Bedömning en resa med eleverna

Bedömning en resa med eleverna Assessment a journey with the students GMS-stiftelsen 2010 av Helén Andersson & Elisabet Davidsson Handledare: Per-Eskil Persson

INNEHÅLL 1 INLEDNING 1:1 Bakgrund 2 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR 3 LITTERATURSTUDIE 3:1 Kursplanen 3:2 Sociokulturellt perspektiv på lärande 3:3 Formativ och summativ bedömning 3:4 Lärande bedömning 3:4:1 Feedback och lärande 3:4:2 Själv- och kamratbedömning 4 METOD 4:1 Allmänt om metod 4:2 Designforskning 4:3 Aktionsforsning 4:4 Variationsteorin 4:5 Metodval 4:6 Undersökningsgrupp 5 GENOMFÖRANDE 5:1 Tidsram 5:2 Intervjuer och enkätundersökning 5:3 Pedagogiska planerings-/utvärderingsträffar 5:4 Förmågor och kunskapskrav 5:5 Återkoppling 5:5:1Förtest och kamratbedömning 5:5:2 Självbedömning 5:5:3 Matriser 5:5:4 Test 6 RESULTAT 6:1 Intervjuer 6:2 Förmågor och kunskapskrav 6:3 Återkoppling 6:3:1 Själv- och kamratbedömning 6:3:2Matriser 6:3:3 Test 2

7 ANALYS AV RESULTATET 8 SAMMANFATTNING OCH DISKUSSION 9 REFERENSER BILAGOR 3

1 INLEDNING Vi har under flera år arbetat med matematik med elever på högstadiet. När skolverket besökte oss 2006 fick vi, som många andra skolor, kritik för att läroboken styrde undervisningen alltför mycket. Detta tillsammans med de nedåtgående resultaten i TIMMS och PISA har gjort att vi diskuterat vår undervisning mycket och vi ville försöka utveckla den. En idé vi har är att försöka utveckla vårt sätt att tänka kring bedömning av elevers kunskaper. Vi tror att om vi kan göra eleverna mer delaktiga i bedömningsprocessen, medvetandegöra vad som bedöms och hur det görs, så kan det kanske leda till att de blir mer intresserade av vad som ska läras. 1.1 Bakgrund Läsåret 2009/2010 läste vi båda en lärarlyftskurs på Göteborgs universitet, Att vidareutveckla matematikundervisningen. Kursen belyste lärarens roll ur olika perspektiv och satte fokus på vad man ska undervisa om och varför. Vidare var frågor kring elevernas matematiklärande i fokus och hur vi lärare bedömer och utvärderar deras kunnande. Kursen var uppdelad i fyra större kursmoment enligt följande: - Kursmoment ett behandlade avancerat matematiskt tänkande, AMT. Vi tog här del av KOM-rapporten, som på ett mycket bra sätt tar upp Danmarks idéer om kompetenser. Den gav oss bl.a. en tydlig bild av hur undervisningen kan bedrivas med kompetenserna i centrum. - Kursmoment två behandlade begreppsbildning och hur man med hjälp av tekniska hjälpmedel kan underlätta inlärning för eleverna. - Kursmoment tre behandlade lärande och undervisningen i matematik ur olika perspektiv, här arbetade vi med en form av Learning Study. - Kursmoment fyra behandlade teorier och metoder för bedömning av matematik och vi tog här del av olika avhandlingar som behandlar bedömning. Vi läste mycket litteratur om bedömning och lärande. Inom varje delmoment i kursen genomförde vi undersökningar med våra egna elevgrupper och dessa förenade vårt yrkeskunnande med nya idéer kursen gett oss, på ett mycket bra sätt. I kursmoment fyra genomförde vi intervjuer med elever och i dessa synliggjordes brister i begreppsförståelsen hos dem. Vi upptäckte också att eleverna hade mycket svårt att uttrycka vad kunskap i matematik är och detta gav oss tydliga signaler om att vi måste arbeta på ett annat sätt med bedömning 4

och elevernas egen kunskapsbild. Ingen av eleverna nämnde något om sin egen kunskapsutveckling utan de såg kunskap mer som något de gör i sin lärobok. Detta har lett oss till att vi vill undersöka om eleverna kan bli mer medvetna om sitt egna lärande genom att vi arbetar mer medvetet med formativ bedömning. 2 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR Syftet med vårt projekt är att undersöka om en undervisning som bygger på formativ bedömning kan leda till att eleverna blir mer medvetna om sitt egna lärande. Vi vill kartlägga om elevernas ökade delaktighet i bedömningsprocessen kan leda till ökad motivation att lära sig matematik. Vi vill också undersöka om eleverna kan nå högre mål genom att vi som lärare på ett medvetet sätt arbetar med att tydliggöra de olika matematiska förmågorna som ligger till grund för vår bedömning. Detta leder oss till följande frågeställningar: Kan eleverna bli mer medvetna om sitt eget lärande genom att arbeta med självbedömning och kamratbedömning. Kan vi få fler elever motiverade att lära sig matematik genom att medvetandegöra vad som bedöms och hur det görs? Kan en återkoppling i form av matris och skriftligt framåtsyftande omdöme hjälpa eleverna att nå högre mål? 3 LITTERATURSTUDIE 3:1 Kursplanen Kunskapssynen har förändrats i de senaste läroplanerna i Lpo94 övergick man enkelt förklarat, från synen på kunskap som produktiv snarare än reproduktiv förmåga. Lgr11 bygger vidare på denna kunskapssyn och vi ser att kunskapskraven lyfter fram kunskap i handling som en central kunskapsform. Skolan uppmanas stimulera kunskap som handling och bedöma den efter hur den syns i handling med hänsyn till de olika situationer eleven kan komma att hamna i. Kunskap betraktas som situationsbunden, funktionell och kulturell. Skolans bedömningar måste därför utformas så att de främjar aktivitet och produktiva kunskaper. Skolans sorterande funktion har minskat i och med övergången från relativa betyg till målrelaterade betyg och istället fokuseras på elevers lust att lära. Det medför att det har skett en förändring av synen på prov och bedömning från bedömning av lärande till bedömning för lärande. 5

Kunskapsbedömningar i sig själva ska kunna främja lärande, vilket har lett till att nya bedömningsmetoder har utvecklats (Lundahl, 2011, sid 51). Skolans mål är att varje elev utvecklar ett allt större ansvar för sina studier, och utvecklar förmågan att själv bedöma sina resultat och ställa egen och andras bedömning i relation till den egna arbetsprestationen och förutsättningarna. (Lgr11, sid 18) För att synliggöra skolans mål, syften och ämnenas olika kunskapskvaliteter måste vi lärare tillsammans göra en tolkning av läroplaner, kursplaner och kunskapskrav. Vi måste ställa frågor till styrdokumenten - Vad menas med det här, hur ska vi tolka det här osv. Att tydliggöra mål och kunskapskrav är nämligen att konkretisera dem i en tänkt undervisning. (Jönsson, s. 90) Ett första steg är alltså att tydligtgöra mål och kunskapskrav för oss själva, formulera dessa i pedagogiska planeringar till eleverna och sedan använda dessa kontinuerligt i undervisningen. Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, (problemlösningsförmåga) använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp ( begreppsförmåga) välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter (procedurförmåga) föra och följa matematiska resonemang (resonemangsförmåga) använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (kommunikationsförmåga) (Lgr11, s. 63) 3:2 Sociokulturellt perspektiv på lärande Både i Sverige och internationellt har diskussionen om betyg och bedömning fått en ökad fokusering på bedömningens roll i läroprocessen, elevens delaktighet i bedömningen, dokumentation av lärande och fortlöpande bedömning. Införandet av den individuella utvecklingsplanen i svensk skola kan ses som en del av denna utveckling. En koppling finns till det sociokulturella perspektivet på lärande där tänkandet betraktas som i grunden socialt. Ett sociokulturellt perspektiv på lärande förändrar bedömningspraxis mot en mer dynamisk och samarbetsinriktad 6

aktivitet där bedömningens roll i undervisningssituationen betonas liksom vikten av att både lärare och elever är delaktiga i bedömningen. Lev Vygotskij lade grund till det sociokulturella perspektivet på lärande. Hur lär vi människor oss? Är kunskap och kunnande bara för en del? Hur kommer det som finns i huvudet på människor egentligen in i huvudet? Finns det där från början, eller. Det var sådana här frågor som Lev Vygotskij (1896-1934) funderade på och arbetade med. Hans arbete fokuserar inte på det som finns inuti huvudet på människor utan på det som händer mellan huvudena på människor. Vygotskij menade att inre processer det som finns inuti huvudet har föregåtts av yttre aktivitet tillsammans med andra, med stöd av hjälpmedel, i specifika kulturella miljöer. Det är i människans yttre aktiviteter som hon skapar sig råmaterial till inre processer. Utan detta råmaterial sker det inget inuti huvudet. När vi pratar med varandra skapar vi råmaterial, bildar underlag för vårt inre samtal, det vi i dagligt tal kallar tänkande. Vygotskij menar att det som går att veta kommer eleven i kontakt med genom samspel med andra. Det är genom det språkliga samspelet barnet/eleven kommer i kontakt med och lär sig det sociala verktyg vi kallar språk. Först har språket en kommunikativ och social roll medan det senare även ha en individuell och intellektuell funktion. Växelspelet mellan yttre och inre aktivitet är lärandets grund. (Strandberg, 2006) 3:3 Formativ och summativ bedömning Bedömningar hänger nära samman med undervisning och syftar till att kartlägga och värdera elevers kunskaper, ge återkoppling för fortsatt lärande, till synliggöra praktiska kunskaper samt till att utvärdera undervisning. Bedömningen kan fungera summativt och/eller formativt. (Skolverket, sid 12) Formativ bedömning, bedömning för lärande, är en utgångspunkt för utveckling och fördjupning av lärande och undervisning. Bedömning i formativ mening består enligt Black & William (2009) av tre nyckelprocesser; att fastställa var eleven befinner sig i sitt lärande, vad hon/han ska nå och vad som behövs för att komma dit. (Skolverket, s 13) När det gäller den formativa bedömningen är elevernas aktiva deltagande viktigt. Syftet är att eleverna ska bli medvetna om sin egen lärandeprocess, om sitt eget lärande. (Lundahl, sid 122). Till skillnad från formativ bedömning så är en summativ bedömning något som inte stöder lärandet. Summativ bedömning kan vara ett betyg i slutet av terminen och det ger ingen återkoppling till eleven som hjälper honom/henne vidare att fortsätta mot målet. Likväl ingår det i en lärares vardag att ge skriftliga omdömen och sätta betyg. Man kan använda summativa prov och omdömen formativt för att minimera de negativa effekter som summativa omdömen har visat sig kunna ge upphov till. (Jönsson, 2011, sid 133) 7

