Diskret ickelinjär analys av geometriskt föränderliga linsystem

Transkript

1 Diskret ickeinjär anays av geometriskt föränderiga insystem Maria Karnik TRITA-BKN. Examensarbete 49 Brobyggnad 007 ISSN ISRN KTH/BKN/EX--49--SE

2

3 Förord Detta examensarbete är utfört vid WSP Byggprojektering i Stockhom och tisammans med institutionen för Byggvetenskap, avdeningen för Brobyggnad på Kungiga Tekniska Högskoan. Arbetet ingår som ett sista de i min utbidning ti civiingenjör i Väg- och vattenbyggnadsteknik. Examinator på institutionen för Byggvetenskap är Prof. Håkan Sundquist och handedare på WSP Byggprojektering är Tekn. Dr Kent Arvidsson som upprättat program och koncept för arbetet. Jag vi tacka Kent Arvidsson för fantastisk handedning och för hans stora intresse för arbetet. Civ.ing. Johannes Åsund och Civ.ing. Emi Brink för hjäp med program och verifiering av resutat, samt aa andra på WSP som fått mig att trivas otroigt bra. Stockhom, januari 007 Maria Karnik iii

4

5 Sammanfattning I statiska system där inor ingår som de av systemet uppträder påtagiga geometriska förändringar som måste beaktas med en ickeinjär anays. Sådana system är b.a. hängbroar och intak. Metoden baseras på att en mode initiat byggs i en dator som faktiskt simuerar den verkiga byggnationen, viket sker med en iterativ process. Med den injusterade modeen anayseras uppträdande krafter och deformationer på grund av nyttiga aster, med beaktande av att systemet är geometriskt föränderigt och anaysen bir därmed en ickeinjär anays. Genom att utföra diskreta ickeinjära beräkningar kan systemets aa fysiska eement beaktas med sina mekaniska egenskaper. Hängbroar kan anayseras med ett ferta metoder mer eer mindre detajerade. Defektionsteorin som utveckades paraet av Seberg och Aspund representerar en detajerad kontinuerig anays, men har ett anta begränsningar i sin praktiska tiämpning. En diskret ickeinjär beräkning eder ti en väsentig förenking av det numeriska arbetet samtidigt som de traditionea begränsningarna i den kontinueriga teorin kan eimineras och därmed uppnås i fera avseenden förbättrad noggrannhet inte minst med avseende på andra ordningens effekter. Metoden att initiat bygga en mode i en dator gör det också möjigt att beakta efterspänning av vissa kabar. Detta är tex. användbart i intak. Efterspänningen skapas genom att temperaturaster införs på vissa kabar. Temperaturasterna medför att kabarna förkortas, samtidigt som de uppstår en dragkraft i dem. Även detta simuerar det verkiga föroppet. Metoden är tiämpbar för detajberäkning i D-system. I tidiga skeden när oika utföranden/gestatningar ska utvärderas erbjuder metoden ett adekvat, snabbt och nyanserat tivägagångssätt. Tifredstäande resutat erhås både med avancerade datorprogram samt med mer standardiserade program för pratiskt ingenjörsarbete. Resutatet har verifierats genom jämföreser med tidigare beräkningar på två fysiska projekt, och en aststäning på en hängbro. v

6

7 Abstract In a static systems where cabes are a part of the system, geometrica variations occurs that has to be taken in consideration with a non-inear anayze. Exampes of those systems are suspension bridges and roofs carried by cabes. The method is based on a mode that is initiay buit in a computer and in fact simuates the rea construction, which is effected by means of an iterative process. With the adjusted mode, an anaysis is made of the forces and deformations that occur as a consequence of working oads, on a geometricay variabe non-inear system. Whie doing a discrete non-inear anayze of the system, a physica eements with their mechanica properties in the system are incuded. Suspension bridges can be anayzed with a number of methods in a varying extent of detai. The theory of defection, which was deveoped in parae by Seberg and Aspund, represents a detaied continuous anaysis, but has a number of imitations in its practica appication. The method resuts in a significant simpification of the numerica work at the same time as the traditiona imitations of the theory of continuity can be eiminated, which thereby serves to create a eve of accuracy that is improved in severa respects, not east with regard to secondary effects. The method to buid a mode in a computer aso gives the possibiity to pretension some cabes. For exampe this is usefu when buiding roofs where cabes are a part of the construction. The pretension is created with introduction of temperature oad on some cabes. This shortens the cabes, and generates a force of tension, which simuates the rea behaviour. The method is usefu for detaied cacuations in D-systems. Especiay at earier project stages, when different ayouts and designs are to be evauated, the method offers an adequate, quick and varied procedure. High quaity resuts are obtained with both advanced computer programs and with quite ordinary computer programs adapted for practica engineering. The resuts obtained have been verified by comparison with earier cacuations of two physica projects, and oad tests of a suspension bridge. vii

8

9 1 Inedning Bakgrund Syfte Metod...1 Använda program Beräkningsmetoder för Robot Andra använda program Inedande teori Amänt Linjär anays Ickeinjär anays små deformationer Ickeinjär anays stora deformationer Jämförese mean de oika anaysmetoderna Viktös kabe Datoruppbyggnad av diskret hängbro Injustering Amänt Injustering huvudkabe Injustering hängare Tvångsmomentet Anays av hängbroar Förutsättningar Exempe Beräkning av moment Kontinuerig beräkning av Seberg Diskret beräkning i Robot för jämförese med Seberg Jämförese av bakmomentet Hängardeningens betydese för bakmomentet vid enbart en punktast i Kontinuerig beräkning enigt Granhom Diskret beräkning i Robot jämförese med Granhom Fördear med en diskret anays Beräkning av kabekraft Beräkning av deformationer Deformationsberäkningar för det kontinueriga systemet Deformationsberäkningar för det diskreta systemet Jämförese av deformationerna Verifiering av resutatet En aternativ metod för injustering Fastudie Johanneshovs isstadion -ett efterspänt intak Montering Datoruppbyggnad av Johanneshovs isstadion Efterspänning Hur mycket kan kabarna utnyttjas? Laster... 30

10 6.4 Lastkombinering Beräkning i Robot Vind mot kortsidan som huvudast Vind mot ångsidan som huvudast Snö som huvudast Resutat av beräkningarna Initia handberäkning för indata ti en ny mode Vikor Tivägagångssätt Generea sutsatser Referenser BILAGOR 3.1 Linjär anays 3. Ickeinjär anays små deformationer 3.3 Ickeinjär anays stora deformationer 3.4 Beräkning av C-värdet 3.5 Viktös kabe 4.1 Injustering 5.1 Sebergs nomogram 5. Superpositionsprincipen 6.1 Hur mycket kan kabarna utnyttjas? 6. Laster 6.3 Lastkombinering enigt BKR 7.1 Handberäkningar för indata ti datormode

