ÖVNINGSUPPGIFTER GRUNDLÄGGANDE STRÖMNINGSLÄRA

Institutionen för ENERGIVETENSKAPER ÖVNINGSUPPGIFTER GRUNDLÄGGANDE STRÖMNINGSLÄRA av Daniel Eriksson och Christoffer Norberg maj 01

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 1 1.1 Om U är en hastighet, en längd, kinematisk viskositet, g tyngdacceleration och vinkelfrekvens, vilka av följande kombinationer är då dimensionslösa? (a) / U, (b) U /, (c) g /U, (d) U /( g ), (e) g /, (f) / U, (g) /, (h) / U 1. Bestäm Reynolds tal vid strömning av (a) vatten samt (b) luft i ett rakt rör med innerdiametern 4 1 mm då volymflödet är V 5.0 10 m /s. Temperaturen är 0 C och trycket 101. kpa (1 atm). 1. En Newtonsk fluid med viskositeten 4 10 Pas strömmar längs en plan vägg. Hastigheten i gränskiktet kan skrivas U u U 4 y 1 y. y u(y) Figur 1. Bestäm väggskjuvspänningen w då friströmshastigheten U m/s och gränskiktets tjocklek mm. 1.4 En vattenrörledning med diametern 0.0 m reduceras först till 0.15 m för att sedan få diametern 0.5 m. Medelhastigheten i 0.15 m:s sektionen är 4.5 m/s. Beräkna medelhastigheten i de andra sektionerna. d 1 = 0.0 m V = 4.5 m/s d = 0.15 m d = 0.5 m Figur 1.4 1.5 I en pipeline strömmar olja ( 890 kg/m ) med volymflödet 1500 m /h. Innerdiametern är 610 mm. Beräkna massflöde och medelhastighet. 1.6 Ett block med vikten 10 kg glider nedför ett glatt lutande plan. Lutningen gentemot horisontalplanet är 0, se figur. Bestäm blockets slutliga hastighet om spalten mellan blocket och planet består av motorolja av typen SAE 10W-0 ( 0 C) med spalttjockleken 0.10 mm. 1

Förutsätt att hastighetsvariationen i spalten är linjär och att blockets area i kontakt med oljan är 0.0 m. Försumma randeffekter. Figur 1.6 KAPITEL p o.1 Ett U-rör med två olika vätskor, vatten vid 15 C samt en okänd vätska, är öppet mot omgivningen upptill. Vätskepelarnas höjd ges i figuren till höger. Bestäm den okända fluidens densitet. 55 mm 14 mm vatten okänd fluid mm 49 mm Figur.1. En cylinder med en kolv ( d 00 mm) är ansluten till en manometer med lutande stigrör; lutning 0. Manometervätskans densitet är 890 kg/m. En vikt med massan m placeras på kolven varvid vätskan i manometern stiger från nivå (1) till (); lodrät höjdskillnad 100 mm, se figur. Beräkna viktens massa. Cylinderns diameter är mycket större än manometer rörets diameter, varför kolvens nivå kan antas vara konstant. m kolv cylinder 100mm 0 o (1) () manometer Figur.. Ett nedtill öppet, luftfyllt, kärl med diametern d. 0 m, höjden L = 1.0 m och massan 10 kg placeras i en vattenbassäng och pressas ned till ett djup H = 10 m. Beräkna den kraft som behövs för att hålla kärlet på plats då volymen av kärlets material antas vara försumbar. Hela den ursprungliga luftmängden antas vara kvar i kärlet och temperaturen kan antas vara konstant 8 K och lufttrycket 101 kpa. p o = 101 kpa L d p h H Figur.

