(, = f (, < <, u(,t = h(t, t >, u(,t = g(t, t >. FIGUR 4.1.1. Endimensione värmeedning Eempe 4.2. (Den inhomogena endimensionea värmeedningsekvationen Antag att vi har samma system som i föregående eempe, men att vi dessutom tiför värmen v(, t i punkten vid tiden t. Då beskrivs u(, t istäet av den inhomogena värmeedningsekvationen: u t ku = v(,t, t >, < <, u(, = f (, < <, u(,t = h(t, t >, u(,t = g(t, t >. FIGUR 4.1.2. Endimensione inhomogen värmeedning v = v(,t 11

12 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER Eempe 4.3. (Den tvådimensionea värmeedningsekvationen Vi betraktar nu värmeedning i ett tvådimensionet område D. Låt värmen i punkten (,y D vid tiden t ges av u(,y,t. Antag att värmefördeningen vid tiden t = beskrivs av funktionen f (,y, och att värmen i randen ti D är konstant (oberoende av tiden och ges av funktionen g(,y (i praktiken så kan man åstadkomma konstant värme på randen genom att tiföra eer eda bort värme. Antag dessutom att värmen v(,y,t tiförs i punkten (,y vid tidpunkten t. Då beskrivs u(,y,t av den tvådimensionea värmeedningsekvationen: u t k ( u + u yy = v(,y,t, (,y D, t >, u(,y, = f (,y, (,y D, u(,y,t = g(,y, (,y D, t >. (,y D D Eempe 4.4. (Den tredimensionea värmeedningsekvationen Vi betraktar nu värmeedning i ett tredimensionet område V. Vi använder samma beteckningar som ovan, förutom att vi även har en z-koordinat. Värmen u(,y,z,t beskrivs av den tredimensionea värmeedningsekvationen: (4.1.1 u t div(kgradu = v(,y,z,t, (,y,z V, t >, u(,y,z, = f (,y,z, (,y,z V, u(,y,z,t = g(,y,z, (,y,z V, t >. ANMÄRKNING 1. Observera att gradienten grad av funktionen u(,y,z ges av vektorn gradu = u = ( ( u,u y,u u z =, u z, u ( = z, z, u. z Om skrivs som vektorn ( =, z,, z ges divergensen div, av ett vektorfät F = (F,F y,f z av divf = F = F + F y z + F z z. Divergensen av gradienten ges därmed av div(gradu = u = 2 u = u = u + u yy + u zz. Atså gäer att om k = k(,y,z är konstant = k så kan (4.1.1 skrivas som ANMÄRKNING 2. Observera att ekvationen u t k ( u + u yy + u zz = v u t k u = v. u t κ u = v i amänhet beskriver en diffusionsprocess. Värmeedning innebär en diffusion (transport av värme, och är ett eempe på en sådan process. Några andra eempe på diffusionsprocesser är Bandning av en vätska i en annan (t.e. mjök i en tekopp.

4.1. NÅGRA EXEMPEL 13 Utbredning av en gas i uft (t.e. spridning av en giftig gas i uften. Spridning av eementarpartikar i ett homogent materia (t.e. neutrinos i en kärnkraftreaktor. Eftersom ekvationerna är de samma kommer naturigtvis de metoder vi går igenom för att ösa oika eempe på värmeedningsekvationen kunna användas för aa oika typer av diffusion. En annan PDE som är ika viktig som diffusionsekvationen är vågekvationen, viken vi nu ska se några eempe på. Eempe 4.5. (Den endimensionea vågekvationen Betrakta en vibrerande (eastisk sträng av ängd som sitter fast i båda ändpunkterna. Pacera strängen ängs en -ae och åt u(, t beskriva strängens position vid koordinaten och tiden t. Vid startögonbicket t = ges strängens position och hastighet av funktionerna f ( respektive g(. Strängens vibrationer beskrivs av den endimensionea vågekvationen: u tt ku =, < <, t >, u(,t = u(,t =, t >, u(, = f (, < <, u t(, = g(, < <. FIGUR 4.1.3. Vibrerande sträng u(,t Eempe 4.6. (Den tvådimensionea vågekvationen Betrakta ett vibrerande membran som sitter fast i kanterna (t.e. ett trumskinn fastspänt i en trumma. Pacera membranet så att det täcker ett område D i y-panet, och åt u(,y,t beskriva positionen av membranet i punkten (,y vid tiden t. Vid tiden t = ges membranets position och hastighet av funktionerna f (, y respektive g(, y. Membranets vibrationer beskrivs av den tvådimensionea vågekvationen: u tt k ( u + u yy =, (,y D, t > u(,y,t =, (,y D, t > u(,y, = f (,y, (,y D, u t(,y, = g(,y, (,y D.

