Z5:1 Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Radio och Rymdvetenskap Mättekniklaboration Z5 Töjningsmätning Målsättning: Att lära dig mätning av materialtöjning Att träna skriftlig rapportering av experiment med mätresultat. 1. Inledning Denna laboration är ett resultat av Z-linjens utvecklingsprojekt Röda trådar 2001-2002. Ett syfte med projektet var att samordna aktiviteter i olika kurser. Här kopplar vi ihop grundläggande teori från kursen i Hållfasthetslära, med ett praktiskt verklighetsbaserat laborationsmoment i kursen i Mätteknik. Ytterligare en aktivitet är att vi skall träna oss på att strukturera och skriva en rapport som dokumenterar en experimentell verksamhet. Detta labb-pm presenterar först en sammanfattning av problematiken med avseende på balkböjning samt egenskaperna hos trådtöjningsgivare. Sedan ges exempel på inkoppling av givare i så kallade hel- eller halvbryggor. För fler detaljer angående den bakomliggande teorin hänvisas till läroboken Grundläggande hållfasthetslära av Hans Lundh (KTH, Stockholm 1998) och kompendiet Mätteknik: Givare och mätvärdesanalys. I avsnitt 3 ges sedan ett antal uppgifter. Innan och under laborationen skall Du planera och testa rimliga mätprocedurer och kopplingar för att lösa dessa uppgifter. Efter laborationen produceras en skriftlig rapport. Rapporten lämnas in för granskning senast vid nästa laborationstillfälle. Godkänd rapport är ett krav för godkänd kurs. Rapporten läggs på den brevlåda som finns placerad mittemot ingången till mättekniklabbet. Granskade rapporter kommer att återlämnas i facken till vänster om brevlådan.
Z5:2 2. TÖJNINGSMÄTNING MED TRÅDTÖJNINGSGIVARE L 0 z B 01 01 01 01 mg 01 H/2 y x Figur 1: En balk med bredd B och tjocklek H fästs i en ände och utsätts för en last som hängs i den andra, på avståndet L från infästningen. 2. Töjningsmätning med trådtöjningsgivare Man kan mäta ett töjningstillstånd på en kropps yta på ett fullständigt sätt genom att bestämma en uppsättning längdändringar längs väl valda riktningar. Den elektriska resistansen i en tråd ökar med minskande tvärsnittsyta och är proportionell mot dess längd. Om man lyckas att anbringa en tråd på testobjektet på ett sätt som isolerar tråden elektriskt men stelt kopplar den till ytan, så kan trådens förändrade resistans bli ett mått på objektets töjning. Vi mäter töjning av en balk med hjälp av trådtöjningsgivare som är monterade på balkens ovanresp. undersida. De är monterade på ett sätt som medger mätning av såväl längs- som tvärtöjning. I en yta finns tre oberoende töjningskomponenter. Ta t. ex. en balk med rektangulärt tvärsnit. Säg att balkens längsriktning betecknas med ˆx. Längstöjningen längs den riktningen betecknas då med symbolen ɛ x.tvärriktningen betecknas med ŷ. Entöjning utmed denna riktning betecknas med ɛ y. Riktningen genom balkgodset betecknas slutligen med ẑ (se figur 1). Skjuvning ses som den tredje oberoende möjligheten att deformera en kropp Skjuvning kan antingen uppfattas som en ändring av vinkeln under vilken två linjer skär varandra, eller som en töjning åt ett håll samtidingt med en lika stor krympning åt det vinkelräta hållet. Se figur 2, där även sambandet mellan längdändringar och töjningskomponenter ges. Formlerna gäller i gränsfallet för små deformationer, x X. 2.1 Balkböjning, repetition från kursen i hållfasthetslära En horisontell balk med infästning i ena änden belastas med en vertikal kraft i den andra änden, se figur 1. Vi bortser från balkens egen tyngd. Töjningen ɛ x tilltar från lastpunkten fram till infästningspunkten lineärt. Denna töjning är störst på balkens yta. Den avtar lineärt neråt in i godset för att först försvinna helt i mittplan och sedan komma ut som en negativ töjning ɛ x på undersidan. Bortanför lastpunkten är töjningen noll. För förhållandet mellan töjning och nedböjning
2.1. Balkböjning, repetition från kursen i hållfasthetslära Z5:3 X x ε x x =, X 0 X x x L L x M mg : : M mg(l x)=0 => M=mg(L x) T+mg=0 => T= mg mg Figur 2: Ett försök att göra töjning åskådlig. En linje på den odeformerade kroppen är ritad med bred penna, på den deformerade med smal penna. Överst ses längstöjning. Den övre bilden illustrerar samtidigt det förhållandet som råder i en böjd balk. Utgående från det neutrala skiktet i mitten töjs balkens skikt proportionellt med skiktets avståd i riktning utåt resp. krymps inåt. Den nedre figuren visar böjmomentet.
