Diskussionsfrågor Mekanik Frågor markerade med en stjärna ( ) är lite svårare och kan betraktas som överkurs. Kapitel 1 1. Mitt på dagen en solig dag vid ekvatorn kastar du iväg en boll. Hur rör sig bollens skugga på den plana marken? 2. (a) En flicka tittar ut från tjugofjärde våningen i ett höghus med en tegelsten i handen. I samma ögonblick tittar en pojke ut från tjugonde våningen, också han med en tegelsten i handen. Båda släpper i pur förvåning sina tegelstenar. Kommer avståndet mellan tegelstenarna att variera under deras färd mot marken, och i så fall hur? (b) Pojken och flickan sitter tillsammans på tjugofjärde våningen och släpper sina tegelstenar med en sekunds mellanrum. Hur kommer då avståndet mellan tegelstenarna att vara under färden mot marken? (c) Varför blir en vattenstråle tunnare en bit nedanför kranen? 3. Betrakta en gevärskula som skjuts vertikalt upp i luften, och sedan när den kommer ner igen tränger ner en liten bit i marken. (a) Rita ett diagram som kvalitativt visar gevärskulans acceleration, från strax innan den skjuts iväg tills strax efter att den landat på marken. Försumma luftmotståndet. (b) Diskutera hur diagrammet du ritade i (a) bör modifieras om man ska ta hänsyn till luftmotstånd. 4. Betrakta en leksaksbil som åker längs en friktionsfri bana. Först är banan helt rak men lutar nedåt i 45 grader, sedan gör den en vertikal cirkulär lop (drygt ett varv) varefter den blir helt rak och horisontell. Rita upp banan, och ange (kvalitativt) hur accelerationsvektorn bör vara för bilen i olika punkter längs banan. Fundera över både storlek och riktning hos vektorn. 5. Föreställ dig några veckor in i framtiden. Du och dina vänner diskuterar en mekanikuppgift som handlar om en tom tunna med radie R och massa M som rullar nerför en slänt med lutningsvinkel. Uppgiften går ut på att räkna ut hur lång tid det tar för tunnan att rulla sträckan L nerför slänten om den startar från vila. Dina vänner har försökt lösa problemet var för sig, men tyvärr har alla kommit fram till olika svar. Nämligen dessa: R 2 (a) T =2 gl sin (b) T = g L sin
L (c) T =2 gsin (d) T = L g cos (e) T = M L g cos Utan att själv ha funderat på uppgiften, och utan att titta på dina vänners lösningar, drar du slutsatsen att endast ett av svaren kan vara rätt. Vilket, och vad är det som gör de andra förslagen otänkbara? Kapitel 2 1. Du skjutsar iväg ett (oöppnat) mjölkpaket över köksbordet. Spelar det någon roll på vilken sida mjölkpaketet glider för hur långt det kommer innan det stannar? 2. En stund efter att en fallskärmshoppares fallskärm har vecklat ut sig blir hennes acceleration noll. Varför? 3. En geostationär satellit är sådan att den befinner sig över samma punkt på jordytan hela tiden. Hur beror banan på satellitens massa? Hur många geostationära banor finns det kring jorden? 4. Två bollar har samma storlek, samma form, och samma ytstruktur. Enda skillnaden mellan dem är deras massa: en är tung och en är lätt. Om bollarna släpps i vakuum faller de naturligtvis lika fort till marken, men hur blir det om de släpps i vanlig luft? 5. Åt vilket håll verkar friktionskrafterna från underlaget på hjulen (a) när en bil accelererar? (b) när en bil bromsar? 6. Betrakta en stor bil som skjuter på en mindre bil på en horisontell vägbana. Sätt ut de horisontella krafter som verkar på respektive bil, med rimliga storleksförhållanden, i ett ögonblick då ekipagets fart ökar. 7. En person går in i en hiss, åker upp en våning, och går ut ur hissen. Rita ett diagram som visar kvalitativt hur spännkraften i hisslinan varierar under förloppet. 8. Är det i halt väglag lättare att svänga med en tung bil än med en lätt?
