Avdelningen för ämnesdidaktik och matematik (DMA) Avdelningen för kvalitetsteknik, maskinteknik och matematik (KMM) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 4
Innehåll Notation, mängdlära och logik........................ Algebra..................................... Komplexa tal.................................. 6 4 Punkter, vektorer och plan i rummet.................... 7 5 Geometri..................................... 8 6 Trigonometri.................................. 9 7 Några standardgränsvärden......................... 8 Derivator.................................... 9 Integraler.................................... 5 0 Differentialekvationer............................. 7 Dubbel- och trippelintegraler........................ 8 Vektoranalys.................................. 9 Matematisk statistik.............................. i
Notation, mängdlära och logik Mängder och tal tomma mängden, { } Z mängden av heltal, {...,,, 0,,,...} Z + mängden av positiva heltal, {,,,...} Z mängden av negativa heltal, {...,,, } N mängden av naturliga tal, {0,,,...} {x Z : P } mängden av alla x i Z som uppfyller egenskapen P {x Z P } samma som {x Z : P } Q mängden av rationella tal, {p/q : p, q Z, q 0} R mängden av reella tal R + mängden av positiva reella tal, {x R : x > 0} R mängden av negativa reella tal, {x R : x < 0} [a, b] det slutna intervallet från a till b, {x R : a x b} ]a, b[ det öppna intervallet från a till b, {x R : a < x < b} (a, b) samma som ]a, b[ C mängden av komplexa tal, {a + ib : a, b R} De positiva primtalen 00,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47, 5, 59, 6, 67, 7, 7, 79, 8, 89, 97 Symboler från mängdlära A = B A är lika med B A B A är inte lika med B a A elementet a finns i mängden A a A elementet a finns inte i mängden A A B unionen av mängderna A och B, {x : x A eller x B} A B snittet av mängderna A och B, {x : x A och x B} A B skillnaden mellan mängderna A och B, dvs {x A : x B} A \ B samma som A B B den komplementära mängden till B, det vill säga om B är en delmängd till den universella mängden U så är B = {x U : x B} B c samma som B A B A är en delmängd till B, x A x B A B A är en äkta delmängd till B, dvs A B och A B A B den kartesiska produkten av mängderna A och B, dvs mängden av alla ordnade par (a, b) sådana att a A och b B P(A) potensmängden till A, dvs mängden av alla delmängder till A
Viktiga likheter inom mängdlära Associativa lagar: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Kommutativa lagar: A B = B A A B = B A Distributiva lagar: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) De Morgans lagar: A B = A B A B = A B Logiska symboler p icke p p q p eller q p q p och q p q p implicerar/medför q p q p är ekvivalent med q Viktiga ekvivalenser inom logik Associativa lagar: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) Kommutativa lagar: p q q p p q q p Distributiva lagar: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgans lagar: (p q) p q (p q) p q Logiska ekvivalenser för bevisföring Att bevisa p q är ekvivalent med att bevisa p q och q p Att bevisa p q är ekvivalent med att bevisa q p