Z5:4 2. TÖJNINGSMÄTNING MED TRÅDTÖJNINGSGIVARE gäller ɛ x = zw = κz (1) där z är avståndet från mittplan, w mittplanens utböjning och således w = κ balkens krökning. Belastningen betingar ett kraftmoment i balken, jfr. figur 2, M = mg(l x) (2) där m är belastningens massa och g jordens tyngdacceleration. Det pålagda momentet balanseras av ett inre moment i snittet. Den elastiska (mekaniska) spänningen inuti balken blir σ x, d.v.s. en kraft är riktad i ˆx-riktning som står vinkelrätt på en yta med normalen ˆx. Varje skikt av tjocklek dz bidrar med ett delmoment dm = zσ dz. Integrerad över hela balkens tjocklek blir det M = H/2 H/2 σ x zdz (3) Hookes lag ger σ x = Eɛ x (4) under förutsättning att σ y = σ z =0 (5) Observera materialkonstanten E, elasticitetsmodulen (även kallad Youngs modul). Den mäts i mekaniska spänningsenheter, d.v.s. Pa (pascal). 1 Pa =1newton per kvadratmeter. De flesta material som töjs längs ett håll svarar med en sammandragning i vinkelrät riktning, till beloppet något mindre. Förhållandet kallas Poissons tal och betecknas med ν, ɛ z = ν ɛ x (6) ɛ y = ν ɛ x (7) under förutsättning att ɛ x = σ x E och σ y = σ z =0 (8) Ekvationerna (1), (3) och (4) ger momentbalansen (x L) mg = w E B 0 H/2 H/2 z 2 dz dy (9) = w EI (10) där I = 1 12 BH3 (11) är resultatet av dubbelintegralen, d.v.s. yttröghetsmomentet för balkens tvärsnitt. Ekvationerna (1), (2) och (4) ger töjningen vid ytan (z = H/2) i en punkt x från infästningen ɛ x (x, y, H/2) = H 2 mg (L x) (12) EI Slutligen vill vi veta balkens nedböjning. Två integrationer m.a.p. x ger w = mg 2 EI x2 ( 1 x L) (13) 3
2.2. Givarnas egenskaper Z5:5 ^ x l b ^ y Figur 3: Principskiss töjningsgivare Vid lastpunkten ger det w = mgl3 3 EI (14) 2.2 Givarnas egenskaper Trådtöjningsgivare består av en elektrisk ledare som löper fram och tillbaka på en folie, se figur 3. Folien limmas på mätobjektets yta. På det viset kommer mättråden att löpa med längden b i riktning ŷ men med längden 2N l i riktning ˆx,där N är antalet slingor. En töjning ɛ x medför därför 2N gånger större resistansändring än motsvarande töjning ɛ y. Givarkonstanten k sätter den relativa resistansändringen R/Ri relation till töjningen i längsriktningen. Sedan finns det en störningsandel genom att töjningen i vinkelrät riktning också ger en, dock mycket mindre påverkan, R = R (k ɛ x + k ɛ y ) (15) Med detta val blir k dimensionslöst. Elastiska töjningar, som efter lastcykeln återgår helt, brukar vara små till beloppet. Ledarna i trådtöjningsgivare är metalliska. Det medför dels att resistansen är liten och att resistans ändringen är ännu mindre. Att metaller har en stor temperaturkoefficient för resistansen måste särskilt beaktas vid konstruktionen av den elektriska sensorkretsen. Mätning med trådtöjningsgivare i bryggkoppling erbjuder fördelen att temperaturen påverkar resistansen i de två eller fyra sensorerna på samma sätt. I en s.k. halvbrygga använder man två sensorresistorer och två fasta precisionsmotstånd. I en fullbrygga använder man fyra sensorresistorer. De kopplas så att ändringen i obalansspänning maximeras för en given töjning. I vår givarmontering finns två längs- resp. två tvärtöjningskänsliga givare. Hur sensorerna skall kopplas för största möjliga töjningskänslighet ingår som delmoment i mätuppgiften. Vi skall också mäta längs- resp. tvärtöjning var för sig.
