= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1

Relevanta dokument
IV, SF1636(5B1210,5B1230).

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

= = i K = 0, K =

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.

dt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

1 dy. vilken kan skrivas (y + 3)(y 3) dx =1. Partialbråksuppdelning ger y y 3

1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz.

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),

ÚÚ dxdy = ( 4 - x 2 - y 2 È Î

y(0) = e + C e 1 = 1

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

= x 2 - x, x (0) = x dt. dx dt = 1. x 0 - (x 0-1)e t och för t 0 = ln x 0

A dt = 5 2 da dt + A 100 =

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

dy dx = ex 2y 2x e y.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

= a - bp(t), dp dt. = ap - bp 2. = 5000P - P 2. = 5000P dt

Partiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

SF1635, Signaler och system I

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

y = sin 2 (x y + 1) på formen µ(x, y) = (xy) k, där k Z. Bestäm den lösning till ekvationen som uppfyler begynnelsevillkoret y(1) = 1.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1)

Veckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

Kurs 5B1200, Sammanfattningar av lektioner för M2 läsåret 1998/99. Björn Gustafsson

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x

k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =

Högre ordnings ekvationer och system av 1:a ordningen

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål

+, C = e4. y = 3 4 e4 e -2 x +

KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:...

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

1 x dx Eftersom integrationskonstanten i (3) är irrelevant, kan vi använda oss av 1/x som integrerande faktor. Låt oss beräkna

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Skriv väl, motivera och förklara vad du gör. Betygsgränser: p. ger betyget 3, p. ger betyget 4 och 40 p. eller mer ger betyget

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

x + 9y Skissa sedan för t 0 de två lösningskurvor som börjar i punkterna med koordinaterna

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

Crash Course Envarre2- Differentialekvationer

Lineära system av differentialekvationer

Facit/lösningsförslag

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg)

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).

Transkript:

Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa Svaren skall ges på reell form Fordringar: 3: 5-9p; 4: 0-4p; 5: 5p-, inklusive bonus Uppgifterna:,, 5 och 6 ger 4 poäng, 3, 7 och 8 ger 3 poäng, 4 ger 5 poäng Bestäm den lösning till differentialekvationen x y + y + xy = 0 som uppfyller villkoret y() = Bestäm även lösningens existensintervall Lösning: Omforma den givna differentialekvationen(bernoulli-typ) Multiplicera med y : xy y + y + x = 0 Sätt z = y, z = y y : x( z ) + z + x = 0, x z z = x, z z x Multiplicera med en integrerande faktor: e dx x = linjär av första ordningen =, fallet x > 0 behandlas pga villkoret x x z z x = d x, z dx x = z y x Integrera: = ln x + C, x x = ln x + C Villkoret y() = ger C = Den sökta lösningen blir: y = x(ln x +) med x(ln x +) 0, x > 0 x e Vi söker även lösningens existensintervall Enligt ovan skall gälla att x > 0 och x e Detta innebär att det finns två delintervall varav ett är det sökta Villkoret innebär att vi söker det intervall som innehåller x = vilket ges av x:x > e = e SVAR: y = x(ln x +) och existensintervallet är x:x > e Betrakta det autonoma systemet X = AX, där A = degenererad nod Avgör om noden är stabil eller instabil Lösning: Vi bestämmer matrsens egenvärden Dessa kan erhållas ur ekvationen 0 = det(a I) = 4 4 Bestäm så att systemet får en = ( )( ) + 4 Egenvärdena kan även bestämmas med hjälp av spåret = + och determinanten = + 4 Egenvärdena är: = ± 4 + ± ( +) 4( + 4), = Degenererad nod inträffar då egenvärdena är sammanfallande, dvs då ( +) 4( + 4) = 0 ( ) =6, =± 4 För = 5 är = 3 > 0; instabil degenererad nod För = 3 är = <0; stabil degenererad nod SVAR: Instabil degenererad nod för = 5 och stabil degenererad nod för = 3 3 Bestäm y(t) för t > 0 om y (t ) t u y (t u)du = t, y (0) = Lösning: Laplacetransformera: sy (s) y(0) s Y (s) = s 0

