Energioptimering genom framförhållning

TSFS07 Projektkurs i systemteknik ISY Linköpings universitet Anna Vingren, annvi721 Erik Hellström, erihe433 Magnus Johansson, magjo029 Nawrous Mahmoud, nawma189 Energioptimering genom framförhållning 2004-05-19

Sammanfattning Dokumentet beskriver vårt arbete i Projektkurs i systemteknik under våren 2004. Projektet syftar till att utvärdera möjliga energibesparingar i en lastbil om information om vägprofilen i höjdled för hela körsträckan finns tillgänglig. Tre strategier har utvärderats. En enkel strategi som beaktar aktuell väglutning och som har möjlighet att frikoppla motorn. De två andra strategierna utnyttjar även information om vägprofilen en viss sträcka framför fordonet. Det som skiljer dessa två åt är vilka styrsignaler som styrsystemet påverkar. I det första fallet kan motorn endast frikopplas medan systemet i andra fallet även styr gas och broms. Utvärderingen av styrstrategierna har skett mot en lastbilsmodell implementerad i MatLab/Simulink. Vi finner att strategin som endast påverkar om motorn är frikopplad och som betraktar vägprofilen en sträcka framför lastbilen, är den mest fördelaktiga. Detta i förhållande till den energibesparing som erhålls och den beräkningsinsats som krävs.

Innehåll 1. INLEDNING... 1 1.1. PARTER... 1 1.2. MÅL... 1 1.3. AVGRÄNSNINGAR... 1 1.4. DISPOSITION... 2 2. METOD... 3 2.1. PRAKTISKT FÖRFARANDE... 3 3. FORDONSMODELL... 6 3.1. DRIVLINA... 6 3.2. MOTORMOMENT... 7 3.3. BRÄNSLEFÖRBRUKNING... 8 3.4. FARTHÅLLARE... 8 3.5. SIMULERINGSMILJÖ... 9 4. ENKEL REGLERING...10 4.1. GRÄNSVINKLAR...10 4.2. ALGORITM...11 4.3. RESULTAT...12 5. FRAMFÖRHÅLLNING...13 5.1. TILLSTÅNDSMODELL...13 5.2. OPTIMERINGSPROBLEMET...15 5.3. IMPLEMENTERING...17 5.4. KOMPLEXITET...18 6. RESULTAT...19 6.1. ANTAL PREDIKTIONSSTEG...19 6.2. ENERGIFÖRBRUKNING...20 6.3. ENKEL FRAMFÖRHÅLLNING...21 6.4. SCHWUNG...22 7. SLUTSATSER...23 8. FRAMTIDA ARBETE...25

Figurer FIGUR 1: SYMMETRISK SVACKA... 4 FIGUR 2: VÄGPROFIL LINKÖPING - JÖNKÖPING... 4 FIGUR 3: VÄGLUTNINGAR LINKÖPING JÖNKÖPING... 5 FIGUR 4: ARBETSOMRÅDE FÖR MOTORN.... 7 FIGUR 5: FORDONSMODELLEN I SIMULINK... 9 FIGUR 6: GRÄNSVINKLAR SOM FUNKTION AV HASTIGHET....12 FIGUR 7: OPTIMERINGSPROBLEMET SOM ETT NÄTVERK....16 FIGUR 8: FÖRBRUKNINGSFÖRÄNDRING SOM FUNKTION AV ANTALET STEG...19 FIGUR 9: BRÄNSLEFÖRBRUKNING FÖR DE TRE STRATEGIERNA...20 FIGUR 10: ENKEL FRAMFÖRHÅLLNING I EN SVACKA...21 Tabeller TABELL 1: GRÄNSVINKLAR...12

1. Inledning I fordon med navigeringsutrustning så kan styrsystemet utnyttja förväntade körförhållanden för att optimera energiförbrukningen. I detta projekt kommer information om vägprofilen i höjdled att utnyttjas för att studera möjliga energibesparingar i lastbilar. Med styrsystem avser vi gas, broms och koppling. Vi kommer främst att studera hur vi med kopplingen kan variera mellan neutralt läge (frikopplat) och det normala läget med växeln i. Genom att frikoppla motorn i en utförsbacke kan rörelseenergin utnyttjas på ett bättre sätt jämfört med att motorbromsa. Vid frikoppling måste motorn köras på tomgång vilket kräver bränsle. Under motorbromsning kan däremot bränsleinsprutningen stängas av, åtminstone ovanför ett lägsta varvtal (så att motorn startar igen utan problem då gaspådrag åter efterfrågas). För att utnyttja rörelseenergin är frikoppling fördelaktigt samtidigt som det kräver bränsle för tomgång, något som inte behövs vid motorbroms. Således är valet att frikoppla en avvägning mellan vinsten i rörelseenergi och kostnaden i bränslet som krävs för tomgång. 1.1. Parter Beställare av projektets är avdelningen Fordonssystem på Institutionen för systemteknik vid Linköpings universitet. Projektansvarig är professor Lars Nielsen 1. Doktorand Anders Fröberg 2 har handlett projektet. 1.2. Mål Projektet ska utvärdera möjliga energivinster genom att utnyttja höjddata i styrsystemet i en lastbil. För detta ändamål ska en modell över fordonet tas fram och en simuleringsmiljö skapas där energiförbrukningen med olika styrsystem kan studeras 1.3. Avgränsningar Referenshastigheten som gäller för fordonet tillåts inte variera. Den antas vara konstant 85 km/h. Vidare antas inga växlingar inträffa och därför studeras endast den högsta växeln. 1 lars@isy.liu.se 2 froberg@isy.liu.se 1

