EXAMENSARBETE. Konceptuella analyser av bergmassans deformations- och hållfasthetsegenskaper med distinkta elementmetoden.

Transkript

1 EXAMENSARBETE 2005:037 CIV Konceptuella analyser av bergmassans deformations- och hållfasthetsegenskaper med distinkta elementmetoden Per Hägglund Luleå tekniska universitet Civilingenjörsprogrammet Väg- och vattenbyggnadsteknik Institutionen för Samhällsbyggnad Avdelningen för Bergmekanik 2005:037 CIV - ISSN: ISRN: LTU-EX--05/037--SE

2 FÖRORD Detta eamensarbete utgör den avslutande delen i en teknologie magistereamen med huvudämne väg- och vattenbyggnadsteknik vid Luleå tekniska universitet. Eamensarbetet har utförts vid avdelningen för bergmekanik, institutionen för samhällsbyggnad. Jag vill tacka min handledare och den som initierade arbetet Erling Nordlund och övriga vid avdelning för bergmekanik. Jag vill även passa på att tacka alla andra som har fikat hos avdelningen och har på så sätt förgyllt min tillvaro. Tack! Sommaren 2004 Per Hägglund

3 Sammanfattning Den spruckna bergmassans mekaniska beteende påverkas i hög grad av diskontinuiteterna. Slutna lösningar är generellt mycket sällsynta, åtminstone för komplicerade problem och numeriska analyser måste därför användas. Tvådimensionella konceptuella numeriska analyser har använts för att studera spänningsberoendet hos bergmassans styvhet samt bergkilars stabilitet för olika sprickgeometrier. Flera olika numeriska analyser utfördes med hjälp av UDEC (Universal Distinct Element Code) med två olika angreppssätt, Metod 1 och Metod 2. I Metod 1 analyserades en sprucken bergmassa som påverkas av en konstant hastighet på ena randen. Flera olika numeriska analyser utfördes, genom att använda Barton-Bandis sprickmodell, för att beräkna E-modul och tvärkontraktions tal från kända och härledda samband. Resultatet tyder på att spänningen styr E-modulen i de första MPa. I Metod 2 analyserades stabiliteten för en symmetrisk takkil i en enkel modell. I det första angreppssätet var kilen en del av en rektangulär modell. Metoden utvecklades för att validera kilformeln som presenteras av Brady och Brown (1993). Resultatet tyder på att det finns en god överensstämmelse mellan den slutna (analytiska) lösningen och den numeriska, med en ape-vinkel i intervallet grader. Problemet utökades också genom att analysera en takkil, genererad genom sprickor, i ett kvadratiskt respektive hästskoformat hålrum. Eamensarbetet visar hur konceptuella numeriska eperiment kan användas för att erhålla information från en sprucken bergmassa.

4 Summary The mechanical behaviour is strongly affected by the behaviour of the discontinuities present in a jointed rock mass. Closed form solutions rarely eists for general problems, at least for more complicated ones, and numerical methods must therefore be used. Two dimensional conceptual numerical analyses are conducted for investigating the effects of stress state, stiffness of rock mass and stability of roof prism with different joint pattern. A series of numerical eperiments are conducted using the Universal Distinct Element code (UDEC) with two different model set-ups Method 1 and Method 2. Method 1 was used to simulate a jointed rock mass subjected to a constant velocity at one of the vertical boundaries to induce stresses. A series of numerical eperiments, using the Barton-Bandis joint model, were conducted in order to determine the rock mass properties Young s modulus and Poisson s ratio, from known and derivates equation. The results indicate that the stress control Young s modulus for the first MPa. Method 2 was used to simulate the stability of a symmetric triangular roof prism in a simple manner. In the first approach the roof was a part of a rectangular model. The methodology was developed with the purpose of validating the wedge formula presented by Brady and Brown (1993). The results indicate that it is a good agreement between the numerical model and the closed form solutions for ape-angles in the interval of degree. The problem was also etended to simulate stability of a triangular prism formed by symmetrical inclined joints in the crown of a simple ecavation, rectangular and horse shoe shaped. The thesis shows how conceptual numerical eperiments are useful for providing information about the behaviour of a jointed rock mass.