9. När du på en restaurang eller i en matsal tar en tallrik ur en tallriksstapel, så stiger stapeln med kvarvarande tallrikar upp precis så mycket att nästa tallrik hamnar på samma nivå som den du just tog. (a) Förklara hur man kan få detta att fungera med hjälp av en fjäder. Vilken egenskap hos fjäderkraften är det som är viktig? (b) Gör en uppskattning av hur stor fjäderkonstanten bör vara för att det ska fungera för en realistisk tallriksstapel. Vilken egenskap (eller vilka egenskaper) hos tallrikarna spelar in? Kapitel 3 1. (a) Ur en cirkulär träskiva sågar man ut en cirkel som tangerar träskivans omkrets, och med en radie som är precis hälften av träskivans. Var ligger masscentrum för återstoden av träskivan? (b) Begrunda lösningsmetoden i (a) mer allmänt. I vilka fall kan man räkna på detta sätt? Förklara också med utgångspunkt i definitionen av masscentrum varför det är möjligt att räkna så. 2. Det har hävdats en smula fördomsfullt att om alla kineser hoppade jämfota på samma gång så skulle jordens bana kring solen ändras något. Stämmer detta? Mer allmänt, vad måste till för att jordens bana ska ändras? Kapitel 4 1. Hur högt skulle du kunna hoppa i höjd om du utförde hoppet på månen? (Månens massa är cirka 7,4 10 22 kg och dess radie cirka 1700 km.) 2. Vad är värmeenergi/friktionsenergi? Varför måste den hanteras annorlunda än kinetisk och potentiell energi i mekaniken? 3. Betrakta en Newtonvagga (d.v.s. en serie kulor upphängda i snören så att de precis ligger an mot varandra). Om två av kulorna till vänster lyfts upp och släpps så att de slår i kulraden, så kommer alltid två av kulorna till höger att fara ut. Hur vet kulorna till höger att det är just två av dem som ska fara ut skulle det inte gå lika bra att exempelvis bara en kula for ut men med dubbla farten? 4. Föreställ dig att man borrar ett hål rakt igenom jorden och släpper ner en boll däri. Vad är potentialfunktionen för bollen i hålet om man antar att jorden är homogen och perfekt sfärisk?
Kapitel 6 1. (a) Du väger dig på en balansvåg på månen. Vad visar vågen? (En balansvåg funkar så att en tyngd flyttas längs någon slags hävstångsarm tills den balanserar vikten av det som skall vägas.) (b) Ge exempel på en annan konstruktion av vågen, sådan att utfallet blir ett annat än i (a) om vågen används på månen. (c) Hur påverkas mätnoggrannheten i fallet med balansvågen av om man väger sig på jorden, på månen eller i en satellit i bana runt jorden? 2. Begrunda följande metod för att dela en julgran i två lika tunga delar, en toppdel och en nederdel. Balansera granen över en bock. Kapa stammen i den punkt där bocken befinner sig när granen väger jämnt. Fungerar detta? Om inte, vilken av de två delarna kommer att vara tyngst, och varför? 3. Betrakta ett hjul som ligger an mot ett underlag, säg till exempel att det är ett av hjulen hos en bil. Säg att vi betraktar hjulet från sidan och att det då roterar medurs och att det rör sig åt höger. Betrakta följande fyra fall: (a) Hjulet accelererar och friktionskraften på hjulet från underlaget är riktad åt höger. (b) Hjulet accelererar och friktionskraften är riktad åt vänster. (c) Hjulet retarderar och friktionskraften är riktad åt höger. (d) Hjulet retarderar och friktionskraften är riktad åt vänster. Beskriv konkreta situationer som ger upphov till vart och ett av de fyra fallen. 4. Det sägs att om man släpper en katt upp och ner så vänder den sig rätt i fallet. Är detta sant, och i så fall, hur gör katten? Hur går det ihop med att rörelsemängdsmomentet ska vara bevarat? 5. Betrakta en cirkulär masonitskiva, med diameter d och med tjocklek h. Skivan kan rotera kring en axel som är vinkelrät mot den, och som löper genom dess centrum. (a) Hur förändras skivans tröghetsmoment om skivan komprimeras till halva sin ursprungliga tjocklek? (b) Hur förändras skivans tröghetsmoment om skivan sågas av på bredden så att den blir hälften så tjock? (c) Hur förändras skivans tröghetsmoment om den först klyvs genom sin diameter, och om den ena halvan sedan klistras fast ovanpå den andra? (d) På vilka sätt kan skivan modifieras utan att det för den skull påverkar skivans tröghetsmoment? Hitta en formulering i ord. 6. Föreställ dig två cykelhjul, det ena med hälften så stor diameter som det andra, men i övrigt lika: samma material, samma däcktjocklek et cetera. Hur mycket lättare är det att sätta snurr på det mindre hjulet? Blir svaret annorlunda om det i stället är fråga om två homogena cirkulära skivor,
och i så fall hur? 7. Framdelen på en bil som accelererar snabbt pekar något uppåt, medan den i stället lutar neråt när bilen bromsar hastigt. Varför? 8. Sätt snurr på en leksakssnurra på ett plant underlag. Snurran kommer antagligen inte att stå helt still och snurra. Förutom att den vandrar omkring lite på underlaget, så kommer rotationsaxeln att ändra riktning: dess ände kommer att beskriva en cirkelrörelse. Detta kallar man för att snurran precesserar. (a) Förklara varför precessionsrörelsen uppstår. (b) Om du sätter fart på snurran moturs, blir precessionsrörelsen då medurs eller moturs? (c) Kan man konstruera en snurra sådan att svaret i (b) blir det motsatta, och i så fall hur? Kapitel 8 1. Jordens rotation kring sin egen axel gör att tyngdaccelerationen vid ekvatorn verkar vara något mindre än vad den är vid polerna. Gör en uppskattning av hur stor denna effekt är. 2. Du sitter i en bil och har tänt lite rökelse. (a) Bilen accelererar framåt med konstant acceleration. Åt vilket håll stiger röken? (b) Bilen svänger åt vänster med konstant fart. Åt vilket håll stiger röken? 3. Ibland påstås att den virvel som uppstår exempelvis då man tömmer sitt badkar skulle bero på Coriolis kraften, och att denna skulle göra att vattenvirveln går åt olika håll på norra respektive södra halvklotet. Gör en uppskattning av effektens storlek, och bedöm påståendets rimlighet. 4. Från en geostationär satellit firas ett rep ner till jordytan, och längs repet konstrueras en hiss i vilken man med konstant radiell fart kan färdas upp till satelliten. Vad kommer att upplevas som hissens golv under en uppfärd i hissen? Hur snabbt måste färden gå för att effekten ska bli påtaglig? Kapitel 9 1. (a) Två lika tunga stjärnor kretsar kring varandra på cirkulära banor. Gör en skiss av banornas utseende. (b) Två lika tunga stjärnor kretsar kring varandra på elliptiska banor. Gör en skiss av banornas utseende.