1.4. Disposition I första kapitlet beskrivs bakgrunden till arbetet som leder fram till målen. Gjorda avgränsningar nämns. Det följande kapitlet redogör för metoden med vilken arbetet utförts. Kapitel tre beskriver den matematiskt modelleringen av en lastbil och den simuleringsmiljö den leder fram till. Fjärde kapitlet innehåller en enkel strategi som väljer att frikoppla motorn utifrån information om aktuell hastighet och väglutning. Det femte kapitlet tar upp kärnan i arbetet, styrstrategier som använder sig av information om hur vägprofilen ser ut framöver. Rapporten fortsätter med två kapitel med resultat från styrstrategierna i kapitel fem och de slutsatser vi drar från arbetet och uppnådda resultat. Avslutningsvis förs i sista kapitlet en diskussion om möjliga förbättringar och utvidgningar av strategierna. 2

2. Metod Vi kommer att utvärdera bränsleförbrukningen för en lastbil med tre olika utgångspunkter, nämligen: i. Vanlig farthållning med reglering av gas och broms. Schwung 3 tillåts. ii. Reglera kopplingen med hjälp av information om aktuell hastighet och väglutning. iii. Använd information om kommande vägprofil för regleringen. Ordningen för nämnda förutsättningarna anger den ordning vilken vi kommer att arbeta efter. I första steget formulerar vi fordonsmodellen och bygger en simuleringsmiljö som även kommer att användas framöver för att utvärdera olika styrstrategier. Steg två är en språngbräda till sista stadiet och utförs för att få preliminär insikt i det förestående problemet. 2.1. Praktiskt förfarande Simuleringsmiljön kommer att byggas upp i MatLab/Simulink. Regulatorer implementeras i språket C. De inkluderas i Simulinkmiljön via så kallade S-functions. De data som ligger till grund för modellparametrar har vi mottagit från Tony Sandberg på Scania i Södertälje. Till vårt förfogande ställdes också höjddata från sträckan mellan Linköping och Jönköping. Denna sträcka har använts för att utvärdera strategierna. Höjddatat bestod av sampel, varje 25 meter på sträckan, med höjden över havet. Vi studerar, som nämnt i inledningskapitlet, en referenshastighet som antas konstant lika med 85 km/h. Den maximalt tillåtna hastigheten för alla strategier sätter vi till 90 km/h, fem km/h ovanför referensen. 2.1.1. Symmetrisk svacka Vi vill ha ett verklighetsnära men kortare vägavsnitt, som inte ger upphov till så många beräkningar, att arbeta med när vi tar fram och detaljstuderar de olika algoritmerna. Detta vägparti ska motsvara ett typiskt avsnitt i verkligheten där det finns potential för energibesparing med vårt styrsystem. 3 Schwung innebär att bromsarna inte aktiveras om fordonet ökar sin hastighet utan gaspådrag, till exempel i en nedförsbacke, förutsatt att vi inte når den maximalt tillåtna avvikelsen från referenshastigheten. 3

För detta ändamål tänker vi oss ett avsnitt bestående av en symmetrisk svacka med två par backar med olika lutningar, se figur 1. Vägpartiet består av 50 m plan väg, 150 m med lutning a %, åter 50 m plant, 150 m med lutning b % och efter 25 m plan väg är resten en spegling av det tidigare avsnittet (angivna avstånd avser de horisontella). Figur 1: Symmetrisk svacka Teckenkonventionen för lutningsvinklar är att en positiv vinkel anger att höjden ökar, det vill säga en uppförsbacke. En negativ vinkel innebär således att höjden minskar, en nedförsbacke. 2.1.2. Från Linköping till Jönköping Ovan nämnd svacka använder vi oss av under arbetet med algoritmerna men den kan inte ge oss en bra uppskattning av energiförbrukningen på en normal körsträcka. För att bedöma storleken av eventuella energivinster använder vi oss av höjddata från sträckan mellan Linköping och Jönköping. Denna sträcka är på cirka 12,7 mil. Hur höjden varierar visas i figur 2. Figur 2: Vägprofil Linköping - Jönköping. I figur 3 visas hur väglutningen (i procent) varierar över nämnd sträcka. Vi ser att lutningarna är ganska små och ligger alla inom intervallet +2 % till -4 %. 4

Figur 3: Väglutningar Linköping Jönköping 2.1.3. Framförhållning Kärnan i projektet är att reglera lastbilen och utnyttja information om vägprofilen framöver. Regleringen ska minimera energiförbrukningen samtidigt som hastigheten inte ska avvika alltför mycket från referenshastigheten. Det optimeringsproblem som då uppkommer kan betraktas som en sekventiell beslutsprocess där vi i varje steg ska välja en uppsättning styrsignaler. För att lösa problemet beslöt vi oss för att använda en form av prediktionsreglering (engelska: MPC, model predicitve control). De allmänna stegen i MPC är (Ljung, 2003): 1. Prediktera framtida utsignaler vid tiden t. Utsignalerna kommer att bero på mätvärden och de framtida styrsignalerna. 2. Optimera, med avseende på styrsignalerna, en målfunktion som baseras på variablerna från föregående steg. 3. Tillämpa valda styrsignaler. 4. Vid nästa tidpunkt, gå till första steget. Då informationen om vägprofilen är avståndsdiskret kommer vi att formulera fordonsmodellen som avståndsberoende istället för tidsberoende. Optimeringen kommer inte att ske, som ofta förekommande med MPC, genom minimering av ett kriterium. Istället använder vi oss av dynamisk programmering. De fyra stegen kan med våra modifikationer skrivas: 1. Vid tiden t; prediktera, i N antal steg om meter framåt, hastigheter och bränsleförbrukningar. Dessa kommer att bero på framtida styrsignaler och kommande vägprofil. 2. Lös optimeringsproblemet med dynamisk programmering. 3. Tillämpa valda styrsignaler. 4. Vid nästa tidpunkt, gå till första steget. 5