Jönsson (2011) menar att summativa och formativa bedömningar i sin form är lika, att de bör se likadana ut, med enda skillnaden att den information som genereras i bedömningen inte används för att stödja elevernas lärande vid summativa bedömningar. Detta innebär att mål och kriterier och hur man skapar bedömningar som är tillförlitliga och giltiga, gäller oavsett om bedömningen görs formativt eller summativt. Olika bedömningsaktiviteter kan stötta lärandet om informationen den förmedlar kan användas av lärare och elev för att anpassa undervisning och lärande. Bedömningen är sedan formativ när den förändras och anpassar undervisningen till elevens behov. 3:3:1 Formativ bedömning Lundahl (2011) beskriver på ett bra och tydligt sätt varför vi ska arbeta med bedömning för lärande. Tidigare fanns en kunskapsbild som enbart skulle föras över på nästa generation. Detta har sedan ändrats till att bli kunskap, utbildning, som passar in i produktionen av samhället. I dagens samhälle behövs medborgare som är mångfacetterade och samhället ställer krav på livslångt lärande. Vi behöver människor som kan skapa ny kunskap för att lösa de problem som vi ställs inför. Detta behov leder till att individen måste skapa sig en bild av sina starka och svaga sidor så att hon/han kan göra de val av utbildning och yrke som passar. Detta får till följd att kunskapsbedömningar ska ge mått på andra kunskaper än tidigare och att utbildningen ska främja utvecklingen av olika förmågor. Lundahl (2011) beskriver fem nyckelstrategier för lärande bedömning och hur arbetet i klassrummet kan planeras utifrån dem. 1. Tydliggöra mål och kunskapskrav för eleverna När vi tydliggör mål och kunskapskrav för eleverna utrustar vi dem med strategier för hur kunskapsmålen kan nås. Vi visar på att det finns flera vägar som leder till samma mål eftersom vi lär på olika sätt. Det är ett viktigt steg i arbetet med att lära sig att lära. När eleven vet vad hon/han ska göra och förstår varför och när hon/han känner till olika kunskapskvaliteter blir eleven målmedveten och kan då fokusera på det som är relevant. De elever som förstår syftet med undervisningen kan också lättare utveckla egna motiv för lärandet. Elever som har kunskapsmål snarare än prestation och jämförelse med andra för blicken har en starkare drivkraft i lärandet. Arbetet med att tydliggöra målen och kunskapskraven behöver ske under hela arbetsområdet och som en naturlig, integrerad del i undervisningen. Genom att involvera, engagera och aktivera eleven i målen och kunskapskraven, gör vi dem ägare till sin egen läroprocess. Detta är en viktig del i resan mot det livslånga lärandet. 8

2. Skapa synliga tecken på lärande Utifrån samma undervisning lär sig elever olika saker och olika fort. För att det ska gå att anpassa undervisningen och den återkoppling elever behöver på sitt lärande, måste vi veta vad det är eleverna lärt sig och hur de tänker. Det går inte att hjälpa elever vidare om vi inte ser deras kunskaper och missförstånd. Det är därför lärare i alla tider använt olika uppgifter och frågor. Det är emellertid skillnad på att ställa frågor medan lärandet pågår och ett frågande som ska utgöra en slutbedömning. Medan lärandet pågår är det viktigt att ställa frågor eller göra uppgifter som också ger information om vad eleverna ha problem med och varför. Den informationen kan sedan användas i utformandet av återkopplingen, så att återkopplingen blir ett direkt stöd i det pågående arbetet. Frågor och uppgifter är inte bara sätt att kontrollera vad eleverna kan utan rätt ställda kan de också visa elevernas tankar: Varför tror du det, kan du utveckla, hur menar du, vad ligger i förlängningen av det resonemanget? Lärandet synliggörs också i ett klassrumsklimat som i så stor utsträckning som möjligt bygger på flervägskommunikation istället för en envägskommunikation. Lärandet är en kollektiv process och vi lär oss genom att interagera med andra. 3. Återkoppling som utvecklar lärandet Återkoppling är kärnan i bedömningen. Den ska föra kunskapsprocessen framåt och ge eleverna information som hjälper vidare i lärandet. Effektiv återkoppling är informationsrik, framåtsyftande och sker kontinuerligt. Framåtsyftande återkoppling bygger på fyra moment: - tydliggöra målet och/eller de specifika kunskapskvaliteter som ska mötas - utvärdera till vilken grad/kvaliteter mötts - diagnostisera skillnaden mellan mål och resultat, eller andras problem (felanalys) - ge lämplig lösning, förslag på åtgärd 4. Aktivera eleverna som resurser för varandra Vi lär oss genom att interagera med varandra, dvs vi lär oss av varandra, när vi ser varandras perspektiv, när vi stöter och blöter argument. Det är också så vi får syn på oss själva när vi speglar oss i andra. En viktig del i denna interaktion är hur vi reagerar på varandras perspektiv och kunnande. Vi kommenterar och bedömer varandra och lär oss både av att ge och ta kritik. Forskning visar att både hög- och lågpresterande elever gynnas av att ge varandra respons, men det är viktigt att eleverna får se och höra goda exempel på konstruktiv kritik, om de ska kunna utveckla ett eget sunt sätt att bedöma andra. I skolan går det att systematisera processer där eleverna lär av varandra i olika former av kamratbedömning. 9

En kamratbedömning handlar om att eleverna utifrån givna kriterier ger varandra synpunkter på utförda arbeten eller prestationer. Dessa synpunkter bör formaliseras så att de följer god ton. Med god ton menas ofta att den kritik, positiv som negativ, bör vara motiverad och följas av förslag på hur man kunde gjort det annorlunda (särskilt om kritiken är negativ). En övergripande hållning är att utgå från principen two stars and a wish man börjar med det man tycker är bra och slutar med sådant man ser behöver utvecklas. 5. Förmå eleverna att ta lärandet i egna händer Att lära sig att värdera och bedöma sina egna prestationer och lärandestrategier är att lära sig att lära själv. I takt med stigande ålder och mognad är det rimligt att eleverna tar över mer och mer av granskningen och bedömningen av sina egna arbetsinsatser. Det är emellertid något de behöver lära sig göra och de behöver lära sig tekniker för det. Att arbeta med olika självskattningsscheman, checklistor eller de formella kunskapskraven för att värdera både sitt kunnande och sin arbetsprocess är steg på vägen mot ökad självständighet i sin egen läroprocess. Lundahl (2011) menar att bedömning ökar interaktiviteten i undervisningen och han anser därför att bedömning är centralt för allt lärande. De fem strategierna ovan riktar fokus på hur eleverna bedöms och hur denna information används. Han anser att arbeta med dessa strategier, någon av dem eller med flera, kan bidra till att skapa bestående förbättringar i det dagliga arbetet i klassrummet. Jönsson (2011) anser att en formativ bedömningsprocess kännetecknas av tre frågor: Vad är målet med undervisningen? Detta måste tydliggöras. Använd både ord och konkreta exempel för att kommunicera innebörden av mål och kriterier. Utnyttja även arbetssätt, som exempelvis själv- och kamratbedömning, där eleverna själva får göra kopplingen mellan sina prestationer å ena sidan och mål och kriterier å den andra. Nästa fråga är: Var befinner sig eleven i förhållande till målet? Detta måste kartläggas. Använd realistiska uppgifter, så att eleverna får möjlighet att visa att de kan använda sina kunskaper i verklighetsnära situationer. Ha stöd i bedömningen av tydliga anvisningar, till exempel bedömningsmatriser, som ger information om elevens kunskaper i kvalitativa termer och bedöm varje mål mer än en gång. Tredje och sista frågan är att ge återkoppling: Vad ska eleven och/eller läraren göra för att eleven ska komma vidare mot målet? Detta sammanfattas på följande sätt: Ge feedback som hjälper eleven att prestera bättre på liknande uppgifter i framtiden. Förlita dig inte bara på ord, utan kombinera återkopplingen med konkreta förslag på aktiviteter som hjälper eleven att närma sig målet eller autentiska exempel på lösningar att jämföra med. För att hjälpa eleverna att bli självständiga och kunna ta ansvar för sitt eget lärande behöver 10

de dessutom övning i självbedömning. Bedömningsmatriser kan användas som stöd för elevernas självbedömning. Dessa tre delar är viktiga i lärande bedömning och de vävs samman till hur man kan planera, genomföra och utvärdera lärande bedömning i undervisningen. Jönsson, precis som Lundahl, menar att det är viktigt att ha dessa frågor aktuella under hela undervisningsprocessen. Lärande bedömning innebär att börja med målen och utifrån dessa planera för hur elevernas måluppfyllelse ska kunna bedömas. Efter detta planeras och arrangeras undervisningen så att dels lärarna får den information som behövs för att bedöma elevernas kunskaper i förhållande till målet, dels att vi som lärare ger eleverna möjlighet att utnyttja informationen till att fortsätta mot målet. (Jönsson, 2011, sid 104) Jönsson (2011) Jönsson (2011) beskriver lärande bedömning integrerad i undervisningen med bilden ovan. Första pilen symboliserar planeringsfasen, den andra pilen undervisningen och den tredje utvärderingsfasen. Undervisningen är uppdelad i två faser: Stöka runt och Bedömning och feedback. När eleverna arbetar i den första fasen prövar de sig fram, lär av sina misstag och kan hitta kopplingar till tidigare aktiviteter. Samtidigt ska eleverna bli medvetna vad målet är och vad de så småningom ska kunna dvs innebörden av målen måste vara tydlig och klar. I denna fas kan hjälp genom konkreta exempel och stöd ges i form av klara instruktioner så att riktningen är klar. I denna fas ska även bedömningar ges utifrån kriterierna och att den feedback som ges används till att förbättra elevernas prestationer. Ges inte möjlighet för eleverna att använda feedbacken är den meningslös. Några bra sätt till detta är att de reviderar en uppgift utifrån den information till förbättringar de fått ifrån läraren, ett annat sätt är att de genomför nya liknande uppgifter. Eleven och uppgiften måste hamna i centrum och vi som lärare måste klargöra vilka typer av uppgifter som de förväntas kunna lösa för att visa upp sin kunskap. De måste också få en chans att öva på liknande uppgifter innan de förväntas behärska dem. En stor del av planeringsarbetet handlar därför om att konstruera bra uppgifter. Förutom att konstruera bra uppgifter måste man också skapa anvisningar för att i förhållande till dessa kunna bedöma hur väl eleverna klarar av uppgiften. Bedömningsmatriser kan vara en lämplig form av 11