Algebra Symboler för relationer mellan tal a = b a är lika med b a b a är inte lika med b a < b a är (strikt) mindre än b a > b a är (strikt) större än b a b a är mindre än eller lika med b a b a är större än eller lika med b a b heltalet a delar heltalet b Viktiga likheter för aritmetik Associativa lagar: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) Kommutativa lagar: a + b = b + a, ab = ba Distributiva lagen: a(b + c) = ab + ac Lagen om nolldelare: Om ab = 0 så är a = 0 eller b = 0 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b)(a b) = a b Kubregler (a + b) = a + a b + ab + b (a b) = a a b + ab b Summor av kuber a + b = (a + b)(a ab + b ) a b = (a b)(a + ab + b ) Andragradspolynom Ekvationen x + px + q = 0 har rötterna x = p p + 4 q och x = p p 4 q där x + x = p och x x = q
Absolutbelopp x = { x om x 0 x om x < 0 Kvadratrötter a b = ab a 0, b 0 a a = b b a 0, b > 0 a b = a b b 0 Potenser x, y, a, b, reella tal a, b > 0, och n ett positivt heltal a x a y = a x+y a x b x = (ab) x a x a = ( ) y ax y a x y = a xy a x ( a ) x b = x b a x = a x a 0 = a n = n a Logaritmer För positiva reella tal x, y, a, b, där a, b gäller log a xy = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x p = p log a x log a x = log b x log b a lg xy = lg x + lg y lg x y = lg x lg y lg x p = p lg x lg x = ln x ln 0 där a y = x y = log a x 0 y = x y = lg x e y = x y = ln x log 0 skrivs oftast lg log e skrivs oftast ln 4
Några summationsformler n r = r= n r = r= n r= n r=0 n(n + ) n(n + )(n + ) 6 r = n (n + ) 4 x r = xn+, där det reella talet x x Binomialsatsen där n är ett positivt heltal, (a + b) n = ( ) n = r n r=0 ( ) n a r b n r r n!, n! = n(n ) och 0! =. r!(n r)! 5
Komplexa tal Definition Ett komplext tal z kan skrivas z = a + ib där a och b är reella tal och i är ett tal som uppfyller i =. Talen z = a + ib och z = a ib kallas konjugerade. Belopp Beloppet z av z = a + ib är z = r = a + b Polär form z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ, där r = z och ϕ = arg(z) De Moivre z n = r n( cos(nϕ) + i sin(nϕ) ) = r n e inϕ Multiplikationsregler Om z = r e iϕ och z = r e iϕ så är z z = r r e i(ϕ +ϕ ) z = r e i(ϕ ϕ ) z r 6
4 Punkter, vektorer och plan i rummet Avståndet mellan punkterna (x, y, z ) och (x, y, z ) x x + y y + z z Avståndet från punkten (x, y, z ) till planet ax + by + cz = d ax + by + cz d a + b + c Normen (längden) av vektorn a = (a, a, a ) a = a + a + a Skalärprodukten av vektorerna a = (a, a, a ) och b = (b, b, b ) där α är vinkeln mellan a och b. a b = a b + a b + a b = a b cos α, Projektion av vektorn u på vektorn a proj a u = u a a a Cauchy Schwarz olikhet u v u v 7
5 Geometri Cirkel r cirkelns radie, A area, O omkrets A = πr O = πr Pyramid B bottenarea, h höjd, V volym V = Bh Rak cirkulär cylinder r radie, h höjd, S mantelarea (ytarea), V volym S = πrh V = πr h Rak cirkulär kon r radie, h höjd, s sida, S mantelarea (ytarea), V volym S = πrs V = πr h Sfär r radie, S mantelarea (ytarea), V volym S = 4πr V = 4πr 8
6 Trigonometri Rätvinklig triangel c b ϕ a sin ϕ = b c cos ϕ = a c tan ϕ = b a Enhetscirkeln (x P, y P ) P ϕ { xp = cos ϕ y P = sin ϕ tan ϕ = sin ϕ cos ϕ cot ϕ = cos ϕ sin ϕ 9