3. Fordonsmodell För att skapa en simuleringsmiljö tar vi fram en fordonsmodell. Denna implementeras sedan i Simulink och används fortsättningsvis hela tiden som referensmodell vid jämförelse av energiförbrukning med olika styrsystem. 3.1. Drivlina Antag att friktionen vid hjulet och motorn kan försummas. Om momentet M b, som modellerar den totala bromsverkan från lastbilens olika bromssystem, adderas kan sambandet mellan motormomentet M m och hjulets vinkelhastighet θ w enligt Nielsen (2002, 2003) beskrivas enligt... 2 3 2 ( Jw+ mrw) θw = Mw Mb 0.5cA w aρarwθw mgrw( cr cosα + sinα).. Jmθ m = Mm Mc där J w är tröghetsmomentet hos hjulet, m är lastbilens vikt, M w är moment vid hjulet, c w är luftmotståndskoefficient, A a är tvärsnittsarean, ρ a är luftens densitet, r w är hjulets radie, c r är rullmotståndskoefficient, α är lutningen på vägen, J m är motorns tröghetsmoment, θ m är motorns vinkelhastighet och M c är momentet vid kopplingen. Under antagande att koppling och axlar är stela samt att växlarna är förlustfria gäller enligt Nielsen (2000,2003): θ = θ i i m w 1 Mc = Mw ii f t t f där i f, i t är utväxlingsförhållande hos slutväxeln respektive växellådan. Om sedan verkningsgrader ηt, η f för att modellera förluster i växlarna läggs till fås: M c = M w 1 η i η t t Ekvationerna ovan ger: 2 2 2 ( J mr i ij ) w w t t f f m w f i + + η η θ = f. 3 2 tit fim f m kb b cwaa arw w mgrw cr.. ( ) η η 0.5 ρ θ cosα + sinα 6

Där M = kbb, [0,1], B är styrsignalen för bromsverkan. b 3.2. Motormoment b Under de förhållanden vi studerar, långa körningar utan växlingar, kan motorn anses befinna sig i stabila arbetspunkter med god approximation. Med denna utgångspunkt kan vi använda motormappar med mätningar i arbetspunkter utförda i testcell för att simulera förbränningsprocessen. Figur 4 beskriver arbetsområdet för en motor. Kurva A anger maximalt moment T som kan levereras vid varvtalet N, Tmax( N ). Vid tomgång gäller kurva B. Slutligen anger kurva C det negativa moment som erhålls vid motorbroms, Tdrag ( N ). Figur 4: Arbetsområde för motorn. Varje punkt i figuren svarar mot en mätning med ett varvtal N och en bränslemängd δ. Således kan motormomentet i detta område interpoleras fram från en motormapp Tmap( N, δ ). (Sandberg, 2001) Det existerar även en begränsning av maximalt möjlig bränslemängd vid olika varvtal, δ max( N ). Vi inför även δ min ( N) som anger det bränsleflöde som vid varvtalet N ger noll i moment. På detta sätt modellerar vi fuelcut; när begärt bränsleflöde δ understiger δ min ( N) har vi fuelcut. Sammanfattningsvis har vi nu infört följande fem funktioner för att beskriva momentgenereringen i motorn: T T T δ δ map drag max max min ( N, δ ) Moment i normalt arbetsområde. ( N) Moment vid motorbroms. ( N) Momentbegränsning. ( N) Övre bränslemängdsbegränsning. ( N) Undre bränslemängdsbegränsning. 7

Vi inför vidare två styrsignaler, P och C. Gaspedalen motsvaras av PP, [0,1]. Kopplingen CC, {0,1}, är en binär signal där 0 är frikopplat läge och 1 innebär att växeln är inkopplad. Bränsleflödet δ modelleras som Pδ max( N) C = 1 δ = där δ idle är bränsleflödet vid tomgång. δidle C = 0 Slutligen kan vi teckna motormomentet som funktion av gas P, koppling C och varvtal N: { ( ) ( )} min Tmax N, Tmap N, Pδmax( N) C = 1, Pδmax( N) δmin ( N) Mm = T( PCN,, ) = Tdrag( N) C = 1, Pδmax( N) < δmin ( N) 0 C = 0 3.3. Bränsleförbrukning Massflödet bränsle beror av variablerna varvtal N [rpm] och tillförd bränslemängd δ [mg/slag]. Tillsammans med konstanterna antalet cylindrar n cyl och antalet varv per slag n r tecknar vi enkelt flödet ṁ f i g/s som: ncyl 1 m f = Nδ n 60 1000 r Pδ Med max( N) C = 1 δ = får vi δidle C = 0 ncyl 1 NPδ max( N) C = 1 nr 60 1000 m f = f ( PCN,, ) = ncyl 1 Nidleδ idle C = 0 nr 60 1000 där N är tomgångsvarvtalet. idle Slutligen ger integration med avseende på tiden total bränslemängd i gram: t ncyl 1 mf = Nδ dt n 60 1000 0 3.4. Farthållare r Farthållare i fordonsmodellen består av en vanlig PI-regulator tillsammans med en funktion som tillåter schwung. Med schwung menas att om lastbilen ökar i hastighet utan att något drivande moment finns, så används inte bromsarna för att sänka hastigheten. 8