5 1 INLEDNING BAKGRUND SYFTE UTFÖRANDE AVGRÄNSNINGAR TEORETISK BAKGRUND DISKONTINUERLIGA BERGMASSOR Normaldeformation Skjuvdeformation KONSTITUTIVA MODELLER FÖR SPRICKOR Barton-Bandis empiriska modell NUMERISKA METODER UDEC ANALYSER METOD METOD Modell i-l Modell m-q RESULTAT METOD METOD DISKUSSION...30 METOD METOD REFERENSER...32 BILAGOR 1 Ingående Parametrar, Modell 1 2 Ingående Parametrar, Modell i 3 Ingående Parametrar, Modell m 4 Ingående Parametrar Modell n 5-11 σ och ε y som funktion av ε E-modul och Poissons tal (ν) som funktion av σ

6 1 Inledning Stor kännedom om berget är nödvändig vid konstruktioner av alla typer av berganläggningar (underjordsanläggningar, slänter, fundament) för att som slutprodukt erhålla en stabil konstruktion till ett rimligt pris. Som första fas i designprocessen kan enkla empiriska eller analytiska lösningar användas. Problemet med den sistnämnda metoden är den begränsade tillgången på analytiska lösningar och då bara för enkla geometrier. Empiriska metoder som grundar sig på praktiska erfarenheter kan dock vara svåra att appliceras direkt på det nya problemet. Det tredje alternativet och den metod som används av gruv- och anläggningstekniker världen över, är numeriska beräkningsmetoder vid analys av komplea problem. Med numeriska metoder är det möjligt att utföra avancerade två- och tredimensionella analyser till små kostnader och under rimlig tid. Det är dock viktigt att de numeriska modelleringarna jämförs med empiriska data och analytiska beräkningar för att därigenom uppskatta relevansen i beräkningarna. 1.1 Bakgrund När diskontinuerliga (spruckna) bergmassor analyseras t e som en del i en stabilitetsanalys, krävs relevanta indata. En av de parametrar som krävs vid varje form av analys är bergmassans styvhet (E-modul). Eftersom styvheten är både svår och dyr att bestämma insitu, har flera metoder utvecklats för att uppskatta den med hjälp av bergmasseklassificering. Bieniawski (1978) sammanställde värden på bergmassans deformationsmodul från 15 olika platser. Han fann då att när RMR > 55, kan deformationsmodulens medelvärde, approimeras med det empiriska sambandet E m, E I m = 2( RMR) 100 (GPa) (1.1) Serafin och Pereira (1983) fann att det empiriska sambandet RMR E = 10, (GPa) (1.2) II m 1

7 gav en bättre anpassning till deras och Bieniawskis mätdata, speciellt när II Em är i intervallet 1-10 GPa eller 10 RMR 50. Det tredje alternativa sambandet föreslogs av Grimstad och Barton (1993): E III m 10 = 25Log Q (1.3) där Q är ett klassificeringssystem för bergmassan som utvecklades vid Norges Geotekniska Institut. I Figur 1.1 finns de olika sambanden plottade tillsammans med fallstudier rapporterade av Bieniawski (1978) och Serafim och Pereira (1983). Figur 1.1 tyder på att (1.2) erbjuder den bästa kurvanpassningen till alla observationer och har fördelen att den täcker en stor del av RMR i motsats till de två andra (Hoek et al, 1997). Nackdelen med ovanstående ekvationer är att det ej finns någon övre begränsning, dvs. E m kan bli större än för det intakta berget och det förefaller orimligt. Det är särskilt tydligt i (1.2) där ökningen är eponentiell. Figur 1.1 Bergmassans E-modul ( E ) som funktion av bergmassaklassificering (RMR), m (Hoek et al, 1997). Ekvationerna (1.1), (1.2) samt (1.3) ger troligen rimliga värden nära markytan i områden med låga spänningar, men när djupet är större och därmed även spänningarna, är det troligt att 2

8 dessa påverkar styvheten positivt, dvs. ger en större styvhet. Sammanfattningsvis är troligen bergmassans styvhet en funktion av både sprickighet/kvalité och spänningstillstånd, dvs. E m ( RMR, σ ). 1.2 Syfte Konceptuella numeriska analyser med programmet UDEC för att studera spänningsberoende, bergmassans styvhet samt bergkilars stabilitet. 1.3 Utförande Två olika metoder analyserades som också redovisas under olika rubriker. Metod 1 bestod av att bestämma bergmassans deformationsmodul ( E m ) samt Poissons tal ( υ m ) i diskontinuerliga bergmassor från kända och härleda samband med hjälp av numeriska analyser. I Metod 2 studerades stabiliteten hos tak-kilar och dess beroende av spänningstillståndet och även i denna del utfördes numeriska analyser. 1.4 Avgränsningar Inom ramen för det här eamensarbetet känns det inte nödvändigt att fullständigt beskriva simuleringsprogrammet UDEC (Universal Distinct Element Code) alla algoritmer och funktioner. Om ytterligare detaljer och beskrivningar önskas finns de ITASCA (2000) och Jing (1990). I den fortsatta redovisningen kommer således endast algoritmer och förklaringar redovisas som kan tänkas öka förståelsen för resonemanget i eamensarbetet. Vidare innehåller eamensarbetet inga jämförelser med fysiska eperiment. Metod 1 innehåller inte heller några jämförelser med analytiska formler. 3