KAPITEL.1 För den friktionsfria strömningen i ett 45 -hörn enligt figur varierar hastigheten i x-led enligt, u K( x xy ), där K är en konstant. Bestäm ett uttryck för hastigheten v i y-led. Strömningen förutsätts vara stationär, tvådimensionell och inkompressibel. y 45 o Figur.1 x. För ett inkompressibelt strömningsfält är u C( x y ), v Cxy, w 0, där C är en konstant. Visa att kontinuitetsekvationen är uppfylld samt bestäm accelerationsvektorns komposant i x-led, a x.. En axel med ytterdiametern 18 mm roterar med 0 varv per sekund inuti ett stillastående axellager med längden 60 mm. En 0.0 mm tunn oljefilm fyller det koncentriska utrymmet mellan axel och lager. Momentet som krävs för denna rotation uppmäts till 0.006 Nm. Uppskatta oljans viskositet. h Figur. Eftersom spalten är liten i förhållande till radien kan strömningen approximeras som strömning mellan två parallella plan. Hastigheten varierar då linjärt i mellanrummet enligt u Uy / h, jfr. Couette-strömning (kap...1)..4 Smältvatten med temperaturen 0 C bildar en tunn film som rinner ner längs en lodrät vägg. Över ett visst område kan strömningen betraktas som laminär och fullt utbildad med en (konstant) filmtjocklek av 0.9 mm. Bestäm vattenflödet per breddenhet. I randytan mot luft kan friktionen försummas. Randeffekter kan försummas. Ledning: Hastigheten i filmen är riktad längs väggen och beror enbart av avståndet till densamma.

1.8 m KAPITEL 4 (För uppgifterna i detta kapitel förutsätts friktionsfri och inkompressibel strömning) 4.1 Vid strömning förbi en lång vertikal cylinder är i det ostörda området uppströms cylindern strömlinjerna jämnt fördelade med ett inbördes avstånd av 50 mm och med en strömningshastighet av 0 m/s. Nära cylindern närmar sig strömlinjerna varandra och avståndet mellan närliggande linjer i en viss sektion är 5, 0 och 5 mm, se figur. Beräkna de här uppträdande hastigheterna. 50 mm 5 mm 0 mm 5 mm U = 0 m/s Figur 4.1 4. En kanal genom vilken vattenmängden 170 kg/s strömmar har vid en sektion A diametern 150 mm och vid sektion B 00 mm. Vattentemperaturen är 5.0 o C. Vad är trycket vid sektion B. då denna ligger 1.8 m högre än A? Vid A är övertrycket 68.7 kpa. Atmosfärstrycket är 101. kpa. B d=0.0 m h B d= 0.15 m A h A Figur 4. 4. I en horisontell ledning strömmar vatten från ett rör med diametern 100 mm in i ett annat med diametern 160 mm. Mellan dessa placeras en venturimeter med 70 mm:s diameter i trängsta sektionen. En differentialmanometer ansluten mellan den trängsta sektionen och 100 mm:s röret visar en höjddifferens av 88 mmhg ( i venturimeterns minsta sektion samt massflödet. Hg 1.6 10 kg/m ). Beräkna medelhastigheten V 1 88 mmhg Figur 4. 4

4.4 En cylinder är placerad i en luftström med symmetriaxeln vinkelrätt mot strömningsriktningen. Luftens hastighet är 7 m/s, temperatur 0 C och statiskt tryck 100 kpa. Beräkna: (a) stagnationstrycket (b) trycket vid ytan i en punkt A 90 mot strömningsriktningen där hastigheten är 54 m/s. A U = 7 m/s T = 0 o C p o Figur 4.4 4.5 En ubåt färdas i saltvatten ( 100 kg/m ) på ett djup av 17 m och med hastigheten 6. m/s. Beräkna det tryck som uppstår vid fören, i stagnationspunkten. Lufttrycket vid ytan är 100 kpa. 4.6 Ett Prandtlrör placeras i mitten av en rörledning för bensen (C 6 H 6 ) med diametern 0.050 m. Den anslutna U-rörsmanometern visar ett utslag av 76 mm Hg. Beräkna hastigheten i mitten av röret. Är strömningen laminär? ( 880 kg/m, 0.65 10 Pas och Hg 1.6 10 kg/m ) H C 6 6 C H 6 6 p 0 p h p p 0 till manometer Figur 4.6 KAPITEL 5 5.1 En horisontell rörböj med 60 omlänkning i en vattenledning reducerar inre diametern från 80 mm till 50 mm. Trycket i 80 mm-röret är 500 kpa och massflödet 15 kg/s. Beräkna till storlek och riktning reaktionskraften på rörkröken. Inverkan av viskösa krafter och gravitation kan försummas. 60 o Figur 5.1 5. En vattenstråle med diametern 50 mm träffar tangentiellt en krökt yta och länkas om 90 i horisontalplanet. Bestäm till storlek och riktning den resulterande kraft som verkar på ytan då strålens hastighet är 16 m/s. Strömningen kan betraktas som friktionsfri. Figur 5. V = 16 m/s 5