Detta görs först när lastbilens hastighet har nått den maximalt tillåtna hastigheten. Vi kan således beskriva gas P och broms B enligt: et () = v v () t ref akt { p1 I1 } { Kp et K 2 I2 etdt} Pt () = min 0, K et () + K etdt () max 1, () + () schwung aktivt Bt () = 0 schwung inaktivt Regulatorparametrarna och sampeltiden provades fram för att få rimlig prestanda. Sampeltiden valdes till 0.1 s. 3.5. Simuleringsmiljö Modellen av fordonet implementeras rättframt i Simulink. En bild över modellen visas i figur 5. Vägprofil v_akt Lutning velocity Regulator Gas Motor N [rpm] Motormoment Pedal Koppling & växlar Drivande moment Varvtal [rpm] Belastande moment Lutning Chassi Hastighet [km/h] v_akt Fuelcut Broms delta [mg/slag] Fuelcut Koppling Hjulhastighet [rad/s] Hjulhastighet [rad/s] Bromspedal Bromsande moment Koppling Varvtal [rpm] delta [mg/slag] Bränsleflöde Koppling fuelflow Bränsleåtgång Figur 5: Fordonsmodellen i Simulink. 9

4. Enkel reglering Denna strategi utnyttjar endast information om aktuell hastighet och väglutning för att besluta hur kopplingen ska styras. Momentant är det alltid ofördelaktigt att koppla ur i en utförsbacke eftersom tomgång kräver bensin vilket motorbroms inte gör. Eftersom vi inte känner vägen framför kan vi då inte använda bränsleförbrukningen som beslutskriterium. I nästa avsnitt härleds uttryck för lutningarna som krävs för att fordonet ska behålla eller öka sin hastighet för det läge då motorn är frikopplad respektive då växeln är inkopplad. Dessa lutningar bildar ett intervall som kan användas för att besluta hur kopplingen ska styras. 4.1. Gränsvinklar Vår ekvation för drivlinan är enligt tidigare: 2 2 2 ( J mr i ij ) + + η η θ = w w t t f f m w. 3 2 tit fim f m Mb cwaa arw w mgrw cr.. ( ) η η 0.5 ρ θ cosα + sinα Först studerar vi urkopplat läge. Vi söker den (negativa) vinkel som gör att det inte krävs något motormoment för att bibehålla alternativt öka fordonets hastighet. Bromsarna antas vara inaktiva. Situationen som eftersöks är alltså när det framdrivande moment från gravitationskraften är lika stort eller större än det bromsande från luft- och rullmotståndet. Låt alltså M m = 0, M b = 0, sätt β = α och sök villkoret för θ w 0. Det ger: cw Aa a arcsin ρ β 2mg 1+ c 2 r v 2 + arctan c Argumenten till arcsin är för typiska värden i storleksordningen 10-6, rullmotståndskoefficienten c r är ungefär 10-3. Med små argument kan vi utan problem approximera arcusfunktionerna med taylorutvecklingen av ordning 1. Det ger: cw Aa ρ a β 2mg 1+ c 2 r v 2 + c r Nu söker vi den vinkel som göra att det inte krävs något motormoment för framdrivning när vi har kopplingen i. Skillnaden blir alltså att motorbromsmomentet också påverkar fordonet. Från den motormapp vi arbetar med gör vi en linjär modell av släpmomentet där N är varv per minut: r 10

Tdrag = an + b På samma sätt som ovan låter vi M b = 0. Sätt γ = α och sök villkoret för θ w 0. Det ger: c A ηi η i a ηiη ib γ arcsin + 2mg 1 c mgr 1 c mgr 1 c Argumenten till arcsin är för typiska värden i storleksordningen 10-4, rullmotståndskoefficienten c r är ungefär 10-3. Det ger att vi, precis som tidigare, approximerar arcusfunktionerna med taylorutvecklingen av ordning 1: 2 2 w aρa 2 30 t t f f t t f f v v arctanc 2 2 2 2 r + π r w + r w + r ca ηi η i a ηiη ib γ + 2mg 1 c mgr 1 c mgr 1 c 2 2 w aρa 2 30 t t f f t t f f v v c 2 2 2 2 r + π r w + r w + r Gränsvinklarna beror alltså på hastigheten v och massan m (som förstås varierar mellan olika lastfall). I övrigt ingår det i uttrycken endast parametrar som vi betraktar som konstanta. 4.2. Algoritm Vi kan nu basera beslutet om att frikoppla på gränsvinklarna från föregående avsnitt. Ligger värdet på den aktuella lutningen mellan gränsvinklarna frikopplar vi motorn. Överstiger lutningen den övre gränsvinkeln behåller vi växeln i eftersom fordonet då behåller eller ökar sin hastighet trots motorbromsen. Efter en frikoppling kopplas motorn i igen om fordonet når den maximala hastigheten eller understiger referenshastigheten. För att minska antalet frikopplingar runt maximal hastighet sattes även en gräns så att frikoppling inte sker (igen) förrän hastigheten är nära referenshastigheten. Strategin frikopplar inte heller om fordonet understiger referenshastigheten, detta borde inte ske i en utförsbacke om vi visste de exakta vinklarna som krävs för acceleration men kan förstås inträffa på grund av approximationer i beräkningen och störningar. I pseudokod kan detta beskrivas enligt nedan. Hastigheterna antas vara i km/h. e = (v_ref - v_act) if(clutch == 0) { if(e > 0.5 e <= -5 -slope >= gamma) Clutch = 1; } else if(-slope > beta && -slope < gamma && e > -1 && e < 0.5) Clutch = 0; else Farthållning(); 11