9 2 Teoretisk bakgrund 2.1 Diskontinuerliga bergmassor Sprickorna påverkar bergmassans egenskaper huvudsakligen genom att förändra dess hållfasthet, deformerbarhet samt konduktivitet (vattengenomsläpplighet). När sprickorna deformeras förändras således bergmassans deformationsegenskaper och konduktivitet. Den deformation som uppstår då en sprucken bergmassa belastas kan antas vara summan av deformationerna i det intakta berget och i sprickorna. (Nordlund et al, 1998) Normaldeformation Den enklaste modellen av en sprickas deformationsegenskaper i normalriktningen är den linjära deformationsmodellen illustrerad i Figur 2.1 När sprickan tryckbelastas i normalriktningen sker en linjärt elastisk deformation som sluter sprickan. När den relativa förskjutningen av sprickans ytor är lika med den initiala spricköppningen, u 0 n, definieras sprickan som sluten. Om normalspänningen är negativ och mindre än sprickans draghållfasthet kommer ytorna att separera. (Nordlund et al, 1998) Figur 2.1 En sprickas deformationsegenskaper under normalbelastning principiellt beteende. (Nordlund et al, 1998) Goodman (1974) introducerade termen normalstyvhet (k n ) för att beskriva sprickans styvhet enligt sambandet, 4

10 σ n = k n u n (2.1) där σ n är sprickans normalspänning och u n är normaldeformationen. Detta samband kan antas beskriva relationen mellan spänning och deformation i sprickor med släta ytor, men för naturliga sprickor behövs oftast ett mer komplet samband. Barton (1983) föreslog att följande faktorer påverkade normalstyvheten: 1. Verklig initial kontaktarea och den relativa amplituden. 2. Sprickytans råhet (joint wall roughness) 3. Hållfasthet och deformationsegenskaper för ojämnheterna. 4. Tjocklek och typ samt fysikaliska egenskaper för sprickfyllnadsmaterialet Skjuvdeformation Deformationen av en spricka i sprickytans plan studeras oftast genom direkta skjuvtester där normalspänningen hålls konstant. Under testet registreras skjuvspänning och normalförskjutning samt skjuvförskjutning. Enligt Goodman (1974) kan sprickans deformationsegenskaper i skjuvriktningen representeras av dess skjuvstyvhet, k s, dvs, τ = k s u s (2.2) och detta samband kan användas för att representera deformationen i en spricka med mycket släta ytor som ger en försumbar dilatans under skjuvrörelsen och analogt med normaldeformationen behövs oftast ett mer komplet samband. Den enklaste modellen av en sprickas deformationsegenskaper i skjuvriktningen är den linjära deformationsmodellen illustrerad i Figur 2.2. Maimal skjuvspänning (peak shear stress), kvarvarande (residual) skjuvspänning samt dilatans är tre typiska begrepp som definieras i figur 2.2. Maimala skjuvspänningen kan också betraktas som sprickans skjuvhållfasthet. 5

11 Figur 2.2 Typisk skjuvspänning son funktion av skjuvdeformation för en dragspricka. (Barton, 1976) Skjuvmotstånd på grund av sprickytans råhet (dilatans) inträffar när två råa och motstående ytor skjuvas. Kännetecknet för dilatans är att det påverkar både deformationerna av sprickorna och konduktiviteten eftersom den effektiva öppningen varierar som funktion av dilatansen (Jing, 1990). 2.2 Konstitutiva modeller för sprickor Det finns ett flertal konstitutiva modeller och de är antingen analytiska (matematiskt härledda) eller empiriska. De sistnämnda bygger på laboratorieförsök, fältobservationer eller konceptuella studier för att karakterisera sprickornas mekaniska beteende. Materialfunktionerna beräknas med andra ord från laboratorieförsök eller fältobservationer vilket innebär att dessa modeller kanske inte satisfierar alla fysiska lagar men kan inom giltighetsintervallet bjuda på en fullgod noggrannhet. Enligt Jing (1990) kan modellen ha följande begränsningar: 1. Den kanske inte följer all fysikaliska lagar som är vedertagna inom andra discipliner. 2. Oftast går det inte att fullständigt validera alla materialparametrar med eperiment utan någon form av etrapolation. 6