11 1 Inedning 1 Inedning 1.1 Bakgrund Aa statiska system förändras geometriskt när de utsätts för beastning. För de festa statiska system är den geometriska formförändringen iten och dessa förändringar beaktas i sådana fa endast med avseende på axiakrafter vars effekt är att ett tiskottsmoment (deformationsmoment) uppkommer I statiska system där inor ingår som de av systemet uppträder mer påtagiga geometriska förändringar som måste beaktas. Detta kan göras med en diskret ickeinjär anays. Den ickeinjära anaysen beaktar att systemet är geometriskt föränderigt och anayserar uppträdande krafter och deformationer utifrån det. 1. Syfte Syftet med denna studie är att tihandahåa en metod för att i ett tidigt skede kunna utföra översags- och sutgitiga beräkningar och kontroer av befintiga konstruktioner genom att tiämpa etaberade standardprogram. I metoden ingår även efterspänning av vissa inor. För att åstadkomma detta genomförs beräkningar på två oika statiska insystem i -D. De aktuea systemen är: Hängbro med dimensioner som i Sebergs doktorsavhanding. Takkonstruktionen på Johanneshovs isstadion 1.3 Metod De diskreta beräkningarna för de oika insystemen är utförda i beräkningsprogrammet Robot Miennium version 19.0, som anses vara ett standardprogram för beräkningar. Resutaten har sedan jämförts med beräkningar gjorda med den kontinueriga teorin pubicerade främst i doktorsavhandingar. För att verifiera beräkningsresutaten ytteriggare har vissa beräkningar (Sebergs hängbro) även utförts i Ansys Structura 10.0, som är ett avancerat program för mer kompexa beräkningar. Noggrannheten i beräkningsprogrammet Robot har utvärderats genom jämföreser med anaytiska beräkningar och även med Ansys. Ett hjäpmede vid de anaytiska beräkningarna har varit beräkningsprogrammet Mathcad. 1

12

13 Använda program Använda program.1 Beräkningsmetoder för Robot Beräkningarna har utförts med beräkningsprogrammet Robot Miennium version Programmet utför injära och ickeinjära finita eement beräkningar av första och andra ordningen för oika strukturer och materia. Robot sammankoppar sjäv eementtyper med varierande anta frihetsgrader. Den ickeinjära anaysen gör det möjigt att ta hänsyn ti att systemets form är geometriskt föränderigt. Detta är nödvändigt eftersom kabar ingår i konstruktionerna. Kabeeementen finns fördefinierade i Robot, de saknar böjstyvhet och eimineras ur styvhetsmatrisen om de bir tryckta.. Andra använda program I examensarbetet användes ti en början beräkningsprogrammet Ramanays version 5.. Detta byttes ut mot Robot då det inte kunde genomföra ickeinjära beräkningar. Även matematikprogrammet Mathcad har använts samt AutoCad

14

15 3 Inedande teori 3 Inedande teori 3.1 Amänt Deformationsberäkningar kan göras både med en injär och en ickeinjär anays. Skinaden märks tydigast vid stora deformationer. I en injär beräkning uppfys jämviktsvikoren baserade på det icke deformerade systemets geometri och deformationerna erhås i ett nästa steg, tex. genom en energibetraktese. Detta innebär att jämviktsvikoren inte uppfys för det deformerade systemet. I en ickeinjär beräkning uppfys både jämvikts- och deformationsvikor simutant Linjär anays Systemet i Fig. 3.1 beastas med en punktast P. Deformationen beräknas med en injär anays enigt ekvation. 3-4 a45 b a 1 d d D Fig. 3.1 Figur av systemet beräknat med en injär anays Stångkrafterna för den 0.5P S initiaa geometrin sin( α) 3-1 Vid α 45 bir S P Och 1 5

16 3 Inedande teori För att beräkna deformationen δ tecknas uttryck för strukturens inre och yttre arbete. Stängerna har axiastyvheterna EA Inre arbetet A i i Si i EA S 1 S 1 + EA EA 3- Yttre arbetet A y 0. 5Pδ 3-3 Det inre och yttre arbetet ska vara ika och ett uttryck för deformationen δ erhås P δ EA 3-4 Storheterna väjs så att δ 0. 1 Lösning med värden på storheterna presenteras i biaga Ickeinjär anays små deformationer När deformationerna är små kan vi anta att ängderna 1, samtidigt som γ 90 viket är en approximation. Stångkraften beräknas för den deformerade geometrin. 1 b a ba S 0.5P sin( β ) Tihörande töjning bir 3-5 S Δ S 1 EA 3-6 d b D Fig. 3. Figur av systemet beräknat med en ickeinjär anays 6

17 3 Inedande teori Ekvationerna ovan tisammans med förutsättning som gäer i ger efter hyfsning ett värde på Δ P EA 0. 1 Dvs. samma förutsättning Δ S EA 0.5P 1 sin( β ) EA sin( β ) 3-7 Ett uttryck för deformationen δ kan tecknas med hjäp av rätvinkiga triangar ur geometrin ovan. Δ δ sin(β ) 3-8 Ekvation 3-7 och 3-8 ger: 0.05 δ sin( β ) 3-9 För att kunna beräkna deformationen δ behövs ytteriggare ett samband mean δ och β. Enke geometri ger det sista uttrycket + δ tan( β ) 3-10 Ekvation 3-9 och 3-10 ger deformationen δ och den nya vinken β Lösning med värden på storheterna presenteras i biaga 3. 7

18 3 Inedande teori Ickeinjär anays stora deformationer När deformationerna är stora duger inte ängre approximationen att 1.Utan vi måste även beräkna den nya ängden. Ur figuren kan föjande inses. 1 + Δ 3-11 Cosinusteoremet utnyttjas för den markerade triangen b a 1 δ - 1δ cos(180 -α) + 1 S ba Med α 45 och vikoret 1 erhås efter förenking: a + δ δ d b D Fig. 3.3 Figur av systemet beräknat med en ickeinjär anays Enigt ekvation 3-7 är stångens töjning Δ. Detta tisammans med ekvation 3-11, sin( β ) och vikoret 1, ger uttrycket för sin( β ) Utvecking av cosinusteoremet ger: δ δ 1 + ( ) + δ + δ sin( β ) 3-14 Som i kapite 3.1. behövs ytteriggare ett samband mean δ och β. Samma reation som i + δ kapite 3.1. används, nämigen ekvation 3-10, tan( β ) Lösning med värden på storheterna presenteras i biaga 3.3 och en jämförese mean de oika metoderna i kapite