4.3. Resultat Gränsvinklarna vid referenshastigheten 85 km/h för tre olika lastfall visas i tabell 1 nedan. massa β γ 20 ton 1.8 % 1.03 2.3 % 1.34 40 ton 1.2 % 0.72 1.5 % 0.87 60 ton 1.1 % 0.61 1.2 % 0.71 Tabell 1: Gränsvinklar. Vinklarna varierar märkbart med de olika lastfallen men intervallen för varje fall är ganska snäva. De är i tiondelar av grader. Intervallet är enligt uttrycken i föregående avsnitt: 2 2 30 ηtit ηfif a ηtitηfib f β γ = v + π 2 2 2 mgrw 1+ cr mgrw 1+ cr Intervallet växer linjärt i hastigheten men inom rimliga värden är det dock ganska oförändrat. Detta åskådliggörs i figur 6 där vinklarna för lastfallet 60 ton som funktion av hastigheten är ritad. 1.5 1.4 β γ 1.3 Vinkel [%] 1.2 1.1 1 0.9 0.8 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Hastighet [km/h] Figur 6: Gränsvinklar som funktion av hastighet. Med vår modell är det uppenbarligen så att det är liten skillnad på att, utan gaspådrag, öka fordonets hastighet genom att motorbromsa och att frikoppla. Det tyder på att det finns en mindre potential i att utnyttja frikoppling för att accelerera. Inverkan på bränsleförbrukningen med denna enkla reglering visas i kapitel sex. 12

5. Framförhållning I denna strategi används information om kommande väglutningar tillsammans med vilken bränsleförbrukning olika styringrepp kräver för att bestämma styrsignalerna. Vi formulerar problemet på två sätt. Dels då vi reglerar alla tre tillgängliga styrsignaler och dels då vi förenklar problemet och endast tittar på kopplingen. 5.1. Tillståndsmodell För att lösa problemet med dynamisk programmering vill vi med en kompakt modell kunna förutsäga fordonets hastighet och bränsleförbrukning som funktion av väglutningen och styrsignalerna gas, broms och koppling. För detta ändamål gör vi approximationer till den fordonsmodell som tidigare togs fram för simulerinsmiljön. I följande avsnitt beskrivs först de enkla approximationer som införs i drivlineekvationen. Vidare anpassar vi en serie funktioner till de mätdata som utgör motormappen. Därefter tas en avståndsdiskret tillståndsmodell för lastbilen fram. 5.1.1. Drivlina Drivlineekvationen är enligt tidigare: 2 2 2 ( J mr i ij ) + + η η θ = w w t t f f m w... 1 3 2 ηtitηfim f m Mb cwaaρarwθw mgrw( cr cosα + sinα) 2 Hjulets vinkelacceleration θ är relaterad till fordonets hastighet 1 v genom hjulradien rw enligt: θ w = v. rw Vidare gör vi omskrivningen: c cos( α) + sin( α) = w r 2 2 2 1+ cr sin( α + arctan( cr)) 1+ cr sin( α + cr) 1 + cr ( α + cr). Där approximationerna görs ty argumenten till arctangens- och 3 sinus-funktionerna är små. c r är i storleksordningen 10 och för 2 beaktade lutningar är α i storleksordningen 10. Med fem parametrar, θ till θ, implicit definierade genom 1 5 föregående ekvationer kan vi skriva: v = θ M + θ M + θ v + θα + θθ 2 1 m 2 b 3 4 4 5 13

Med motormomentet Mm = T( PCN,, ) och det bromsande momentet får vi slutligen: 2 v = θ1t( PCN,, ) + θ2kbb+ θ3v + θα 4 + θθ 4 5 I följande avsnitt approximeras funktionen T. Med approximationen är ekvationen ovan den tillståndsmodell vi använder i algoritmerna för att förutsäga fordonets hastighet. 5.1.2. Motormapp Enligt tidigare avsnitt kan vi skriva motormappen som: min( Tmax( N), Tmap( N, Pδmax( N)) C= 1, Pδmax( N) δmin ( N) Mm = T( PCN,, ) = Tdrag( N) C = 1, Pδmax( N) < δmin ( N) 0 C = 0 Vi har motormappen som mätdata men önskar nu för vår algoritm en mer kompakt beskrivning. Därför används en serie funktioner för som anpassas till mätdata för att approximera mappen. Motormappen i det normala arbetsområdet T map approximeras först av en linjär funktion i N och δ: T ( N, δ) = a N + b δ + c 2 max Tmax Tmax Tmax map map map map Begränsningar av momentet och bränsleflödet vid olika varvtal approximeras av andragraspolynom: T ( N) = a N + b N + c 2 δ max ( N) = admaxn + bdmaxn + cdmax För att täcka hela motorns arbetsområde har vi även en linjär modell av släpmomentet: T ( N) = a N + b drag drag drag För att modellera fuelcut gör vi en linjär lokal modell av motormappen för små δ och T = 0: δ ( N) = a N + b När begärt bränsleflöde understiger δ 5.1.3. Fullständig modell min δmin δmin min har vi alltså fuelcut. Varvtalet N är relaterat till hastigheten v genom hjulradien r w och utväxlingsförhållandena i växellåda i t och slutväxel i f enligt: ii f t N θm = θwii f t= v rw Om vi antar att endast den högsta växeln används kan vi då låta momentfunktionen T( PCN,, ) och bränsleflödet f ( PCN,, ) genom sambandet ovan bero av hastigheten v istället för varvtalet N. En tillståndsmodell för lastbilen med styrsignalerna gas P, koppling C och broms B kan då skrivas som: 14

