Anals av polnomfuntioner Anals360 (Grundurs) Blandade uppgifter När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort. Tän igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tdligt har srivit ner dem, så att en oberoende person an förstå hur du resonerat (även om de inte förstår själva lösningen). Det är lätt att slarva med den delen, men den är nästan mer lärori än att lösa talet. Disutera gärna med en amrat om hur man bör sriva ner lösningen! Lösningar till dessa uppgifter sa inte massproduceras eller läggas ut på internet! Övning Bestäm en funtion f () för vilen a) f ( + ) = 3 +, för alla reella, b) f (/) = + + för alla = 0, c) f ( + ) = + för alla = 0. Övning Rita graferna till funtionerna + då a) f () = + då < då > då < 0 b) g() = + då 0 < då Övning 3 Figuren nedan föreställer grafen = f () för en funtion f. 0.8 0.6 0.4 0. Sissera i en figur följande grafer: 0.5.5 = f (), = f ( ), = f ( + ), = f (), = f ( ). Övning 4 Vid en järnvägsstation fanns för påfllning av ånglo en vattentan som rmmer 5000 liter. Vid ett tillfälle flldes tanen helt. Efter 0 minuter ontrollerades tanen och man upptäcte att den sprungit läc: vattennivån hade sjunit till 3700 liter. Efter tterligare 7 minuter var nivån nere på 00 liter. Vi antar att läcaget var onstant, att lia mcet vatten rinner ut per seund hela tiden. a) När hade tanen varit tom om inget hade gjorts? b) När uppstod läcan? c) Eftersom man snart väntade sig ett tåg som måste få vatten, beslutade man sig för att försöa flla tanen utan att först täta läcan. Påfllningsröret hade apacitet att ge ett onstant vattenflöde på 600 liter/minut. Den na påfllningen påbörjades 4 minuter efter den sista mätningen av vattennivån. Hur lång tid tog det att flla tanen? d) 6 minuter efter att den na påfllningen påbörjats, anlände tåget. Hur mcet vatten fanns då i tanen? e) Hur stor apacitet borde påfllningsröret ha haft för att unna flla tanen på 6 minuter? Övning 5 Är funtionen en ontinuerlig funtion? då = f () = 3 då = Övning 6 Bestäm onstanterna a och b så att blir deriverbar. f () = { + a + b då + då > Övning 7 För vila värden på parametrarna a och b är funtionen f () = { b, 0 < 5 + a, > ontinuerlig. För vila värden är den deriverbar? Övning 8 a) Beräna f () = = ( + ) för alla och avgör om vi får en ontinuerlig funtion av. b) Om f () inte är ontinuerlig, an vi då ändra dess värde i en enda punt och få den ontinuerlig? Vilen punt och vilet värde i så fall? Övning 9 Sätt f () = och g() = 3. Beräna alla särningspunter mellan funtionernas grafer och ange för vila som f () > g(). Övning 0 Från toppen av det lutandet tornet i Pisa (höjd 54.5 m) astar man en sten rat uppåt med hastigheten 7.8 m/s på så sätt att den på nervägen faller till maren. Efter hur lång tid träffar stenen maren, om man bortser från luftmotståndet? Tngdaccelerationen är 9.8 m/s. Övning Från Eiffeltornets topp (höjd över maren: 89 m) sjuter man en pistolula rat upp i luften. Kulan slår i maren med en hastighet av 00 m/s. a) Hur högt har ulan varit? b) Hur lång tid har ulans luftfärd tagit? Man bortser från luftmotståndet och tngdaccelerationen sätts till 9.8 m/s. Övning En turistbuss an ta 50 passagerare och hrs ut av ett bussbolag till grupper på mellan 35 och 50 personer. Om gruppen omfattar precis 35 personer blir ostnaden 300 r/person. För större grupper reduceras ostnaden så att per capita-ostnaden minsar med 5 r för varje etra gruppmedlem (utöver antalet 35). Vilen gruppstorle ger störst inomst för bussbolaget? Övning 3 En äppelträdgård ger en viss dag 00 g äpplen som då an säljas för 4 r/g. Väntar odlaren med att sörda ommer sörden att öa med 0 g äpplen per veca, men ilopriset han an sälja för minsar ontinuerligt med 0 öre per veca. Vid vilen tidpunt sa han sörda för att maimera sin vinst?