5. I en horisontell vattenstråle placeras en stor plan yta, vilken med strålen bildar vinkeln 15 (i ett horisontellt plan), se figur. Friktionsfri och tvådimensionell strömning kan förutsättas. =15 o T N Figur 5. (a) Beräkna hur stor del av vattenmängden som går i positiv respektive negativ T-riktning. (b) Beräkna den kraft som fordras för att hålla plattan mot strålen, då vattenhastigheten är 1 m/s och strålmängden 57 kg/s. 5.4 En kvadratisk platta av likformig tjocklek och med 0 cm sida hänger lodrät i ett gångjärn. Om en horisontell vattenstråle träffar plattan vinkelrät i dess mittpunkt från ett stillastående munstycke avlänkas plattan 5. Strålens diameter är 0 mm och dess hastighet 5.0 m/s. Beräkna plattans massa. Försumma gravitationens verkan på strålen. M 5 o V 1 mg Figur 5.4 5.5 En vattenstråle med diametern 60 mm, som lämnar ett stillastående munstycke med hastigheten 15 m/s, träffar en plan platta. Normalen till plattan bildar vinkeln 0 med strålens axel. Beräkna normalkraften på plattan: (a) när plattan är stilla, (b) när den förflyttas med hastigheten 9.0 m/s i strålens riktning. V 1 0 o N T Figur 5.5 6

5.6 Vatten strömmar under en bred slussport enligt figur. Vid sektion (1) och () kan strömningen betraktas som endimensionell och horisontell. Bestäm horisontell kraft per breddenhet mot slussporten med försumbara friktionseffekter. p 0 F A,x p 0 h h 1 = 1.5 m V 1 = 0.0 m/s z x V = 5. m/s (1) () Figur 5.6 h 5.7 Figuren nedan visar en rörlig vagn som omlänkar en vattenstråle 60 från horisontalplanet. Strålen kommer från ett stillastående munstycke med utloppsarean 0 cm. Strålens utloppshastighet är 0 m/s. Bestäm den horisontella bromsande kraft som krävs för att upprätthålla en konstant hastighet av 10 m/s på vagnen. effekter av gravitation. H O 998 kg/m. Försumma V 1 U y x Figur 5.7 5.8 Vatten av 0 C strömmar kontinuerligt genom en horisontell 180 rörböj enligt figur. Vid sektion (1), strax innan själva rörböjen, är övertrycket (gentemot omgivningen) 81 kpa. Tvärsnittsarean i denna sektion är 600 mm. Vid sektion (), där arean reducerats till 650 mm via ett kort munstycke, strömmar vattnet ut i omgivningen, där trycket är 100 kpa. Volymflödet är 475 liter per minut. Bestäm infästningskraften i x -led på rörböjen i sektion (1). Förutsätt homogena förhållanden över tvärsnitt. 7 Figur 5.8