anvisningar, eftersom dessa också kan stödja elevers lärande, samtidigt som de kan bidra till högre tillförlitlighet och validitet i bedömningen. (Jönsson s 106) För att kunna konstruera en bedömningsmatris måste man dels ha kriterier som visar kvaliteter som ska beaktas i bedömningen, dels formulera nivåbeskrivningar, vilka ska visa på vilken nivå eleverna befinner sig på. Till hjälp för detta finns betygskriterier, och de är lämpliga att utgå ifrån eftersom bedömningsmatriser för att vara giltiga bör konstrueras utifrån målen och kunskapskraven i kursplanen, och endast innehålla aspekter som kan härledas härifrån. (Jönsson, sid. 107) Att som lärare förbättra sin undervisning sker bäst genom att studera elevernas resultat och på så sätt se vad som kan förbättras i sin undervisning för att få eleverna att nå högre resultat. 3:4 Feedback och lärande För att eleven ska nå längre i sin matematikutveckling så måste hon/han få reda på sina styrkor, svagheter och möjliga vägar framåt och feedback är då centralt. För att feedback ska leda till ett ökat lärande så måste läraren förstå skillnaden på hur elevens nuvarande position och det förväntade målet ska kunna överbryggas (Jönsson, 2010, Lundahl, 2011). Det verkar som både positiv och negativ feedback har inverkan på elevers lärande, men det finns en skillnad mellan hög- och lågpresterande elever. Högpresterande elever verkar bli hjälpta och sporras av små hintar medan lågpresterande elever behöver oftast stöd för att klara av uppgiften och bygga upp självförtroendet (Skolverket, 2011) Om vi jämför muntlig och skriftlig feedback så verkar skriftlig feedback mer neutral och ge bättre effekt (Skolverket 2011). Det är viktigt att återkopplingen till eleven riktas mot innehåll och uppgift, inte mot person. Återkoppling eller feedback bör bestå av en eller flera av följande delar Vilken kunskap har eleven visat hittills? Hur står sig elevens visade kunskap i förhållande till kunskapsmålen i matematik? Vad ska eleven och läraren inrikta sig på för elevens fortsatta lärande? Det är viktigt att återkopplingen ger eleven information om visad kunskap och hur hon/han ska arbeta vidare i förhållande till kunskapsmålen. Återkopplingen bör inte samtidigt innehålla poäng eller betyg på uppgiften. I undersökningar har det visat sig att elever som fått både kommentarer och poäng/betyg oftast inriktat sig på poängen/betyget och lagt mycket liten vikt vid kommentarerna (Pettersson m fl, 2012). Forskarna Hattie och Timperley har skapat en modell för framåt syftande feedback. I deras modell används tre frågor som utgångspunkt: Var är jag nu? 12

(feedback); Vad är målet? (feed-up) och Hur ska jag komma vidare? (feedforward). Timberley och Hattie skiljer vidare mellan fyra olika nivåer som återkoppling kan ges på: uppgiftsnivå, processnivå, metakognitiv nivå och personlig nivå (Skolverket, 2011). Återkoppling på uppgiftsnivå är så specifik så att den inte är generaliserbar på andra uppgifter än just den uppgift återkopplingen ges på. Den är ofta inriktad på att korrigera fel eller efterfrågar ytterligare information som gäller fakta- och begreppsförståelse. Återkoppling på processnivå är knuten till process- eller färdighetskunskaper men även till förståelse av begrepp eller sammanhang. Det kan handla om att hitta felkällor eller utveckla strategier för att genomföra uppgiften. Denna återkoppling är generaliserbar till andra uppgifter vilket gör att den kan stödja elevernas lärande på ett bättre sätt än den uppgiftsrelaterade återkopplingen. Återkoppling riktad mor förmågor som eleven ska utveckla är exempel på återkoppling på processnivå. Återkoppling på metakognitiv nivå för att eleverna ska kunna använda återkopplingen behöver deras förmåga att bedöma sig själva och ta ansvar för sitt eget lärande stärkas. Denna återkoppling tjänar till att stärka elevens tilltro till sin egen förmåga och vilja att själv gå vidare i sitt lärande. En sådan återkoppling kan bestå av frågor som uppmuntrar eleven till egna beslut och vägval i arbetet med en uppgift. Det har visat sig vara viktigt att även denna återkoppling har en tydlig koppling till ämnet eller arbetsuppgiften och inte är hållen i alltför generella termer. Självbedömning är en form av metakognitiv nivå, här är det viktigt att feedbacken inte blir något som eleven blir beroende av ifrån lärarens håll utan att båda parter kan se vad som behöver förbättras och eleven blir en aktiv part i bedömningen. Ett exempel på självbedömning är när eleven jämför sitt svar med ett modellsvar och undersöker vilka likheter och skillnader som finns med den egna lösningen. Ett annat sätt är att påvisa tre elevexempel och att jämföra sin egen lösning med denna och sätta den i relation till exemplen. Vad kan jag göra bättre? Återkoppling på personlig nivå kan bestå i ospecificerat beröm. Denna återkoppling har sällan en positiv inverkan på lärandet bl a för att den sällan innehåller tillräckligt med information för att eleven ska kunna använda den till att förbättra sin prestation. Återkoppling som endast består av betyg kan också uppfattas som riktad mot eleven som person riskerar då att fokusera eleven istället för uppgiften. Detta kan påverka motivationen i synnerhet för elever som får låga betyg eller omdömen. 13

Återkoppling kan bidra till att eleven värdesätter lärandet i sig och det kan leda till att eleven vill öka sin kompetens genom att tillägna sig nya kunskaper om hon tror sig kunna det göra detta. Det är viktigt att lärare förmedlar att framgång i studierna är beroende av faktorer som eleven kan påverka, exempelvis ansträngning. Jönsson (2010) menar att det som forskning har visat inte leder till något positiv inverkan på lärandet är när omdöme ges till person och inte till insatsen, när feedback ges med för stort intervall mellan uppgift och återkoppling, muntlig feedback kan upplevas mer personligt än skriftlig. För att feedback ska tas emot på ett bra sätt kan man visa hur en bättre prestation kan se ut. På sikt kan man försöka att få eleven att känna igen en prestation av bättre kvalitet och även kunna se sina egna fel i relation till denna. Ska återkoppling på uppgiftsnivå fungera bra är det viktigt att den kopplas tydligt till uppgiften och inte är för generell. Vill man få eleverna mer aktiva så kan denna/liknande uppgift ges igen, då blir informationen mer viktig att tas in. Faran med denna återkoppling är att den blir uppgiftsspecifik och informationen kan vara svår att använda igen. Sker återkoppling på processnivå blir det kunskap som ska användas i flera likartade uppgifter. Då kan man revidera en uppgift och lämna in den igen eller använda den feedback man fått i en kommande uppgift. När feedback används konstruktivt blir det feedforward, annars blir den endast information. Som lärare bör man planera in elevernas bearbetning av återkopplingen som en naturlig del av undervisningen. De kan ges möjlighet att arbeta med liknande uppgifter där återkopplingen från en tidigare uppgift kan användas eller de kan få möjlighet att revidera en uppgift efter återkoppling som getts. Viktiga faktorer för att återkopplingen ska stödja elevens lärande verkar vara att den är utvecklad dvs innehåller förklaringar, exempel och förslag på aktiviteter som eleven kan använda för att öka sitt kunnande samt att den är återkommande och genomförs ofta. (Skolverket, 2011) Återkoppling kan dokumenteras på flera olika sätt. Det kan t ex skrivas på en uppgift som eleven får tillbaka, det kan skrivas i en loggbok eller ett analysschema. Bedömningsmatriser kan vara ett användbart verktyg vid återkoppling (Pettersson m fl, 2012) 3:4:1 Själv- och kamratbedömning Kunskapsbedömning i skolan har beskrivit självbedömning som ett arbetssätt där eleven reflekterar över kvaliteten på sitt arbete, gör en bedömning mot matrisen för uppgiften och får sedan möjligheten att göra om den eller så vet eleven vad den ska träna mera på (Skolverket, 2011). Lundahl och Jönsson har båda skrivit mycket om detta men på olika sätt. Lundahl menar att målet är att hitta strategier för att tydliggöra elevernas eget ansvar och möjligheter. Genom detta kan de 14

förändra sitt eget lärande. Självbedömning kan enligt Lundahl vara att efter ett genomfört prov ges möjlighet att revidera sitt resultat. Självskattning är enklare form då eleven ser vad skillnaden är mellan då och nu. Jönsson menar att faran med feedback från läraren är att det kan bli beroendeframkallande, därför är det viktigt att eleverna tar eget ansvar för sitt lärande. Han punktar ner det som anses vara viktigast för eget lärande. I första hand ska självbedömningen göras för elevens skull, informationen kan användas av läraren men i första hand elev- och lärandecentrerad. Det bör göras kontinuerligt och som en integrerad del av undervisningen. Det mest effektiva sättet att lära sig självbedöma är att göra det tillsammans med läraren. Här menar Jönsson att det är viktigt att kommunicera med eleven vad den ska kunna göra med sina kunskaper. Då först kan de ta ansvar och veta vad de ska sträva mot för mål. Sedan ska eleven identifiera styrkor och svagheter, vilket underlättas om man kan jämföras med konkreta exempel, då det visas på vilka kvalitetsskillnader det finns mellan de olika nivåerna. Genom kamratbedömning kan eleverna få hjälp med att finslipa sina självbedömningskunskaper, de kan se var de befinner sig i förhållande till målen genom att studera andras arbeten. Genom att bedöma andra kan de bättre bedöma sin egen förmåga, de blir bättre på att ge feedback. Jönsson menar också att vissa studier visar att eleverna föredrar kamraters feedback då de ibland kan förklara bättre för varandra än lärare och elev. Kamratbedömning kan vara ett mellansteg till självbedömning, då kan man identifiera styrkor och svagheter hos någon annan utan att vara personligt engagerad. Lundahl menar att kamratbedömning är att aktivera eleverna som lärresurser för varandra. Kamraterna ska engageras i resonemang och argumentation och lära sig bedöma kvaliteten på ett bra matematiskt arbete och detta stärker det egna lärandet. Genom att diskutera elevernas resultat offentligt leder det också till att det är ok att ha fel. Några metoder är att använda checklista med kvaliteter på uppgiften och vid bedömning börja med det konstruktiva och fortsätta med det som ska åtgärdas och utvecklas, tänka two stars and a wish. 3:4:2 Bedömningsmatriser Bedömningsanvisningar används för att bedöma kvalitativ kunskap. Bedömningsanvisningar är en central komponent för att få tillförlitlighet (samma resultat oavsett vem som bedömer) och validitet (bedömer det som avses att bedömas) i bedömningar, då passar bedömningsmatris eftersom det är en form av detaljerad bedömningsanvisning som beskriver elevprestationer av olika kvalitet. Det utmärkande är att de innehåller kriterier (dvs de kvaliteter, aspekter som ska bedömas) och kvalitativa nivåbeskrivningar för dessa kriterier. Matrisen kan vara uppdelad så att den bedömer varje kriterium för sig (analytisk) eller mer övergripande (holistisk). En analytisk ger information om 15