γ b a α c β Areasatsen för triangeln area = bc sin α Sinussatsen sin α a = sin β b = sin γ c Cosinussatsen a = b + c bc cos α Additionsreglerna sin(ϕ + ψ) = sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ sin(ϕ ψ) = sin ϕ cos ψ cos ϕ sin ψ cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos(ϕ ψ) = cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ Trigonometriska ettan sin ϕ + cos ϕ = Formlerna för dubbla vinkeln sin(ϕ) = sin ϕ cos ϕ cos(ϕ) = cos ϕ sin ϕ = cos ϕ = sin ϕ Uttryck på formen a sin x + b cos x a sin x + b cos x = r sin(x + y) där r = a + b, cos y = a r och sin y = b r 0
Några exakta värden för trigonometriska funktioner Vinkel ϕ grader radianer sin ϕ cos ϕ tan ϕ 0 0 0 0 0 π/6 / / / 45 π/4 60 π/ / / / / 90 π/ 0 ej def. 0 π/ 5 π/4 / / / / 50 5π/6 / / / 80 π 0 0 0 7π/6 / / / 5 5π/4 / / 40 4π/ / / 70 π/ 0 ej def. 00 5π/ / / 5 7π/4 / / 0 π/6 / / / 60 π 0 0
7 Några standardgränsvärden lim x ± x = 0, lim x 0± x = ± sin x lim x 0 x cos x =, lim x 0 x = 0 ( lim + x x = e, lim x x) n x e = 0 x e x lim x 0 x ln x lim x x = 0 =, lim x 0 ln( + x) x =
8 Derivator Definition f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h = lim x a f(x) f(a) x a Derivator av några funktioner Funktion Derivata x a ax a e x e x e kx ke kx a x, a > 0 x ln x log a x sin x a x ln a x x x ln a cos x cos x tan x arctan x arcsin x sin x cos x = + tan x + x x
Produktregeln ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Kvotregeln ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) ( ) g(x) g(x) Kedjeregeln h(x) = f ( g(x) ) h (x) = f ( g(x) ) g (x) Derivata av invers funktion d dx f (x) = f ( f (x) ) Taylors formel f(x) = f(a) + f (a)! (x a) + f (a)! för något tal ξ mellan x och a. (x a) + + f (n) (a) n! (x a) n + f (n+) (ξ) (x a)n+ (n + )! 4
9 Integraler Primitiva funktioner Funktion Primitiv funktion x a a + xa+ + c, a e x x sin(x) e x + c ln x + c cos(x) + c cos(x) cos (x) sin (x) x sin(x) + c tan(x) + c cot(x) + c arcsin(x) + c + x arctan(x) + c Partiell integration f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx Rotationsvolymer Rotation kring x -axeln: Rotation kring y -axeln: V = π V = π b a b a ( f(x) ) dx xf(x) dx 5
Båglängd s = s = b a b a (x (t) ) + ( y (t) ) dt x = x(t), y = y(t) + ( f (x) ) dx y = f(x) 6
0 Differentialekvationer Första ordningens linjära differentialekvationer Integrerande faktor till y + g(x)y = h(x) är e G(x), där G(x) = g(x) dx. Andra ordningens homogena linjära differentialekvationer Differentialekvationen y + ay + by = 0, där a och b är konstanter har lösningar som ges av: y = Ae r x + Be r x om rötterna r och r till karaktäristiska ekvationen är reella och r r ; y = (Ax + B)e rx y = e αx( A cos(βx) + B sin(βx) ) om rötterna r och r till karaktäristiska ekvationen är reella och r = r = r; om rötterna r = α+βi och r = α βi till karaktäristiska ekvationen inte är reella. 7