12 Av den sista begränsningen följer oftast någon form av felskattning som kan vara svår att beräkna. Den teoretiska modellen å andra sidan bygger på härledningar från fysikaliska lagar och på något annat samband, t e plasticitetsteorin. Oftast fallerar modellbyggandet på att någon teori ej fullständigt beskriver det komplea sprickbeteendet. Flera mätningar behöver också vidtas för att säkerställa att modellen beskriver önskat beteende Barton-Bandis empiriska modell Barton-Bandis föreslog en 2-dimensionell konstitutiv modell för sprickor som bland annat presenterades i Bandis et al (1983). a) Normalriktning Bandis et al (1983) föreslog en hyperbolisk relation som beskriver sambandet mellan normalspänning och normalförskjutning för en spricka σ n = u n /(a-b u n ) (2.3) där a och b är eperimentellt bestämda materialkonstanter. Normalstyvheten, k n, defineras av sambandet. k n = d(σ n )/d( u n ) = a/(a-b u n ) (2.4) där u n är maimala spricköppningen. b) Skjuvriktning Barton föreslog att en sprickas maimala skjuvhållfasthet kan beskrivas med det empiriska sambandet JCS σ n tan JRC log + φ (2.5) σ n τ p = 10 b där 7

13 σ n = Normalspänning JRC = Sprickråhetstal JCS = Sprickytans tryckhållfasthet φ b = Basfriktionsvinkel Skjuvhållfastheten består enligt Barton av följande komponenter basfriktion, φ b skjuvmotstånd på grund av sprickans råhet, JRC (Dilatans) brott i sprickytans ojämnheter, (JCS/ σ ) n där skjuvmotstånd på grund av sprickans råhet och skjuvmotstånd på grund av brott i sprickytans ojämnheter representerar den totala friktionsvinkelns råhetskomponent. Med hjälp av detta kriterium är det möjligt att ta hänsyn till såväl skaleffekter (JRC) som spänningseffekter (JCS/ σ ), (Nordlund et al, 1998). n 2.3 Numeriska metoder Numeriska metoder är vanliga verktyg vid analys av spruckna bergmassor. Den största orsaken är att slutna analytiska lösningar oftast saknas eller när geometrierna har egenskaper (sprickgeometrier) som blir för komplea. Beräkningsmodellerna kan i huvudsak delas in i två huvudgrupper, kontinuummodeller och diskontinuummodeller. Kontinuummodeller beskriver berget som en ekvivalent bergmassa där effekterna av sprickorna inkluderas utan att kunna definiera dem speciellt. Rörelser i berget beskrivs i dessa modeller genom kontinuummekanik, vilket medför att endast små rörelser efter sprickorna kan beaktas. Eempel på program som bygger på kontinuummodeller är Finita Elements Metoden (FEM), Boundary Element Metoden (BEM) och Finita Differens Metoden (FDM). I vissa FEM, BEM och FDM-program finns dock vissa tillägg som gör att de kan simulera diskontinuerliga material i viss utsträckning men enligt ITASCA (2000) har dessa program följande nackdelar eller begränsningar: Programmet kan haverera om det är för många korsande sprickor. Det finns ingen automatik för att lokalisera nya kontakter. Modellen är oftast begränsad till mindre förskjutningar och/eller rotationer. 8

14 Diskontinuummodellerna beskriver det intakta berget och diskontinuiteterna var för sig och det finns inbyggda modeller som beskriver rörelser i berget med deformationsmekanismer för glidning längs sprickplan, separation och rotation. Eempel på program som bygger på diskontinuummodellen är diskreta element metoden där distinkta elementsmetoden är en formulering och dessa program kan också användas inom bland annat bergmekanik, jordmekanik, strukturmekanik och materialhantering samt strömningslära (Jing 2003). Två typiska distinkta element program är UDEC i två dimensioner, respektive 3DEC för det tredimensionella fallet och dessa båda programm utvecklades av Cundall och hans medarbetare i ITASCA (Cundall, 1980, Cundall 1988, ITASCA 2000). DEM har således blivit ett kraftfullt verktyg vid numerisk modellering av bergmekaniska problem (Cundall, 1971). Enligt Cundall och Hart kan endast namnet Diskreta Element Metoden användas om programmet uppfyller följande villkor: Tillåter förskjutningar och rotation av enskilda kroppar samt frigörelser mellan dessa. Hittar nya kontakter automatiskt under beräkningsprocessen. Utan det första villkoret kan inte programmet utföra viktiga procedurer i en diskontinuerlig miljö och det sista villkoret säkerställer att programmet kan hantera ett stort antal kroppar vars kontakter ej är kända i förväg. I fortsättningen kommer endast diskontinuummetoden och då i synnerhet UDEC som bygger på distinkta elementmetoden att behandlas UDEC Den spruckna bergmassan modelleras som diskreta block som i sin tur sammanfogas med hjälp av kontaktvillkor i sprickorna. Kontaktkrafterna och blockens koordinater uppdateras vid varje tidssteg tillföljd av deformation i och mellan block. Programmet erbjuder flera konstitutiva samband (materialsamband) för block och sprickor. Programmet använder styvhetsparametrar i normalriktningen samt styvhet och friktionsparametrar i skjuvriktningen för att karakterisera kontakter, till eempel sprickaspricka och spricka-punkt (hörn) punkt-punkt (hörn-hörm). Vidare delas de deformerbara blocken in i mindre triangulära zoner med konstanta töjningar. UDEC bygger på ett eplicit lösningsförlopp som innebär att den stegar sig fram mot jämvikt genom att varje ny lösning definieras av den närmast föregående till dess 9