19 3 Inedande teori Jämförese mean de oika anaysmetoderna Teoretiskt beräknade deformationer enigt teorin i tidigare kapite. Kraften P [MN] Linjär [mm] Ickeinjär små def. [mm] Ickeinjär stora def. [mm] Beräkningar från Robot Kraften P [MN] Linjär [mm] Ickeinjär [mm] När deformationerna förväntas bi stora och stor beräkningsnoggrannhet önskas då effekten av geometrisk föränderighet ska beaktas, är det nödvändigt att genomföra en ickeinjär anays. Robots ickeinjära anays stämmer mycket bra med det teoretiskt beräknade värdet som är gjord vid stora deformationer. Detta är väntat då denna teori bäst tagit hänsyn ti att systemet förändras geometriskt. Även vid en mindre kraft, och atså en mindre deformation, stämmer värdet beräknat med teorin för ickeinjära system och stora deformationer bäst överens med Robots resutat. En ickeinjär anays ger atså den riktiga deformationen. Man kan dock konstatera att aa deformationer som beräknats för den mindre kraften stämmer bra överens med varandra. Detta visar att det är tifredstäande att använda injära anayser för de studerade exempet, och iknande strukturtyper när små deformationer förväntas. En annan sutsats som kan dras är att Robot torde ge tiräckigt bra resutat för att programmet ska kunna användas vid praktiska beräkningar. Det är intressant att konstatera att vid anayser av föränderiga system, där stora deformationer väntas, krävs program uppbyggda av kompicerade agoritmer så att geometrins förändring behandas på ett reevant sätt. 9

20 3 Inedande teori Viktös kabe Då inor inte har någon böjstyvhet måste det tikommande momentets fördeningen upptas genom en geometrisk förändring av inan. Detta gör att inor måste beräknas med en ickeinjär anays. Det är viktigt att både jämvikt- och deformationsvikor uppfys. d Fig. 3.4 Figur av systemet -viktös kabe Momentjämvikt i systemet Kabeängden före och efter deformationen För att kunna beräkna ett värde på deformationen behöver vi två uttryck för ängd- förändringen. Längdändringen kan också uttryckas som töjningen i inan men ekvationen nedan: Konstanten C anger ett värde som tar hänsyn ti att kraften som töjer kaben varierar ängs kaben. Genom att studera kabekraften geometriskt kan konstateras att kraften som töjer inan i mitten av inan är S medan den vid uppagen för det vada exempet töjs med ett värde som 8 1 q f H 3-15 ( ) 8 q f H + δ n 4 1 f 4 1 f f f 4 1 L 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n 4 1 f 4 1 f f f 4 1 L δ δ δ δ L L 1 L Δ 3-19 ( ) EA L f q C L EA H C L Δ δ 3-0

21 3 Inedande teori är gånger större än S. För att ta hänsyn ti detta införs i ekvation 3-0 en konstant C som sätts ti medevärdet av horisontakraften ängs kaben, dvs. C Medevärdet är beräknat genom att anta att horisontakraften varierar injärt över kaben. Detta kommer atid överskatta värdet på C, då horisontakraften egentigen varierar paraboiskt, viket syns i Fig Fig. 3.5 C-värdets variation över inan C-värdet enigt ovan ger en god approximation av horisontakraftens medevärde. Genom att beräkna ett medevärde baserat på en parabeformad ekvation kan dock ett ännu noggrannare värde beräknas. I det faet bir C1.033, viket har använts i beräkningarna. Beräkning av C-värdet visas i biaga 3.4. Med asten införd som nodaster på inan och med värden på parametrarna E, A, f, q och enigt biaga 3.5 är skinaden mean beräkningar gjorda i Robot och enigt teorin ovan mindre än 0.1%. För kontro av beräkningarna se biaga

22

23 4 Datoruppbyggnad av diskret hängbro 4 Datoruppbyggnad av diskret hängbro 4.1 Injustering Amänt Skinaden på att bygga en struktur i ett beräkningsprogram och i verkigheten är att man i programmet bygger strukturen i sin hehet, och inte i fera steg som bir faet i verkigheten. Strukturen förutsätts initiat vara viktös. När strukturen beastas med sin egentyngd deformeras den från den geometri som strukturen givits i sin startposition. En verkig hängbro uppförs genom montering i fera steg. När pyoner och ändstöd är byggda utförs montage av kabe och hängare, varefter brobakarna monteras. Brobakarna monteras så att de får den önskade geometriska formen, utan gobaa tvång av systemets egentyngd. För att ta hänsyn ti detta måste datormodeens oika dear injusteras. Detta på ett sådant sätt att de efter beastning av egentyngd får den vada startgeometrin och inga inre tvång. Nedan diskuteras injustering av en hängbro. Tiräckig noggrannhet av injusteringen erhås normat efter en justering. Ytteriggare iterationer är naturigtvis möjiga. För kontro av injusteringen se biaga Injustering huvudkabe Den första byggnadskomponenten är brons huvudkabe. Huvudkaben har fått geometrin som en parabe. Vid beastning med egentyngd förfyttas kaben i både horisonta- och vertikaed. Vid injustering fyttas därför kabens nodpunkter i motsatt riktning mot förskjutningarna, så att de efter en ytterigare beastning med egentyngden ska komma tibaka ti startäget. Biden visar hur huvudkaben efter beastning med egentyngd intar det vada startäget. Fig.4.1 Den erhåna sutgeometrin kommer att igga något under den tänkta, dvs. y 3 > y. I det fa ytteriggare trimning av pihöjden önskas görs ytteriggare en överhöjning av kaben. 13

24 4 Datoruppbyggnad av diskret hängbro 4.1. Injustering hängare När bron beastas med egentyngd och med initiat vertikaa hängare kommer dessa att snedstäas viket påverkar kabekraften och bakmomentet. Injusteringen av hängarna utförs så att hängarna bir vertikaa, och med den givna deningen, när systemet beastas med sin egentyngd. Injusteringen görs så att nodpunkterna för hängarna på kaben och baken justeras i både horisonta- och vertikaed. Eftersom hängarnas övre nodpunkter är desamma som kabens nodpunkter har dessa redan injusterats i och med att huvudkaben injusterats. Därför behöver bara hängarnas undre nodpunkter förfyttas. Förfyttningen görs med motsvarande förskjutning med ombytt tecken som ägt rum när det viktösa systemet beastas med sin egentyngd (atså på samma sätt som vid injusteringen av huvudkaben). Efter injusteringen ska det beastade överhöjda systemet ha vertikaa hängare för egentyngd, och nodpunkterna för kaben ska ge det initiat vada avståndet mean hängarna. Biden visar hur de förfyttade hängarna återgår ti startäget efter beastning med egentyngd. En iknande injustering för farbanan har indirekt genomförts eftersom hängarnas undre nodpunkter, som är desamma som farbanans nodpunkter, har förfyttats. Vid egentyngdsbeastning har dock ett tvångsmomnet uppträtt i farbanan. Ingen ytterigare injustering görs för detta utan det uppträdande tvångsmomentet av gobaböjningen pga. egentyngden justeras i beräkningen av bakomentet kapite Fig