KAPITEL 6 6.1 För en tredimensionell diamantformad kropp, med karakteristisk dimension 9 mm, uppmäts följande strömningsmotstånd F D vid olika hastigheter U i en vindtunnel (5 C, 101 kpa): U [m/s] 9.14 11.6 14.6 17.1 18.6 5.0 7.5 F [N] 5.56 8.67 1.4 18.1 1.5 8.7 87.0 D Uppskatta strömningsmotståndet för en dylik kropp med karakteristisk dimension 81 mm, som vid samma anströmningsvinkel är utsatt för vattenströmning vid 10 C och hastigheten 1.5 m/s. 6. För att ta reda på strömningsmotståndet för ett mindre luftskepp konstrueras en modell i skala 1:15, vilken man avser att prova vid släpförsök i en vattenränna (vattentemperatur 5 C). Skeppet (prototypen) är avsedd att färdas med en hastighet av 60 km/h vid en höjd över havet på 1000 m där tryck och temperatur förväntas vara 90 kpa resp. 8.5 C. (a) Vilken släphastighet krävs i modellförsöket för att strömningen skall bli likformig med prototypens tänkta förhållanden? (b) Vid försök med hastigheten i (a) uppmäts strömningsmotståndet 1.80 kn. Hur stort blir strömningsmotståndet (luftmotståndet) på prototypen vid tänkta förhållanden? 6. Lyftkraften på en vinge med kordan 1.1 m då den med en viss anfallsvinkel flyger med hastigheten 5 m/s i stillastående luft av 10 C och 95 kpa skall bestämmas m.h.a. modellförsök i en atmosfärisk vindtunnel. Den geometriskt likformiga modellvingen har kordan 0.7 m och dess vingbredd har skalats i samma förhållande. Lufttrycket i vindtunneln är 101 kpa. För modellen uppmäts följande lyftkrafter F L vid olika anströmningshastigheter U och lufttemperaturer T : U [m/s] 0 0 40 50 60 70 80 90 T [ C] 4 6 0 0 0 F [kn] 0.6 1.1 1.7.4.4 4.6 6.0 7.6 L Hur stor blir lyftkraften på den stora vingen? Luften kan betraktas som en ideal gas. Ledning: Under angivna förhållanden gäller F L f ( U, c,, ), c korda. 6.4 För att ta reda på strömningsmotståndet för en viss kropp (prototyp) vid luftströmning byggs en modell i skala 1: ( p / m ; m 1.1 m ). Modellförsök utförs i en vindtunnel, p 10 kpa och T 0. 0 C, med följande resultat: U [m/s] 5.0 8.0 1.0 16.0.0 8.0 F [ N ] 4.4 9.6 19.0 0.9 6.6 94. D Beräkna strömningsmotståndet för prototypen vid lufthastigheten U 8. 5 m/s då p 94 kpa och T 10 C. 6.5 För att stabilisera en modell i en vindtunnel används tunna ståltrådar med diametern d 0.51 mm, uppspända mellan modellen och vindtunnelns väggar och vinkelrät mot den 8