15 jämviktsvillkoret är uppfyllt. Implicitmetoden går däremot ut på att ett ekvationssystem ställs upp och löses för varje tidpunkt som är av intresse. Den eplicita metoden är således bättre lämpad att simulera icke-linjära materialbeteenden inklusive stora deformationer, som leder till flytning och kollaps i materialet. Iterationer inom varje tidssteg behövs inte med den eplicita metoden, eftersom den begränsar varje elements beroende endast till dess omedelbara grannelement. Därför kan icke-linjära konstitutiva modeller och stora rörelser följas utan behov av iterativa procedurer. Det gäller för såväl dynamiska som för statiska simuleringar. För att simuleringarna ska ge rimliga resultat beräknas ett tidssteg inom vilket hastigheten och accelerationen är konstant. Distinkta elementmetoden bygger således på att om tidssteget är tillräckligt litet kan inte information (störningar) fortplantas i systemet och det beror på att det finns en högsta hastighet inom vilket information kan överföras i mediet. Programmet beräknar två olika tidssteg ( t n, t b ) och det som används är, t = min( t n, t b ) (2.6) där tn definieras som: t n mi = 2min ki 1 2 (2.7) där m i är kroppens massa och k i är dess styvhet. Kvoten (m i / k i ) är korrelerad mot kroppens högsta egenfrekvens (eigenfrequence), ω ma, i ett linjärelastiskt material. Styvheten (k i ) representeras av såväl styvhet i det intakta berget som i sprickorna och beräknas enligt k i ( k k ) zi + = ji (2.8) där första termen i högerledet är styvheten för det intakta berget enligt, 10

16 k zi 8 4 b = K + G 3 3 h 2 ma min (2.9) där K och G är bulk respektive skjuvmodul, b ma och h min beror på zonstorlekarna. Styvheten (k ji ) för sprickan beräknas i sin tur från styvheterna och deras respektive kontaktlängder. Tidssteget, tb, definieras som, t b M = ( frac)2 K min ma 1 2 (2.10) där M min är massan av det minsta blocket och K ma är den största styvheten. Termen frac är en godtycklig konstant som beror på hur många block som är i kontakt med varandra och ett typiskt värde kan sägas vara 0.1. Kontakterna mellan två block representeras av styvhet i normalriktning och styvhet samt friktion i tangentiell riktning. Kontaktkrafterna mellan blocken beräknas med hjälp av en kraft-förskjutningslag och delas upp i normal (n) respektive tangentiell (t) kraft. Det antas således att överlappens storlek, som beräknas i varje tidssteg, är proportionell mot kontaktkraften (spänningen) enligt: σ σ n t = k u t n = k u t n (2.11) där σ är spänning, k är styvhet och u är överlappens storlek. Vid varje tidssteg beräknas sedan spänningens bidrag till rörelsen. 1) För kroppar som påverkas av kraftfunktionen f, som genereras av förskjutningen, såväl som volymskrafter blir de nya hastigheterna med hjälp av Newtons andra lag. v i (t+ t/2) = v i (t- t/2) + (( f i )/m+b i ) t (2.12) 11

17 ϖ i (t+ t/2) = ϖ i (t- t/2) +( M i ) t/i (2.13) där, v = hastighet f = kraftfunktion m = massa b = volymskraft (body force) ϖ = vinkelhastighet M = resulterande moment (resultant out-of-balance moments) I = masströghetsmoment (moment of inerertia) t = tidssteget Hastigheterna anses konstanta under tidssteget och det medför att tidssteget måste vara mindre än tiden det tar för informationen (störningen) att fortplantas mellan elementen. 2) Förskjutningar ( u i ) som fås från den nya hastigheten ges av följande samband för respektive kropp. u i = v i t (2.14) 3) Nya koordinater för kropparna beräknas med hjälp av följande samband i (t+ τ) = i (t) +v i (t+ τ/2) t (2.15) θ i (t+ τ) = θ i (t) + ϖ i (t+ t/2) t (2.16) där ϖ är vinkelhastigheten runt masscentrum. 4) Nya kontaktkrafter och spänningar (som orsakas på grund av sprickan) beräknas från kända förskjutningar med hjälp av det konstitutiva sambandet. σ σ n t = k u t n = k u t n (2.17) 12