styrkor och svagheter i förhållande till kriterierna, detta ger inte en holistisk matris. Därför är den analytiska matrisen bäst för lärande bedömning. (Jönsson, 2010) Pettersson m. fl. (2011) beskriver flera olika exempel på bedömningsmatriser Kvalitativ nivå Aspekt Matematisk kunskap Strategisk kunskap Kommunikation Ej godtagbart Påbörjat Godtagbart Utmärkt Elevarbetet visar att det finns brister i elevens begreppsförståelse eller allvarliga fel görs vid beräkningar Gör inget försök eller använder en helt olämplig strategi Redovisningen är mycket knapphändig och svår att tolka Elevarbetet visar någon begreppsförståelse och arbetet kan innehålla räknefel. Använder en lämplig strategi för de delar som tolkats korrekt Redovisningen är möjlig att följa Elevarbetet visar god begreppsfärtåelse men kan innehålla mindre allvarliga räknefel (slarvfel) Använder en lämplig strategi eller använder en strategi som kunde ha lett till en lösning om den används korrekt Elevarbetet visar mycket god begreppsförståelse, beräkningarna är korrekta och den matematiska terminologin är lämplig och korrekt Använder om det är lämpligt en generell strategi Välstrukturerad och fullständig lösning (Petterssom m. fl. s 38, 2011) Matrisen blir tydligare om aspekterna definieras tydligt och den blir enklare att använda om aspekterna inte överlappar varandra. En bedömningsmatris fyller en bättre funktion om den används i formativt syfte dvs om den används för att följa och stödja en elevs utveckling i ett ämne (Petterssom m fl, 2011) Forskningen har visat att en matris har hög tillförlitlighet om den är analytisk och uppgiftsspecifik samt har få nivåer. Det är viktigt att nivåerna är flera för att kunna ge en nyanserad feedback och att informationen är så generell att eleven kan ha nytta av den i kommande uppgifter. För validiteten skull bör de vara konstruerade utifrån kunskapskraven. Bedömningsmatriser kan även användas i feedbackprocessen. Eftersom matrisen innehåller en kombination av kriterier och nivåbeskrivningar kan den användas genom att den innehåller feedback formulerad på förhand. Det finns direkt ett konkret förslag på förbättringar. Nackdelen kan vara att det tar tid att skapa matriser men forskning visar att bedömningsarbetet går så mycket snabbare så tiden tas igen där. (Jönsson, 2011). Den feedback som ligger på processnivå kan täckas in eftersom den innehåller centrala kvaliteter för återkommande uppgifter. Feedback på metakognitiv nivå kan stöttas på två sätt, dels användas 16

för att själva bedöma sina prestationer då de tydligt ser hur de ligger till men också genom att de ser vad nästa steg är i sitt lärande. Det är viktigt hur man använder matrisen. Vad gäller självbedömning är det svårt för eleven att själva tolka och förstå det som står. Det är därför viktigt att visa på konkreta exempel eller att de övas i att använda den genom att gemensamt lösa en uppgift som bedöms utifrån matrisen. Forskning har visat att det är kombinationen av bedömningsmatris och undervisningsinsatser (självoch kamratbedömning) som leder till bättre lärande. 4 METOD 4:1 Allmänt om metod Inom forskningsmetodiken talas det om kvantitativ inriktad forskning, där det handlar om statistiska analyser, och kvalitativt inriktad forskning, där det ägnas åt verbala analyser. Inom den kvantitativa forskningen finns standardiserade tillvägagångssätt vilket gör att riskerna att misslyckas minimeras. Inom den kvalitativa forskningen gäller det att tolka och förstå människors upplevelser. Inom detta finns inte någon bestämd metod hur man metodiskt går tillväga vid bearbetningen. Ofta får forskaren försöka hitta en metod hur man kan arbeta med det kvalitativa materialet, ibland genom att leta kategorier, mönster, teman. Traditionen inom forskningen är att det tillvägagångssätt som används ska producera ny och säker kunskap, vilket gjort att metodvalet inom lärande och ämnesdidaktik är omdiskuterat då utvecklingsforskning istället leder fram till ny riktning för forskningen. En forskningsansats som vuxit fram genom metodologiska erfarenheter är fenomenografin och har inom didaktiken fått stor genomslagskraft. En återkommande ståndpunkt inom fenomenografin är att det är först när den lärandes tänkande blir synligt som läraren kan utveckla en förståelse om hur den lärande behandlar ett visst undervisningsinnehåll. (Kvalitativ metod och vetenskapsteori,1998). Utgångspunkten är hur någon annan människa uppfattar en företeelse eller en aspekt i världen. Utifrån fenomenografin har sedan flera forskningsmetoder haft sitt ursprung, en av dem är Learning Study. Vidare har den forskning som bedrivits inom skolan varit universitetsbaserad akademisk forskning. Mycket av den forskning som bedrivits inom utbildningsområdet har handlat om undervisning istället för de frågor som lärarna har att arbeta med. Detta har resulterat i slutsatser kring ramarna för undervisningen än om undervisningen som sådan. Det är viktigt att forskning bedrivs som kan användas i undervisningen. (FOU,Carlgren, 2012) Intresset har ökat för klassrumsforskning där lärarens verksamhet varit i fokus. 17

Denna form av forskning har gått under många olika namn; designexperiment, designforskning, utvecklingsforskning, formativ forskning, aktionsforskning, learning studie, lesson studie. Gemensamt för dem är att lärare och forskare samverkar, det sker i ett cykliskt förlopp och prövar en teorigrundad undervisningsform. Ett gemensamt namn för detta har föreslagits vara Utvecklingsforskning. Gemensamt för dessa är att de är kollaborativa (lärare och forskare i samverkan), interventionistiska (man studerar inte den praktik som är utan prövar specifika mer eller mindre teorigrundade utformningar av undervisningen) och iterativa (cykliska förlopp där teori och praktik ömsesidigt påverkar varandra i ett antal på varandra följande cykler). På olika sätt bygger de över gapet teori-praktik, involverar lärare och arbetar direkt med att förändra och utveckla klassrumspraktiken. (FOU, Carlgren, 2012) 4:2 Designforskning Laila Gustavsson & Anna Wernberg ( Lärande i skolan 2006) beskriver designforskning enligt följande: Designexperiment skapades för att kunna genomföra goda forskningsarbeten inom utbildningsvetenskapliga områden. Detta var ett nytt metodologiskt sätt att angripa kunskap kring lärande och hur lärandemiljöer påverkar lärande och undervisning. Designexperiment genomförs genom att först ta del av forskning kring lärande, detta ska sedan förbättras och testas i undervisningen, därefter förbättra designen på det sätt man anser behövas och sedan prövas igen. Det svåra har varit att ta fram en struktur med summerande utvärdering men det är viktigt att ha varierande utvärderingstekniker, både kvalitativa och kvantitativa. T ex lärande kan mätas genom för- och eftertest, engagemang och experimentets användbarhet mäts genom observationer och intervjuer. Fortfarande förs diskussioner hur pass vetenskapliga designstudier är eftersom det ännu inte utvecklats till att ha en bra fungerande metodologi. 4:3 Aktionsforskning Aktionsforskning beskrivs av Rönnemark i tidskriften Forskning om undervisning och lärande nr 5 2012. Aktionsforskning är en process i flera steg; Planera agera observera reflektera. Något som man vill undersöka i sin praktik tas fram, aktiviteter genomförs som observeras och analyseras. Efter detta följs diskussioner vad denna nya kunskap kan leda till. Dessa leder i sin tur till nya frågor som kräver nya aktioner och nya reflektioner. För att kunna följa processen används olika verktyg, dessa kan vara dagboksskrivande, intervjuer och dokumentation av det egna utvecklingsarbetet. Denna process ger återkommande kritisk granskning och ger verktyg som kan förkastas eller utvecklas till det bättre. Inom denna form finns det ofta forskare med som styr en grupp pedagoger. Den viktiga delen är att man kollegiemässigt delger varandra sina erfarenheter och reflektioner, detta leder då till kollektiv kunskap. Aktionsforskning ska ha ett kritiskt och frigörande perspektiv så 18

att inte dominerande metoder förstärks. 4:4 Variationsteorin Learning study är en teoretiskt förankrad modell för en systematisk utveckling av undervisningen. Man sätter upp lärandemål, gör upp en plan för genomförandet, genomför och utvärderar resultatet. Efter detta görs en revidering och nytt genomförande. Inom detta används variationsteorin. Variationen består inte i att hitta olika metoder att undervisa om objektet utan det är istället olika sätt att presentera för eleverna de aspekter som är kritiska för att förstå ett lärandeobjekt. Ett matematiskt begrepp förstås på olika sätt och inom begreppet finns olika kritiska aspekter som ska urskiljas och läras in. Då är det viktigt att först förstå vad man ska kunna se inom detta begrepp, vad som ska lyftas fram, och sedan skapa variationsmönster som gör det möjligt för eleven att urskilja dessa kritiska aspekter inom lärandeobjektet. 4:5 Metodval Genom vår utvecklingsforskning har vi kommit i kontakt med följande forskningsmetoder; designforskning, aktionsforskning och variationsteorin. Vi har inte arbetat aktivt efter någon modell utan vi bedömer att vi huvudsakligen arbetat med aktionsforskning då vi arbetat cykliskt med formativt lärande. Vi har genomfört intervjuer i början av arbetsåret, därefter använt oss av olika aktiviteter, såsom kamrat- och självbedömning och bedömningsmatriser, i det formativa lärandet. Vi har observerat elevernas eget lärande och följt hur deras matematiska färdigheter utvecklats och vilken kännedomen de skaffat sig om sina egna matematiska förmågor genom det vi genomfört. De aktiviteter för formativt lärande vi använt i klassrummet har efter genomförande analyserats av oss och efter det reviderats, för att på nytt genomföras i klassrummet. Det vi främst har använt oss av i denna del är kamrat-, självbedömning och bedömningsmatriser. Vi har kontinuerligt haft kollegiala diskussioner då vi utvärderat och skrivit ner våra reflektioner och kommit fram till förändringar i vårt arbetssätt som vi sedan prövat på nytt. ( aktionsforskning). Variationsteorin finns med genom att vi är noga med hur matematikens kritiska punkter presenteras för eleverna. Vårt mål är att hela tiden arbeta på ett sätt som plockar fram den variation i lärandet som gör att det kritiska i inlärningen får stort utrymme. Visar t ex självbedömning och/eller kamratbedömning att eleverna inte förstått ett moment så har vi diskuterat det och försökt förstå vad som är kritiskt med just det momentet. Vi har diskuterat och hjälpt varandra med hur vi på ett bättre och tydligare sätt kan presentera för eleverna det vi vill att de skulle förstå. 4:6 Tillförlitlighet Reliabiliteten på intervjuerna är hög, anser vi, då vi genomfört den i lugn miljö, spelat in den, transkriberat och analyserat den. 19