Dubbel- och trippelintegraler Dubbelintegraler över y -enkla områden För det begränsade området D givet genom a x b och f (x) y f + (x) b f+ (x) f(x, y) da = f(x, y) dy dx D a f (x) Variabelbyte i dubbelintegraler För en bijektiv transformation x = x(u, v) y = y(u, v) från ett område S i uv -planet till ett område D i xy -plane f(x, y) dx dy = f ( x(u, v), y(u, v) ) (x, y) (u, v) du dv där D S (x, y) (u, v) = det ( x u y u x v y v ). Polära koordinater x = r cos(θ) y = y sin(θ) dx dy = r dr dθ Cylindriska koordinater x = r cos(θ) y = r sin(θ) z = z dx dy dz = r dr dθ dz Sfäriska koordinater x = ρ sin(φ) cos(θ) y = ρ sin(φ) sin(θ) z = ρ cos(φ) dx dy dz = ρ sin(φ) dρ dφ dθ 8
Vektoranalys i = ( 0 ) ( 0, j = ) i R, och i = 0 0, j = 0 0, k = 0 0 i R Linjeintegraler För en funktion f(x, y, z) och ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F (x, y, z)k C C f ds = b a a f ( r(t) ) dr dt (t) dt ( F dr = F (x, y, z) dx + F (x, y, z) dy + F (x, y, z) dz ) C b ( ( )dx = F x(t), y(t), z(t) dt (t) + F ( )dy x(t), y(t), z(t) dt (t) = b a +F ( x(t), y(t), z(t) )dz dt (t) F ( r(t) ) dr (t) dt dt ) dt där r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, a t b, är en parametrisering av kurvan C. Ytintegraler För en funktion f(x, y, z) och ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F (x, y, z)k f ds = f ( r(t) ) r u r v du dv S S D F ds = ± F ( r(u, v) ) ( r D u r ) du dv v där r(u, v), (u, v) D, är en slät parametrisering av ytan S. 9
Gradient, divergens och rotation = i x + j y + k z För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F (x, y, z)k och en funktion φ(x, y, z) grad φ = φ = φ x i + φ y j + φ z k div F = F = F x + F y + F z ( F curl F = F = y F ) ( F i + z z F ) ( F j + x x F ) k y Greens formel För ett vektorfält F(x, y) = F (x, y)i + F (x, y)j ( F (x, y) dy + F (x, y) dy ) = C D ( F x F ) da y där D är ett begränsat område i xy -planet med positivt orienterad rand C. Gauss divergenssats För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F (x, y, z)k div F dv = F ˆN ds V där ytan S är randen till det begränsade området V, orienterad så att ytans enhetsnormalvektor ˆN pekar ut från ytan. S Stokes sats För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F (x, y, z)k F dr = curl F ˆN ds C S där S är en orienterad yta med rand C och ˆN är enhetsnormalvektorn till ytan orienterad i enlighet med randkurvans orientering. 0
Matematisk statistik Beskrivande statistik x = xi = fj y j n n s = (xi x) = ( ) x i nx = ( ) fj yj nx n n n Korrelationskoefficient r = n x i y i x i yi n x i ( x i ) n y i ( y i ) Linjär regression b = n x i y i x i yi n x i ( ) xi a = yi b xi = y bx n n Intervallskattning Observerat stickprov x, x,..., x n som kommer från N(µ, σ) och konfidensgrad α. Känd standardavvikelse σ : x σ n λ α/ µ x + σ n λ α/ där λ α/ är sådant att Φ(λ α/ ) = α. Okänd standardavvikelse σ : x s t α/ (n ) µ x + s t α/ (n ) n n där t α/ (n ) är sådant att om η t(n ) så gäller och s är den skattade standardavvikelsen. P ( η t α/ (n ) ) = α