18 5) Förändringar av geometrin på grund av kroppens deformation beräknas enligt 1 v v i j ε ij = ( + ) t 2 j i (2.18) i j ij = 1 υ ω ( υ ) t (2.19) 2 j i där ε är töjningen. 6) Med hjälp av det konstitutiva sambandet beräknas nya spänningar. 13

19 3 Analyser I samtliga numeriska modeller används det 2-dimensionella programmet UDEC (version och den uppdaterade versionen ) för att simulera den spruckna bergmassans beteende. De olika metoderna är redovisade under skilda rubriker. 3.1 Metod 1 Eftersom denna typ av analys utfördes för att uppskatta en sprucken bergmassas elastiska parametrar som funktion av spänningen utvärderades bergmassans deformationsmodul ( E ) samt Poissons tal ( ν m ) för plant deformationstillstånd. m L y = 3 L. ( 1 ;y 1 ) s. ( 2 ;y 2 ) vel = c α Figur 3.1. Modell som visar sprucken bergmassa med randvillkor. 10 y I Figur 3.1 anges de geometriparametrar som varieras i modellserien, d v s sprickavståndet (s) och vinkeln (α) samt hastigheten (vel = c). Provkropparna belastas genom att den högra vertikala randen ges en konstant hastighet. Under testet registreras spänning och deformation som funktion av tidssteget. Spänning samt förskjutning i -led loggas i punkten ( 2 ;y 2 ) medan spänningen i -led samt förskjutningen i y-led loggas i punkten ( 1 ;y 1 ). Observera att origo är i provkroppens tyngdpunkt. Mätpunkterna fierades mitt emellan sprickorna och den högra punkten placerades för övrigt också mellan de första sprickorna (från höger) som mynnar ut på kroppens långsida. Hastigheten anpassas också för att ge rimliga beräkningstider samt resultat. Inga gravitativa krafter kopplas till modellen och randvillkoren är noll hastigheter och därigenom noll deformationer i -riktningen i den vänstra randen respektive noll hastigheter i y-riktningen i nedre randen. Det intakta bergets densitet är 2,7 ton/m 3 och det konstitutiva villkoret är linjärelastiskt med typiska värden på styvhetsparametrar. 14

20 Tabell 3.1 Ingående parametrar samt mätpunkter till försöken. Försöks nr JRC s (m) α (grader) ( 1 ;y 1 ) ( 2 ;y 2 ) L modell (0;1,5) (3;0) 8 modell 2 8 0,5 60 (0,5;1,5) (3,6;0) 8,6 modell 4 4 0,5 60 (0,5;1,5) (3,7;0) 8,7 modell ,5 60 (0,5;1,5) (3,7;0) 8,7 modell 8 8 0,5 90 (0,2;1,5) (4,2;0) 9,2 modell (0,2;1,5) (2,7;0) 7,7 modell (0,2;1,5) (2,7;0) 7,7 För att kunna studera styvhetens beroende av spänningen valdes Barton Bandis sprickkriterium. Detta kriterium ger dessutom en möjlighet att variera olika egenskaper såsom, sprickans råhet (JRC) och sprickytans tryckhållfasthet (JCS), samt basfriktionsvinkel ( φ b ). Vidare finns möjlighet att variera intakta bergets enaiella tryckhållfasthet (σ c ) samt skalfaktorn (l o ), vilket innebär att sprickans parametrar (egenskaper) kan variera mellan olika geometrier på modellen. Programmet beräknar alltså parametrar som ligger till grund för analysen utifrån spricklängd. Sprickans konstanta värden under modellserien; Normalstyvhet (40 GPa/m) Skjuvstyvhet (40 GPa/m) JCS (30 MPa) σ c (50 MPa) l o (0,1) φ b (20 ) Som framgår av Tabell 3.1 varierades endast en parameter i taget mellan de olika modelleringarna och det medför att utvärderingarna underlättas. 3.2 Metod 2 De naturliga sprickorna i bergmassan kan samverka och bilda kilar. När de dominerande sprickorienteringarna är kända kan eventuella kilar som gravitativt faller eller glider ut i rummet identifieras med hjälp av sfäriska projektioner (Brady and Brown 1993, Nordlund et al. 1998). Resultatet som erhålls med hjälp av sfäriska projektioner gäller således endast när gravitativa d v s avlastade förhållanden råder. Om däremot de sekundära spänningarna (efter 15