Övning 4 Bestäm evationen för tangenten till urvan = 3 8 i de punter där den sär -aeln samt i de punter där den sär - aeln. Övning 5 Bestäm evationen för tangenten till urvan i de punter där den sär -aeln. = 3 3 + Övning 6 Bestäm i vilen punt tangenten i punten (, 3) till urvan = 3 + 8 + 7 sär -aeln. Övning 7 Bestäm särningspunterna mellan parabeln = och dess normal i punten (a, a ). Övning 8 I vila punter på urvan = 3 6 + 9 är dess tangent parallell med -aeln? Bestäm ocså de punter i vila tangenten är parallell med linjen =. Övning 9 En bilist ser att trafiljuset 65 m framför honom slår över till gul-grönt. Han vet att signalen ommer att slå över till rött 5 seunder senare och börjar öa farten så att accelerationen hela tiden är onstant. Efter seund visar hastighetsmätaren 36 m/h och efter tterligare seund på 45 m/h. Kommer han att passera trafiljuset innan det visar rött? Övning 0 Över vila intervall är funtionen f () = 3 5 + 4 en väande funtion? Övning Visa att evationen 8 3 36 + 46 5 = 0 har precis en rot i vart och ett av intervallen ]0, [, ], [ och ], 3[. Anmärning Motivera först varför det finns minst en rot i vart och ett av intervallen. Hur får man därefter att det finns precis en rot i varje intervall? Övning Sissera grafen till följande funtioner: a) 4 3 4 4 +. b) 5 3 3 5. c) 3 9 +. d) 4 + 8 3 + 8 5. Övning 3 Låt f () = 4 3 +. a) Bestäm alla stationära punter till f. Bestäm ocså de intervall där f är väande respetive avtagande. Har funtionen ett största/minsta värde? b) Om vi som definitionsmängd endast tar 0, har f då ett största/minsta värde? Bestäm i så fall dessa. Vad gäller om definitionsområdet är < 0? Övning 4 Bestäm antalet reella nollställen till polnomet 3 6 + 9 +. Bestäm därefter ett intervall som har längden och som säert innehåller minst ett av dessa nollställen. (Försö inte gissa en rot och glöm inte att motivera dina påståenden.) Övning 5 Sissera urvorna a) = ( )( )( 3) b) = ( ) Övning 6 Ur en trädstam i form av en ra cirulär clinder med radien r sall sågas en bal med retangulärt tvärsnitt. Böjmotståndet W hos en sådan bal ges av formeln W = 6 där betecnar bredden och höjden av retangeln. Hur sall balen dimensioneras för att böjmotståndet sall bli maimalt? Övning 7 Bestäm alla loala etrempunter och deras tp till funtionen f () = ( + )( + ) 4. Övning 8 Bestäm den mest eonomisa hastigheten och den minsta ostnaden för en 300 m lång transport med lastbil under följande förutsättningar: Chaufförens timpenning är 86 r och olja och drivmedel ostar 6 r/l. Vid hastigheten m/h förbruar lastbilen + /300 liter olja och drivmedel per timme. Vidare antas 30 90. Övning 9 Vilen punt på parabeln = ligger närmast origo? Anmärning När man sa minimera ett avstånd an man minimiera avståndet i vadrat. Varför? Det blir enlare eftersom man slipper hantera en vadratrot. Övning 30 Ett 8 cm långt snöre lipps i två bitar så att den ortaste biten är minst 4 cm. Den ena biten används för att forma en vadrat