TNA004 Analys II, 6 hp för ED, KTS och MT Kursinformation VT-017 Sixten Nilsson, sixten.nilsson@liu.se 1. Mål och innehåll Se studiehandboken. Kurslitteratur Forsling-Neymark: Matematisk analys, en variabel, andra upplagan, Kap 7.1 7.4 (dock ej avsnitt som behandlar Pappos Guldins regel på sidorna 35 38, 33-333), Kap 8 10 utom 9.7. Problem för envar, MaI 013 Övningssamling (samma som i TNA003 Analys I). Anm: Nedan under punkt 3. finns en tabell som anger vilka definitioner och satser inom kursens ram som du skall kunna redogöra för. 3. Examination Kursen examineras genom en skriftlig tentamen, som består av sju (7) uppgifter, där varje uppgift kan ge maximalt 6 poäng. Betyg ges enligt följande tabell: Betyg Poäng på tentamen 5 36 4 8 35 3 0 7 U 0 19 Ytterligare anvisningar om kursens examination kommer att lämnas i samband med kursens gång. 3.1 Anvisningar inför skriftlig tentamen Inga hjälpmedel är tillåtna, varken räknare eller formelsamling Uppgifter på tentamen bedöms genom att varje uppgift poängsätts med 0 6 poäng. Om inte annat framgår av uppgiftstexten, skall fullständig lösning lämnas. Med detta menas att följande moment skall i lämplig omfattning ingå i lösningen: 1. Lösningen skall ha förklarande text med förklaringar på vad som görs och varför det får göras. En hänvisning till teorin kan här vara lämpligt. Även en figur kan vara ett bra stöd i detta arbete.. Lösningen skall ha en struktur som är lätt att följa. 3. Lösningen skall innehålla en kalkyldel där det går att följa hur resultaten har uppkommit. 4. Lösningen skall ha ett tydligt angivet svar/resultat som är kopplat till den fråga som är ställd. 5. Svaret/resultatet skall där så är lämpligt utvärderas, dvs. prövningar skall genomföras som säkrar resultatet Poängsättningen vid rättningen tar hänsyn till hur väl samtliga delar ovan är genomförda.
3. Definitioner och satser Följande definitioner, satser och samband skall du kunna redogöra för vid examinationen på denna kurs. Ambitionsnivån för resp. definition/sats/samband är markerad nedan. För markering med (*) resp. (**) se nedan efter tabellen. Numreringen följer kurslitteraturen. Definition/Sats nr Benämning Tillämp- Formulerintion Illustra- Bevis ning da ( f ( g( ) Areaelement för area av plant område mellan funktionskurvor (*) 1 da h d Areaelement för area av plant område på polär form. (*) 1 f ( dt x ( t) y ( t) dy dt dt dt h ( ) h( ) d dv f ( dv R( r( dv x f ( dv r( h( da f ( f ( 1 f ( och motsvarande för kurvor skrivna på annan form Lösningsprincipen för linjär DE av ordn. 1 med hjälp av integrerande faktor Lösningsprincipen för separabla differentialekvationer formen y f ( parameterform. polär form cirkulära skivor (här avses rotation kring x-axeln) (*) cirkulära skivor med hål (*) (här avses rotation kring x- axeln) cylindriska skal (här avses (*) rotation kring y-axeln) cylindriska skal (här avses (*) rotation kring godtycklig axel parallell med y-axeln) Areaelement (ytelement) för rotationsyta (här avses rotation kring x-axeln) (*)