21 berguttag) är av samma storlek eller större än den gravitativa spänningen måste en annan analys utföras. Figur 3.2. Ort med tillhörande kil (Brady and Brown 1993). Bray (1977) beskrev en analytisk metod för att beräkna stabiliteten av en likbent kil med placering i orttaket som senare också presenterades ibland annat Brady och Brown (1993). Kilen består av en långsträckt kropp enligt Figur 3.2 och dess lastförmåga (P l ) kan då beskrivas med sambandet, P = 2 2 l n H ( K cos α + sin α)sin ( φ α s K ) D D = K s cosα cosφ + K n sinα sinφ (3.1) där H 0 = Primärkraft i -led (N) K n = sprickans normalstyvhet (Pa/m) K s = sprickans skjuvstyvhet (Pa/m) α = Vinkel (se Figur 3.1 ) φ = friktionsvinkel. 16

22 S S α α H 0 N N H 0 u s u n u n u y u s y P l Figur 3.3 Likbent kil med placering i orttaket, (modifierad efter Brady and Brown 1993). Modellen försummar vattentrycket och förutsätter att motståndet mot glidning är likformigt och rent friktionsberoende samt att sprickornas normal- och skjuvstyvheter kan uppskattas. Vidare löses modellen med hjälp av en tvåstegsmetod (relaation method) som i sitt första steg antar att sprickorna är stela och intakta berget är deformerbart under inverkan av den horisontella kraften (H 0 ). Efter berguttaget, som i metoden hänförs till andra steget, betraktas sprickorna som deformerbara medans berget är stelt. Kilanalysen erbjuder också en möjlighet att beräkna med hänsyn till förstärkning enligt, P l = W-R (3.2) där W är kilens tyngd och R är förstärkningskraften. Stabilitetsanalys utförs med en tvådimensionell kil, d v s ett långsträckt block med triangulärt tvärsnitt och sprickorna som ger det triangulära tvärsnittet stryker för detta fall med andra ord parallellt med ortens längdael (se Figur 3.2). Kilen kan glida eller falla ut ur taket på grund av att kilen är avskuren av sprickor som är vinkelräta eller nästan vinkelräta mot ortens längdael. Analyserna utförs med olika geometrier med tillhörande randvillkor samt i huvudsak olikartad beräkningsstrategi för att få en jämförelse, d v s modellerna h-l samt m-q som också redovisas 17

23 under skilda rubriker. Densiteten antogs vara 2700 kg/m 3 Det intakta bergets konstitutiva samband är linjärelastiskt med typiska värden på elasticitetsparametrar, d v s E-modul (27/7 GPa/m) Poissons tal (11/34) Som konstitutivt villkor för sprickorna väljs Coulombs area och kontaktsamband (joint area contact Coulomb). Villkoret erbjuder därför möjligheter att specificera elastisk styvhet, friktion och kohesion samt draghållfasthet. Nyss nämnda samband används ofta i underjordstillämpningar av bergmekaniska problem och då i synnerhet när berggrunden består av sprucken bergmassa och/eller när det finns inslag av förkastningar. De pådrivande krafterna är kilens tyngd (mg) som i sin tur balanseras mot P l i ekvation (3.1), där också bland annat friktionsvinkeln finns med. Minsta möjliga friktionsvinkel som ger en stabil kil söks i analyserna i-l. I analyserna h och m-q söks däremot minsta möjliga horisontalspänning (σ ) som ger en stabil kil. För att få en förståelse hur modellen uppför sig under inverkan av den konstanta horisontalspänningen loggas förskjutningen i - och y-led utanför kilens sidor och i mitten på kilen som en funktion av tiden Modell i-l Geometrin väljs för att kunna analysera en symmetrisk kil med placering i taket på en tunnel i dess enklaste form, d v s kilen är en del av en rektangulär modell av bergmassan enligt Figur 3.4. Observera att under kilen och därigenom balken finns tunnelns hålrum. Randvillkoren väljs så att förskjutningar i y-led på balkens översida låses fast. Det bör också nämnas att inga randvillkor appliceras i omedelbar närhet till kilens ape för att därigenom tillåta att densamma glider eller faller fritt ut från modellen. Således blir det möjligt att jämföra de numeriska lösningarna med den analytiska lösningen som presenteras i Kapitel 3.2. I modellerna j-l ändras kilens ape-vinkel, jämfört med modell i, mellan de olika analyserna medan övriga parametrar behålls konstanta. Modellen l är specialfall och behandlas separat senare. 18