25 4 Datoruppbyggnad av diskret hängbro Tvångsmomentet Med injustering enigt ovan kommer brobaken att vara överhöjd och när systemet beastas med sin egentyngd intar den det önskade äget i höjded (Fig. 4.). Baken har då erhåit en goba krökning som i princip ger en parabekrökning, viket motsvarar ett konstant positivt moment över baken. Gobaa momentet av egentyngd tas såunda ti viss de av baken. I kapite 5 visas en diskret beräkning av en mjuk hängbro. För att få en uppfattning om tvångsmomentets betydese redovisas nedan resutatet. M kabe H kabe f 5 t 8.8 m tm M tvång 1.8 tm M M tvång kabe För mjuka hängbroar är som synes tvångsmomentet mycket itet jämfört med kabemomentet, och systemets gobaa styvhetsegenskaper påverkas inte. Några geometriska injusteringar av denna anedning av hängarna är därför inte motiverade vid praktiska beräkningar. Vid beräkning av bakmomentet kan det aktuea tvångsmomentet enket eimineras. Systemet beastas i astfa 1 ( M 1) enbart av egentyngd och i astfa ( M ) av egentyngd och nyttiga aster. Det verkiga bakmomentet erhås på föjande sätt. M verkigt M M 1 15

26 4 Datoruppbyggnad av diskret hängbro I de fa fu injustering önskas, så att baken är momentös i astfa 1, får varje enskid hängare förängas motsvarande vad tihörande punkt på baken är överhöjd i sitt startäge. Hängarna utsätts därefter för en temperaturast, specifik för varje hängare som förkortar respektive hängare, motsvarande bakens nedböjning av astfa 1. Temperaturasterna skapar ett ika stort motriktat moment i baken som sedan kommer skapas vid påastning av egentyngd. Detta ger en momentös brobak. Biden visar hur de temperaturbeastade hängarna återgår ti startäget vid beastning med egentyngd. Fig

27 5 Anays av hängbroar 5 Anays av hängbroar 5.1 Förutsättningar Vid beräkning av hängbroar antas föjande initiat gäa (7,9) : Eastiska materia. Egenvikten q bärs enbart av kaben utan uppkomst av moment i förstyvningsbaken. Hängaravstånden är så små att hängstagskrafterna kan anses kontinuerigt fördeade. Kabens horisontavandring, ε försummas. Hängstagens vinkeändring β försummas. Kabekraftens horisontakomposant antas konstant över hea spännvidden. Hängstagsförängning och tornförkortning från trafikast försummas. Förstyvningsbakens tvärkrafts- och normakraftsdeformationer försummas. Förstyvningsbakens böjstyvhet EI antas konstant. Vid beräkning med den kontinueriga teorin. (Seberg, Aspund, Granhom, mf) kan i ett andra steg en korrigering för ε- och β-effekten göras. Vid en diskret ickeinjär beräkning bortfaer de ovan angiva begränsningarna. 5. Exempe Vi utgår från en faktiskt byggd hängbro i Norge. Seberg har i sin doktorsavhanding genomfört kontinueriga beräkningar på denna. Fig. 5.1 Geometriska förutsättningar för bron i beräkningarna. Matematiska samband Huvudkabens ekvation y ( x) ( x x ) [ m] Förstyvningsbakens krökning v( x) 0,65 4,85( x x ) [ m] Brobaken har ruager i båda ändarna 17

28 5 Anays av hängbroar Tvärsnitt- och materiadata Brobaken Huvudkaben Backstagen Hängarna I m E 10 GPa A 18 cm E 16 GPa A 850 cm E 10 GPa A 100 cm E 10 GPa 4 Arean på hängarna är inte angivna och ansätts i modeen ti ett värde så att de fungerar som oändigt styva hängare. Laster Storek och pacering från det vänstra stödet P kN (4.7 t) L P1 33. m P.6 kn (.3 t) L P 37. m H 510 kn (5 t) Egentyngden är ej expicit angiven av Seberg utan införs så att de ovan angiva värdet på horisontakraften uppnås. 5.3 Beräkning av moment Bakmomentet för exempet ovan är av Seberg beräknat med den kontinueriga teorin (oändigt tätt med hängare). För jämförese med detta har en diskret beräkning gjorts i Robot. I det diskreta faet införs egentyngden som nodaster. De har storeken så att kabens horisontakraft ska bi 5 t. Dessutom har två oika hängardeningar studerats. I det ena faet är hängardeningen m och i det andra faet 5.7 m Kontinuerig beräkning av Seberg Seberg har beräknat momentet i punkten 0.15 med aststäningen enigt ovan. Föjande bakmoment erhös: M knm (17.13 tm) För att kunna jämföra det kontinueriga resutatet med resutaten från Robot måste momentet korrigeras med hänsyn ti okaa effekter av böjning. Korrigeringen är utförd enigt en av Aspund beskriven metod. Momentet i hängarpunkten korrigeras med det negativa stödmoment som uppkommer vid aststäningen enigt ovan på en kontinuerig bak med spann ika som avståndet mean hängarpunkterna. Stödmomentet beräknas för de båda deningsavstånden. M stöd_enke 41.6 knm M stöd_dubbe 8.1 knm 18

29 5 Anays av hängbroar Vi kan nu beräkna Sebergs korrigerade moment. M 0.15_Seberg M 0.15_Seberg knm knm 16.4 knm knm - 8.1kNm knm 5.3. Diskret beräkning i Robot för jämförese med Seberg För att kunna jämföra det kontinueriga systemet med det diskreta beräknas momentet i Robot. Brobaken kan betraktas som uppagd på två ruager, viket åstadkoms genom att de införs som fjädrar med mycket iten (0.1 N/m) fjäderkonstant. Detta uppagsfa är det som används som fa 1 i 5.4 och Korrigeringen av momentet görs för att få bort tvångsmomentet i baken. En noggrannare förkaring ti detta finns i kapite För jämförese med Sebergs moment genomförs beräkningen i punkten Beräkningen genomförs för de båda hängardeningarna. M 0.15_enka M 0.15_dubba knm knm 19.8 knm knm knm 148 knm Jämförese av bakmomentet Nedan visas en sammanstäning samt jämförese av momentet beräknat med den kontinueriga (kapite 5.3.1) och diskreta (kapite 5.3.) teorin i punkten Enket hängaranta Dubbet hängaranta Diskret Kontinuerig Seberg 19.8 knm 16.4 knm 148 knm knm Resutatet ovan visar på skinader mean den diskreta och den kontinueriga metoden. Skinaderna kan inte anses försumbara vid praktiskt beräkningsarbete. 19