KAPITEL 7 anströmmande luften (0.0 C, 10.5 kpa). Vid försöken visar det sig att det sker en periodisk virvelupprullning nedströms trådarna när lufthastigheten överstiger.79 m/s. Vid denna (kritiska) hastighet uppmäts virvelfrekvensen 10 Hz. Vid inkompressibel strömning och tillräckligt långa trådar kan det förutsättas att virvelfrekvensen f v enbart beror av fluidens hastighet U, diametern d, samt fluidens densitet och dynamiska viskositet. (a) Genomför en dimensionsanalys av sambandet f v f ( U, d,, ) (b) Det planeras att studera fenomenet med virvelupprullning närmare i en vätskekanal med glycerin vid 0 C som strömmande medium. För en stång med diameter 5.75 mm och tillräcklig längd, vid vilken hastighet uppträder fenomenet och vad är då virvelfrekvensen? 7.1 En dragster med massan 800 kg skall inbromsas från sin maximala hastighet 45 km/h till 160 km/h m.h.a. en bromsfallskärm med diametern 1. m. Dragsterns projicerade area vinkelrät mot körriktningen är 0.90 m. Motståndskoefficienten för fallskärm och dragster är 1.4 resp. 0.0. Rullmotstånd och interferenseffekter mellan dragster och fallskärm kan försummas. Beräkna inbromsningstiden. Fysikaliska data för luft kan tas vid 101 kpa och 0 C. 7. Beräkna den maximala fallhastigheten för en fallskärmshoppare som väger 70 kg med en fallskärm med diametern.0 m. Endast fallskärmens strömningsmotstånd behöver beaktas. Fysikaliska data för luft kan tas vid 98 kpa och 10 C. 7. En flagga är hissad på en 4 m hög flaggstång. Den rådande vindhastigheten på platsen är m/s (kan anses vara konstant över stångens höjd). Luftens temperatur och tryck är 15 o C resp. 101. kpa. Flaggstången smalnar av något mot toppen men som ett medelvärde kan dess diameter antas vara konstant, 1 cm. Flaggans längd utgör en fjärdedel av flaggstångens höjd och förhållandet mellan flaggans längd och höjd (bredd) är 16:10 (SFS 198:69). Beräkna det böjande momentet relativt flaggstångens infästning. Randeffekter kan försummas. 7.4 En bordtennisboll med massan.8 g och diametern 40 mm släpps från botten av en swimmingpool (vatten, 0 C). Till vilken höjd över vattenytan når bollen? Bollen kan antas nå sin slutliga hastighet (gränshastighet) momentant. Luftmotstånd samt ev. effekter vid gränsytan vatten-luft kan försummas. KAPITEL 8 8.1 I en horisontell rörkrök omlänkas strömningen 15 samtidigt som inre diametern ökas från 50 mm till 85 mm. Engångsförlustkoefficienten för rörkröken är K L = 0.50 baserad på inloppshastigheten. I inloppet till rörkröken är trycket 180 kpa och vattenflödet 0.00 m /s. Omgivningstrycket är 100 kpa och vattnets temperatur 10 C. Beräkna kraften som verkar på rörets infästning. 8. Ett horisontell cylindrisk rörledning med innerdiametern 5.0 cm och längden 5 m har på insidan av röret en ekvivalent ytråhet av 0.0 mm. I rörledningen finns två krökar, vardera med K L = 0.70, och en ventil med K L = 1.6. Hur stor tryckskillnad krävs för att driva ett massflöde av.5 kg/s vatten vid 0 C genom rörledningen? 9