14 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER FIGUR 4.1.4. Vibrerande membran D z z = u(,y,t y D Eempe 4.7. (Den tvådimensionea Lapaceekvationen Antag att vi har ett tvådimensionet område, som i Eempe 4.3, och vi undersöka hur värmefördeningen i systemet ser ut då det uppnått termisk jämvikt, d.v.s. när det gått så ång tid att värmefördeningen inte ängre förändras med tiden. Antag dessutom att vi inte tiför någon värme. Detta innebär att vi ska sätta u t = och v = i Eempe 4.3, viket ger oss Lapaces ekvation, viken kan skrivas på föjande ekvivaenta sätt: (4.1.2 u + u yy =, 2 u =, u =. (Ofta brukar kaas för Lapaces operator, viken är av mycket stor betydese även inom ren matematik. Lösningen u(, y ti (4.1.2 ger värmen i punkten (, y då systemet har uppnått termisk jämvikt. Detta brukar kaas en stationär ösning ti värmeedningsprobemet. Eempe 4.8. (Den tvådimensionea Poissons ekvation Poissons ekvation är en inhomogen Lapaceekvation, viken atså kan skrivas på föjande ekvivaenta sätt: u + u yy = f 2 u = f u = f. Här har vi atså u t = och v(,y,t = 1 f (,y i Eempe 4.3, och vi kan atså toka Poissons k ekvation som värmeedningsekvationen när vi har termisk jämvikt (u t =, samt tiför värmen f (,y i punkten (,y (oberoende av tiden.

4.2. EN ALLMÄN PDE AV ANDRA ORDNINGEN 15 Eempe 4.9. (Den tredimensionea Poissons ekvation u + u yy + u zz = f 2 u = f u = f. I det här faet har vi u t = och v = 1 k f i Eempe 4.4, och den tredimensionea Poissons ekvation kan precis som den tvådimensionea ovan tokas som värmeedningsekvationen vid termisk jämvikt då vi tiför värmen 1 k f (,y,z i punkten (,y,z. ANMÄRKNING 3. Om den tiförda värmen i eempen ovan har negativt tecken ska detta naturigtvis tokas som en nedkyning. 4.2. En amän PDE av andra ordningen En amän partie differentiaekvation (PDE kan skrivas som (4.2.1 G (,t,u,u,u t,u,u t,u tt =. De grundäggande frågorna vi stäer oss är: 1. Eisterar det en ösning ti PDEn? 2. Är ösningen unik? 3. Är ösningen stabi vid små störningar? 4. Vika metoder finns för att konstruera och iustrera ösningar? Eempe 4.1. Probemen i Eempe 4.1-4.6 har unika ösningar, men probemen i Eempe 4.7-4.9 har inte unika ösningar. ANMÄRKNING 4. En PDE av typen (4.2.1 har vanigtvis oändigt många ösningar och den amänna ösningen beror då på ett anta godtyckiga funktioner (jämför att amänna ösningar ti en ODE beror på godtyckiga konstanter. Eempe 4.11. har ösningarna Ekvationen u t = t u = 1 4 t2 2 + g(t + h(. Eempe 4.12. har t.e. ösningarna Den tvådimensionea Lapaceekvationen u + u yy =, u(,y = 2 y 2, u(,y = e cosy, u(,y = n ( 2 + y 2.