30 5 Anays av hängbroar Hängardeningens betydese för bakmomentet vid enbart en punktast i 0.15 En ytterigare jämförese har utförts för att beysa skinaden mean en diskret och en kontinuerig beräkning. Jämföresen har gjorts för en punktast P i hängarpunkten 0.15, där inga okaa böjmoment uppträder. Den diskreta beräkningen ger för P P 1 + P vid de två oika hängardeningarna föjande resutat: M 0.15_enka knm M knm 0.15_dubb a Det kan såunda konstateras att hängardeningen har betydese på bakmomentet eftersom oika storek på momentet erhås, nämigen en avvikese på ungefär 9 %. Vid kontinueriga beräkningar har effekten av P beräknats med hjäp av Sebergs nomogram. Då Seberg inte har ett nomogram för beräkning av momentet i 0.15 har ett medevärde av momentet i 0.1 och 0. beräknats. Momentet har beräknats för två oika aststäningar. I det första faet som ovan genom att väja P P 1 + P och pacera asten i hängarpunkten. I det andra faet har asterna pacerats som i Fig. 5.1 men istäet runt hängarna i 0.1 och 0.. De oika momenten visas nedan. För mer detajerade beräkningar se biaga 5.1. M P M 19.1kNm 07.5 knm P 1 ochp För att kunna jämföra den kontinueriga teorin med den diskreta görs en proportionering med Sebergs moment i 0.15-punkten (momentet som redovisats i kapite 5.3.1). Detta moment är beräknat när P 1 och P paceras på var sin sida om 0.15 varvid sekundära effekter beaktas, b.a. snedstäning av hängare och brobakens krökning. Effekten av att ersätta de två punktasterna på sidan med en punktast i mitten kan antas förhåa sig som de i nomogrammen beräknade momenten. Varför effekten av en punktast i mitten bir som nedan: 19.1 knm knm knm 07.5 knm I detta fa behöver ingen korrigering göras för gobaa effekter, eftersom dessa inte uppstår då asten paceras i en hängarpunkt. Värdet knm stämmer mycket bra överens med det i Robot beräknade värdet för moment med enka hängare (180.3 knm). Anedningen ti att värdena i nomogrammen endast används som proportioneringsvärden är för att de inte beaktar sekundära effekter. Det har vidare konstaterats att bakmomentet ytterst marginet påverkas av brobakens uppagsförhåanden. 0

31 5 Anays av hängbroar Kontinuerig beräkning enigt Granhom Bakmomentet i 0.5 kan beräknas med en enigt Granhom framtagen och förenkad forme. υ -värdet tar endast hänsyn ti brons styvhet, geometri och kabekraft. Detta får därför betraktas som en rent översagsmässig metod. Beräkningen har genomförts på samma bro som beskrivits i kapite 5., men med en annan aststäning, en punktast P i 0.5 med storeken 50 kn. EI υ π H 0 M 0.5 _Granhom M 0.5 _Granhom P I 9 υ υ π 4 π 156 knm Diskret beräkning i Robot jämförese med Granhom För jämförese med Granhom beräknas, i Robot, momentet i 0.5 för punktasten enigt ovan. M 0.5_enka knm 0.7 knm 13.9 knm M knm 19.3 knm knm 0.5_dubb a Även i detta fa är skinaderna små mean de oika metoderna. Detta trots att Granhoms forme får ses som rent översagsmässig Fördear med en diskret anays Jämföreser mean en kontinuerig och en diskret anays visar att i den diskreta anaysen bir det mycket enkare att beräkna och hitta punkter för maximat moment. Genom att fytta krafterna över bron ges möjigheten att enket konstruera infuensinjer för moment. Dock kan konstateras att infuensinjer inte behövs för den numeriska anaysen vid diskreta beräkningar. Farig aststäning vid utbredda nyttiga aster och punktaster hanteras vid diskret beräkning genom att initiat utnyttja infuensytor angivna av tex. Seberg. I steg två justeras aststäningen så att maximat moment erhås för baken med hänsyn ti hängarnas faktiska äge. Eftersom infuensinjer inte behöver användas vid en diskret beräkning är vi inte beroende av att tiämpa superpositionsprincipen, som bekant inte gäer för ickeinjära system. Det aktuea astfaet beräknas istäet i sin hehet. För att visa att superpositionsprincipen inte gäer införs två stycken punkaster på bron, en i 0.15 och den andra i 0.5 vardera av storeken 100 kn. Deformationerna på bron beräknas på två oika sätt. I det första faet beräknas deformationerna när de båda krafterna angriper samtidigt på bron. I det andra faet beräknas deformationerna för varje punktast var och en för sig och adderas sedan ihop. Den största avvikesen mean de båda beräkningsmodeerna uppgår ti 3 %. Se biaga 5.. 1

32 5 Anays av hängbroar 5.4 Beräkning av kabekraft De påagda punktasterna gör att horisontakraften i systemet ökar. Ökningen av horisontakraften beräknas för fyra oika fa. I det första faet kan uppagen betraktas som två ruager enigt beskrivning i I det andra faet är förstyvningsbaken uppagd på en fast ed och ett ruager och i det tredje faet byter uppagen pats. I det fjärde faet har två fasta eder försökt skapas. Detta genom att använda en fast ed och ett ruager. Efter beastning med egentyngd kontroeras förskjutningen i ruagret och en horisonte kraft av sådan storek att stödet skjuts tibaka ti sitt ursprungsäge införs. Anedningen ti att två fasta eder inte kan användas är att farbanan i det faet kommer att verka som en båge och knäcka ut. ΔH Fa kn ΔH Fa 48.9 kn ΔH Fa3 5.0 kn ΔH Fa kn Sebergs har beräknat tiskottskraften ti 5. kn ( 5.3 t) viket stämmer bra överens med tiskottskraften i aa fa.

33 5 Anays av hängbroar 5.5 Beräkning av deformationer Seberg har genomfört deformationsberäkningar för fyra oika uppagsfa. Faet med ruager på båda sidor, och faet med fast ed på båda sidor. I det senare faet har tre oika matematiska ansatser använts. Dessutom har Seberg redovisat uppmätta värden på deformationerna. För jämförese med Seberg har en diskret beräkning utförts med samma uppagsförhåanden som beskrivits i kapite Deformationsberäkningar för det kontinueriga systemet Fig. 5. Deformationerna ur Seberg (1946) Deformationen i två punkter vid oika förutsättningar. 0.7 [mm] 0.15 [mm] Uppmätta värden Ruager på båda sidor Fasted på båda sidor

34 5 Anays av hängbroar 5.5. Deformationsberäkningar för det diskreta systemet För att beräkna deformationerna som orsakats av punktasterna och samtidigt ta hänsyn ti systemets styvhet, beräknas deformationerna simutant för modeen beastad med både punktaster och egentyngd. Därefter subtraheras deformationerna som uppkommit av enbart egentyngd. Fig. 5.3 Deformationer från beräkningar i Robot Deformationen i två punkter vid oika förutsättningar 0.7 [mm] 0.15 [mm] Fa Fa Fa Fa