t-fördelningen Tabellen ger det x -värde för vilket P (ξ > x) = α, där ξ t(f). f α 0. 0.05 0.05 0.0 0.005 0.00 0.0005.078 6.4.706.8 6.657 8.09 66.69.886.90 4.0 6.965 9.95.7.599.68.5.8 4.54 5.84 0.5.94 4.5..776.747 4.604 7.7 8.60 5.476.05.57.65 4.0 5.89 6.869 6.440.94.447.4.707 5.08 5.959 7.45.895.65.998.499 4.785 5.408 8.97.860.06.896.55 4.50 5.04 9.8.8.6.8.50 4.97 4.78 0.7.8.8.764.69 4.44 4.587.6.796.0.78.06 4.05 4.47.56.78.79.68.055.90 4.8.50.77.60.650.0.85 4. 4.45.76.45.64.977.787 4.40 5.4.75..60.947.7 4.07 6.7.746.0.58.9.686 4.05 7..740.0.567.898.646.965 8.0.74.0.55.878.60.9 9.8.79.09.59.86.579.88 0.5.75.086.58.845.55.850..7.080.58.8.57.89..77.074.508.89.505.79.9.74.069.500.807.485.768 4.8.7.064.49.797.467.745 5.6.708.060.485.787.450.75 6.5.706.056.479.779.45.707 7.4.70.05.47.77.4.690 8..70.048.467.76.408.674 9..699.045.46.756.96.659 0.0.697.04.457.750.85.646 40.0.684.0.4.704.07.55 60.96.67.000.90.660..460 0.89.658.980.58.67.60.7.8.645.960.6.576.090.9
Normalfördelningen Tabellen ger sannolikheten Φ(x) = P (ξ x), där ξ N(0, ). För negativa x -värden använd relationen Φ( x) = Φ(x). x.00.0.0.0.04.05.06.07.08.09 0.0.5000.5040.5080.50.560.599.59.579.59.559 0..598.548.5478.557.5557.5596.566.5675.574.575 0..579.58.587.590.5948.5987.606.6064.60.64 0..679.67.655.69.6.668.6406.644.6480.657 0.4.6554.659.668.6664.6700.676.677.6808.6844.6879 0.5.695.6950.6985.709.7054.7088.7.757.790.74 0.6.757.79.74.757.789.74.7454.7486.757.7549 0.7.7580.76.764.767.7704.774.7764.7794.78.785 0.8.788.790.799.7967.7995.80.805.8078.806.8 0.9.859.886.8.88.864.889.85.840.865.889.0.84.848.846.8485.8508.85.8554.8577.8599.86..864.8665.8686.8708.879.8749.8770.8790.880.880..8849.8869.8888.8907.895.8944.896.8980.8997.905..90.9049.9066.908.9099.95.9.947.96.977.4.99.907.9.96.95.965.979.99.906.99.5.9.945.957.970.98.994.9406.948.949.944.6.945.946.9474.9484.9495.9505.955.955.955.9545.7.9554.9564.957.958.959.9599.9608.966.965.96.8.964.9649.9656.9664.967.9678.9686.969.9699.9706.9.97.979.976.97.978.9744.9750.9756.976.9767.0.977.9778.978.9788.979.9798.980.9808.98.987..98.986.980.984.988.984.9846.9850.9854.9857..986.9864.9868.987.9875.9878.988.9884.9887.9890..989.9896.9898.990.9904.9906.9909.99.99.996.4.998.990.99.995.997.999.99.99.994.996.5.998.9940.994.994.9945.9946.9948.9949.995.995.6.995.9955.9956.9957.9959.9960.996.996.996.9964.7.9965.9966.9967.9968.9969.9970.997.997.997.9974.8.9974.9975.9976.9977.9977.9978.9979.9979.9980.998.9.998.998.998.998.9984.9984.9985.9985.9986.9986.0.9987.9987.9987.9988.9988.9989.9989.9989.9990.9990..9990.999.999.999.999.999.999.999.999.999..999.999.9994.9994.9994.9994.9994.9995.9995.9995..9995.9995.9995.9996.9996.9996.9996.9996.9996.9997.4.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9998.5.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.6.9998.9998.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999.9999
Normalfördelningen (forts.) Tabellen ger det λ α -värde för vilket P (ξ > λ α ) = α, där ξ N(0, ). α 0. 0.05 0.05 0.0 0.005 0.00 λ α.86.6449.9600.6.5758.090 α 5 0 4 0 4 5 0 5 0 5 5 0 6 0 6 λ α.905.790.8906 4.649 4.47 4.754 Binomialfördelningen Tabellen ger sannolikheten P (ξ x), där ξ Bin(n, p). För p > 0.5 använd P (ξ x) = P (η n x) där η Bin(n, p). n x p 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.5 0.40 0.45 0.50 0 0.9050 0.8000 0.750 0.64000 0.5650 0.49000 0.450 0.6000 0.050 0.5000 0.99750 0.99000 0.97750 0.96000 0.9750 0.9000 0.87750 0.84000 0.79750 0.75000 0 0.8577 0.7900 0.64 0.500 0.488 0.400 0.746 0.600 0.668 0.500 0.9975 0.9700 0.995 