Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Sammanfattning av föreläsning 5: RGA, IMC TSRT9 Reglerteori Föreläsning 6: LQ-reglering Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet RGA mäter korskopplingen/interaktionen mellan in- och utsignaler i ett flervariabelt system. Decentraliserad reglering Gör en regulator för ett system med flera in- och utsignaler genom att låta en utsignal styra en insignal. Resultatet blir ett antal oberoende envariabel-loopar. RGA kan användas för att välja vilken utsignal som ska styra vilken insignal. Frikopplad reglering Kan användas om naturliga par av in- och utsignaler saknas. Skapa ett nytt virtuellt system som är nära diagonalt som kan regleras m.h.a. en decentraliserad regulator. IMC-regulator: innehåller en modell G av det reglerade systemet och man återkopplar y Gu, d.v.s. inverkan av modellfel och störningar. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Sammanfattning av föreläsning 5: LQG Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 3 / 4 Föreläsning 6 Modell: ẋ = Ax + Bu + Nv, y = Cx + v, z = Mx v, v vita brus med intensiteter R, R Kriterium: Minimera E(z T Q z + u T Q u)=e(x T Q x + u T Q u), Det är ekvivalent att minimera (ˆx T Qˆx + u T Q u)dt Q = M T Q M LQG. Riccatiekvationen och dess lösning. Inställning av en LQ/LQG-regulator i praktiken. Egenskaper hos LQ- och LQG-regulatorer. för systemet ˆx = Aˆx + Bu, ˆx() givet
Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 4 / 4 LQG: Hur ser den optimala regulatorn ut? Optimal lösning: u = Lˆx, L = Q BT S,därS ges av algebraiska Riccatiekvationen (ARE) och ˆx ges av Kalmanfiltret. A T S + SA + Q SBQ BT S = Den fullständiga regulatorn ( F y ) på tillståndsform: eller som överföringsfunktion ˆx = Aˆx + Bu + K(y C ˆx) u = Lˆx F y (s) =L(sI A + BL + KC) K Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 5 / 4 Att lösa Riccatiekvationen Kan man alltid lösa A T S + SA + Q SBQ BT S = så att det återkopplade systemets systemmatris A BQ BT S har sina egenvärden strikt i vänster halvplan? Testexempel: [ ] [ ] [ ] A =, B =, Q =, Q = Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 6 / 4 Att lösa Riccatiekvationen, forts. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 7 / 4 Lösbarhet hos Riccatiekvationen» [L,S,E]=lqr(A,B,Q,Q)??? Error using ==> lti.lqr The plant model cannot be stabilized by feedback or the optimal design problem is ill posed. Här är x instabilt och icke-styrbart, d.v.s. icke-stabiliserbart. Ändra exemplet så att A = [ ] så blir systemet styrbart och en lösning existerar. Om (A, B) är stabiliserbart (instabila tillstånd är styrbara) (A, Q ) är detekterbart (instabila tillstånd syns i kriteriet) så finns en lösning S till A T S + SA + Q SBQ BT S = så att kriteriet E(x T Q x + u T Q u) minimeras och A BQ BT S har alla egenvärden strikt i vänster halvplan.
Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 8 / 4 Likheter mellan Kalmanfiltret och LQ Kalmanfilter: LQ-regulator: AP + PA T PC T R CP + NR N T = K = PC T R A T S + SA SBQ BT S + M T Q M = L = Q BT S ( L T = SBQ ) P S, A A T,C T B, N M T,K L T,Q R,Q R Båda problemen kräver alltså lösningen till en ARE. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 9 / 4 Praktisk användning Oftast måste de riktiga kraven översättas till krav på Q, Q, R och R ( straffmatriserna ). Oftast väljs alla dessa matriser som diagonalmatriser. Stort Q (litet Q ) ökar bandbredden hos systemet, men ökar också insignalstorleken. Med de olika diagonalelementen i Q och Q kan man balansera reglernoggrannheten, resp. insignaleffekten i de olika komponenterna mot varandra. Stort R (litet R ) minskar känslighetsfunktionen och ökar den komplementära känslighetsfunktionen. Eventuellt måste man färga system- eller mätstörningarna för att få S eller T bra. I praktiken väljs straffmatriserna i en iterativ process där man testar olika värden och utvärderar resultaten. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 9 / 4 Praktisk användning Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Exempel: DC-servo Det är förhållandet mellan Q och Q, resp. förhållandet mellan R och R som har betydelse. D.v.s. multipliceras både Q och Q med t.ex. blir regulatorn densamma, bortsett från ev. numeriska skillnader. I regel måste man jobba med tiopotenser när man ändrar storleken på viktsmatriserna för att kunna se väsentliga skillnader i det slutna systemet. ẋ = y = [ [ ] x + ] x + e x =vinkelläge, x =vinkelhastighet v systembrus, e mätbrus [ ] u + [ ] v Systembruset kommer in på ingången till systemet (kommer in som u). Inget systembrus på ekvationen som knyter samman hastighet och läge, den är exakt en integrator.
Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Exempel: DC-servo x =vinkelläge, x =vinkelhastighet Grundregulator (): [ ] z = x, Q =, Q =., R =, R =.. Snabb regulator (): Q =. (lägre straff på styrsignalen). Långsam regulator (): R =(lita mindre på mätningar/referens). Poler, grundregulator:.353 ±.537i (dubbelt). Poler, snabb regulator:.93 ±.794i,.353 ±.537i. Poler, långsam regulator:.353 ±.537i,.866 ±.5i. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 DC-servo: Regulator (F y ) & stegsvar : nominell, : mindre Q (snabbare), : större R (långsammare) Fy arg Fy 5 5 stegsvar.4..8.6.4. 3 4 5 6 7 t F y till vänster. Stegsvaret till höger (förutsätter att F r = F y ). Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 DC-servo: S & T : nominell, : mindre Q (snabbare), : större R (långsammare) Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 3 / 4 DC-servo: Lågfrekvent störning på ingången Modelleras som vitt brus genom t.ex. systemet S 3 T 3. s +. Utökad tillståndsbeskrivning: ẋ = x + u + v.. y = [ ] x + e S (utsignalstörning styrd signal) till vänster, T till höger (mätstörning styrd signal). Här är alltså det vita systembruset utbytt mot färgat systembrus.
Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 4 / 4 DC-servo: Brusmodellen formar S och T Design för vit jämfört med lågfrekvent störning på ingången. S (abs) 3 S 4 3 ω (rad/sec) T (abs) 4 T 6 ω (rad/sec) Lågfrekvent processbrus pressar ner S för låga frekvenser. Avsaknad av högfrekvent processbrus pressar ner T för höga frekvenser (ty mätningen upplevs som sämre än modellen där). Alltså: Färgat brus ger ytterligare frihetsgrader att forma S, T,... Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 5 / 4 Referenssignalen Allmän metodik: Tag reda på spektrum för r. Beskriv r som vitt brus genom ett linjärt system. Beskriv detta linjära system på tillståndsform och för in det i den ursprungliga tillståndsmodellen, d.v.s. r betraktas som ett tillstånd i modellen. Betrakta y och r som mätta signaler till detta system. Kör LQG-maskineriet. Resultatet blir en återkoppling från ett Kalmanfilter där r och y är insignaler, d.v.s. något som är på formen U(s) =F r (s)r(s) F y (s)y (s) Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 6 / 4 Styckvis konstant referenssignal Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 7 / 4 Varför LQG? Om referenssignalen är konstant ( ) kommer normalt inte u att ha medelvärdet noll. Det är då naturligt att modifiera kriteriet till E ( (z r) T Q (z r)+(u u (r)) T Q (u u (r)) ) där u (r) är den styrsignal som behövs för att i stationaritet ge z = r. Resultat: u = Lˆx + L r r där L beräknas som om r =och L r ges av L r =(M(BL A) B) (om z och u har samma dimension). Trots att LQG ger en optimal regulatorsyntes måste man i praktiken iterera på straffmatriserna. Vad vinner man då? Man får alltid ett stabilt slutet system. (Givet att Q, Q >, R, R >, systemet är stabiliserbart och detekterbart.) System med flera in- och utsignaler är lika enkla att hantera som envariabla. Det återkopplade systemet får vid mätta tillstånd (ej skattade) automatiskt en betydande robusthet mot störningar och modellfel på ingången.
Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 8 / 4 Ren tillståndsåterkoppling: LQ Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 9 / 4 Stabilitetsmarginaler: LQ (utan observatör) Om man mäter hela tillståndsvektorn x med bra mätgivare behövs inget Kalmanfilter, utan regulatorn blir.5 u = Lx Här blir (eftersom x nu betraktas som utsignal) Nyquistdiagram för G o (s):.5.5 G(s) =(si A) B, F y = L Till exempel blir känslighetsfunktionen på ingången S u (s) =(I+F y (s)g(s)) =(I+G o (s)), G o (s) =L(sI A) B.5 3.5.5.5 Alla nyquistdiagram för ren LQ ligger alltid utanför den gröna cirkeln. Oändlig amplitudmarginal. Minst 6 fasmarginal. (när återkopplingsslingan bryts upp vid ingången) Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Robusthet hos ren LQ Faktum : Låt L bestämmas som en optimal återkoppling för några A, B, Q,Q och låt Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 Stabilitetsmarginaler: LQG (med observatör) G o (s) =L(sI A) B Då gäller (I + G o ( iω)) T Q (I + G o (iω)) Q Speciellt för skalärt u: S(iω), alla ω T (iω), alla ω oberoende av Q och Q. Nyquistdiagram för G o (iω): avståndet till större eller lika med. Konsekvenser: Stor okänslighet mot störningar och modellfel på ingången. God robusthet. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 3, No. 4, August 978.
Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill / 4 För LQG används modifikationen LTR Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 3 / 4 LTR-kretsformning Faktum : Välj K = ρb. Då gäller G o,lqg (s) =L(sI A + BL + ρbc) ρbc(si A) B då ρ. L(sI A) B = G o,lq (s) Istället för att manuellt välja K = ρb kan man genom ett visst val av N och R få Kalmanfiltret att ge ett K ρb. Konsekvens: Man kan modifiera Kalmanfiltret så att känsligheten på ingången närmar sig den man har för ren LQ. Detta sker dock på bekostnad av filteregenskaperna. Procedur:. Välj Q och Q så att den ideala kretsförstärkningen ger bra känslighets- och robusthetsegenskaper.. Välj N = B och R = αr med α så stor att den faktiska kretsförstärkningen tillräckligt nära stämmer överens med den ideala. Proceduren kräver att antalet in- och utsignaler är lika. Reglerteori 7, Föreläsning 6 Daniel Axehill 4 / 4 Flervariabel reglering... ABB Multimove Daniel Axehill Reglerteori 7, Föreläsning 6 (ver..8).liu.se