16 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER ANMÄRKNING 5. En ösning u(, y ti Lapaces ekvation kaas för en harmonisk funktion. För att hitta harmoniska funktioner kan man använda sig av det faktum att om f (z = f (+iy är en anaytisk funktion, d.v.s. om d f (z eisterar, så är readeen u(,y = R f ( + iy, och imaginärdeen v(,y = I f ( + iy dz harmoniska funktioner. I eempet ovan tog vi f (z = z 2, e z respektive ogz 2. 4.3. Linjäritet-Ickeinjäritet En partie differentiaekvation kan skrivas på formen (* Lu = f, där L är en differentiaoperator. Eempe 4.13. Låt L = t k 2. Då bir (* 2 u t ku = f, viket är en endimensione värmeedningsekvation (se Eempe 4.2. Eempe 4.14. Låt Då bir ekvationen (* L(u = u u t + 2tu. u u + 2tu = f (,t. t DEFINITION 4.1. Vi säger att (* är injär om operatorn L har egenskaperna: (1 (2 L(u + v = Lu + Lv, L(cu = clu. Om något av dessa vikor inte är uppfyt säger vi att (* är ickeinjär. Eempe 4.15. Värmeedningsekvationen i Eempe 4.13 är injär. Bevis: Vi måste undersöka om L = t k 2 uppfyer vikoren (1 och (2 ovan. 2 (1 L(u + v = (2 L(cu = (cu t (u + v t k 2 (cu 2 k 2 (u + v 2 = u t k 2 u = c u t u kc 2 2 = c Och atså, eftersom L uppfyer både (1 och (2 så är ekvationen injär. Lu = f 2 + v t k 2 v = Lu + Lv. 2 ( u t k 2 u 2 = clu.

4.5. SUPERPOSITIONSPRINCIPEN 17 Eempe 4.16. Den partiea differentiaekvationen i Eempe 4.14 är ickeinjär. Bevis: Vi börjar med att testa egenskap (1. L(u + v = (u + v(u + v t + 2t(u + v = uu t + uv t + vu t + vv t + 2tu + 2tv, och Lu + Lv = uu t + 2tu + vv t + 2tv. Eftersom L(u + v (Lu + Lv = uv t +vu t är inte (1 uppfyd och ekvationen är atså ickeinjär. 4.4. Kassificering av PDE En amän injär andra ordningens PDE kan skrivas som (4.4.1 a(,tu tt + b(,tu t + c(,tu + d(,tu t + e(,tu + q(,tu = f (,y, (,t D. Sätt Vi säger att PDEn (4.4.1 är Eiptisk om D(,t < i D, Paraboisk om D(,t = i D, Hyperboisk om D(,t > i D. Eempe 4.17. D(,t = (b(,t 2 4a(,tc(,t. Betrakta den tvådimensionea Lapaceekvationen u + u yy =. Här är D(,y = 2 4 1 1 = 4 <, och ekvationen är såedes eiptisk. Eempe 4.18. Betrakta värmeedningsekvationen u t u =. Här är D(,y = 2 4 ( 1 =, och ekvationen är såedes paraboisk. Eempe 4.19. Betrakta den endimensionea vågekvationen u tt u =. Här är D(,y = 2 4 1 ( 1 = 4 >, så ekvationen är hyperboisk. 4.5. Superpositionsprincipen Betrakta en injär och homogen (med i högeredet PDE: (* Lu =. Om (* har ösningar u 1,u 2,... så är också aa injärkombinationer av dessa, ösningar ti (* eftersom u = c 1 u 1 + c 2 u 2 + + c n u n, Lu = L(c 1 u 1 + + c n u n = c 1 Lu 1 + + c n Lu n = + + =. Detta kaas för superpositionsprincipen och gäer även för oändiga summor: u = c 1 u 1 + c 2 u 2 + + c n u n +