Validiteten på det vi undersökt, menar vi också, är relativt hög. Vi har genomfört det vi satt upp som mål men med olika intensitet och noggrannhet. Genom att genomföra aktionsstudier så synliggörs delar av undervisningen som inte var tänkt att belysas lika starkt. Varje genomförd undervisningssituation har lett fram till en ny form av aktivitet. Denna nya aktivitet kunde inte förutspås utan gavs utifrån det resultat som kom fram. 5 GENOMFÖRANDE 5:1 Undersökningsgrupp Vi är mentorer i varsin årskurs 7 klass så det blev naturligt att vi valde just denna åldersgrupp. Den ena klassen består av 22 elever och den andra av 25 st. Vi har undervisat i dessa klasser sedan vi blev mentorer för dem i årskurs 6, dvs i ett år innan vi startade detta projekt. 5:2 Tidsram/ämnesinnehåll Vi har under läsåret arbetat med fem olika områden inom matematik: geometri ( skala), taluppfattning (bråk, decimaltal och procent), tabeller och diagram, mönster och algebra och geometri omkrets och area. Inom dessa fem områden har vi arbetat medvetet med formativ bedömning. Efter varje område har vi utvärderat hur det har fungerat i elevgrupperna och genom enkäter, diskussioner och analyser av elevernas pedagogiska planeringar, kamrat-, självbedömningar och matriser kom vi fram till hur förbättringar kunde göras. Allt detta har skett i cykler, vilket medfört att vissa pedagogiska planeringar, kamrat-, självbedömningar och matriser förbättrats flera gånger och vissa någon gång. 5:3 Intervjuer och enkätundersökning Vi valde intervjuobjekt utefter bredd på kunskapsnivå, positivt inställda till att bli intervjuade och elever som inte har så svårt att uttrycka sig. Vid starten för detta projekt genomfördes enskilda intervjuer med 12 elever. Eleverna hade då mycket lite träffat på kamratbedömning och självbedömning. I slutet av projektperioden genomfördes återigen intervjuer, denna gång i grupper om 3-4 elever för att på detta sätt bättre få fram en mer dynamisk diskussion. 20

De frågor vi ställde handlade om kunskap om förmågorna, om de känner till var de ligger i förhållande till kunskapskraven och hur de upplever olika former av självbedömning/kamratbedömning Genom intervjuerna önskade vi även se om det finns samstämmighet mellan elevernas syn på undervisningen jämfört med det vi sett genom vår undervisning. Vi ville även studera om det vi ser som framgångsrikt formativt lärande överensstämmer med eleverna syn och om det kommer fram andra upplevelser som är värdefulla att ta del av. 5:4 Pedagogiska planerings-/utvärderingsträffar Vi träffades en gång i veckan en bestämd tid, ca 1 timme. På dessa möten arbetade vi fram elevpedagogiska planeringar, vilka också innefattade förtest, test, självbedömningsmatris och uppgift för kamratbedömning. Vi diskuterade vilka kunskaper som vi tyckte var viktigast för eleverna att fokusera på. När vi bestämt det så diskuterade vi också vad som skulle kunna vara problematiskt för eleverna att förstå när det gällde ett visst begrepp och hur vi på bästa sätt kunde få dem att förstå. Under arbetsområdets gång utvärderade vi våra egna lektioner och diskuterade vad som fungerat bra respektive dåligt för att senare ta med oss detta i vårt fortsatta arbete. Under året hade vi fyra heldagsträffar. På dessa träffar diskuterade vi forskning och annan litteratur som vi läst som handlade om just vårt område. Utifrån det vi läst bestämde vi vad det var vi ville testa i klassrummet. Vi lyfte fram det vi sett i undervisningen och enades om vad som var viktiga delar att arbeta vidare med. Vi planerade i stort vad varje arbetsområde skulle handla om. Vi ägnade mycket tid till att diskutera hur vi kunde ge feedback, till eleverna så att de skulle se sitt egna lärande och kunna ta nästa steg. 5:5 Förmågor och kunskapskrav Vi startade varje arbetsområde med en noggrann pedagogisk planering av vad det var vi ville att eleverna skulle kunna efter att vi arbetat klart med området. Kunskapskraven och de förmågor vi ville att eleverna skulle utveckla var i fokus och vi lade ner mycket arbete på att konkretisera dem så att de skulle vara så tydliga som möjligt (bilaga 1). Till varje arbetsområde konstruerade vi en självbedömningsmatris, vilken vi tittade på tillsammans i början av arbetet och sedan arbetade med när vi hade ca 1-2 veckor kvar av arbetsområdet. För att de senare skulle kunna visa att de utvecklat just de förmågor som vi tänkt så la vi mycket tid på att hitta bra problemuppgifter att arbeta med - vi valde uppgifter från bl a gamla Nationella Prov, Skolverkets Diagnosmaterial och Nämnaren. Vi diskuterade också hur vi sedan skulle bedöma deras prestationer eftersom det är viktigt att redan från början av ett arbetsområde ha tankar om hur 21

bedömningen ska gå till. Tillsammans bestämde vi problemlösningsuppgifter och arbetade fram bedömningsmatriser. 5:6 Återkoppling 5:6:1Deltest/kamratbedömning Ca två veckor efter start av ett arbetsområde fick eleverna den första bedömningsuppgiften. Vi kallade den deltest (bilaga 2). På denna uppgift arbetade eleverna med kamratbedömning. Lektion 1 arbetade eleverna enskilt med uppgifterna och när de var klara samlade vi in allas lösningar. Lektion 2 får varje elev någon annans lösning för att ge respons på den i förhållande till hur hon/han löst uppgifterna (bilaga 3). De ska försöka hjälpa den elev som de ger respons på till att förbättra sina lösningar. På bedömningsunderlaget (bilaga 3) skriver de två saker som är bra med arbetet och ett förslag till förbättring (two wishes and a star). Vi samlade in allas arbeten och gav sedan tillbaka deltestet med tillhörande kamratbedömning. Nu fick eleverna tid till att revidera sina uppgifter och visa att de kanske hade förstått mer. Innan de lämnade in uppgifterna för bedömning till oss så gjorde de även en självbedömning med hjälp av en bedömningsmatris (bilaga 4). De förmågor eleverna visade att de behärskade eller eventuellt utvecklade i den här aktiviteten var att använda och analysera begrepp och kommunicera skriftligt. 5:6:2 Självbedömning Eleverna arbetade med självbedömning på flera sätt. Elevernas pedagogiska planering innehåller en självbedömningsmatris (bilaga 1) som används under arbetsområdets gång. Genom att den används aktivt under perioden kan eleven på ett tydligt sätt se sin egen utveckling. När vi konstruerade det slutliga testet (bilaga 5) till eleverna så försökte vi få med en mer omfattande uppgift. Den efterarbetades genom att vi plockade fram elevlösningar på olika nivåer och sammanställde dessa i en PowerPoint. Vi utarbetade en specifik matris på uppgiftsnivå. Eleverna fick tillbaka testet med den mer omfattande uppgiften och tillsammans studerade vi de lösningar vi sammanställt på PowerPoint. Vi diskuterade lösningsförslagen och eleverna var med och tyckte och tänkte om skillnader på de olika sätten att lösa problemet. Vi kunde oftast enas om vad ett bra lösningförslag skulle innehålla jämförelsevis med en som var något sämre. Eleven jämförde därefter sin egen lösning på problemet med lösningsförslagen. Matrisen användes så att eleven skulle kunna jämföra och bedöma sig själva i förhållande till de olika nivåerna. Eleven kunde också få en förståelse för vad som fattades i hans/hennes sätt att lösa problemet. Efter genomgång och diskussion fick eleverna tillfälle att revidera sin egen lösning på problemet. Meningen var att de inte skulle sudda eller stryka något i sin lösning, men däremot göra tillägg och kommentarer om vad de tyckte att de 22

hade förstått mer. 5:6:3 Matriser Vi arbetade fram flera olika matriser, generella för ett helt arbetsområde till specifika för enskilda uppgifter. Vi använde bla kursplanens kunskapskrav lite omskrivna, men också formuleringar på elevnivå. Vi tog hjälp av Lundhals, Jönssons, Petterssons och skolverkets (Nationella Prov) förslag till hur man kan göra bedömningsmatriser till eleverna så att de skulle förstå vad det var vi bedömde. Viktigt var att hitta rätt aspekter för bedömning och hur vi beskrev vad som krävdes för de olika nivåerna. 5:6:4 Test I slutet av arbetsområdet gjorde eleverna ett test som mer var likt ett vanligt prov (bilaga 4). Vi hade med fler uppgifter än i deltestet, de förväntades ju nu kunna mer eftersom vi var i slutet av arbetsområdet. För att eleverna skulle få visa att de tagit del av kamratresponsen och vår feedback så hade vi också med samma typ av uppgifter som på deltestet. Vi samlade in testet, men rättade inte vanlig bemärkelse utan vi gav respons i form av kommentarer så att de fick möjlighet att förändra sina uppgifter. Några exempel på kommentarer som vi kunde ge: R, hur tänkte du här?, hur kan du utveckla detta?, hur kan du förändra så att någon annan förstår ditt lösningsförslag?, varför har det blivit fel? osv. De fick tillbaka sitt test och vi gick igenom den via en förberedd PowerPoint där vi visade hur man kan lösa uppgifterna olika nivåer på lösningar, ofta utifrån elevernas egna lösningar på problemen. Lektionen efter fick de möjlighet att förändra eller göra tillägg i sitt test. De förmågor de visade att de hade utvecklat när de arbetade med det här testet var förmågan att använda och analysera begrepp, välja och använda olika beräkningsmetoder förmågan att skriftligt kommunicera. 6 RESULTAT 6:1 Intervjuer Karaktären på frågorna i början och i slutintervjun skiljer sig en del åt, därför kan man inte göra en direkt jämförelse. Intervjueleverna i början av projektet fick testa på att arbeta efter matris. Deras synpunkter var att man ser hur man arbetar, en av dem är tävlingsperson och tyckte det var mycket bra sätt att se 23

målet på. En av de intervjuade tyckte det var bra för då kunde hon se vad hon skulle öva mera på. De flesta elevers bild av en person som kan matematik var nära knutet till uppgifterna och hur långt i boken man kommit. En av frågeställningarna som vi hade både i början och i slutet av vårt projekt var Beskriv hur en person som kan matematik är? Vid första intervjun förklarade de att den som kan matematik är en person som kommit långt i boken och den som kan lösa svåra uppgifter i boken. I slutet av åk 7 (slutet av vårt projekt) var deras svar istället att en person som kan matematik är en som inte bara ger ett svar utan hon/han kan beskriva sitt tänkande kring en lösning på en problemuppgift. Hon/han kan även förklara för andra hur man löser olika uppgifter så att de förstår. De kan också förklara utförligt vid muntliga presentationer i klassen och de bidrar med att utveckla och bredda diskussionen i klassrummet genom att räcka upp handen vid genomgångar. Vår slutsats här är att eleverna har utvecklat sitt sätt att tänka om vad matematik är. En annan frågeställning var Vad kan man göra för att utvecklas i matematik? Flera elever svarade att de förstod vad de gjort för fel genom den feedback de fått av varandra och av oss och att de sen fick möjlighet att revidera (göra om) uppgiften/uppgifterna. Då fick de känslan av att ha utvecklats från att inte ha förstått till att förstå och få visa det också. Exempel på elevsvar:...det är bra när du visar på tavlan hur andra har löst uppgifterna på olika sätt...olika nivåer...olika bra...och sen att man får göra om...om man vill...så att det inte bara är du som gör...o att man får förbättra så att man inte glömmer bort......man får ju en...öh...en annan som bedömer...inte bara du då...man ser vad andra tycker...o vad man kan förbättra... Och sen, när man löser andras, så ser man att det...om dom inte visat så jättebra så är det ju ganska svårt att tänka sig in i hur dom har tänkt... En del tyckte att nivågruppera efter vad de kunde var ett bra sätt utvecklas eftersom de då kunde få mer hjälp på den nivå de befann sig. Flera elever tyckte att de matriser de arbetat med var ett bra sätt att förstå vilket nästa steg var. 24