Z5:6 2. TÖJNINGSMÄTNING MED TRÅDTÖJNINGSGIVARE IN 5...30 V= röd 5 k svart 1,000 k 0,1% 1,000 k 0,1% + DC 10 ma 22 k TO TU LM334 vit LO LU blå BALANSERING svart UT 10 ma Pt 120 blå svart TÖJNINGSBÄNK Figur 4: Balansering av resistansbrygga. Till höger i figuren ses de fyra trådtöjningsgivarna. De är märkta efter sin orientering och placering, LO - längsrikting på ovansidan, TU - tvärriktning på undersidan, osv. Balansering sker med en 10-varvig 5 kω potentiometer via ett 22 kω seriemotstand, som kopplas in i en av bryggans armar. Mätning i halvbrygga innebär att två sensormotstånd bildar en arm i bryggan och två fasta 1,000 kω (0.1%) motstånd bildar den andra armen. Detta är visat som den aktuella uppkopplingen i figuren. Vidare ser man Pt120-motståndet för mätning av balkens temperatur; dess terminaler är anslutna till ett koaxialt kopplingsdon. Slutligen beröringsindikatorn, en lysdiod som tänds när mikrometerskruven nuddar vid balken. Eftersom vi skall kunna ansluta bryggan till mycket olika försörjningsspänningar och använda samma nätaggregat för många olika uppgifter måste strömmen genom lysdioden begränsas. Detta sker med hjälp av en konstantströmsregulator (LM334); den är monterad inuti balanseringsenheten och inställd på 10 ma. Vi definierar bryggans normaliserade utslag som υ = U d (16) U 0 där U d är obalansspänningen och U 0 matningsspänningen. För störst möjliga spänning mellan bryggans armar behövs så stor matningsspänning som möjligt. Men vi noterade just att givarresistanserna är små. Det blir således givarnas effekttålighet som sätter gränsen för hur stor spänningen till bryggan kan bli. Om vi i vårt fall anslutar 30 V till helbrygga blir effektutvecklingen 30 V 30 V / 120 Ω = 7, 5W Erfarenheten visar att balkens temperatur kan stiga över 50, och i givarna själva är temperaturen ännu högre.
Z5:7 Före varje mätning av böjd balk skall den oböjda balken mätas. I det läget nollställs bryggan genom balansering. Man parallellkopplar ett potentiometernät, som man justerar så att bryggmätningen ger spänning noll vid obelastad balk. Enheten, potentiometerlådan märkt BALANSERING, innehåller dessutom en konstantströmkälla som är lämplig att mata indikatorkretsen. Indikatorkretsen kopplas så att lysdioden tänds när mikrometerskruven nuddar vid balken. Kopplingsschemat för balanseringsenheten och för böjningsbänken ses i figur 4. Vi sammanfattar de viktigaste punkterna som följer Genom en lämplig bryggkoppling kompenserar man inverkan av omgivningens temperaturvariationer. Spänningsmätningen i bryggan måste göras mycket känsligt. Det handlar typiskt om mv. Vill man bestämma töjningen med en osäkerhet på ett par procent hamnar man snart i µv området för avläsningen från voltmetern. Då trådtöjningsgivaren är lågohmig sker en icke försumbar effektutveckling i givarna. Den avgivna värmen höjer temperaturen i mätobjektet, vilket innebär en oönskad påverkan. Givarna avviker lite grann från den nominella resistansen. Avvikelserna följer de rumsliga temperturvariationerna. Av den anledningen måste man konstruera en balanseringskrets till bryggan. Kontroll av balanseringen skall göras tillräckligt ofta. För att öka känsligheten skulle man vilja öka matningsspänningen till mätbryggan. 3. Mätuppgift På experimentplattan finns en balk av ett visst material (stål, mässing, aluminium), dimensioner hittas i slutet av PM:et Z5 samt i instrumentpärmen under flik 19. Den kan belastas med en vikt (som maximalt 0,500 kg vid stål och brons, 0,300 kg vid aluminium). Avståndet mellan lastpunkt och infästning skall vara 200,0 ±0.5 mm. Vid avstådet L/3 (noggrannhet inte närmare specifierad) finns trådtöjningsgivarna redan monterade, på såväl ovan- som på undersidan i såväl längs- som tvärriktning, alltså sammanlagt fyra givare. Dessutom finns en temperatursensor av typ Pt120 monterad nära töjningsgivarna (temperatur-resistans-kurva också under flik 19). För att räkna ut belastningens kraft behövs värdet för g, jordens tyngdacceleration. För Göteborg kan värdet antas till 9, 81720 [ms 2 ] 3.0 10 6 [s 2 ] (H 6.0) [m] där H är punktens höjd över havet. Vårt mätlabb ligger ungefär 50 m över havet. Osäkerheten i formeln är 10 5 ms 2. Noggrannheten för massan i viktsatserna kan antas ligga på 0,1%. Som tillbehör för uppkoppling av halvbrygga används två stycken precisionsmotstånd 1,00 kω ±0,1%. För balansering av halv- och helbrygga finns en potentiometer inbyggt i en låda märkt BALANSERING. Om de 0,1-procentiga motstånden skiljer åt sig för mycket måste bryggan först grovbalanseras. Till det ändamålet kan man parallellkoppla en 1 MΩ resistor med det större av de två 1kΩ resistorerna. Alternativt kan balanseringen kopplas in på bryggans mer