och den andra biten för att forma en cirel. Hur sa snöret lippas och bitarna formas för att summan av vadratens och cirelsivans area sall bli a) minimal? b) maimal? Övning 3 Bestäm största och minsta värde av uttrcet då,. + Övning 3 Om, är två ice-negativa tal, vilet är det största och minsta värde som uttrcet 3 an anta om summan av talen sa vara? Övning 33 En fabri sa tillvera clinderformade metallburar vars basdiameter och höjd tillsammans sa vara 9 längdenheter. Hur stor an volmen hos en sådan bur maimalt vara? Svara i volmenheter. Övning 34 Bestäm alla polnom av lägsta möjliga grad som är sådana att de är noll då = 0, har en terrasspunt där, samt har ett loalt minimum i = och ett loalt maimum i =. Vad gäller för polnomet då och då? Övning 35 Bestäm alla fjärdegradspolnom p() sådana att a) punten = 0 är en loal etrempunt till p() och motsvarande värde är, b) p() är en jämn funtion, d.v.s. p( ) = p() för alla, c) högstagradsoefficienten har absolutbeloppet, d) p() har ett största värde som är 3. Övning 36 Funtionen f () = 3 + b +, där b är ett reellt tal, har en loal minimipunt i =. Finn alla loala etrempunter till f samt ange deras aratär. Övning 37 Per, som är lantbruare, sa bgga en silo för förvaring av säd. Den sa bestå av en (ra, cirulär) clinder ovanpå vilen en halvsfär är lagd som ta (samma radie som clindern). Kostnaden för väggen (alltså clindern) är 000 r per m, medan ostnaden
för taet är 4000 r per m. Han an doc endast spendera summan 44000π r totalt, och för det priset vill han ha så stor volm som möjligt. Hur sa silon dimensioneras? Golv sa inte läggas. Övning 38 Bestäm den onstanta termen (d.v.s. den term som sanar ) i polnomet ( + 3 ) 5. 5 0 5 Övning 39 Vilen är högstagradstermen i ( 3 ) 6 ( 4 + 3)? Övning 40 Koefficienten för 8 i utveclingen av (a + ) 0 är 80. Bestäm möjliga värden på onstanten a. Övning 4 Bestäm oefficienten för 3 -termen i polnomet 3 5 ( + )( ) 9. Övning 4 Lös oliheten ( ) 5 + 0 <. Övning 43 Visa de två identiteterna n =0 = n och att udda = jämn. Övning 44 Visa att + = ( ) ( ) n n +. Anmärning Denna identitet ger upphov till en metod att beräna binomialoefficienterna reursivt som allas Pascals triangel. Dess fem första rader är 3 3 4 6 4 Kan du förlara hur den är onstruerad? Övning 45 Bestäm oefficienten framför 50 i polnomet ( + ) 000 + ( + ) 999 + +( + ) 998 +... + ( + ) 999 + 000. Övning 46 Visa att om f är deriverbar i punten a så gäller att f (a) = lim h 0 f (a + h) f (a h) h. Om vi istället tog som vår definition av derivata att detta gränsvärde eisterar, sulle då samma funtioner bli deriverbara? Kan du ge ett eempel på en funtion som är deriverbar med denna definition, men inte med den ritiga? Övning 47 En funtion f har följande Maclaurinutvecling: f () = 4 3 4 54 3 5 + 6 B(), där B() är en begränsad funtion i en omgivning av = 0. Vad är f (0) och f (5) (0)? Övning 48 Nedan är en datorritad graf till en funtion. Sissera så gott du an grafen till dess derivata.