Vi tolkar detta som att eleverna har utvecklat sin förståelse för det egna ansvaret för att nå längre i sin kunskapsutveckling I våra två klasser upplevdes kamratbedömning lite olika. I den ena klassen upplevdes det inte så positivt då de kände att den respons de fick av varandra inte var lika seriös som den de fick av sin lärare. Samtidigt kom det fram att de tyckte att det var bra att få se hur andra redovisade sina uppgifter skriftligt. I den andra klassen upplevdes kamratbedömning mer positivt. Först tyckte en del att det var lite obehagligt att ge en kompis negativ kritik. Vi diskuterade detta mycket och kom fram till att om någon annan kan hjälpa en att förstå och lösa ett problem på ett bättre sätt så var ju inte det negativ kritik utan något bra. De tyckte att det både var bra att få hjälp av sina klasskamrater att lösa problemen på ett bättre sätt och det var bra att få se och sätta sig in i någon annan löste problemet. 6:2 Förmågor och kunskapskrav Tidigt i vårt arbete insåg vi att vi måste tydliggöra för eleverna att det är olika förmågor hos dem som vi bedömer (inte antal poäng på prov) och att dessa förmågor kan alla utveckla mer eller mindre. Ett första steg i att tydliggöra detta för eleverna var att vi i planerandet för arbetsområdena också tänkte om och tog fram uppgifter där eleverna fick möjlighet att träna alla förmågor. Ett andra steg var att inte poängbedöma deras bedömningsuppgifter (deltest, större problemuppgift, test osv) utan vi gav istället feedback som hjälpte dem framåt. Vi arbetade på olika sätt i klassrummet med att tydliggöra de förmågor som ligger till grund för bedömningen. Vi prövade att på deras deltest och test skriva vilken förmåga de olika uppgifterna mätte, men insåg snabbt att så kunde vi inte arbeta. Vi bestämde att vi istället skulle lyfta vilken förmåga som eleverna gavs möjlighet att utveckla i de olika aktiviteter som vi höll på med i klassrummet. Genom att göra detta kontinuerligt och ofta så har vi upplevt att eleverna fått en mycket större förståelse för vad det är de ska utveckla för att bli bättre. För att tydliggöra att det är kvaliteten på hur de löser problem, kommunicerar osv som visar på vilken nivå de befinner sig på, så har vi arbetat mycket med att ta fram deras egna lösningar på olika problem. Vi försökte hitta olika nivåer i deras sätt att lösa de lite större problemuppgifterna och sedan sammanställa dessa i en PowerPoint. Vi, som lärare, talade inte om för dem innan vilken nivå vi tyckte att de olika lösningarna var på utan det diskuterade vi tillsammans. Eleverna kom själva fram till vad det var som fattades i ett lite sämre löst problem och vad en lösning på hög nivå skulle innehålla. För att ännu mer tydliggöra kvaliteterna på olika sätt att lösa problem så arbetade vi med äldre Nationella Prov (skolverket.se). Eleverna fick lösa en mer 25

omfattande uppgift från NP enskilt. Vi samlade in dessa och lektionen efter hade vi sammanställt tre olika lösningar på uppgiften, vilka låg på tre skilda nivåer. Vi placerade eleverna i grupper om tre personer. Gruppens uppgift var att bedöma nivåerna på lösningsförslagen samt motivera varför de placerat den på en viss nivå. Den erfarenhet som arbetet med denna uppgift gav var att det var ett mycket bra sätt att tydliggöra olika kvaliteter på lösningar. Att snabbt sammanställa, medan de fortfarande var inne i uppgiften, olika lösningsförslag och sen låta eleverna arbeta i grupp med att diskutera kvaliteter gjorde att de var motiverade och engagerade. De hade tydliga och bra motiveringar till hur de hade placerat de olika lösningsförslagen. 6:3 Återkoppling 6:3:1 Själv- och kamratbedömning Den självbedömning som finns med på elevernas planering har på ett enkelt sätt visat elevernas utveckling före och efter deras arbetsinsats. Kring test och muntlig redovisning har eleverna haft tillgång till checklista (bilaga 5). Den har varit uppskattad. Vid ett test fanns den inte med, då efterfrågades den av eleverna. Vilket tyder på att det var ett bra sätt för dem att kontrollera att de är på rätt spår. Den fungerar inte som någon fusklapp utan bara enkla saker som de kan tänka på under arbetets gång. Efter sista testet plockades elevuppgifter ut, då läraren visade elevlösningar på olika nivåer och eleven kunde jämföra sig mot dem. Detta upplevdes som ett bra sätt att kolla av sig själva eftersom de kunde få en förståelse för var deras nivå låg. Efter genomgången fick de själva markera var i bedömningsmatrisen de tyckte att de befann sig och även försöka att formulera två bra saker med sättet de själva löst problemet på och en sak som de kunde förbättra till nästa gång. Eleverna har blandade synpunkter på kamratbedömning som arbetssätt. En svårighet var om en elev som inte förstått så mycket av själva uppgiften fick en väl genomförd elevlösning, men ändå inte kunde förstå vare sig problemet eller hur den som löst problemet tänkte. I detta fall blev det svårt att ge någon feedback och också ta till sig någon annans sätt att tänka. När det gäller kamratbedömning så är det är enklast att ge feedback på en till två uppgifter och inte flera. Det är bäst när elevlösningen är märkt med nummer och inte med namn, processen blir lättare då och ingen elev behöver få någon kommentar om vems lösning man har. Vi såg tydligt hur bra eleven förstod uppgiften, både genom hur hon/han hade löst den och sedan vilken feedback hon/han gav till någon annan. Genom responsen eleven fått och att hon/han sett någon annans lösning på problemet visar också om eleven tagit till sig detta och förstått bättre. 26

6:3:2Matriser Det har varit svårt att konstruera bedömningsmatriser som eleverna förstår. Vi ville ju att det skulle vara tydligt för dem vilken förmåga eller vilken aspekt det är vi bedömer, samtidigt som det skulle vara tydligt att vi bedömer kvaliteter. De bedömningsmatriser som fungerat bäst har varit de som varit kopplade direkt till uppgifter, dvs uppgiftsspecifika, där de sett tydligt vad nästa steg är. I dessa känner eleven lättare igen sig var hon/han befinner sig just nu och hon/han kan ha nytta av att se vad som krävdes för en högre nivå och ha med sig det till nästa gång när hon/han löser en liknande uppgift. När vi gjorde matrisen för generell blev den också mer otydlig för eleven. I dessa krävdes att vi också gjorde kommentarer som både talade om var eleven befinner sig nu och vad hon/han skulle göra för att ta nästa steg. 6:3:3 Test Vårt planerande började med målen, sen bedömningen och sist innehållet. Att i första hand tänka vad är det vi vill att eleverna ska lära sig, i andra hand tänka hur ska vi bedöma det som vi vill att de ska kunna och sist, utifrån mål och bedömning planera innehållet på våra lektioner har varit annorlunda än så som vi planerat innan. Egentligen borde det ju alltid ha varit så för alla eftersom detta sätt att tänka gör att vi, som lärare kan fokusera mycket mer på det som eleverna ska kunna och då blir det ju självklart mycket tydligare för eleverna också. Deltestet visade om eleverna förstått det vi gått igenom under de två första veckorna. Visade detta inte så bra resultat så kunde vi arbeta lite mer med den förståelsen. Vi tycker det är viktigt att bedöma efter nivåer och använder oss inte utav poängsätting vid bedömning av deltest och test. Detta för att vi inte tycker att olika förmågor inte kan poängbedömas. Vi hittade till slut en bra modell för att tydliggöra för eleven vår bedömning. Vi gav kommentar (R eller kort kommentar) kring varje uppgift på testet, samt summerande kommentar på den medföljande matrisen. Det är viktigt att kommentaren är framåtsyftande. 7 ANALYS AV RESULTATET Det vi tydligt sett är att en väl inarbetad elevplanering ger eleverna god kunskap kring vad som ska läras in. Den blir ett bra verktyg för eleven om den används kontinuerligt i undervisningen. När man börjar ett nytt arbetsområde går läraren igenom målen för området, de förmågor som eleven ges möjlighet att utveckla, 27

begrepp som de ska kunna förklara och kunskapskrav för området. Detta måste hållas levande under hela arbetsområdet. När eleverna arbetar med exempelvis en större problemuppgift lyfter man vilka förmågor de tränar och förklarar vilket mål de just arbetar med att lära/utveckla. Att tydliggöra denna koppling leder till att eleverna mer självständigt kan tänka om vad de behöver utveckla mer och träna på. Vi tycker oss ha sett att eleverna har visat större medvetenhet om sitt eget lärande genom vårt arbete med kamratbedömning och självbedömning. En enkel självvärdering i en självbedömningssmatris (bilaga 1) som används både i början och i slutet av ett arbetsområde gör eleven medveten om att hon/han kan mer efter arbetet med ett matematiskt område. Jönsson och Lundahl beskriver hur man kan arbeta med kamrat- och självbedömning. Vi har prövat flera av deras förslag i vår undervisning och detta har tagits emot på lite skilda sätt i de två klasser vi har undersökt. När det gäller kamratbedömning så har den ena klassen varit mer positiva till det än den andra. De upplever att de har stor nytta av att få se hur någon annan har löst problemet, försöka förstå hur den andre tänker och jämföra det med sitt eget sätt att lösa problemet. Detta leder till att eleven blir medveten om att problemet kan lösas på olika nivåer. Hon/han kan jämföra sig med det lösningsförslag hon/har framför sig och kan på så sätt få en insikt i vilken nivå hon/han själv löst problemet på (metakognition). För att kunna ge bra feedback till sin kamrat så måste de också försöka förstå hur hon/han tänkt och det lär de sig mycket på tyckte de. När de sedan fick tillbaka sin lösning på problemet med kamratresponsen var de elever som inte lyckats så bra motiverade att revidera sin lösning och visa att de förstått mer. Vi tror att skälet till att arbetet med kamratbedömning fungerade olika i våra klasser var att det faktiskt var ett bättre klassrumsklimat i den ena klassen än i den andra. För att kamratbedömning ska fungera som undervisningsmetod så krävs ett bra klassrumsklimat, ett tillåtande klassrumsklimat. Det måste vara ett klimat i klassen där det är ok att säga fel, göra fel och det måste vara ett klimat där det finns en vilja att hjälpa varandra vidare. Att ge feedback till kamrater är inget alla elever är vana vid sen tidigare. För att underlätta för eleverna i arbetet med någon annans lösning kan man ge dem frågor att arbeta utifrån ex: Stämmer lösningen? Om inte, vad är det som inte stämmer och varför? Går det att följa hur hon/han har tänkt? Hur har hon/han visat sin lösning med ord, med bild, matematiska symboler? Med hjälp av frågor av den här typen kan de sen formulera två bra saker och en förbättring. Att diskutera elevernas egna elevlösningar på de mer omfattande uppgifterna på det slutliga testet upplevdes väldigt positivt. Vi försökte hitta olika nivåer på lösningar och sedan sammanställde vi detta i en PowerPoint. När eleverna fått se 28