Z5:8 3. MÄTUPPGIFT högohmiga arm med större inställingskänslighet som följd. Balanseringslådan innehåller också strömförsörjningen till beröringsindikatorn. Givarnas nominella resistans är 120 Ω ±1%. Deras k-värden (gauge factor) finns i specifikation i Labbpärmen under flik???. Observera att de skiljer sig åt beroende på vilka underlag de är anpassade för, och kontrollmäts då på motsvarande sätt (givare för stål t. ex. på en legering SS 400, resp. på aluminium A 2024). Observera att detta motsvarar inte alltid de förhållanden de appliceras i hos oss. Under samma flik i labbpärmen finns ocks uppgift om balkarnas dimensioner. För övrigt är aluminiumgivare kännetecknade av en grön substratfolie och stålgivare av en röd. OBS! Limmet med vilket givarna har fästs är specifierat till maximalt 70 C 3.1 Uppgifter Vi formulerar tre huvuduppgifter, som handlar om givarnas förhållande till töjning, till temperatur, samt balkens materialegenskaper. Det finns ett antal delmoment som behöver klaras av för att komma till mål. Vi måste förstå 1. Givarnas egenskaper som resistiva givare kontra deras funktion i bryggkoppling. 2. Givarnas exakta placering. 3. Mätning med digitalmultimetern, vilka begränsningar vi möter i förhållande till givarna. Även rapportens läsare, som antas vara teknolog vid en institution för mekanik, som just har studerat grundlaäggande hållfasthetslära men kan bara elementärt om elektricitetslära, måste få en övertygande framställning. Grundläggande i alla mätningar är begreppet belastningscykel. Att man jämför själva förändringen (av spänning eller resistans) före och efter belastning, att man kontollerar återgången naä lasten tas bort, och att detta sker i rask takt. Följande deluppgifter föreslås: 1.1 Vad är mätosäkerheten för resistansändring? Repeterbarhet för samma instrument i samma uppkoppling (kontra reproducerbarhet flera instrument emellan). Kontrollera avläsningsfelet och repeterbarheten för små resistansändringar. Men även avläsningsfelet och repeterbarheten för obalansspänning i bryggan. 1.2 Hur stor är en givares resistans och hur mycket förändras den under typiska laster. Vilken fördel ger bryggmätning? 1.3 Vilken fördel ger bryggmätning i samband med temperaturpåverkan? 1.4 Vilken matningsspänning kan vi som maximalt ansluta till bryggan utan att överskrida maximitemperaturen? 2.1 Givarna på balken: Vi kan finna ett formelmässigt samband mellan normaliserad bryggobalansspänning [v = U d /U 0 ) och utböjning w. Detta kan omvandlas till en formel för givarkonstanten k = k(v, w).
3.2. Några goda råd Z5:9 2.2 Avvikelsen från tillverkarens gauge factor kan möjligtvis tolkas som en konsekvens att givarnas placering inte stämmer exakt med önskade L/3. 3.1 Till balken: bestäm E och ν. Deras parametervärden och deras osäkerhet, och 3.2 vilka parametrar är mest kritiska för noggrannheten? 3.3 Ändras E med temperaturen? I en bra rapport skall det framgå hur man ha resonerat sig fram till den bästa möjliga mätmetoden, och eventuellt vilka åtgärder som behövs för att göra dem ännu mera tillförlitlig. Genomförande beskrivs samt resultat och felberäkningar redovisas. Mätosäkerhet skall spela en central roll när olika slutsatser dras. Speciell vikt fästs vid karakteriseringen av lineariteten i ett förhållande. Här ingår ett linearitetsvärde samt ett väl läsbart diagram. Rapporten kommer sedan att granskas innan laborationen kan godkännas i sin helhet. Ordbehandlarkopior av andras rapporter kommer ej att godkännas. 3.2 Några goda råd Genom skicklig planering kan man undvika en del dubbelarbete. Tidsbesparing kan vara värdefull eftersom det tar tid för temperaturen att stabilisera sig efter en ändring av matningsspänningen till bryggan. En lämplig matningspänning till bryggan att börja med kan vara 10 V. 5 V r för lågt för beröringskretsen. Vid30Vochbåda bryggarmar anslutna kan balktemperaturen komma upp i 70 C. Var försiktig! Sen kan man välja en eller två mellanlägen. Begrunda noggrannheten för resistansmätning enligt HP34401A-manualen innebär och vad som är relevant för våra mätningar av resistans i uppgifterna 1 och 6. Kom ihåg begrepp som noggrannhet, reproducerbarhet och repeterbarhet. Linearitet och avvikelse från ett lineärt samband måste bedömas på grundval av avvikelsernas signifikans (värde med osäkerhet). Ett användbart diagram i detta sammanhang skall visa tydligt om avvikelserna från linearitet är säkra, alternativt att ett påstånde att linearitet råder är välgrundat.