2 v = θ1t( PCv,, ) + θ2kb b + θ3v + θα 4 () s + θθ 4 5 Det enda tillståndet är alltså hastigheten v [m/s]. Väglutningen a är beroende av sträckan. Det gör att en modell som är beroende av sträcka istället för tid är önskvärd. Vi uppnår det dg dg ds dg genom omskrivningen: g = = = v dt ds dt ds Det ger: dv 1 = ( θ 2 1T( PCv,, ) + θ2kb b + θ3v + θα 4 () s + θθ 4 5) ds v dmf 1 = f ( PCv,, ) ds v För att lösa tillståndsmodellen i dator diskretiserar vi den. Med enkel framåtapproximation av derivatan med steglängd fås: 2 vs ( + ) = v+ ( θ1t( PCv,, ) + θ2kb b + θ3v + θα 4 () s + θθ 4 5) v 5.1.4. Förenklad modell För att förenkla problemet minskar vi antalet styrsignaler genom att låta gas och broms bestämmas av en normal farthållare (med schwung), i de fall växeln är i. När motorn är frikopplad är förstås gas och broms noll. Vi använder den farthållare som vi tagit fram för simuleringsmodellen av lastbilen, beskriven ovan i kapitel 3. Denna modell innehåller således endast en binär styrsignal, kopplingen C. 5.2. Optimeringsproblemet För att bestämma hur våra styrsignaler ska användas löser vi ett optimeringsproblem. Problemet består i att genom att använda gas P, broms B och koppling C minimera den bränslemängd m f som förbrukas under hela sträckan, som är: dm f 1 mf = ds= f ( PCv,, ) ds, ds v där v beskrivs av tillståndsmodellen: dv 1 = + + + + ds v ( θ 2 1T( PCv,, ) θ2kb b θ3v θα 4 () s θθ 4 5) 5.2.1. Fullständigt Förestående problem kan se som en sekventiell beslutsprocess där vi var meter ska beslutas oss för den uppsättning styrsignaler som ska gälla nästkommande meter. 15

Vår tillståndsmodell innehåller endast ett tillstånd, hastigheten v. Varje hastighet tillhör tillståndsrummet V. Till varje tillstånd v associeras en beslutsmängd D(v). D(v) består av alla de möjliga värdena på styrsignalerna gas, koppling och broms (P,C,B). Valet vi står framför är att utifrån aktuellt tillstånd v välja ett beslut d från D(v) som är de styrsignaler som ska gälla nästa meter. Ett beslut d dm f i tillståndet v innebär en kostnad rvd (, ) = och en övergång ds till tillståndet tvd (, ) = vs ( + ). Vi låter index n indikera vilket steg som ett tillstånd eller beslut hör till. Vidare låter vi steg N+1 var det sista steget i den sekventiella beslutsprocessen. Formuleringen kan betraktas som ett acykliskt nätverk. Varje tillstånd v n representeras av en nod. Från varje nod dras en riktad i båge i för varje beslut d Dv ( ) till det nya tillståndet n n i i i vn+ 1 = tv ( n, dn) V. Till varje båge associeras en kostnad rv ( n, d n) I figur 7 åskådliggörs en del av detta nätverk. v n rv 1 ( n, dn) rv 2 ( n, dn) 1 v n + 1 2 v n + 1 rv 3 ( n, dn) 3 v n + 1 Figur 7: Optimeringsproblemet som ett nätverk. Målet med processen är förstås att minimera den sammanlagda kostnaden för besluten, det vill säga bränsleförbrukningen. Vi definierar därför funktionen φ ( ) som den minimala totalkostnaden som finns från steg n till N om tillståndet v n är det aktuella. v n Beslutet d n i tillståndet v n innebär kostnaden rv ( n, d n) och systemet övergår till tillståndet tv ( n, d n). φ (( tvn, dn)) är således den minsta förbrukningen från den positionen och framåt. Detta resonemang ger: 0 n= N + 1 φ( vn ) = min rv (, d ) + φ(( tv, d )) n< N + 1 dn Dn vn Vi kan beräkna φ för alla tillstånd i steg N och sedan för steg N-1 och så vidare tills vi når det första steget. När vi nått steg 1 vet vi { } n n n n ( ) 16

således φ ( v1 ), den billigaste vägen från steg 1 till N+1, och med det vilket beslut som är optimalt. (Denardo, 1982) För att använda denna lösningsmetod måste tillstånds- och beslutsrummen vara ändliga. Det löser vi genom att välja ett ändligt antal hastigheter som är möjliga för systemet att befinna sig i. Funktionen tv ( n, d n) kommer allmänt inte att hamna exakt i en av dessa möjliga hastigheter och vi har då valt att avrunda det till närmsta tillstånd. Kopplingen kan endast anta två värden {0,1} och ger således en ändlig mängd. Gas och broms kan däremot variera i ett kontinuerligt intervall [0,1]. Intervallet diskretiseras därför för att få en ändlig beslutsmängd D. 5.2.2. Förenklat Den förenklade modellen har endast en binär styrsignal, kopplingen C. Således blir beslutsmängden D(v) i detta fall endast de möjliga värdena på kopplingen, {0,1}. Detta rum är trivialt ändligt och vi behöver inte som ovan diskretisera styrsignalen. I övrigt är formuleringen och lösningen densamma som ovan. 5.3. Implementering För att begränsa tillståndsrummet använder vi en fast övre gräns v om 90 km/h och en variabel undre gräns. Den undre gränsen är max { } vmin = min vl, vpi där v L är en fast gräns om 84 km/h och v PI är den simulerade hastigheten om farthållaren bestämmer gas och broms under hela sträckan. Detta hastighetsintervall delas sedan upp med steg om ε = 0.1 km/h. Bågar som leder till tillstånd utanför intervallet tas inte med. Anledningen att använda en variabel undre gräns är för att försäkra oss om att det finns en väg till sista steget. Vi antar att växeln är konstant den högsta. Det innebär att i vissa avsnitt kan hastigheten sjunka under v L trots fullt gaspådrag eftersom vi inte växlar ned för att hålla referenshastigheten. Med en fast undre gräns skulle det kunna leda till att det i ett steg inte finns en båge som går till ett tillåtet tillstånd. Avståndet mellan stegen är meter och väljs lika stor som upplösningen i de höjddata vi har till vårt förfogande, det vill säga 25 meter. Den sträcka framför fordonet som inkluderas i problemet måste naturligtvis vara ändlig. Ett större antal steg ger en längre sträcka och mer information om vägen framöver men kräver då också fler beräkningar. En ytterligare aspekt är att prediktionsfelet, både för hastighet och bränsleförbrukning, blir större med längre horisont. 17