olika nivåer på lösningar så har de kunnat jämföra och själva fått en mycket större förståelse för vad en lösning på hög nivå ska innehålla och när de förstått en lösning på högre nivå än sig själva så har de velat revidera/göra om sin egen uppgift de har förstått nästa steg och vill visa det. Vi tycker att eleverna fått ett annat kvalitetstänk än innan. De har blivit mer medvetna om att vara bra i matematik inte handlar om att ha gjort flest uppgifter utan mer om på vilket sätt man löser uppgifter och hur man kan förklara det. Att arbeta med deras egna lösningar på olika nivåer har gjort att de själva har kunnat se var de befinner sig i förhållande till målen. Vårt kontinuerliga arbete med att visa elevlösningar på olika nivåer och kamratbedömningar där eleverna kan se hur andra löst uppgifter har lett till att eleverna blivit medvetna om vad det är vi bedömer och hur vi gör det. Eleverna har varit delaktiga i processen hela tiden och kan då på ett mer målmedvetet sätt utveckla det som bedöms. De har visat ett mycket större intresse för att förstå det de inte kunde på bedömningsuppgifter när vi tillsammans går igenom det efteråt. De har också velat få chansen att visa det de har velat ta nästa steg. De matriser vi arbetat med har gett skilda resultat. Ibland kan en generell matris vara bra för att se helheten på ett arbetsområde, ibland kan en uppgiftsspecifik vara det bästa då den visar mer tydligt för eleven vad nästa nivå är. Generellt kan vi säga att eleverna upplevde att det var lättast att förstå de matriser som var uppgiftsspecifika. Om en återkoppling i form av matris och skriftligt framåsyftande omdöme kan hjälpa eleverna att nå högre mål är svårt att dra en slutsats om, på så kort tid som ett läsår. Det vi sett tydligt är att eleverna har blivit mer engagerade och motiverade i efterarbetet med bedömningsuppgifter. Har de förstått nästa steg i matrisen och/eller våra kommentarer (framåtsyftande) så har de velat visa att de faktiskt har förstått mer. Framställandet av bra matriser och framåtsyftande feedback kräver mycket av läraren det tar tid och det kräver oftast att flera lärare diskuterar aspekter och nivåer. Det tar också tid för eleverna att lära sig, men vi ser ändå att på sikt blir detta kraftfulla verktyg för det formativa lärande. Det viktiga är att läraren ser detta som ett långsiktigt lärande för elevgruppen. 8 SAMMANFATTNING OCH DISKUSSION Bedömning en resa med eleverna, är den titel vi gett detta arbete. En resa kan se ut på olika sätt, den kan vara välplanerad av reseledaren men dialogen med resenärerna kan vara mycket liten. De vet vart resan går men vet inget om vägen dit. 29

En resa kan också vara något som sker i samförstånd, alla vet om resans mål, alla vet om vilka stopp på vägen som ska göras och alla vet vad som kan vara intressant att titta närmare på längs vägen. Vår uppfattning är att formativ bedömning, lärande bedömning, är ett arbetssätt, ett annorlunda arbetssätt, både för dig själv som lärare och för eleven. Som lärare måste du förbereda dig för hela arbetsområdet i god tid innan du påbörjar ditt arbete och du måste se att du har en röd tråd genom området. I grunden är det viktigt med en bra pedagogisk planering med några valda delar såsom vad eleven förväntas kunna, de förmågor som ska utvecklas, vad som ska testas, vad vi ska arbeta med, begreppslista, planering och självbedömning. Detta påminner om en resa i samförstånd där alla vet om resans mål och vilka delmål som finns på vägen. Det är svårt att vara ensam i ett förändringsarbete inser vi. Vi träffades regelbundet, en gång per vecka då vi samtalade om hur vårt arbete fortlöpte i klasserna och om hur vi skulle gå vidare. Precis som Jönsson (2011) menar så måste vi synliggöra skolans mål, syften och ämnenas olika kunskapskvaliteter genom att tillsammans göra en tolkning av läroplaner, kursplaner och kunskapskrav. Han menar vidare att tydliggöra mål och kunskapskrav är att konkretisera dem i en tänkt undervisning. Vår uppfattning är att tydliga mål och kriterier är en viktig del av arbetet. Eleverna får en tydlig bild av vad arbetsområdet handlar om, om den används kontinuerligt under arbetsområdets gång och arbetas med mer på djupet. Våra pedagogiska planeringar har fungerat som ett bra verktyg för eleverna under hela resans gång. Det är viktigt att tänka på att eleverna inte självmant använder dessa till en början utan vi måste uppmana dem att ta fram dem och tydliggöra för dem vilket mål vi arbetar med just då och vilka förmågor de utvecklar vid just det tillfället. Vi måste uppmana dem att använda de pedagogiska planeringarna kontinuerligt i undervisningen. Detta arbetssätt är också något vi måste vänja eleverna vid, de är inte alls vana att arbeta på detta vis. De måste få tid att vänja sig vid att värdera sina egna lösningar på problem, de måste få tid att diskutera olika nivåer på lösningar, de måste få tid att förstå vad som kännetecknar en lösning på hög nivå från en annan på lägre nivå. Forskning visar att både hög- och lågpresterande elever gynnas av att ge varandra respons, men det är viktigt att eleverna får se och höra goda exempel på konstruktiv kritik, om de ska kunna utveckla ett eget sunt sätt att bedöma andra (Lundahl, 2011). Att kunna ge respons som leder till utveckling för någon annan är inte heller självklart till en början utan det är något vi måste hjälpa dem med. Vi måste lära elever hur man ger respons visa olika lösningsförslag och diskutera nivåer, vad innehåller den lösningen som är bättre jämfört med den som är sämre. 30

Många elever är svarsinriktade. Med det menar vi att när de har löst ett problem, kommit fram till ett svar, så är de nöjda. De försöker inte vrida på problemet eller försöker hitta fler sätt att lösa problemet på. Lärare måste träna dem i detta eftersom de då tränar sin problemlösningsförmåga. Detta är ett kvalitativt sätt att lösa problemuppgifter på och det tar mer tid än vad läraren är van vid. Lärare kan uppleva detta som ett problem om de tänkt hinna med alla uppgifter i boken. Vi upplever istället en vinst med detta arbetssätt eftersom vi kunnat revidera antalet uppgifter som eleverna arbetat med både i undervisningen och vid provtillfällen. Fokus har ju varit att förstå olika kvaliteter på lösningar. Självklart så behövs det en del mängdträning också, men inte alls i den stora kvantitet som innan. Vi har upplevt att det varit svårt att göra bedömningsmatriser begripliga och tydliga för eleverna. Flera forskare säger att en bra matris med kunskapskrav kombinerad med exempel är en bra modell och det håller vi med om. Det verkar som eleverna förstår dessa bäst. Den information som vi lärare samlar in för att bedöma elevers kunskaper med syftet att ge återkoppling till eleverna kan även användas till att utveckla undervisningen. Den information om elevernas lärande som samlas in och tolkas av oss kan användas för att i nästa steg påverka undervisningen. De frågor vi kan ställa oss själva i reflektionen om ett undervisningsavsnitt är - Överensstämmer undervisningen och bedömningen med ämnets syfte och kunskapskrav - Har undervisningen inneburit att jag som lärare kunnat urskilja de kunskaper som undervisningsavsnittet avsett att utveckla? - Har planeringen innehållit möjligheter till själv- och kamratbedömning? - Har eleverna getts möjlighet att ta tillvara den återkoppling som getts? (Jönsson, 2011) Den arbetsmodell som vi arbetat fram och den undervisning som vi bedrev (och gör fortfarande) stämmer väl överens med de nya kursplanernas, Lgr11, intentioner och nationella undersökningars förslag på åtgärder för att förbättra undervisningen och öka intresset för matematik. När vi började vårt projekt var inte Lgr11 riktigt klar och under det året som vi bedrev vårt projekt gav Skolverket ut mycket stödmaterial för att hjälpa lärare med implementering av den nya kursplanen. Våren 2012 kom Kunskapsbedömning i skolan praxis, begrepp, problem och möjligheter (Skolverket, 2011) ut. Denna skrift sammanfattar hela vårt arbete kan man säga. Den stöder sig bl a på Jönssons, Lundahls och Williams forskning om lärande bedömning och det är precis det vi har undersökt i våra klassrum. Det oerhört viktigt att eleverna förstår vad det är vi bedömer och hur vi gör för att de ska komma vidare i sitt lärande. Med vårt förändrade arbetssätt tycker vi oss ha sett ett större engagemang och en större 31

motivation hos eleverna att lära sig matematik. De har blivit mer kvalitetsmedvetna och har förstått att det inte handlar om mängden uppgifter i boken. Detta stöder delvis också våra intervjuer som vi genomförde i slutet av projektet. Det kan vara svårt att bedriva vetenskapliga studier över sin egen undervisning i sina egna klassrum, det är vi helt medvetna om, så reliabiliteten i resultaten kan naturligtvis ifrågasättas. En del av vårt projekt är mer långsiktigt det är ju svårt att svara på om eleverna kan nå högre mål med vårt arbetssätt, men med en större motivation och ett större engagemang att lära sig matematik så borde det vara en rimlighet. Utifrån resultatet av den här studien har vi kommit fram till att detta arbetssätt kan skapa större möjligheter för eleverna att nå högre mål i matematik. 9 REFERENSER Alexandersson, Mikael. (1998). Den fenomenografiska forskningsansatsens fokus Starrin, Bengt & Svensson, Per-Gunnar (red.) Kvalitativ metod och vetenskapsteori. (s 111- ). Lund: Studentlitteratur Andersson, Björn. (2011). Design och utvärdering av undervisningssekvenser. Forskning om undervisning och lärande, 5, 19-27. Barbosa da Silva, Antonia & Wahlberg, Vivian. (1998). Vetenskapsteoretisk grund för kvalitativ metod. Starrin, Bengt & Svensson, Per-Gunnar (red.) Kvalitativ metod och vetenskapsteori. (s 41-65). Carlgren, Ingrid. (2011). Forskning ja, men i vilket syfte och om vad? Om avsaknaden och behovet av en klinisk mellanrumsforskning. Forskning om undervisning och lärande, 5, 65-79. Gustavsson, Laila & Wernberg, Anna ( 2006). Design experiment, lesson study och learning study. Holmqvist, M (red). Lärande i skolan, Learning study som skolutvecklingsmodell. (s 29-49) Lund: Studentlitteratur. Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem. Stockholm:Liber. Hodgen, W. & William, D. (2011). Mathematics inside the black box Bedömning för lärande i matematikklassrummet. Stockholms universitets förlag: Stockholm. Jönson, A. (2011). Lärande bedömning. Gleerups Utbildning AB: Malmö. 32