2. Betrakta två stjärnor med olika massa som kretsar kring varandra på var sin elliptisk bana. Vad kan man säga om de båda ellipsernas excentricitet? Behöver de vara lika eller inte? Varför? 3. Fenomenet tidvatten beror som bekant främst på månens gravitationella inverkan. (a) Förklara varför man i områden med tidvatten upplever två omgångar tidvatten varje dygn. (b) De två omgångarna har ofta väldigt olika styrka, särskilt vid områden långt från ekvatorn. Varför? (c) Faktum är att även solen spelar in i tidvattenseffekten man kan räkna ut att solens inverkan är ungefär hälften så stor som månens. När effekterna från sol och måne samverkar (och man alltså får särskilt kraftigt tidvatten) kallas det springflod, och när effekterna försvagar varandra kallas det nipflod. Hur ofta inträffar springflod respektive nipflod? Finns det något samband med månens fas? Kapitel 11, 12, 13 1. Det är skillnad mellan att tycka att två händelser inträffar samtidigt, och att samtidigt nås av informationen att de har ägt rum (alltså, att se dem samtidigt). Rita ett rumtidsdiagram med två observatörer A och B och två händelser p och q sådant att i) A nås av informationen (som vi föreställer oss färdas snabbast möjligt, alltså med ljushastigheten) om p och q samtidigt, men tycker att p inträffar före q. ii) B tycker att p och q inträffar samtidigt, men nås av informationen från p före q. 2. En bevarad storhet är en storhet som för ett system antar samma värde vid alla tidpunkter, under vissa föreskrivna omständigheter (som till exempel att systemet är isolerat). En invariant storhet är en storhet som antar samma värde enligt alla inertialobservatörer. Försök hitta exempel på storheter (a) både bevarade och invarianta. (b) bevarade men inte invarianta. (c) inte bevarade men invarianta. 3. En man och hans fru har en bil med längd L 0, men ett garage som tyvärr bara är 3L 0 /4 långt. Mannen som har hört talas om längdkontraktionen i relativitetsteori ingår ett vad med frun: att han kan stänga garagedörren med bilen helt inuti garaget. Han säger åt frun att sätta sig i bilen och köra in i garaget med farten v= 3c/2. Enligt formeln för längdkontraktion bör då bilens längd bli L '=L 0 1 3 2 2 = L 0 2 så bilen får nu gott och väl plats. Så fort bakdelen av bilen har hunnit in i garaget smäller mannen igen garagedörren och hävdar att han vunnit vadet. (a) Håller frun i bilen med? Vilken längd tycker hon att garaget har?
(b) Vem av dem vinner vadet? Får bilen plats eller gör den det inte? Rita ett rumtidsdiagram och förklara paradoxen! 4. (a) Betrakta en tvillingparadox liknande situation: en person reser iväg från jorden med en viss hastighet, vänder så småningom tillbaka med samma fart, och när han slutligen återkommer har han åldrats mindre än vännerna hemma på jorden. Vilken skillnad skulle det göra om han i stället för att resa fram och tillbaka bara kretsat omkring jorden i sitt rymdskepp med samma höga fart? (b) Använd dina insikter från uppgift (a) för att uppskatta skillnaden i ålder mellan solen och jorden sedan jordens uppkomst för cirka 5 miljarder år sedan. Jorden roterar kring solen med den ungefärliga farten 30000 m/s. 5. En elastisk kollision, har vi lärt oss, är en kollision i vilken både den mekaniska energin och rörelsemängden är bevarad. Denna definition funkar inte så bra när man betraktar relativistiska kollisioner. Varför inte? Formulera ett bättre sätt att karaktärisera en elastisk kollision i relativitetsteori. 6. En kakstansningsapparat stansar ut runda kakor ur en deg som rör sig med jämn fart fram på ett löpande band under den perfekt cirkulära stansformen. Antag nu att det löpande bandet rör sig väldigt fort. De färdiga kakorna kommer då inte att bli helt runda, utan elliptiska (alltså, i deras eget vilosystem, vilket ju är vad som är relevant när man ska äta dem). På vilken ledd i rörelseriktningen, eller vinkelrät mot denna blir kakorna längst, och vad blir förhållandet mellan längderna i dessa två ledder? Antag att stansformen har diametern d och bandet farten v.