s + Sätt in villkoret, multiplicera med s och lös ut Y (s): Y (s) = s s 3 = s + s + s + = + 3 3 s + + 3 4 Återtransformera: y(t) = e t (cos t 3 + 3 sin t 3 ) SVAR: Den sökta lösningen är y(t) = e t (cos t 3 + 3 sin t 3 ) 4 Det har ösregnat under en längre tid Vatten har helt fyllt ett 00 m långt och m brett dike Dikets vertikala genomskärningsprofil har V-form, i form av en halv kvadrat, delad längs en horisontell diagonal, m lång Regnet har upphört vid tidpunkten t = 0 a) Antag att diket nedtill är helt tät så att vattnet endast kan försvinna genom avdunstning uppåt Låt V (t) vara vattenvolymen vid tiden t > 0, med t mätt i dagar Visa att V (t) uppfyller en differentialekvation på formen dv dt = k den fria vattenytans area V, k =positiv konstant, om avdunstningshastigheten(i m3 /dag) är proportionell mot b) Bestäm V (t) om V (0) =00 m 3 (=helt fyllt dike) och V () = 99 m 3 c) När är diket torrlagt? ( 99 9,95 ) Lösning: a) Låt h vara vattenståndet i det triangulära diket Då är tvärsnittsytans area A = h = h Dikets volym är: V(t) = 00 h =00h, h = V 0 Avdunstningshastigheten dv dt = k 00 h = k 00 b) dv dt Den fria vattenytans area är 00 h V 0 = k V VSV = k V är separabel Den triviala lösningen saknar intresse För att få icke-triviala lösningar omformas differentialekvationen till: Integration ger: V = kt + C Villkoret V(0) =00 ger C = 0 Villkoret och C = 0 ger 99 = k +0, k = 0 99 V dv dt = k { } Insättning av konstanterna ger: V = (0 99)t + 0, V = 0 (0 99)t Diket är tomt då V = 0 vilket inträffar för t = SVAR: a) Se ovan b) V = 0 (0 99)t 0 + 99 = 00 0 99 00 99 { } c) Diket torrlagt efter 99,5 dagar = 0(0 + 99) 99,5 5 Definiera begreppet fundamentalmatris Bestäm en fundamentalmatris hörande till systemet 0 X = 3 X + et Bestäm även en partikulärlösning Lösning: En fundamentalmatris är en kvadratisk matris där kolonnerna består av linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet av ordinära differentialekvationer X = AX Vi bestämmer en fundamentalmatris till systemet X = 0 3 X

Börja med matrisens egenvärden: 0 = det(a I) = = 3 + = ( )( ) 3 Egenvärdena är = och = Bestäm tillhörande egenvektorer Dessa erhålles ur ekvationssystemet (A I)K = 0 Insättning av = ger: 3 K = 0 där K = r, r är ett godtyckligt reellt tal Insättning av = ger: 3 K = 0 där K = r, r är ett godtyckligt reellt tal Två linjärt oberoende lösningar är X = et och X = et, ty det(x,x ) = et e t = e 3t e t e t En fundamentalmatris är Φ(t) = et e t e t e t 0 Nu över till en partikulärlösning till det inhomogena systemet X = 3 X + et Här utyttjar vi att allmänna lösningen till det homogena systemet kan skrivas X h =Φ(t)C, C är en konstant vektor Ansatsen X p =Φ(t)U(t) ger att X p =Φ(t) Φ (t) F(t)dt där F(t) = e t e t Beräkna först fundamnetalmatrisens imvers: Φ (t) = e 3t = e t e t e t e t Φ (t) F(t)dt = e t dt = e t e t e t dt = t 3e t 3e t Vi har då erhållit en partikulärlösning: X p = et e t t = 4tet + 3e t e t e t 3e t te t + 3e t SVAR: Fundamentalmatrisens definition se ovan En fundamentalmatris är Φ(t) = et e t e t e t En partikulärlösning är X p = 4te t + 3e t te t + 3e t et e t e t, e t e t 0 6 Betrakta randvärdesproblemet y + y = 0, y(0) = 0, y ( / ) = 0 Undersök om det är möjligt att bestämma värden på så att problemet får a) triviala lösningar b) icke-triviala lösningar Lösning: Vi undersöker lösningarna till den homogena differentialekvationen för alla reella värden på > 0, =, R y + y = 0 har lösningen y = A cos x + B sin x 0 = y(0) = A 0 = A Villkoren ger: 0 = y( ) = A cos + B sin 0 = B sin Icke-trivial lösning då Trivial lösning då 4n = 0 = n, = n dvs = (n) = 4n där n Z