Sats 9.1 Allmänna lösningen till : ordningens linjära ekvation med konstanta koefficienter Def 9.1 Karakteristisk ekvation Sats 9. Allmän lösning till homogen ekvation (även fallet då K.E: har komplexa rötter) Ansatser för partikulärlösningar Sats 9.4 Karakteristiska ekvationen Ansatser för partikulärlösning för högre ordn. homogena linjära diff.ekv Integralekvationer Eulerekvationer Def. 8.1 Maclaurinpolynom Def 8. Stort ordo Sats 8.1 Maclaurinutveckling Sats 8. Taylorutveckling Sats 8.3 Elementära Sats 8.4 Entydighetssats för Maclaurinutveckling Sats 8.5 Restterm i Lagranges form (**) Sats 10.11 Jämförelsekriteriet för integraler Sats 10.1 Jämförelseintegraler Sats 10.13 Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform Def. 10.1 Sats 10.1 Divergenstestet Sats 10. Sats 10.3 Geometriska serier Sats 10.4 Integralkriteriet (***) Sats 10.5 Jämförelseserier Sats 10.6 Jämförelsekriteriet Sats 10.7 Jämförelsekriteriet på gränsvärdesform Sats 10.8 Absolutkonvergens Sats 10.9 Rot- och kvotkriteriet Sats 10.10 Leibniz kriterium Sats 10.15 Sats 10.16 Derivering och integrering av potensserie OBS! (*) i kolumnen för bevis innebär att du skall kunna härleda sambandet via de geometrier som används i kurslitteraturen och/eller föreläsningarna. (**): Du skall kunna beviset om utvecklingen är av ordning 3. (***): Du skall kunna den del av beviset som visar att om integralen är konvergent så är serien konvergent.
4. Organisation Kursen ges under VT 017, och avslutas med en individuell skriftlig tentamen (017-06-0). Omfattningen är 6 hp, som motsvarar ca 160 arbetstimmar, och av dessa är ca 70 timmar lärarledda. Du förväntas därmed arbeta ännu fler timmar (90), individuellt eller tillsammans i grupp. Undervisningen och stödet till kursdeltagarna sker i form av föreläsningar och lektioner. Tidigare erfarenheter visar en stark koppling mellan deltagande i undervisningsmomenten och resultat på tentamen. Vi vill därför uppmana dig till att delta till 100 % i all undervisning. 4.1 Föreläsningar Föreläsningarna utgör ett komplement till kurslitteraturen. Här tas delar av teorin upp genom att nya begrepp och samband introduceras och illustreras/exemplifieras. För att förbättra din behållning av föreläsningen skall du före varje föreläsning bearbeta det som anges i kolumnen Förberedelser i undervisningsplanenen nedan. 4. Lektioner Här sker en sammanfattning/bearbetning av den teori som ingår i kursen företrädesvis via aktiva studentinsatser i form av litteraturstudier, gruppdiskussioner, gruppredovisningar, övningsräkning etc. För att förbättra din behållning av lektionerna skall du före respektive lektion bearbeta de föreslagna förberedelseuppgifterna i undervisningsplanen nedan. 4.3 Preliminär undervisningsplan B: Forsling-Neymark, P: Problem för envar (Juni 013), K: Kompletterande uppgifter Lektion 4 (se kurshemsidan) Innehåll Förberedelser Här och hemma (i rekommenderad ordningsföljd) Fö 1 Kap 7.1-7. Plan area, Kurvlängd Läs sid. 311-313, 317-318 Le 1 B7: 1 B7.1, B7.4, B7.3, B7.5, B7.8, B7.9 Fö Kap 7.3 7.5 Volym, Rotationsarea Läs sid 31-33, 330 Le B7: 1 B7.1, B7.17, B7.14, B7.16, B7.19 Le 3 B7.4, B7.7, B7.8, B7.5, B7.6 Fö 3 Kap 9.1 och Föreläsnings- Anteckningar Inledning differentialekvationer, modellering Läs sid 379-380 Le 4 B9: 1 B9.1, B9., B9.3, K1, K, K3, K6, K8, K9, K10, K4, K5, P8.1 Uppgifterna K1-K10 finns på kurshemsidan. Fö 4 Kap 9. Linjära och separabla av ordning 1 Avsnittet Linjära diffekv sid. 38-383. Separabla diffekv sid 387-388 Le 5 B9: 5,6 B9.5, B9.6, B9.8a, B9.9, P8.4abdf, P8.7, P8.8, B9.8b, B9.7, P8. Le 6 B9: 13 B9.13, P8.14, P8.15ab, P8.17, P8.16, P8.15cd, P8.19 Extra B7., B7.43, P6.17ab, B7.45, P6.19 B7.15, P6.1 B7.37 K7 P8.6, P8.9, P8.1 P8.10, P8.1 (första delen) Fö 5 Kap 9.3 Andra ordningens linjära differentialekvationer Läs sid. 394-395 om superposition och homogenitet och Sats 9.1 Le 7 B9: 0abc B9.0, B9.1, B9.3abc, B9.7, B9.8 B9.