Referenshastigheten 85 km/h är ungefär 25 m/s, alltså m/s. Utifrån det valdes sampeltiden för algoritmen till en sekund. För varje sampelpunkt har vi alltså förflyttas oss ungefär ett sampel i höjddatat. 5.4. Komplexitet Vi studerar det uppkomna nätverket. Om m antal bågar går från varje N tillstånd, D(v) har m element, blir det med N steg maximalt m 1 tillstånd. Nu har vi däremot begränsat tillståndsrummet V, antalet vmax vmin möjliga tillstånd är T = + 1 ε där ε anger upplösningen. Då är det maximalt NTm antal tillstånd i nätverket. För att lösa problemet bygger vi först upp nätverket och beräknar sedan den billigaste vägen. Nätverket byggs upp genom att lösa tillståndsmodellen i N steg, det kommer kräva k elementära operationer per tillstånd. Konstanten k är ungefär 100 i vår implementering. Beräkningen sker genom att evaluera funktionen φ för alla tillstånd. Det kräver m additioner och en jämförande operation per tillstånd. Detta ger oss att antalet elementära operationer O för att lösa problemet är O= kntm+ ( m+ 1) NT = NT( mk ( + 1) + 1) Begränsning av tillståndsrummet leder till att antalet tillstånd blir linjärt istället för exponentiellt i antalet steg. Det är orsaken till att komplexiteten blir så låg. 18

6. Resultat Vi bestämmer först det antal prediktionssteg som ska användas i framförhållningen. Vidare utvärderas energiförbrukningarna för de tre strategierna. Strategin med bäst resultat detaljstuderas i en svacka. Avslutningsvis studeras hur stor besparing funktionen schwung ensamt bidrar till. 6.1. Antal prediktionssteg Ett större antal steg ger ett större problem men potential att, idealt, minska förbrukningen. Dock ökar prediktionsfelet med fler steg. Genom att simulera sträckan Linköping-Jönköping med strategierna där antalet steg varieras kommer vi fram till att steglängden N=30 är en bra avvägning för de två strategierna med framförhållning och för alla lastfall. I figur 8 visas för ett lastfall (20 ton) hur förbrukningen förändras med antalet steg för den förenklade framförhållningen. Bränsleförbrukningen är omräknad i procent relativt referensmodellen. Figur 8: Förbrukningsförändring som funktion av antalet steg. 19

6.2. Energiförbrukning I figur 9 visas bränsleförbrukningen för de olika strategierna, utvärderat på sträckan Linköping-Jönköping. Förbrukningarna är omräknade till besparingar relativt den som krävs för referensmodellen. Positiva värden innebär en besparing. Relativt referensmodell 2% 1% 0% -1% -2% -3% -4% 0.27% 0.69% 0.67% 0.68% -3.58% -0.14% -1.03% -0.28% 20 ton 40 ton 60 ton Enkel reglering 0.92% Enkel framförhållning Framförhållning Figur 9: Bränsleförbrukning för de tre strategierna. Den enkla regleringen ger små förändringar som både är positiva och negativa. Framförhållningen med den fullständiga modellen fungerar tyvärr inte särskilt bra. Den förenklade framförhållningen ger en jämn besparing och är sammantaget den strategi som ger bäst resultat. 20

6.3. Enkel framförhållning I figur 10 åskådliggörs beteendet hos den enkla framförhållningsstrategin i en svacka med lutningarna en och fyra procent. Att kopplingen har hög nivå (1) innebär att växeln är i, följaktligen betyder låg nivå (0) att motorn är frikopplad. 0-2 Höjd [m] -4-6 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1 Koppling 0.5 0 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 Nivå Hastighet [km/h] 1 gas FR 0.5 broms FR gas REF broms REF 0 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 90 85 80 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 FR v ref REF position [m] Figur 10: Enkel framförhållning i en svacka. FR betyder enkel framförhållning och REF står för referensmodellen. Om vi studerar signalnivåerna för gaspådraget för referensmodellen respektive framförhållningen, ser vi att förbrukningsbesparingen främst sker i två avsnitt; i första utförs- och uppförsbacken. Först kan vi konstatera att strategin inte bromsar något i den andra utförsbacken. Det är en följd av den lägre initialhastigheten till backen, hastigheten når då precis 90 km/h i slutet av backen. Det får till följd att vi har en högra hastighet när vi når den första uppförsbacken och behöver således gasa mindre. Vidare kan vi se att i den första utförsbacken minskar regulatorn gaspådraget långsamt. Farthållarens integratordel reduceras långsamt eftersom den svaga lutningen ger små hastighetsförändringar. Framförhållningen däremot ger direkt tomgångsförbrukning eftersom den väljer att frikoppla. 21