35 5 Anays av hängbroar Jämförese av deformationerna Deformationerna som beräknats i Robot stämmer bra överens med Sebergs deformationer. Man kan konstatera att Robots deformationer vid de fyra oika uppagsfaen igger mean Sebergs två ytterighetsfa. I aa fa har den största negativa deformationen hittats nära punkten 0.7, dvs. i samma punkt som Seberg har uppmätt sin största deformation. De tre senare faen igger närmare Sebergs uppmätta värde i denna punkt än vad värdet beräknat för det första faet gör. Det kan även konstateras att ingen av Sebergs oika deformationskurvor, eer den diskreta anaysen, har god samstämmighet i punkterna 0.15 och 0.7. Kausaa förkaringar ti detta kan vara att ett rent mätfe uppstått i punkten 0.7 och/eer ofuständiga ager. Enigt Seberg utfördes ingen kontro av förskjutningen i agerpunkterna. 5.6 Verifiering av resutatet För att verifiera resutatet ytteriggare har beräkningarna på bron även genomförts i beräkningsprogrammet Ansys Structura som ti skinad från Robot inte kan anses vara ett standardprogram utan är mer avancerat. Liksom i Robot används kabeeement för huvudkabe och hängare. De oika uppagsförhåandena är modeerade som i fa 1 - fa 4. Nedan jämförs resutaten från de båda programmen och uppagsförhåanden enigt fa. Samstämmighet Kabekraft 99.9% Deformation i % Moment i % Som synes erhås mycket god samstämmighet mean de två programmen. Detta betyder att inga numeriska fe har gjorts En aternativ metod för injustering En aternativ teknik ti injustering av kaben är att eiminera nedböjningen y 1 genom att förkorta huvudkaben mean pyonerna med en konstant temperaturast. För detta exempe sker det genom att införa en temperaturast på -144 C. Det maximaa tvångsmoment som uppstod vid temperaturasten hade storeken 6.3 knm, och uppträdde i H-kraften erhös ti 518 kn, dvs. i praktiken identiskt med den givna på 510 kn. Införandet av temperaturasten gör att hängarnas övre nodpunkter måste injusteras i horisontaed. Det verkiga momentet i baken beräknas på samma sätt som i den använda metoden. En beskrivning av detta ges i kapite M verkigt M M 1 För att skapa en momentfri farbana måste även hängarnas ängder injusteras, detta med en specifik temperaturast för varje hängare, även detta kan studeras i kapite

36

37 6 Fastudie Johanneshovs isstadion -ett efterspänt intak 6 Fastudie Johanneshovs isstadion -ett efterspänt intak 1949 togs besutet att bygga den ishockeyarena som skue bi Johanneshovs isstadion och den 4 november 1955 invigdes den, dock som en utomhusarena. Det var inte förrän ti VM 196 som Hovet byggdes om ti en inomhusha. Detta med en takkonstruktion som utveckats av David Jawerth på 1950-taet. Systemet bygger på ett s.k. infackverk där två stycken motspända inor ansuts i en gemensam punkt. Den övre inan tar hand om beastning som är nedåtriktad, så som egentyng och snö, medan den undre inan tar hand om uppåtriktade aster så som vindsug. Den gemensamma ansutningspunkten minskar systemets horisontarörese och på så sätt de oeastiska deformationerna. De båda inorna förbinds med sneda hängstag. Även dessa gör att horisontaröresen minskar. Dessutom gör hängstagen systemet reativt okänsigt för svängningar då rörigheten minskar. Linorna är i ändarna ansutna ti peare vika i sin tur är bakåtförankarade mot en utvändig betongkonstruktion och jordankare. 6.1 Montering Taket i Johanneshovs isstadion är byggd i fera steg. Nedan beskrivs montaget. Fig. 6.1 Steg 1 Stödkonstruktionen I ett första steg byggs pyoner och grundkonstruktioner. Det krävs också en tifäig stagning då pyonerna är edade. Fig. 6. Steg Backstagen Därefter monteras backstagen som ansuts ti grundkonstruktionen. 7

38 6 Fastudie Johanneshovs isstadion -ett efterspänt intak Fig. 6.3 Steg 3 Bärinan Fig. 6.4 Steg 4 Lyftinan Fig. 6.5 Steg 5 Stag och efterspänning När stagen mean de båda inorna satts på pats efterspänns konstruktionen. Detta genom att B1, B och B3 förkortas så att de förutbestämda förskjutningarna uppnås. Förskjutningar orsakade av efterspänningen [mm] Δ1 69 Δ 5 Δ3 43 Fig.6.6 Förskjutningarna orsakad av efterspänning 8

39 6 Fastudie Johanneshovs isstadion -ett efterspänt intak Steg 6. Montage av taket En taktäckning som är uppbyggd av metakassetter med minerausisoering och ovanpåiggande tätskikt har agts ut på den övre inan. Steg 7. Nyttiga aster som varierar med tiden Oika astkombinationer påverkar taket. 6. Datoruppbyggnad av Johanneshovs isstadion Datoruppbyggnaden av Johanneshovs isstadion sker enigt den i kapite 4 beskrivna metoden Detta för att vid beastning av egentyngd erhåa den önskade startgeometrin. Dessutom måste strukturen injusteras med avseende på efterspänningen. Fig.6.7 Takkonstruktionens oika komponenter Tvärsnitt- och materiadata Bärina φ 58 mm Lyftina φ 48 mm Diagonaer φ 19 mm Backstag 1 1 st φ 6 mm Backstag 15 st φ 6 mm Backstag 3 3st φ 6 mm Peare A 1900 mm I mm Kabar Stag y 4 I z mm f brott 1510 MPa f brott 800 MPa Efterspänning Vid efterspänning förkortas stagen som ska spännas samtidigt som en dragkraft införs i dem. Detta beteendet skapas ämpigast genom att temperaturaster införs på backstagen. Tre oika temperaturer, en för vart och ett av stagen införs. Vid införande av temperaturaster uppkommer inte heer några moment som det gör om man efterspänner med punktaster. Temperaturerna som ska användas för att skapa de givna förskjutningarna itereras fram. Förskjutningarna redovisas i tabeen i kapite

40 6.. Hur mycket kan kabarna utnyttjas? 6 Fastudie Johanneshovs isstadion -ett efterspänt intak Nedan visas en sammanstäning över vika krafter som kan tiåtas i kabarna. För en mer detajerad sammanstäning se biaga 6.1 Backstag 1 Backstag Backstag 3 Diagonaer Bärina Lyftina 447 kn 5309 kn 106 kn 189 kn 1700 kn 1160 kn 6.3 Laster Johanneshovs isstadion påverkas både av permanenta och variaba aster. Den permanenta asten utgörs av takets egentyngd. Dessutom påverkas taket av snö- och vindast. Snö- och vindasten är beräknade enigt Boverkets handbok om snö- och vindast. BSV 97. Beräkningarna kan studeras i biaga 6. Sedan taket på Johanneshovs isstadion konstruerades och byggdes har fera saker påverkat dess bärförmåga: Mängden instaationer i taket har ökat och ett behov av att tifäigt hänga in aster i taket finns fortfarande. Den föreskrivna snöasten har ökat. Dimensioneringsmetoderna har förändrats. 6.4 Lastkombinering I Lastkombineringen ska värden på variaba aster sättas ika med no om det ger en ogynnsammare asteffekt. I det här faet betyder det att snö- och vindast adrig behöver kontroeras samtidigt, då dessa motverkar varandra. Tre variaba aster, (snö, vind mot kortsida och vind mot ångsida) och två astkombinationer är reevanta för Johanneshovs isstadion. Efter att ha undersökt takets form har fyra fariga astkombinationer hittats. Beräkning av astkombineringen framgår av biaga

