TENTAMEN HF00 och HF008 TEN jan 04 Anals och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Richard Eriksson Anals och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och anals, HF00 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betgsgränser: För godkänt krävs 0 av ma 4 poäng För betg A, B, C, D, E, F krävs, 9,,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betg F) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på omslaget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Dessa uppgifter (och ) behöver du som är godkänd på KS:en inte göra 00 ( + ) (ln ) Beräkna gränsvärdena a) lim b) lim (p) ( + ) a) Bestäm ekvationer för tangenten och normalen till (p) π kurvan cos i den punkt på kurvan som har -koordinaten sin b) Beräkna och förenkla derivatan av g( ) ln( ), 0 < < π (p) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- π 4π Visa att sin + sin( + ) + sin( + ) 0 (p)
4 Bestäm alla asmptoter till kurvan f ( ) (p) 5 Beräkna den obestämda integralen arctan() (p) Beräkna den obestämda integralen (p) 7 Beräkna den bestämda integralen (p) 8 Lös följande separabla differentialekvation (p) ' ( ) b) Ange lösningen på eplicit form ( dvs på formen f () ) 9 Lös följande differentialekvation (p) + 4 ' + + 7, med begnnelsevillkor ( 0), ' (0) 0 0 Bestäm, för t > 0, strömmen i( i nedanstående LR krets (p) om L henr, R 0 ohm, C farad och U 4 V Vid t0 gäller följande villkor: ( 0) 0 i ampere och ( 0) i ampere/sekund Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapasitansen C R är lika med q ( / C, där q ( i(
Lösningsförslag till TEN i kursen HF00 och HF008 den jan 04 ( ( + )) ( + ) ( + ) ( + ) a) lim lim lim lim ( + ) ( ( + )) ( + )) ( + )) Alternativ: L Hospitals regel två gånger och förkortat 99 00(ln ) b) L Hospital (t uttrcket är av tp ) ger 00(ln ) lim lim 99 Fortsätter man med L Hospitals regel (99 gånger) får man till slut lim00! 0 Svar a) b) 0 a) cos, ' sin π π ( ) cos( ) ' ( π ) π sin( ) Tangentens lutning är då k T Tangentens ekvation: kt ) ( dvs ( π ) [ eller π + + ] Normalens ekvation: kn ) ( Från k N har vi k T k N Normalens ekvation blir ( π ) [ eller π + ] b) cos sin g' ( ) ( ) 4 sin cos sin sin Svar a) ( π ) b) ( π ) Rättningsmall: rätt eller fel
Vi använder additionsformeln (finns på formelblad) och får π 4π sin + sin( + ) + sin( + ) π π 4π 4π sin + sin cos + cos sin + sin cos + cos sin sin + sin ( ) + cos + sin ( ) + cos ( ) 0 vsv Svar Se lösningen Rättningsmall: Utnttjar rätt trigonometriska samband p+visat påstående p 4 Bestäm alla asmptoter till kurvan f ( ), 0 (p) för 0 4 Lägg märke till att Därför för < 0, för f ( ) +, för 0 < 0 Uttrcket ej definierat då Vertikal asmptot (eftersom f () ± då ± Vad händer då ±? För > 0 är och funktionen kan skrivas som f ( ) Polnomdivision ger f ( ) Eftersom uttrcket 0 då har funktionen en sned asmptot för positiva På samma sätt undersöker vi funktionen för negativa : För <0 är och funktionen kan skrivas som + f ( )
N polnomdivision ger f ( ) + + Eftersom uttrcket 0 negativa då har funktionen en sned asmptot + för Svar Vertikal asmptot, en höger sned asmptot och en vänster sned asmptot + Rättningsmall: Visat förståelse för vad asmptot är och fått fram minst en asmptot rätt p, alla asmptoter rätt p 5 arctan,,, + + + + Svar + + Rättningsmall: Rätt metod och rätt val av u och v p Rätt lösning på den enkla rationella integralen p Allt rätt p? Då täljarens gradtal är tre och nämnarens är två gör vi först en polnomdivsion Dvs + Vi får då: ( +) + ln( +) + Svar + ++ Rättningsmall: Rätt polnomdivisionp Rätt lösning av p Allt rätt p 7! ( )
Svar ( ) Rättningsmall: Rätt substitution och korrekt hantering av gränsernap Allt rätt p 8 ' ( ) Först separerar vi variabler: d d ( ), Vi kan dela ekvationen med om 0 dvs om ± 4 Anmärkning Det är uppenbart att funktioner 4 och 4 är också lösningar till ekvationen (båda leden blir 0 ) d ( ) d Vi integrerar båda leden, d ( ) d (formelblad) arcsin( ) + 4 C Alltså arcsin( ) + C 4 är lösningen till DE ( på implicit form) b) Eplicit form: Vi löser ut () arcsin( ) 4 + C 4 sin( + C) 4sin( + C) Svar: a) arcsin( ) + C 4 b) 4sin( + C) Anmärkning Förutom ovannämnda lösningar finns det också två "singulära lösningar": 4 och 4 är också lösningar till ekvationen (båda leden blir 0 ) Rättningsmall: p för varje del Allt korrekt p (ingen avdrag om man inte ange singulära lösningar ± 4 ) 9 + 4 ' + + 7, med begnnelsevillkor ( 0), ' (0) 0 i) Först löser vi den tillhörande homogena ekvationen
+ 4 ' + 0 r + 4r + 0 har rötterna r och r Den allmänna lösningen blir då C e + C e ii) En partikulär lösning bestämmer vi med hjälp av följande ansats: A + B A och 0 p p p som vi substituerar i + 4 ' + + 7 och får 4 A + ( A + B) + 7 eller A + (4A + B) + 7 Härav A och 4 A + B 7 som ger A och B Därför p + och nu bildar vi H + p dvs C e + Ce + + som är den allmänna lösningen iii) Med hjälp av villkorna ( 0), ' (0) 0 bestämmer vi C och C : ( 0) C + C + C + C (ekv ) För att använda andra villkoret derivera vi lösningen C e C e + Från ' (0) 0 har vi C C + 0 ekv Slutligen från ekv och ekv får vi C och C 0 Därför e + + är den lösning som satisfierar de givna villkoren Svar e + + Rättningsmall: +p för homogena delen + p för en partikulär lösning Allt korrektp
0 Bestäm, för t > 0, strömmen i( i nedanstående LR krets om L henr, R 0 ohm, C farad och U 4 V Vid t0 gäller följande villkor: ( 0) 0 Lösning: Från kretsen får vi följande diff ekv L i + R i( + q( U C ( (ekv) (efter subst L, R och C) i ( + 0i( + q( 4 (ekv ) Derivering av ( ekv ) ger: i ( + 0i ( + i( 0 (ekv ) r + 0r + 0 har rötterna i ampere och ( 0) r och r 8 i ampere/sekund Härav i( t 8t Ce + Ce För att bestämma C och C använder vi begnnelsevillkoren i ( 0) 0 och i ( 0) och får C + C 0 8C C Härav C, C och därför i( e t e 8t Svar i( e t e 8t Rättningsmall: p för korrekta ekvationen p om homogena delen är korrekt löst Allt korrektp