0.89600 0.8475 0.78400 0.785 0.64800 0.57475 0.50000 0.99987 0.99900 0.9966 0.9900 0.9848 0.9700 0.957 0.9600 0.90887 0.87500 4 0 0.845 0.6560 0.50 0.40960 0.64 0.400 0.785 0.960 0.095 0.0650 0.98598 0.94770 0.89048 0.890 0.788 0.6570 0.5698 0.4750 0.9098 0.50 0.9995 0.9960 0.9880 0.9780 0.949 0.960 0.875 0.8080 0.7585 0.68750 0.99999 0.99990 0.99949 0.99840 0.99609 0.9990 0.98499 0.97440 0.95899 0.9750 5 0 0.7778 0.59049 0.447 0.768 0.70 0.6807 0.60 0.07776 0.050 0.05 0.9774 0.9854 0.85 0.778 0.68 0.58 0.484 0.696 0.56 0.8750 0.99884 0.9944 0.979 0.9408 0.89648 0.869 0.7648 0.6856 0.59 0.50000 0.99997 0.99954 0.99777 0.998 0.9848 0.969 0.94598 0.996 0.86878 0.850 4.00000 0.99999 0.9999 0.99968 0.9990 0.99757 0.99475 0.98976 0.9855 0.96875 6 0 0.7509 0.544 0.775 0.64 0.7798 0.765 0.0754 0.04666 0.0768 0.056 0.967 0.88574 0.77648 0.6556 0.594 0.407 0.908 0.8 0.657 0.097 0.99777 0.9845 0.9566 0.90 0.8057 0.744 0.64709 0.544 0.445 0.475 0.9999 0.9987 0.994 0.9804 0.9640 0.995 0.8858 0.8080 0.74474 0.6565 4.00000 0.99994 0.99960 0.99840 0.9956 0.98906 0.97768 0.95904 0.9080 0.8906 5.00000.00000 0.99999 0.99994 0.99976 0.9997 0.9986 0.99590 0.9970 0.9848 7 0 0.6984 0.4780 0.058 0.097 0.48 0.085 0.0490 0.0799 0.05 0.0078 0.9556 0.850 0.7658 0.5767 0.44495 0.94 0.80 0.586 0.04 0.0650 0.9964 0.974 0.96 0.8597 0.7564 0.64707 0.58 0.4990 0.644 0.656 0.9998 0.9977 0.98790 0.96666 0.9944 0.8796 0.8005 0.70 0.6089 0.50000 4 0.99999 0.9998 0.99878 0.995 0.987 0.970 0.9449 0.9074 0.84707 0.7744 5.00000 0.99999 0.9999 0.9996 0.99866 0.996 0.99099 0.986 0.9649 0.9750 6.00000.00000.00000 0.99999 0.99994 0.99978 0.9996 0.9986 0.9966 0.999 4
n x p 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.5 0.40 0.45 0.50 8 0 0.664 0.4047 0.749 0.6777 0.00 0.05765 0.086 0.0680 0.0087 0.009 0.9476 0.80 0.6578 0.50 0.6708 0.550 0.69 0.068 0.068 0.056 0.994 0.969 0.89479 0.7969 0.67854 0.5577 0.478 0.59 0.0 0.445 0.9996 0.99498 0.97865 0.947 0.8868 0.80590 0.70640 0.59409 0.47696 0.68 4 0.99998 0.99957 0.9975 0.98959 0.9770 0.940 0.899 0.86 0.796 0.667 5.00000 0.99998 0.99976 0.99877 0.99577 0.9887 0.97468 0.9509 0.954 0.85547 6.00000.00000 0.99999 0.9999 0.9996 0.9987 0.9964 0.9948 0.9888 0.96484 7.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.9999 0.99977 0.9994 0.998 0.99609 9 0 0.605 0.874 0.6 0.4 0.07508 0.0405 0.007 0.0008 0.0046 0.0095 0.9879 0.77484 0.59948 0.46 0.004 0.9600 0.09 0.07054 0.085 0.095 0.9964 0.9470 0.8595 0.780 0.60068 0.468 0.77 0.79 0.4950 0.08984 0.9996 0.9967 0.96607 0.946 0.847 0.7966 0.60889 0.486 0.68 0.59 4 0.99997 0.999 0.9947 0.9804 0.9507 0.909 0.888 0.74 0.64 0.50000 5.00000 0.99994 0.9997 0.9969 0.9900 0.9747 0.9464 0.90065 0.848 0.74609 6.00000.00000 0.99995 0.99969 0.99866 0.9957 0.9888 0.97497 0.950 0.906 7.00000.00000.00000 0.99998 0.99989 0.99957 0.99860 0.9960 0.9909 0.98047 8.