41 6 Fastudie Johanneshovs isstadion -ett efterspänt intak 6.5 Beräkning i Robot Nedan visas en sammanstäning över utnyttjandegraden i kabarna på Johanneshovs isstadion då konstruktionen påverkas av krafter enigt dagens gäande normer Vind mot kortsidan som huvudast Fig.6.8 Lasteffekterna vid vind som huvudast. Värdena i biden har enheten N/m Kraft [kn] Tiåten Kraft [kn] Utnyttjandegrad % Bärina Lyftina Diagonaer Backstag Backstag Backstag Fig. 6.9 Lasteffekterna vid vind som huvudast. Värdena i biden har enheten N/m Kraft [kn] Tiåten Kraft [kn] Utnyttjandegrad % Bärina Lyftina Diagonaer Backstag Backstag Backstag

42 6.5. Vind mot ångsidan som huvudast 6 Fastudie Johanneshovs isstadion -ett efterspänt intak Fig Lasteffekterna vid vind som huvudast. Värdena i biden har enheten N/m Kraft [kn] Tiåten Kraft [kn] Utnyttjandegrad % Bärina Lyftina Diagonaer Backstag Backstag Backstag Snö som huvudast Fig Lasteffekterna vid snö som huvudast. Värdena i biden har enheten N/m Kraft [kn] Tiåten Kraft [kn] Utnyttjandegrad % Bärina Lyftina Diagonaer Backstag Backstag Backstag

43 6 Fastudie Johanneshovs isstadion -ett efterspänt intak 6.6 Resutat av beräkningarna Beräkningarna visar att taket på Johanneshovs isstadion idag utnyttjas mer än tiåtet med hänsyn tagen ti dagens gäande normer. Detta sker i det dimensionerande astfaet med snö som huvudast. Dock kan konstateras att detta inte bara gäer Hovet, då den ökade snöasten torde ge en högre utnyttjandegrad i aa byggnader som dimensionerats enigt gama bestämmeser. En kanske större risk än brott i kabarna, är att systemet vid en viss ast inte ängre är stabit. Brottet inträffar vid aster som medför stor avastning av yftinan. Vid dessa aster viker sig systemet i meaneden och uppträdande böjmoment tisammans med andra ordningens effekter bestämmer systemets bärförmåga. Vid snö som huvudast utnyttjas yftinan endast ti 1.5% viket är för ite för att få ett stabit system. För att undersöka kabarnas kapacitet har därför meaneden i detta fa tagits bort. Vidare kan konstateras att Jawerths systemet fungerar som det är tänkt. När de nedåtriktade asterna ökar, ökar också utnyttjandet av bärinan och när de uppåtriktade asterna ökar får yftinan istäet arbeta mer. Detta precis som väntat. Man kan även spekuera runt meanedens egentiga betydese. Med dagens datorhjäpmede kan det konstateras att eden inte fyer någon funktion då den troigen införts för att underätta beräkningsarbetet för Jawerth. 33

44

45 7 Initia handberäkning för indata ti en ny mode 7 Initia handberäkning för indata ti en ny mode Resutaten ovan visar att den beskrivna metoden gör det möjigt att kontroera befintiga konstruktioner. Men metoden är även tiämpbar vid projektering av nya konstruktioner. Nedan visas ett tivägagångssätt för att få en första ansats ti ett system med bär- och yftkabe med ika pihöjd f. Denna beräkning görs primärt genom att systemets jämviktsvikor beaktas och inans deformationsvikor (kabens töjning) ej primärt beaktas. 7.1 Vikor Vikoren som måste uppfyas för systemet: Håfasthetskrav i kabar Nedböjning Instabiitet. Knäckning av pyoner 7. Tivägagångssätt 1. Antag att arean på bärkaben är ika stor som arean på yftkaben. Nämigen: A A A b Om A b väjs skit från A kan ingen enke reevant översagsberäkning upprättas som ger adekvata deformationer.. För att kara deformationskravet krävs att systemet efterspänns. Kraften i bärinan måste vara ika stor som den i yftinan så att pihöjden bir oförändrad. Konstruktionen efterspänns med en kraft så att utnyttjandegraden i de båda kabarna är 50 % Fig. 7.1 Systemet vid efterspänning 35

46 7 Initia handberäkning för indata ti en ny mode 3. Därefter beastas systemet med den dimensionerande asten. Beräkningar från Hovet visar att det dimensionerande astfaet i en första ansatts kan anses vara snö som huvudast. Beasta bärkaben ti 100 % Fig.7. Systemet beastad med nyttig ast 4. Teckna uttryck för momentet för de båda kabarna. M M M M ( H + ΔH )( f + δ H b e ) b H δ + ΔH ( f + δ ) e ( H ΔH )( f δ + H e ) H δ + ΔH ( f e δ ) Och även det totaa momentet i systemet: M M b + M M H e δ + ΔH ( f + δ ) + ΔH ( f δ ) M H e δ + ΔHf e f e f 5. Momentet som systemet ska bära är momentet av den utbredda asten: M q 8 6. De båda uttrycken för M sätts ika. q H eδ + ΔHf 8 7. Eftersom bärkaben är utnyttjad ti 100 % är nu 36

47 7 Initia handberäkning för indata ti en ny mode 100 % 50 % Δ H H e H 50 % 8. Detta gör att uttrycket kan förenkas ytteriggare: q H eδ + H e f 8 e Med kända siffervärden på H e, f, q och kan nedböjningen δ beräknas. 9. Nedböjningen beräknad med denna metod är 13 % större än den exaktare nedböjningen som beräknats i Robot. Dock kan konstateras att denna metod är avsevärt mycket enkare och duger mycket bra som en första ansats ti fortsatt dimensionering. För beräkningar enigt denna metod se biaga 7.1 Beräkningen kan nu iterativt fortsätta i exempevis Robot. Genom att variera A b, A, och H e tis vikoren i kapite 7.1 är uppfyda och den sutgitiga geometrin erhåits. Ab Beräkningarna resuterar i att förhåandet optimeras, adekvata nedböjningar A erhås, samt reevant uppgift på systemets knäcksäkerhet. 37

48

49 8 Generea sutsatser 8 Generea sutsatser Det kan konstateras att den föresagna metoden för ickeinjära diskreta beräkningar erbjuder en ratione teknik för att anaysera uppträdande krafter och deformationer. Ti skinad från beräkningar utförda med den kontinueriga teorin innehåer datormodeen byggnadsverkets aa eement, och de begränsningar som gäer för traditionea kontinueriga beräkningar bortfaer utan något merarbete. Metoden är verifierad genom jämförande beräkningar mot traditionea anayser enigt den kontinueriga teorin. För att minimera risken för numeriska fe är resutatet även verifierat genom jämföreser med ett annat beräkningsprogram. Den beskrivna metoden är praktiskt användbar i tidiga skeden då oika utföranden/gestatningar ska utvärderas på ett adekvat, snabbt och nyanserat sätt för konceptuea studier. Dessutom är metoden vä tiämpbar för detajberäkningar av D system. 39