18 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER om vissa konvergensegenskaper gäer 1. Den kontinueriga superpositionsprincipen: Antag att u α (,t uppfyer Lu α = för aa α, a α b, och åt u(,t = Z b a c(αu α (,tdα, där c(α är en godtyckig (integrerbar funktion. Då gäer även att Bevis: Eempe 4.2. Lu =. ( Z b Lu = L c(αu α (,tdα = = Z b a Z b a a c(αlu α (,tdα c(α dα =. Det är enket att verifiera att ( u α (,t = 1 ( α2 ep, t >, < α < 4πkt 4kt uppfyer värmeedningsekvationen u t ku =. Atså uppfys denna ekvation även av funktionen u(,t = 1 Z ( α2 c(α ep ( dα. 4πkt 4kt 4.6. Rättstäda probem Ett randvärdes probem sägs vara rättstät (eng. we-posed om (a (b (c Eempe 4.21. det eisterar en ösning, ösningen är unik, och ösningen är stabi. Betrakta begynnesevärdesprobemet bestående av ekvationen tisammans med begynnesevärdena u tt + u =, t >, < <, (4.6.1 u(, =, u t(, =, < <. Den unika ösningen ges av den funktion som är konstant : u(,t, t, < <. n 1 T.e. om vi har ikformig konvergens för: sn ( = u j ( u, s n n( = u j( u, etc. för aa förekommande derivator. 1 1

4.6. RÄTTSTÄLLDA PROBLEM 19 Låt oss nu ändra ite grand på begynnesevärdena (4.7 ti (4.6.2 u(, =, u t(, = 1 4 sin1 4. Lösningen ti det nya begynnesevärdesprobemet ges av u(,t = 1 8 sin ( 1 4 sinh ( 1 4 t. För stora t gäer att sinh ( 1 4 t är ungefär 1 2 ep( 1 4 t. Den ia förändringen i begynnesevärdet har atså gett upphov ti en förändring i ösningen från en funktion som är konstant ti en ösning som ti beoppet väer eponentiet (från sinh-faktorn, samt oscierar eponentiet mycket (från sinus-faktorn. En verkigt dramatisk förändring! Detta betyder att ösningen inte är stabi, och atså gäer inte (c ovan. Probemet är atså icke rättstät (eng. i-posed. Eempe 4.22. Visa att randvärdesprobemet u t ku =, < <, < t < T, u(, = f (, < <, u(,t = g(t,u(,t = h(t, < t < T, där f C[,] och g,h C[,T ], har en unik ösning, u(,t, i rektangen R :, t T. Lösning: Vi kommer senare (i Eempe 5.9 konstruera en ösning ti probemet! Antag nu att det finns två skida ösningar ti probemet: u 1 (,t och u 2 (,t. Då måste funktionen w(,t = u 1 (,t u 2 (,t uppfya randvärdesprobemet: w t kw =, < <, < t < T, w(, =, < <, w(,t = w(,t =, < t < T. Bida nu energiintegraen Z E(t = w 2 (,td. Observera att E(t, E( =, och Z Z E (t = 2ww td = 2k ww d = [ 2kww ] Z 2k ( w 2 d = 2k Z ( w 2 d. Funktionen E är atså avtagande från E( =, och eftersom E måste E(t. Detta innebär att även w(,t, d.v.s. u 1 (,t = u 2 (,t för aa,t. Då vi från början antog att ösningarna u 1 och u 2 var skida har vi kommit fram ti en motsägese, och atså har probemet endast en ösning.

2 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER 4.7. Några anmärkningar om Fourierserier Betrakta en funktion f (, < <. Fourierkoefficienterna för f är definierade som a = 1 2 a n = 1 Z Z Z b n = 1 och Fourierserien för f är definierad som S( = a + f (d, ( nπ f (cos ( nπ f (sin n=1 a n cos d, n = 1,2,..., d, n = 1,2,..., ( nπ ( nπ + b n sin. För mer detajer om Fourierserier se avsnitt 6.2.2. Se även Fig. 4.7. Antag att f ( är oändigt många gånger deriverbar i intervaet < <, förutom i ett anta diskontinuitetspunkter. Då gäer: (a S( = S( + 2, för aa. (b S( = f ( i de punkter där f är kontinuerig, (c S( = 1 [ f (+ + f ( ] i diskontinuitetspunkter2 2 y f ( (a En diskontinuerig funktion y S( f ( (b Och dess Fourierserie I en graf av en diskontinuerig funktion brukar man indikera det värde funktionen tar i en punkt med en ifyd cirke, och det värde funktionen inte tar med en ofyd cirke 2 Här är f (+ = im y f (y, där vi håer y > då vi tar gränsvärdet, och på samma sätt definieras f (.