Svar Övning a) f () = ( ) 3( ) + = 5 + 6 Övning 3 Efter 5 vecor Övning 4 = 4 respetive = 8 b) f () = + + c) f () =. Övning a) till vänster och b) till höger Övning 5 = då = 0, = då = och = 4 då =. Övning 6 = / Övning 7 (a, a ) samt, om a = 0, ( (a + a ), (a + a ) ). Övning 8 Den är parallell med -aeln då = och då = 3. Den är parallell med = då = ± / 3. 0.5 0.5 Övning 9 Ja Övning 0 Då [4, ) och (, ]. Övning 3 Kurvorna är i grafen nedan enligt färgerna: blå: = f (), röd: = f ( ) (som har definitionsområdet [, 0]), grön: = f ( + ) (med definitionsområde [, ]), brun: = f () (med definitionsområdet [0, ]) samt svart: = f ( ) (med definitionsområde [, ]). Övning Använd först satsen om mellanliggande värden. I slutargumentet der fatorsatsen upp. Övning Se nedan a) b) 0.5 0.5.5.5 0.5 0.5 0 c) d) 40 5 0 0 Notera att f ( ) = f ( ( )), så den svarta urvan är en förflttning av den röda ett steg till höger. Övning 4 a) 6. min b) 4.3 min c) 0.3 min d) 3.44 L e) 864 L/min Övning 5 Ja Övning 6 a = och b = 3. Övning 7 Den är ontinuerlig om a = för alla b, men deriverbar endast om dessutom b = 9. Övning 8 a) f () = om = 0, men f (0) = 0 b) Sätt den till i = 0. Övning 9 Särningspunterna är ( +, 4 3 ) och (, 4 + 3 ). Oliheten är uppflld då < eller > +. Övning 0 4. s Övning a) 50 m b) 6.9 s Anmärning Börja med att betrata fallet då man står på maren och sjuter iväg ulan med en utgångshastighet av 00 m/h. Vilen höjd når den, och hur länge är den i luften? Med vilen hastighet slår den i maren? Vilen är nu relationen mellan detta problem och det i uppgiften? Övning grupper om 47 och 48 personer ger båda maimal inomst. (Andragradsfuntionen har maimum i.5, men lösningen måste vara ett heltal.) 5 0.5.5.5 3 3.5 4 3 Övning 3 a) De stationära punterna är = och =. Funtionen är avtagande i (, ] och väande i [, ) ( = är en terrasspunt). Den antar sitt minsta värde /6 då = / men sanar största värde. b) Ja, största värdet 080 antas då = 0. Det minsta som tidigare. Däremot finns inget största värde om definitionsområdet är < 0 (funtionen an då omma godtcligt nära värdet 080 men inte anta det). Övning 4 Ett nollställe i intervallet ( /, 0). Övning 5 a) till vänster och b) till höger 0.5.5.5 3 3.5 0.8 0.6 0.4 0. 0 0.5 0.5 0. Övning 6 Bredden sa vara 3r 3 och höjden 6r 3. Övning 7 I = är där ett loalt maimum och i = 6/5 ett loalt minimum. Övning 8 hastigheten är 70 m/h och ostnaden 840 r. Övning 9 Punterna (±/, /).
Övning 30 a) Kvadratens snöre sa vara π+4 cm och cirelns snöre π+4 8π cm. b) Kvadratens snöre sa vara 4 cm och cirelns snöre 4 cm. Övning 3 Sätt t =. Då gäller det att hitta största och minsta värde av g(t) = t + t = (t ) 4 då t. Minsta värdet är alltså /4 och antas då = /, medan största värde är och antas då =. Övning 3 Största värde är 7 64, minsta är noll. Övning 33 7π v.e. Övning 34 Derivatan sa vara (gör en tecentabell) proportionell mot ( )( + ) = 4. En funtion som har det polnomet som derivata är p() = 5 /5 3 /3. Svaret är därför alla funtioner på formen Ap() där A är en positiv onstant. Övning 35 p() = 4 + 4. Övning 36 = är en loal minimipunt och = /3 är en loal maimipunt. Övning 37 Silons radie sa vara 3 m och dess höjd 6 m. Funtionen som sa maimeras är Övning 38 5005 Övning 39 3 45 Övning 40 a = ±/8. Övning 4 67 V(r) = π(36r 4r 3 /3), 0 < r < 8. Övning 4 < < och = 0. Denna uppgift an lösas både med hjälp av anals och genom att enbart arbeta algebraist. I båda fallen blir det enlare om man först gör variabelbtet t =. Övning 43 Använd binomialteoremet. Övning 44 Det är bara att räna på med hjälp av definitionen av binomialoefficienterna. ( ) 00 Övning 45 50 Övning 46 Med den definitionen sulle f () = bli deriverbar även i origo och där ha derivatan noll. Övning 47 f (0) = 0, f (5) (0) = 0. Övning 48 Derivatan i rött 0 3 0