y = 0 har lösningen y = A x + B 0 = y(0) = B Villkoren ger: 0 = y( ) = A + B Endast den triviala lösningen erhålles för = 0 < 0, =, R y y = 0 har lösningen y = A 3 e x + B 3 e x 0 = y(0) = A 3 + B 3 Villkoren ger: 0 = y( ) = A 3 e + B 3 e Endast den triviala lösningen erhålles för < 0 0 = B 0 = A B 3 = A 3 0 = A 3 (e e ) SVAR: a) Triviala lösningar erhålles för < 0, = 0 och 4n där n Z b) Icke-triviala lösningar erhålles för = 4n där n Z (y = B sin nx ) 7 För den -periodiska funktionen f gäller att: f(t) = t, < t < Bestäm f :s (-) n+ fourierserie Använd sedan den erhållna serien för att beräkna summorna n och n= n= n Lösning: Enligt BETA 33 sid 30(4:e upplagan) har g(t) = t, < t <, g(t + ) = g(t) fourierserien : 3 + 4 ( ) n n cos n t = n = 3 + 4 ( )n n cosnt n= Den sökta fourierserien blir då: ( 3 + 4 ( )n cos nt) n= n f tilldelas fourierserien: f(t) ~ 3 + 4 ( )n+ n cosnt n = (OBS! cosinusserie pga jämn funktion) För beräkning av de sökta seriernas summa insättes lämpliga värden Vi väljer t = 0 respektive t = f är kontinuerlig och f är styckvis kontinuerlig Fouriersrien konvergerar mot funktionsvärde i dessa punkter För t = 0 erhålles: = 3 + 4 ( ) n+ ( ) n+ n, = n= n n= För t = erhålles: 0 = 3 + 4 ( ) n+ cosn n, = n= n n= 6 SVAR: f tilldelas fourierserien: f(t) ~ 3 + 4 ( )n+ n cosnt n = De sökta seriesummorna är: = n n= ( ) n+ 6 respektive = n n= u 8 Bestäm den lösning till x = u + u, u(x,0) = 6e 3x som är begränsad då x > 0 och t > 0 t Lösning: Vi använder variabelseparationsmetoden Sätt: u(x,t) = X(x)T(t) Insättning i den partiella differentialekvationen ger: X (x )T(t) = X (x) T (t) + X (x)t(t)

Utför division med X(x)T(t) : X (x ) X (x ) = T (t) T(t) + = separationskonstant = Observera att vänstra ledet endast beror av x och högra ledet endast beror av t Den partiella differentialekvationen övergår i ett okopplat system av ordinära differentialekvationer X (x ) X (x) = 0 X (x) = Ae x T (t) T(t) = 0 T(t) = Be t Insättning i separationsansatsen ger: u(x,t) = Ae x Be Det återstår att bestämma C och Villkoret ger: 6e 3x = u(x,0) = Ce x, t = Ce x + t C = 6 3x t u(x,t) = 6e = 3 Den erhållna lösningen är begränsad f då x > 0 och t > 0 SVAR: Den sökta lösningen är u(x,t) = 6e 3x t