4.7. NÅGRA ANMÄRKNINGAR OM FOURIERSERIER 21 FIGUR 4.7.1. En fyrkantsvåg y k f ( = { k, < <, k, < π π k Eempe 4.23. Betrakta funktionen f ( från Fig. 4.7.1: { k, < <, f ( = k, <. Notera att ( f ( är en udda funktion, d.v.s. f ( = f (. Eftersom cos är jämn bir funktionen f (cos udda och vi vet att en integra av en udda funktion över ett jämnt interva atid nπ bir (den negativa arean tar ut den positiva arean, och atså bir a = a n = för aa n. Och vi har b n = 1 Z ( nπ f (sin d = 1 Z ( nπ Z ( nπ k sin d + k sin d = 2k Z ( nπ sin d D.v.s. = 2k [ ( nπ nπ cos = 2k (1 cosnπ nπ = 2k nπ (1 ( 1n. b 1 = 4k π, b 2 =, b 3 = 4k 3π, b 4 =, b 5 = 4k 5π,..., och Fourierserien för f är atså S( = 4k ( nπ π b n sin = 4k ( 1 (2m + 1π n=1 π m= 2m + 1 sin = 4k ( ( π sin + 1 ( 3π π 3 sin + 1 ( 5π 5 sin +. Se Fig. 4.7.2 för iustration av några av av de partiea (med bara ett visst anta termer Fourierserierna för S(. ]

22 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER FIGUR 4.7.2. Fourierserier y k S 1 ( π π k (a Första termen k y π k π S 1 ( 4k 3π sin3 4k 5π sin5 S 2 ( S 3 ( (b Ytterigare termer

4.8. SEPARATION AV VARIABLER 23 4.8. Separation av variaber Separation av variaber är en ofta använd metod för att ösa vissa typer av PDE:er och brukar även kaas Fouriers metod. Modeeempe: Lös probemet (1 (2 (3 u t ku =, < <, t >, u(, = f (, < <, u(,t = u(,t =, t >. Att separera variaberna i (1 innebär att vi söker en ösning u(,t viken kan faktoriseras i en de som bara beror på och en de som bara beror på t. För att se om detta är möjigt gör vi en ansats: u(,t = X(T (t, där X och T är de funktioner vi vi hitta. Om vi deriverar u får vi u t(,t = X(T (t och u (,t = X (T (t, och sätter vi in detta i (1 får vi ekvationen: X(T (t kx (T (t =, viken kan skrivas om som T (t 1 T (t k = X ( X(. Eftersom vänsteredet endast beror på t och högeredet endast beror på så måste båda sidorna vara ika med en konstant: T (t 1 T (t k = X ( X( = λ, för någon konstant λ (som vi bestämmer nedan. Istäet för den partiea differentiaekvationen (1 får vi atså två stycken ordinära differentiaekvationer: { T (t = λkt (t, X ( = λx(, med de amänna ösningarna T (t = Ce λkt,och X( = Asin ( ( λ + Bcos λ. Randvärdena (3 ger att antingen är T eer så måste X( = X( =. Då det första aternativet bara ger ösningen som är konstant får vi att X måste uppfya randvikoren X( = X( =, d.v.s. X( = B =, viket säger att B =, och dessutom är ( X( = Asin λ =. ( För att återigen undvika den triviaa ösningen W (d.v.s. med A = måste sin λ =, viket innebär att λ = nπ, n Z +, som är ekvivaent med att λ = n2 π 2 2 för något positivt heta n.

