. Bestäm Rez och Imz. i. 1. a) Låt z = 1+i ( b) Bestäm inversen av matrisen A = (3p) x + 3y + 4z = 5, 3x + 2y + 7z = 3, 2x y + z = 4.

Relevanta dokument
6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = , och ange motsvarande

8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.

1. Find the 4-tuples (a, b, c, d) that solves the system of linear equations

1. Find an equation for the line λ which is orthogonal to the plane

x 2 2(x + 2), f(x) = by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. γ : 8xy x 2 y 3 = 12 x + 3

2. Find, for each real value of β, the dimension of and a basis for the subspace

1. Beräkna determinanten

2(x + 1) x f(x) = 3. Find the area of the surface generated by rotating the curve. y = x 3, 0 x 1,

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

1 Find the area of the triangle with vertices A = (0,0,1), B = (1,1,0) and C = (2,2,2). (6p)

2. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + 2y 13z = 4 4x y + 17z = 5

3. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet 3x + 2y 3z = 3 2x + y + 4z = 7

is a basis for M. Also, find the coordinates of the matrix M = with respect to the basis M 1, M 2, M 3.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

1. Find for each real value of a, the dimension of and a basis for the subspace

Beräkna determinanten för produkten MMM Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

for M, the matrix of the linear transformation F : R 3 M defined as x1 + x F ((x 1, x 2, x 3 )) = 2 + x 3 2x 1 + x 2 + 3x 3

2. Let the linear space which is spanned by the functions p 1, p 2, p 3, where p k (x) = x k, be equipped with the inner product p q = 1

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Pre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)

1. Find the volume of the solid generated by rotating the circular disc. x 2 + (y 1) 2 1

f(x) =, x 1 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. cos(x) sin 3 (x) e sin2 (x) dx,

For which values of α is the dimension of the subspace U V not equal to zero? Find, for these values of α, a basis for U V.

2 4xy. and classify each of them with respect to the corresponding linearized system. x 2 dy + 2xy = y2

(4x 12) n n. is convergent. Are there any of those x for which the series is not absolutely convergent, i.e. is (only) conditionally convergent?

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

, m 3 = 3. Determine for each real α and for each real β 0 the geometric meaning of the equation x 2 + 2y 2 + αz 2 + 2xz 4yz = β.

Tentamen i Matematik 3: M0031M.

denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

and u = och x + y z 2w = 3 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet

(5 + 4x)(5 2y) = (2x y) 2 + (x 2y) ,

f(x) = x2 + 4x + 6 x 2 4 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points.

1. Find, for x > 0, the general solution of the differential equation. dy/dt 4xy + 10y + 6y 2,

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

sin(x 2 ) 4. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = e x and y = e.

is introduced. Determine the coefficients a ij in the expression for, knowing that the vectors (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1) constitute an ON-basis.

Find an equation for the tangent line τ to the curve γ : y = f(4 sin(xπ/6)) at the point P whose x-coordinate is equal to 1.

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

1. The sum of two non-negative numbers x and y equals 4. Which is the smallest interval that surely contains the number x 3 + 3y 2?

Facit/lösningsförslag

the standard scalar product, i.e. L E 4. Find the orthogonal projection of the vector w = (2, 1, 2, 1) on the orthogonal complement L of L (where

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.

MVE520 Linjär algebra LMA515 Matematik, del C

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

x 2 4 (4 x)(x + 4) 0 uppfylld?

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

(D1.1) 1. (3p) Bestäm ekvationer i ett xyz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

och v = 1 och vektorn Svar 11x 7y + z 2 = 0 Enligt uppgiftens information kan vi ta vektorerna 3x + 2y + 2z = 1 y z = 1 6x + 6y + 2z = 4

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

2. For which values of the parameters α and β has the linear system. dy/dt x + y

= ( 1) ( 1) = 4 0.

dx/dt x y + 2xy Ange även ekvationerna för de mot de stationära punkterna svarande linjariserade systemen.

Vektorgeometri och funktionslära

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Onsdagen den 8 december, 2010

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

1 x 1 x 2 1 x x 2 x 2 2 x 3 2 A = 1 x 3 x 2 3 x x 4 x 2 4 x 3 4

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta.

SF1624 Algebra och geometri

Övningshäfte 2: Komplexa tal

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Kontrollskrivning i Linjär algebra ,

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

and Mathematical Statistics Gerold Jäger 9:00-15:00 T Compute the following matrix

SF1624 Algebra och geometri

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675

2. Find an equation for and sketch the curve which begins at the point P : (3, 1) and which otherwise is given by the linear system 1 = 2

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Transkript:

MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA150 Vektoralgebra TEN1 Datum: 3 oktober 2014 Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: Skrivdon. Denna tentamen TEN1 består av 6 uppgifter, med en sammanlagd poängsumma om 25 poäng. För betyget 3 krävs en erhållen poängsumma om minst 12 poäng, för betyget 4 krävs 16 poäng, och för betyget 5 krävs 20 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. a) Låt z = 1+i ( 1 2i 1+ 1 ). Bestäm Rez och Imz. i 1 1 1 (2p) b) Bestäm inversen av matrisen A = 0 2 0. (3p) 0 0 1 2. Lös ekvationssystemet x + 3y + 4z = 5, 3x + 2y + 7z = 3, 2x y + z = 4. 3. Givet en ortonormerad bas e = [e 1,e 2,e 3 ] i rummet, bestäm vinkeln mellan vektorerna u = e 1 e 2 och v = e 1 +2e 2 +e 3. 4. Planet π innehåller punkterna P : (0,2,0), Q : (1,2,1), R : (2,4,0). Bestäm planets ekvation på normalform. Punkternas koordinater är givna med avseende på ett positivt orienterat ortonormerat koordinatsystem. 5. Lös ekvationen z 4 = 7. Skriv rötterna på cartesisk form (d v s formen z = a+bi). 6. Avbildningarna F : R 2 R 2, F ( x1 ) ( ) x1 +x = 2 och G : R 2 R 3, G ( x1 ) x 1 2 = x 1 x 1 + är linjära. Ange deras matriser, och bestäm matrisen för den sammansatta avbildningen GF : R 2 R 3.

MÄLARDALEN UNIVEWRSITY School of Education Culture and Communication Division of Applied Mathematics Examiner: Erik Darpö EXAMINATION IN MATEMATIK MAA150 Vector algebra TEN1 Date: 3 October 2014 Time: 3 hours Materials allowed: Writing material only. This exam TEN2 consists of 6 problems, with a total score of 25 points. To obtain the grades 3, 4 and 5, scores of at least 12, 16 respectively 20 points are required. All solutions are to include motivations and clear answers to the questions asked. This is an English translation of the exam TEN1 from 3/10/2014, with minor adaptions in notation to suit the English version of the course. The original exam was given in Swedish only. 1. a) Let z = 1 + i ( 1 2i 1 + 1 ). Find Re z and Im z. i 1 1 1 (2p) b) Determine the inverse of the matrix A = 0 2 0. (3p) 0 0 1 2. Solve the linear system x + 3y + 4z = 5, 3x + 2y + 7z = 3, 2x y + z = 4. 3. Determine the angle between the vectors u = 0 ( 1 ) 1 and v = 0 1 ( 1 ) 2. 1 ( ) ( ) ( ) 02 12 24 4. A plane π contains the points P =, Q = and R =. Determine the equation of π (on normal form). 0 5. Solve the complex equation z 4 = 7. Write the roots on cartesian form (i.e., the form z = a + bi). 6. The maps F : R 2 R 2, F ( x1 ) ( ) x1 + x = 2 och G : R 2 R 3, G ( x1 ) x 1 2 = x 1 x 1 + are linear. Find their matrices, and the matrix of the composed linear map GF : R 2 R 3.

Answers: 2 1 2 1) a) Re z = 2/5, Im z = 4/5; b) A 1 = 1 0 1 0. 2 0 0 2 2) Unique solution (x, y, z) = ( 2, 1, 1). 3) The angle is 5π/6. 4) π : x y z = 2 5) z = ± 4 7 or z = ± 4 7i 6) The matrix of F is A = 1 1 GF is BA = 1 1. 1 2 ( ) 1 1, the matrix of G is B = 0 1 1 2 1 0, and the matrix of 1 1

MAA150 Vektoralgebra höstterminen 2014 Bedömningskriterier för TEN1 2014-10-03 1. a) Ett poäng för beräkning av z på formen z = a + bi, ett poäng för att korrekt identifiera real- och imaginärdel. b) En poäng för uppställning av korrekt ekvationssystem/totalmatris, två poäng för lösningen av systemet och korrekt slutsats därav. 2. En poäng för korrekt uppställt system och påbörjad Gausselimination, tre poäng totalt för korrekt lösning av uppställt system. Felräkningar av principiell/metodmässig karaktär ger avdrag på mellan ett och tre poäng. 3. En poäng för att uttrycka cosinus för vinkeln i termer av skalärprodukt och/eller längder (cosθ = u v ), en poäng för beräkning av u v, u och v, en poäng för beräkning av u v det numeriska värdet av cos θ, ytterligare ett poäng för fullständig och korrekt lösning av uppgiften. 4. Bestämma koordinaterna för två (icke-parallella) vektorer som är parallella med planet: 1p. Bestämma en normalvektor till planet: 2p. Utifrån ovanstående bestämma planets ekvation: 1p. 5. Korrekt ansats: skriva VL och HL på polär (eller exponential-) form: 1p. Korrekt identifiera belopp och argument: 1p. Därutöver fullständigt lösa uppgiften: 2p. Den som vid bestämning av argumentet endast angett ett värde, utan att ta hänsyn till de trigonometriska funktionernas periodicitet, kan som mest få två poäng på denna uppgift. 6. Korrekt ange matriserna till avbildningarna F och G: 2p. Bestämma matrisen till den sammansatta avbildningen GF: 2p.