6.4. Schwung Farthållaren i vår fordonsmodell tillåter schwung. Vi vill dock se hur stor betydelse funktionen har för förbrukningen. Simuleringar med fordonsmodellen på sträckan Linköping till Jönköping gav en besparing om 0.75 %. Det är ungefär lika stor besparing som uppnås med den mest gynnsamma strategin. 22

7. Slutsatser De sammantaget bästa resultaten uppnås med den förenklade framförhållningen, det vill säga då vi endast kan välja att frikoppla. Idealt torde framförhållning med möjlighet att även styra gas och broms ge bättre resultat eftersom problemet har fler frihetsgrader. Däremot ger denna strategi ofta högre förbrukningar än med normal farthållning. En av anledningarna till att det blir så dåligt när vi även styr gas och broms, kan vara att noggrannheten i vår modell kräver återkoppling av hastigheten snabbare än en sekund. För att få bra prestanda med farthållaren krävdes ju ungefär tio gånger snabbare återkoppling. Nätverket baseras på höjddata med en upplösning om meter och det krävs ungefär en sekund för att fordonet ska förflytta sig den sträckan. Alltså är det onödigt beräkningskrävande att skapa nätverket oftare. Trots det kan det alltså krävas en snabbare återkoppling av hastigheten. En annan anledning kan vara att modellfelen får ett större genomslag då vi även styr gas och broms. Enligt vår uppskattning av algoritmkomplexiteten är den enkla varianten av framförhållningen ungefär en faktor tio mindre beräkningskrävande än den fullständiga. Detta tillsammans med resultaten gör att den förenklade framförhållningen är att föredra. Den enkla regleringen har låg komplexitet men kan inte garantera att bränsleförbrukningen minskar, eftersom strategin inte reglerar mot förbrukningen. De gränsvinklar som härleddes för den enkla strategin bildar ett snävt intervall för de väglutningar där vi väljer att frikoppla. Det är tydligen inte så stor skillnad på att, med vår modell, accelerera med eller utan motorbroms. Eftersom motorbroms inte kräver bränsle, vilket frikoppling gör, är det en liten potential i att använda frikoppling för att öka hastigheten. Det avgörande verkar vara att använda backar för acceleration och att inte bromsa i onödan. Med andra ord, ha rätt hastighet vid rätt tillfälle. Trots det får vi med den enkla framförhållningen en icke försumbar besparing. Vi har utvärderat våra strategier mot en fordonsmodell med en farthållare med schwung. Från resonemanget i föregående stycke borde denna funktion ensamt minska förbrukningen relativt mycket. Simuleringar gav att denna besparing var i samma storleksordning som vår bästa strategi. Med den strategin sammanräknat med schwung kan vi, enligt våra simuleringar på sträckan Linköping Jönköping, en besparing om 1,5 % i bränsleförbrukning. Antal prediktionssteg är en viktig parameter i problemformuleringen. Det är självklart att vi med fler steg får mer information vilket torde 23

ge förutsättning för bättre lösningar. Förutom att kräva fler beräkningar ger också fler steg att prediktionsfelet blir större. Med simuleringar kom vi fram till att ungefär 30 steg (om 25 meter) är en lämplig avvägning. 24

8. Framtida arbete Med framförhållning löser vi problemet en gång per sekund. Det innebär att vi simulerar fram nätverket och söker optimal lösning. Efter en sekund har initialhastigheten förändrats något och fordonet har ungefär förflyttat sig ett sampel i vägprofildatat. Större delen av informationen som ligger till grund för nätverket, profildatat, har således inte ändrat sig mer än att ett nytt sampel med profilinformation tillkommit. Detta kan utnyttjas för att slippa generera hela nätverket varje sampel och genom det minska beräkningsinsatsen. Om styrsystemet har möjlighet att frikoppla motorn bör det finnas en begränsning så att omslag inte sker för ofta. Vår strategi har ingen sådan begränsning så kopplingssignalen kan teoretiskt växla mellan varje sampel, det vill säga varje sekund. En enkel avvärjande metod för detta är att som indata till problemet även ha aktuell kopplingssignal och en räknare som är antalet sampel sedan senast omslag. Sätt en gräns för det minimala antal sampel som måste inträffa innan kopplingssignalen får växla värde. Då kan räknaren användas för att avgöra hur många steg i problemlösningen som signalen ska tvingas till det aktuella värdet. Vidare, under uppbyggnaden av nätverket kan hänsyn tas till denna gräns. Det skulle reducera nätverkets storlek. Istället för att räkna ut optimal styrstrategi ombord på lastbilen skulle beräkningarna av styrsignalerna kunna göras offline. Då finns mer datorkraft tillgänglig och inget krav på att systemet ska arbeta i realtid. Däremot är det förstås svårt att optimera långa sträckor i förväg på grund av störningar och modellfel. En idé är att beräkna optimal styrning på ett antal typiska vägavsnitt, till exempel de svackor vi använt, och med olika initialhastigheter. Under körning kan vägen framför jämföras med dessa avsnitt. Om ett avsnitt inte avviker alltför mycket kan den förberäknade styrstrategin appliceras. 25

Referenser U. Kiencke, L. Nielsen, 2000, Automotive Control Systems. Berlin. Springer Verlag. L. Eriksson, L. Nielsen, 2003, Course material Vehicular Systems. Linköping. E. Denardo, 1982, Dynamic Programming. N.J. USA. Prentice-Hall. T. Sandberg, 2001, Heavy Truck Modeling for Fuel Consumption. LiU-TEK-LIC- 2001:61. Linköping T. Glad, L. Ljung, 2003, Reglerteori. Lund. Studentlitteratur. 26