Le 8 B9: 5 B9.5, P8.34, P8.37, B9.4, B9.6, B9.30c Fö 6 Kap 9.4 9.6 Linjära DE. av högre ordning, Sats 9.4 integralekvationer Le 9 B9.36, B9.38bc, B9.40, P8.44, P8.48 P8. 40 B9. 44 Fö 7 Kap 8.1 8.3 Taylorutvecklingar, Def. 8.1 Le 10 B8: P7.1, B8., P7. abc, B8.3, B8.6, P7.de B8.7 Fö 8 Kap 8.4 Tillämpningar av Ex 8. Le 11 B8: 9 B8.9, P7.3, P7.4, P7.5ab P7. 5c, B8.5de Le 1 B8.14, B8.15, B8.5abc, P7.6 P7.11ab Fö 9 Kap 8.5 Utveckling med restterm i Lagranges form Sats 8.5, Ex 8.7 Le 13 B8: 1 B8.1, P7.7ab, B8.13, B8.16, P7.10b P7.8, P7.10a, P7.7c Le 14 B8: 17 B8.17, P7.17, P7.18abc, B8.8, B8.9, P7.18def, P7.19 Fö 10 Kap10. Generaliserade integraler Repetera Kap. 6.7 Le 15 B10: 16 B10:16, 17abcde, 18a, 19ac B10:17fg, 18b, 19bd Fö 11 Kap 10.1 inledning Numeriska serier, positiva serier Le 16 Läs sid. 435-436 B10: 1,, 3cdef, 4 B10: 3ab, 6, 7 Fö 1 Kap 10.1 slutet Absolutkonvergens, Alternerande serier Sats 10.8 med bevis Le 17 B10: 8ab B10: 8ab, 9abcdefh, 10a, 11, B10: 9g, 10b, 1c 1ab, 13, 14 Le 18 Repetera Som lektion 17 och/eller repetition Fö 13 Kap 10.3 Potensserier Läs sid. 461 + Ex 10.17, Ex 10.18 Le 19 B10: 0 B10: 0, 1abcefg, B10: 1dh Le 0 B10: 3, 39, 41ab B10: 4, 43 Fö 14 Kap 10.3 forts Potensserielösning till ODE, Maclaurinserier Le 1 B10: B10:, 4, 5a, 7b, 44 B10: 3, 5b 5. Lärare på kursen Föreläsare och kursansvarig: Sixten Nilsson, sixten.nilsson@liu.se ED1 Ulf Sannemo ulf.sannemo@liu.se KTS1 Zhuangwei Liu zhuangwei.liu@liu.se MT1A Sixten Nilsson sixten.nilsson@liu.se MT1B Zhuangwei Liu zhuangwei.liu@liu.se 6. Matematek Öppettider etc. se http://www.itn.liu.se/student/matematek?l=sv 7. Kurshemsida http://weber.itn.liu.se/~sixni/ (där länk till TNA004 finns). På kurshemsidan kommer kontinuerligt olika typer av materiel att läggas ut, t.ex. information, lektionsupplägg, lösningstips/lösningar till vissa uppgifter, repetitionsmaterial, etc.