50

51 9 Referenser 9 Referenser 1. Aspund, S O: On the Defection Theory of Suspension Bridges. IVAs handing nr 184. Stockhom Björk Sven.Oof och Svensk Byggtjänst, Bärande konstruktioner och aster, Byggvägedning 3. Boverket, byggavdeningen Boverkets handbok om snö- och vindast, utgåva november Granhom H., Beräkning av hängbroar de I, Chamers tekniska högskoas handingar, Avd. Väg- och vattenbyggnad 5, Nr, Granhom H., Beräkning av hängbroar de II, Chamers tekniska högskoas handingar, Avd. Väg- och vattenbyggnad 8, Nr 46, Handboken Bygg Huvudde 1 Amänna grunder, Tredje uppagan, Byggmästarens förag, Stockhom Handboken Bygg Huvudde 3 Konstruktionsteknik, Tredje uppagan, Byggmästarens förag, Stockhom Jawerth D., Förspända hängkonstruktioner med mot varandra förspända inor, Byggmästaren voym 38, Nr 10, 1959, sid J. Mean, Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Der Brückenbau, Bd II, V Abt., Berin Lorentsen M., Sundquist H., Bågkonstruktioner, TRITA-BKN. Rapport 17, Brobyggnad 1995, KTH Byggvetenskap, Utgåva 5, Lorentsen M., Sundquist H., Hängkonstruktioner, TRITA-BKN. Rapport 18, Brobyggnad 1995, KTH Byggvetenskap, Utgåva 6, Seberg A., Design of suspension bridges Det kongeige norske videnskabes seskabs skrifter , Trondheim WSP Byggprojektering., Hovet Utredning angående ast- och beastningsförhåanden för takkonstruktionen januari

52

53 Biaga 3.1 Linjär anays Indata 5 m α 45 deg E 10 GPa A 707 mm P kn Punktasten P väjs så att deformationen ska bi 0.5 m a45 b a 1 d d D Kontro: P δ δ 0.5 m EA

54 Biaga 3. Ickeinjär anays små deformationer Antagna startvärden Given 0.05 δ sin( β ) δ 500 mm β 45 deg + δ tan( β ) Detta ger: δ Find ( δ, β ) β δ mm β deg

55 Biaga 3.3 Ickeinjär anays stora deformationer Antagna startvärden δ 500 mm β 45 deg Given ( ) + δ + δ sin( β ) + δ tan( β ) Detta ger: δ Find ( δ, β ) β δ mm β deg

56 Biaga 3.4 Beräkning av C-värdet Linjär approximation Horisontakraften och kabekraften S I fätmitt är ika S Kabekraften vid uppag 1.097S cos(4.3) 1.097S + S Medekraften 1.048S Den korrekta ösningen med en parabe 4 f x Parabens ekvation: y ( x) Area 1 Area Medehöjden 3 4 f x x 4 f A1 ydx f S A 1.097S 1.097S S 6 6 A S

57 Biaga 3.5 Viktös kabe Antagna startvärden m 1 L m L 60 mm δ C Given n 4 1 f 4 1 f f f 4 1 L 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n 4 1 f 4 1 f f f 4 1 L δ δ δ δ ( ) EA L f q C L L δ Detta ger: m L m L mm δ Beräkningar i Robot mm δ % ),, ( 1 1 δ δ L L Find L L

58 Biaga 4.1 Injustering För att kontroera noggrannheten i injusteringen studeras hängaren mean nod 8 och 9 Startkoordinater: x start m y start m Egentyngden äggs på som nodaster på förstyvningsbaken. Därefter beräknas nodernas förskjutningar. Startkoordinaterna fyttas sedan i motsatt riktning mot förskjutningarna och de nya koordinaterna är beräknade x ny _ start m y ny _ start m Egentyngden äggs på igen och koordinaterna förfyttas tibaka ti ursprungsäget x sut m y sut m I detta fa igger sutgeometrin.5 cm ägre än den önskade.

59 För att visa att en iteration är tiräckig kontroeras hängarnas rakhet Δ y _ över ( y start y Δy _ över mm sut ) 0,0 sut ) 1,0 Δ y _ under ( y start y Δy _ under mm ΔΔ y Δy _ över Δy _ under ΔΔy mm Δ x _ över ( x start x Δx _ över mm sut ) 0,0 sut ) 1,0 Δ x _ under ( x start x Δx _ under mm ΔΔ x Δx _ över Δx _ under ΔΔx mm En iknande kontro kan göras för huvudkaben.

60 Biaga 5.1 Sebergs nomogram Laster P 1 46 kn P.6 kn P P + P 68.6 kn 1 Punktasternas äge z z Beräkna C-värdet Horisontakraft av egentyngd och nyttig ast (ur Robot) Brobakens tröghetsmoment Easticitetsmoduen Brons ängd H H w + H s 4 I m E 10 GPa 8.8 m kn H C C EI Beräkningar med PP 1 +P Beräkna momentet i 0. för en punktast P pacerad i punkten med hjäp av Sebergs nomogram. Aväser ur nomogram: Beräkna momentet i punkten μ M μ P 15. knm Beräkna momentet i 0.1 för en punktast P pacerad i punkten med hjäp av Sebergs nomogram. Aväser ur nomogram: Beräkna momentet i punkten μ M μ P 3.0 knm Beräkna momentet för en punktast P pacerad i 0.15 Medevärdet beräknas M 0.15 M 0. + M kNm

61 Beräkningar med P 1 och P på varsin sida om punkten. Beräkna momentet i 0. för två punktaster P 1 och P pacerade bredvid punkten med hjäp av Sebergs nomogram. Läge för P 1 Läge för P Aväser ur nomogram: 0. (0.15 z1 ) ( z 0.15) μ Antag att momentet varierar injärt mean punkten 0. och astpunkterna μ μ μ0.16 μ Beräkna momentet i punkten M μ μ P P 07.5 knm Beräkna momentet i 0.1 för två punktaster P 1 och P pacerade bredvid punkten med hjäp av Sebergs nomogram. Läge för P 1 Läge för P Aväser ur nomogram: 0.1 (0.15 z1 ) ( z 0.15) μ Antag att momentet varierar injärt mean punkten 0.1 och astpunkterna μ μ μ0.116 μ Beräkna momentet i punkten M μ μ P P 07.5 knm Beräkna momentet i 0.15 för två punktaster P 1 och P pacerade bredvid punkten. M 0. + M 0.1 Medevärdet beräknas M knm 19.1 knm Proportioneringsfaktorn knm