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.9999 0.99974 0.9994 0.99805 0 0 0.59874 0.4868 0.9687 0.077 0.056 0.085 0.046 0.00605 0.005 0.00098 0.986 0.760 0.5440 0.758 0.440 0.49 0.08595 0.0466 0.06 0.0074 0.98850 0.998 0.800 0.67780 0.5559 0.878 0.66 0.679 0.09956 0.05469 0.99897 0.9870 0.9500 0.879 0.77588 0.6496 0.58 0.88 0.6604 0.788 4 0.99994 0.9987 0.990 0.967 0.987 0.8497 0.7550 0.60 0.50440 0.7695 5.00000 0.99985 0.9986 0.996 0.9807 0.9565 0.90507 0.876 0.7844 0.605 6.00000 0.99999 0.99987 0.9994 0.99649 0.9894 0.9798 0.9454 0.8980 0.88 7.00000.00000 0.99999 0.9999 0.99958 0.9984 0.9958 0.9877 0.976 0.945 8.00000.00000.00000.00000 0.99997 0.99986 0.99946 0.998 0.99550 0.9896 9.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99997 0.99990 0.99966 0.9990 0 0.56880 0.8 0.674 0.08590 0.044 0.0977 0.00875 0.006 0.009 0.00049 0.898 0.6976 0.499 0. 0.970 0.99 0.06058 0.00 0.09 0.00586 0.98476 0.9044 0.7788 0.6740 0.4550 0.74 0.00 0.89 0.065 0.07 0.99845 0.9847 0.9056 0.8886 0.70 0.56956 0.4555 0.968 0.9 0.8 4 0.99989 0.9975 0.984 0.94959 0.8857 0.78970 0.668 0.577 0.974 0.744 5 0.99999 0.99970 0.9974 0.9885 0.96567 0.978 0.85 0.7550 0.6 0.50000 6.00000 0.99998 0.99968 0.9980 0.9944 0.9788 0.94986 0.90065 0.860 0.7559 7.00000.00000 0.99997 0.99976 0.9988 0.9957 0.98776 0.9707 0.9904 0.8867 8.00000.00000.00000 0.99998 0.99987 0.9994 0.99796 0.99408 0.9850 0.9679 9.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99995 0.99979 0.9997 0.99779 0.9944 0.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99996 0.99985 0.9995 5
n x p 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.5 0.40 0.45 0.50 0 0.5406 0.84 0.44 0.0687 0.068 0.084 0.00569 0.008 0.00077 0.0004 0.8864 0.65900 0.4446 0.7488 0.588 0.0850 0.0444 0.0959 0.0089 0.007 0.9804 0.889 0.758 0.5585 0.9068 0.58 0.59 0.0844 0.044 0.099 0.99776 0.9746 0.90779 0.79457 0.64878 0.495 0.4665 0.54 0.447 0.0700 4 0.9998 0.99567 0.97608 0.9744 0.846 0.766 0.585 0.488 0.044 0.985 5 0.99999 0.99946 0.9956 0.98059 0.94560 0.885 0.7876 0.665 0.569 0.87 6.00000 0.99995 0.999 0.9960 0.98575 0.9640 0.957 0.8479 0.79 0.679 7.00000.00000 0.9999 0.9994 0.997 0.9905 0.97449 0.9469 0.8886 0.8065 8.00000.00000 0.99999 0.99994 0.9996 0.998 0.9949 0.9847 0.9644 0.9700 9.00000.00000.00000.00000 0.99996 0.99979 0.9995 0.9979 0.99 0.9807 0.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.9999 0.99968 0.9989 0.9968.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99998 0.9999 0.99976 0 0.54 0.549 0.09 0.05498 0.076 0.00969 0.0070 0.00 0.0004 0.000 0.86458 0.64 0.988 0.65 0.67 0.0667 0.0958 0.06 0.00490 0.007 0.97549 0.866 0.6996 0.5065 0.60 0.048 0.9 0.05790 0.069 0.0 0.99690 0.96584 0.8800 0.747 0.5845 0.406 0.787 0.6858 0.099 0.0464 4 0.9997 0.9954 0.96584 0.90087 0.7996 0.654 0.50050 0.504 0.795 0.4 5 0.99998 0.99908 0.9947 0.96996 0.9979 0.8460 0.7589 0.57440 0.468 0.905 6.00000 0.99990 0.9987 0.9900 0.9757 0.976 0.8705 0.776 0.6474 0.50000 7.00000 0.99999 0.99984 0.99875 0.9945 0.9878 0.9580 0.90 0.8 0.70947 8.00000.00000 0.99998 0.9998 0.9990 0.99597 0.9874 0.9679 0.905 0.86658 9.00000.00000.00000 0.99998 0.99987 0.9995 0.99749 0.99 0.97966 0.9586 0.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.9999 0.99965 0.99868 0.99586 0.98877.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99997 0.99986 0.99948 0.9989.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0.99999 0.99997 0.99988 6