24 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER Vi har visat att om en ösning ti (1 går att faktorisera som X(T (t då kan den skrivas ( nπ ( K sin ep n2 π 2 kt 2, där n är ett positivt heta och K en konstant. Enigt superpositionsprincipen (avsnitt 4.5 ges den amänna ösningen ti ekvationen (1 och randvärdena (3 av ( nπ ( u(,t = b n sin ep n2 π 2 kt 2, n=1 där Fourierkoefficienterna, {b n } n=1, bestäms av begynnesevikoret (2: (* u(, = f ( = n=1 ( nπ b n sin. Låt nu för enkehetens sku = π och betrakta några eempe på begynnesevärden f ( ti ovanstående probem. Eempe 4.24. Låt f ( = 2sin+4sin3. Då gäer (* om b 1 = 2, b 2 =, b 3 = 4, b 4 = b 5 = =. Lösningen ti modeeempet är atså u(,t = 2sin(e t + 4sin(3e 9kt. Eempe 4.25. Låt f ( = 1 = 4 13 15 (sin + sin3 + sin5 +. Då gäer (* om b 1 = 4 π π, b 2 =, b 3 = 4 1 π 3, b 4 =, b 5 = 4 1 π 5, b 6 =, etc. Lösningen ti modeeempet är nu u(,t = 4 ( sin(e kt + 1 π 3 sin(3e 9kt + 1 5 sin(5e 25kt + = 4 π n=1 sin((2n 1e (2n 12 kt. Eempe 4.26. Om vi har en amän begynnesevärdesfunktion f (, π, ges ösningen ti modeeempet av där b n = 1 π u(,t = Z π π n=1 b n sin(nep ( n 2 kt, f u (sinnd = 2 π Z π f (sinnd. Här är f u ( en utökning av f ( ti en udda funktion i intervaet π < < π, dvs f u ( = f ( om > och f u ( = f ( om (se Fig. 4.8.1.

4.9. ÖVNINGSUPPGIFTER 25 FIGUR 4.8.1. Konstruktion av en udda utvidgning y f ( f u ( π π 4.9. Övningsuppgifter 4.1. [S] Avgör om föjande differentiaekvationer är injära/ickeinjära: a u t(,t + 2 u (,t =. 2 u b 2 t + u u = f (,t. c u u u t =. 3 u d 3 t + 2 u 2 t + u t = u. 4.2. * Bestäm de områden där föjande partiea differentiaekvationer är hyperboiska, eiptiska eer paraboiska: a u tt + u + 2u = f (,t, (,t R 2. b y 2 ( u + u yy =, R, y >. 2 ( u 2 c t 2 = u c2 r 2 + 1 u r r d sin ( u tt + 2u t, t >, r >, och c R en konstant. + cosu = tan, t R, π. 4.3. [S] Låt u(,t, t >, > beteckna temperaturen i en oändigt ång stav med värmeedningskonstant k, och viken upphettas genom att öka temperaturen i ändpunkten så att u(,t = t. Använd det faktum att u α (,t = (4πkt 2 1 e ( α2 4kt är en ösning ti u t ku = för varje α R tisammans med superpositionsprincipen för att bestämma u(,t. D.v.s. bestäm en ösning ti u t ku =, >,t >. u(,t = t, t >. 4.4. Avgör om föjande probem är rättstäda eer ej:

26 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER a u tt = u, u(,t = u(π,t = u(, = u(,π,,t [,π]. b u t ku =, u(,t = u(π,t =, u(, ( = sin, [,π], t >. c u t ku =, u(,t =, u(, = sin, [,π], t >. 2 ( d u t ku =, u(,t = u(π,t =, u(, = sin, [,π], t >. 2 4.5. [S] a Bestäm Fourierserien för den funktion f ( som i intervaet π < < π ges av f ( = 2. b använd a för att visa att π2 12 = ( 1 k k=1 k 2. 4.6. * Bestäm Fourierserien för f (t = sint. 4.7. [S] Betrakta en stav av ängd L = 1 med värmeedningskoefficient k = 1. Från början har staven den konstanta temperaturen 1. Vi kyer sedan hastigt ned stavens ändpunkter ti temperaturen, där vi sedan håer temperaturen konstant under eperimentets gång. a Formuera detta probem matematiskt. b Hitta ett uttryck för stavens temperatur i punkten och tiden t. (Ledtråd: för Fourierserieutveckingen av den konstanta funktionen 1 gör en udda periodisk utvidgning i intervaet. 4.8. * Lös föjande probem med hjäp av variabeseparation: u t = u, < < 3, t >, ( 4π u(, = sin(π 2sin 3, < < 3, u(,t = u(3,t =, t >. 4.9. [S] Lös föjande probem: u t = u, < < π, t >, u(, = sin 2, < < π, u (,t = u (π,t =, t >. 4.1. Lös föjande probem u tt = u, < < π, t >, u(, = sin, < < π, u t(, = 1, < < π, u(,t = u(π,t =, t >.