Lindgren, Gert. (1998). Fenomenologi i praktiken. Starrin, Bengt & Svensson, Per- Gunnar (red.) Kvalitativ metod och vetenskapsteori. (s 91-107). Lundahl, C. (2011). Bedömning för lärande. Nordstedt: Finland. Patel, Runa. & Davidsson, Bo. (1994). Forskningsmetodikens grunder: Att planera, genomföra och rapportera en undersökning. (2:a uppl). Lund: Studentlitteratur. Pettersson, A. m fl (2010). Bedömning av kunskap för lärande och undervisning i matematik. Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapsämnets didaktik: Stockholm. Runesson, Ulla. (2011). Lärares kunskapsarbete-exemplet learning study. Forskning om undervisning och lärande, 5, 7-17. Strandberg, L. (2006). Vygotskij i praktiken Bland plugghästar och fusklappar. Nordstedts: Findland. Skolverket (2011). Läroplaner för grundskolan. Skolverket. (2011) Kunskapsbedömning i skolan. Skolverket http://www.prim.su.se/matematik/tidigare_9.html Skolverket. Diagnostiska uppgifter i matematik för årskurs 6-9. Starrin, Bengt & Svensson, Per-Gunnar. (1998). Förord. Starrin, Bengt & Svensson, Per-Gunnar (red.) Kvalitativ metod och vetenskapsteori. (s 5-8). 33

ARBETSOMRÅDE Algebra Bilaga 1 Efter arbetet med detta område förväntas du kunna: Förmågan att lösa problem Förmågan att välja och använda olika beräkningsmetoder Förmågan att resonera se mönster i olika talföljder och geometriska mönster uttrycka, med siffror och bokstäver (algebraiskt), mönster i talföljder och geometriska mönster tolka olika uttryck förenkla olika uttryck teckna tolka olika uttryck olika uttryck beräkna värdet av olika uttryck teckna ekvationer lösa ekvationer strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden samt värdering av valda strategier och metoder enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer Förmågan att analysera och använda begrepp och samband mellan begrepp Förmågan att kommunicera När vi arbetat klart med ALGEBRA OCH MÖNSTER ska du ha utvecklat din förmåga att lösa problem, förstå och förklara olika begrepp, välja och använda olika beräkningsmetoder och kommunicera muntligt och skriftligt föra matematiska resonemang i uppgifter och problem inom ALGEBRA OCH MÖNSTER. Arbetsmaterial Läroboken (delar av kap 1 och 6) Rika Matematiska Problem /Stenplattor.) Lådor/spel (Algebrakapplöpning, algebra-yatzy) Uppgifter från äldre Nationella Prov Uppgifter för bedömning Rikt matematiskt problem (grupparbete, kamratbedömn.) Deltest (enskilt arbete, kamratbed.) Test (självbedömn.) 34

Bilaga 1 Begrepp att kunna förklara muntligt och skriftligt: algebra uttryck (parentesuttryck, sifferuttryck, bokstavsuttryck) teckna uttryck förenkla uttryck beräkna värdet av ett uttryck ekvation teckna ekvationer lösa ekvationer 35

Bilaga 1 Självbedömning Namn: Hur säker känner du dig i följande situationer? Säker Ganska säker Se mönster i olika talföljder och geometriska mönster Beskriv med ord och symboler hur följande talföljd/mönster är uppbyggt. 4, 8, 12, 16, 20.. Tolka olika uttryck En glass kostar 12 kr och en läsk 18 kr. Förklara vad som menas med a) 3 12 + 18 b) 50 (12 + 2 18) c) 100 12x Förenkla olika uttryck Förenkla följande uttryck så långt det går: a) x+x+x + 2+5 b) 2a+3+a c) y+5+3y+2 d) 5x-x+6+2x Teckna tolka olika uttryck olika uttryck Glassarna kostar 15 kr och godispåsarna 20 kr. Skriv ett uttryck för att Lisa köper två glassar och en godispåse. Skriv ett annat uttryck för vad Lisa får kvar när hon köper en glass och tre godispåsar. Frimärken kostar x kr st och kuvert kostar y kr st. Skriv ett uttryck för att Hugo köper tre frimärken och ett kuvert. Skriv ett annat uttryck för vad Hugo får kvar om han köper detsamma och betalar med 500 kr. Beräkna värdet av olika uttryck Beräkna värdet av 2X + 7 om X = 3 Beräkna värdet av 25 4X om X = 5 Teckna ekvationer Summan av två tal är 120. Det ena talet är tre gånger så stort som det andra. Vilka är talen? Hur långa är rektangelns sidor om omkretsen är 90 cm? Osäker Mycket osäker X 4X Lösa ekvationer Lös ekvationerna: a) 2X + X = 12 b) 5X 8 = 12 c) X + 5 + X = 11 36

Algebra och mönster deltest Bilaga 2 1. Studera följande talföljder. Vilket tal ska stå på raden? a) 1 000 100 10 1 b) 4 9 16 25 c) 13 11 8 4 d) Välj en av talföljderna. Beskriv hur den är uppbyggd på ett eller flera sätt: med bild, ord och/eller formel. e) Gör en egen talföljd. Beskriv på något sätt hur den är uppbyggd. 2. a) Beskriv med ord sambandet mellan längd och bredd i rektangel A. x 5 Rektangel A x (cm) b) Teckna ett uttryck för rektangel A:s omkrets och förenkla det så långt som möjligt. c) En annan rektangel, rektangel B, har 3 gånger så lång längd som längden i rektangel A. Skriv ett uttryck för längden i rektangel B. d) Bredden i rektangel B är 4 cm kortare än bredden i rektangel A. Skriv ett uttryck för rektangel B:s bredd. 37

Kamratbedömning deltest, algebra och mönster Bilaga 3 Namn: Bättre än jag jag lärde mig något av redovisningen. Ungefär som jag inga större brister eller misstag. Inte så bra som min redovisning det finns brister och misstag. Förslag på förbättringar av uppgifterna: Redovisning och matematiskt språk Redovisningen är svår att följa och jag kan inte förstå hur hon/han tänker. Redovisningen är möjlig att följa och omfattar några av uppgifterna. Det är lite svårt att förstå hur hon/han tänker. Redovisningen går att följa och omfattar nästan alla uppgifter. Jag kan förstå hur hon/han tänker. Redovisningen är klar och tydlig och omfattar alla uppgifter. Jag kan lätt förstå hur hon/han tänker när hon/han löser uppgifterna 38

Självbedömning: Bilaga 4 Bedömningen avser förmågan att Nivå 1 Nivå 2 Nivå 3 Nivå 4 förstå och använda begrepp Jag kan inte beskriva något mönster i talföljden. Jag kan inte se/beskriva något samband mellan längd och bredd i rektangeln. Jag kan inte teckna något uttryck för rektangelns omkrets eller de skriva nya uttryck efter de förutsättningar som ges. Jag kan beskriva någon talföljd med ord eller bild. Jag kan också göra en egen talföljd och beskriva den på något sätt. Jag kan beskriva sambandet mellan längd och bredd i rektangeln. Jag kan teckna ett uttryck för rektangelns omkrets, men kan inte förenkla det. Jag kan skriva nya uttryck efter de förutsättningar Jag kan beskriva talföljderna på flera sätt (ord och bild) och jag kan göra egna talföljder och beskriva dem med ord och bild Jag kan beskriva sambandet mellan längd och bredd i rektangeln. Jag kan teckna ett uttryck för rektangelns omkrets och kan förenkla det. Jag kan skriva nya uttryck efter de förutsättningar som ges. Jag kan beskriva talföljderna med ord, bild och formel och jag kan göra egna talföljder och beskriva dem med ord, bild och formel genomföra och analysera (resonemang/kommunikation) Jag har inte visat att jag försökt lösa någon av uppgifterna.. som ges. Jag har visat att jag försökt lösa någon/några av uppgifterna genom att visa någon beräkning eller tanke. Jag har löst någon/några uppgifter och visar mina tankestrategier med exempelvis beräkningar, bilder, tabeller osv. Jag har löst alla uppgifter och visar tydligt mina tankestrategier med beräkningar, bilder, tabeller osv 39

Matematiktest Algebra och mönster Bilaga 5 1. 40

2. Förenkla a) 5a + 2 + 2a + 7 b) 8a + 3 3a + 6 c) 3a + 9 2a -8 3. Hur långa är rektangelns sidor om omkretsen är 60 cm? x 4x 4 a) Anna är 5 år äldre än sin syster Maria. Skriv ett uttryck för Annas ålder om Maria är m år. b) Anna har en bror som heter Karl. I år är Anna dubbelt så gammal som Karl. Skriv ett uttryck för Karls ålder om Anna är a år. c) Skriv en mening om två personers åldrar och skriv också ett uttryck till detta. 5 Vilken av ekvationerna har lösningen x = 2 A: 7 + x = 5 B: x 3 = 5 C: 3 x = 5 D: 10x / 6 = 5 E: 3 + x = 5 b) Skriv en annan ekvation som har lösningen x = 2 6. Lös ekvationerna a) x + x +1 +x +2 = 33 b) x +2 + 3x + 4 = 30 c) 4x + 8 x 3 =23 41

7. Denna tabell beskriver ett samband mellan x och y: x 1 2 3 4 y 6 7 8 9 Sambandet kan skrivas med ord och formel, t ex: Ord: Om man adderar 5 och x får man y Formel: y = x + 5 I a), b) och c) finns tabeller som beskriver olika samband. Beskriv dessa samband med ord och/eller formel. Skriv på så många sätt du kan. a) b) c) x 1 2 3 4 y 2 4 6 8 x 1 2 3 4 y 2 3 4 5 x 1 2 3 4 y 1 4 9 16 8. 7 äpplen kostar x kr. Hur mycket kostar ett äpple i genomsnitt? Vilket uttryck stämmer med detta? A: 7x B: 7 x C: x 7 D: x/7 E: 7/x F: x + 7 9..Skriv en text till en uppgift som man kan lösa med en ekvation: a) 2x + 7 = 30 b) 100 = 16 + 7x c) 0,25x = 30 10. Tycker du att diagnosen tar upp det vi arbetat med under detta område? Motivera! 11. Markera de uppgifter som du är osäker på med ett kryss försök förklara varför du är osäker på dem. 42

Bilga 6 Checklista vid Matematikprov Har du svårt att förstå uppgiften börja med att läsa uppgiften lugnt och sakta. Tänk efter. Vad säger texten? Anteckna det du får veta. Lös en sak i taget. Tänk på att redovisa så att andra kan förstå hur du har tänkt. Tänk på att redovisa strukturerat luft mellan raderna, rätt ordning och lätt att läsa. När du är klar och ska lämna in provet, då gör du en genomgång igen av provet. Kontrollera att svaren är rimliga, att du svarat på det som det frågas efter och satt ut rätt enhet. 43