8. I en lutande oljeledning med längden 10 m och innerdiametern 0.00 m pumpas 5 0.60 kg/s olja med kinematiska viskositeten 4.0 10 m /s och densiteten 900 kg/m. Rörets lutning är 1:50, se figur. Beräkna den teoretiska pumpeffekten då pumpens inlopp ligger vid ytan av en stor behållare. p o L=10 m h oljetank pump Figur 8. 50h 8.4 En 5 m lång horisontell kvadratisk och invändigt slät lufttrumma med ett antal krökar och ventiler ansluts till en fläkt som blåser luft genom trumman ut till omgivningen. Trummans tvärsnittsarea är konstant 0.010 m. En manometer, ansluten direkt efter fläkten visar 80. Pa övertryck i förhållande till omgivningen. Hur stor är den totala engångsförlustkoefficienten K L om volymflödet är 0.040 m /s? Lufttemperaturen är 0 C och omgivningens lufttryck 101 kpa. 8.5 I en cirkulär horisontell lufttrumma med diametern 50 mm mäts centrumhastigheten med ett Prandtlrör. Den till Prandtlröret anslutna differentialtryckgivaren ger ett utslag av 5 Pa. Beräkna friktionsfaktorn och ytråheten då tryckfallet i trumman är 6 Pa/m. Lufttemperaturen är 0 C och trycket är 100 kpa. Tabell 8-1 kan utnyttjas. 8.6 Genom en horisontell pipeline (oljeledning) i Alaska skall 50 10 råolja transporteras per dygn. Innerdiametern är 1.0 m och den ekvivalenta ytråheten.0 mm. Det maximalt tillåtna trycket i ledningen är 8. MPa; det lägsta trycket för att undvika gasbildning är 40 kpa. Oljans densitet är 90 kg/m och dess dynamiska viskositet 0.017 Pas. Bestäm det maximala avståndet mellan två pumpstationer samt pumpeffekten då pumpverkningsgraden är 85%. Ev. engångsförluster kan försummas. 8.7 Från en stor tank leder en rak rörledning med innerdiametern 80 mm, se figur. Trycket vid tankens vattenyta är 40 kpa. Rörledningen som ligger 0.50 m under vattenytan lutar 0 uppåt relativt horisontalplanet. För inloppet till rörledningen gäller K L = 0.90, baserat på hastigheten i röret. Rörets ytråhet är 1.6 mm. Vid ett tillfälle går rörledningen helt av, varvid vattenflödet 0.05 m /s strömmar ut till omgivningen med trycket 100 kpa. Vattentemperaturen är 10 C. Hur långt från tanken (horisontellt sett) ligger rörbrottet? m p 1 = 40 kpa p = 100 kpa h = 0.50 m 0 o Figur 8.7 10

8.8 Vatten vid 0 C transporteras med hävertverkan i en rörledning med innerdiametern 5 mm, från en stor öppen behållare till ett fritt utlopp på en nivå som ligger 1 m lägre i förhållande till gravitationsriktningen. Omgivningstrycket är 100 kpa. Rörledningen kan betraktas som slät, 0 ; engångsförluster kan försummas. Beräkna massflödet då rörledningen är 0 m lång. 1 m Figur 8.8 SVAR 1.1 (b), (c), (d), (e), (g), (h) 1. (a) Re 66 10, (b) Re. 10 1. w 0. 9 N/m 1.4 V 1 1.1 m/s, V 1.6m/s 1.5 m 71 kg/s, V 1. 4 m/s 1.6 V 0.14 m/s ( 0.1 Pas, se Tabell A).1 1. kg/dm. m 1. 4 kg. F = 16 kn.1 v K( y x y). a x C x( x y ). 0.01 Pas.4 V / b 1.4 10 m /s 4.1 V 9, resp. 40 m/s (räknat utifrån in mot cylinderytan) 4. p B 196 kpa 4. V 5. 5 m/s, m 0. 6 kg/s 4.4 p (100 0.4) kpa, p ( 100 1.0) kpa 0 4.5 p 0 0. 9 MPa A 4.6 u max 4. 6 m/s; troligtvis inte laminär strömning ( Re 1.6 10 ) 5.1 R. 0 kn, R 0. 91 kn x 5. R 0. 50 kn, R 0. 50 kn x z y 5 11

5. (a) m T / m T 5. 8, (b) R N 0. 48 kn, R T 0 5.4 m 1. 9 kg 5.5 (a) R 0. 55 kn, (b) R 88 N N 5.6 R x / b 9. 5 kn/m 5.7 F 0.60 kn 5.8 F 0. kn (till vänster) Ax 6.1 F D 0. kn 6. F D 0. 61 kn 6. F L 5. kn 6.4 F D 74 N 6.5 (a) Ex., (b) ; 7.1 t 9. s 7. U 11 m/s 7. M 7 knm 7.4 H 5. cm ( C D 0.46) 8.1 R x 0.7 kn, Ry 0.5 kn 8. p 15 kpa 8. W P,in 0.11 kw 8.4 K L. 8.5 f 0. 04,. mm 8.6 Lmax 1 mil (ca. 1 km), W P 7 MW 8.7 Det horisontella avståndet är 8.4 m 8.8 m 1. 9 kg/s (V =.9 m/s) N 1