24 y (-5; 1,5) (0; 1,5) (5; 1,5) H 0 H 0 (-5; -1,5) ( 1 ;-1,5) ( 2 ;-1,5) (5;-1.5) Likbent kil Figur 3.4. Balk med kil och tillhörande randvillkor. Modellerna i-l löses med friktionsvinkeln (φ ) som variabel mellan de olika beräkningsstegen i respektive modell. Tillstånd söks där friktionen är fullt utbredd, d v s just innan kilen glider ner, för att underlätta utvärderingarna enligt följande: 1. Konsolidera med fiktiva sprickor, d v s sprickorna tilldelas etremt höga hållfasthetsvärden för att undvika rörelser samt för att uppnå förhållanden innan utbrytning. 2. När jämvikt uppnås ges modellen relevanta värden för sprickorna med (φ ) som enda variabel. 3. Kör till jämvikt och kontrollera kilens stabilitet. 4. Fortsätt med loopen 2-3 och ändra (φ ) en grad åt gången tills den kritiska friktionsvinkeln ( φ krit ) uppnås. 19

25 Tabell 3.2. Ingående parametrar till analyserna. Försöks Kraft Geometri nr H 0 (kn) 1 2 modell h 39,9-3tan10 3tan10 modell i 132-3tan20 3tan20 modell j 414-3tan30 3tan30 modell k 76,0-3tan15 3tan15 modell l 238-3tan20 3tan20 Just innan kilen börjar glida med hjälp av den pådrivande kraften (mg) och som i sin tur balanseras av kraften P l (3.1 ) gäller följande samband; 2 ( K s cos α + K n sinα)sin( φ α) mg = Pl = 2H 0 (3.3a) K cosα cosφ + K sinα sinφ s n eller 1 K s cosα cosφ + K n sinα sinφ H 0 = mg (3.3b) 2 2 ( K cos α + K sinα)sin( φ α) s n När K n >> K s råder, vilket är det naturliga förhållandet, blir (3.1), (Brady och Brown 1993) ; 2 0 sinα sin( φ α) P = H l (3.4) sinφ Malmgren (2001) visade att (3.1) samt (3.4), för K n /K s = 100, i princip ger samma kurvor när α 10. I modell l söktes en numerisk bekräftelse av (3.4) och det kan uppnås genom att sätta normalstyvheten till 100 gånger större än skjuvstyvhet. I övrigt behölls allt annat lika jämfört med modell i. Ingående friktionsvinkel till analyserna, som bland annat behövs för att beräkna horisontalspänningen, behölls konstant mellan de olika försöken, d v s ( φ = 40 ). Till modellerna i-k används skjuvstyvheten, 1 GPa/m, och normalstyvheten, 2 GPa/m Modell m-q 20

26 I dessa modeller analyseras en kil i taket på en tunnel med rektangulärt respektive hästskoformat tvärsnitt enligt Figurerna y (-20;8) (20;8) σa spricka (-5;-3) kil (5;-3) σa (-5;-7) (5;-7) (-20;-16) ort (20;-16) Figur 3.3. Skiss av provkropp med tillhörande randvillkor för modell m. (ej skalenlig) Randvillkoret väljs så att förskjutningarna i y-riktningen på modellens undersida låses fast, dvs. noll förskjutningar. Den övre och större kilen låses fast i sprickorna för att minimera dess påverkan av resultatet. Till grund för modellserien (m-q) ligger kilgeometrin, friktionsvinkeln samt horisontalspänning från modell i. Modellerna m-q löses med horisontalspänningen ( σ ) som variabel mellan de olika beräkningsstegen i respektive modell. Tillstånd söks där friktionen är fullt utbredd, d v s just innan kilen glider ner, för att underlätta utvärderingarna. 1. Konsolidera med fiktiva sprickor, d v s sprickorna tilldelas etremt höga hållfasthetsvärden för att undvika rörelser och för att uppnå förhållanden innan utbrytning. 2. När jämvikt uppnås ges modellen relevanta värden för sprickorna med σ som ända variabel. 3. Bryt ut berget. 4. Kör till jämvikt och kontrollera kilens stabilitet. 5. Fortsätt med loopen och ändra σ 10 kpa i varje loop tills den kritiska horisontalspänningen ( σ krit ) uppnås. Kilen skapas genom att utnyttja UDEC:s inbyggda sprickgenerator. Indata till sprickgenereringen är vinkeln (från positiva -aeln) och spricklängd samt sprickavstånd. UDEC kräver att sprickorna fullständigt korsar blocken. 21

27 Tabell 3.3. Ingående parametrar till modellerna n-q. Försöks Geometri Cirkelsektorns nr ( 1 ;y 1 ) ( 2 ;y 2 ) ( 3 ;y 3 ) ( 4 ;y 4 ) medelpunkt modell n (-4,58;-6) (-4,58;-8) (4,58;-6) (4,58;-8) (0;-8) modell o (-4,58;-6) (-4,58;-9) (4,58;-6) (4,58;-9) (0;-8) modell p (-2;-5) (-2;-7) (2;-5) (2;-7) (0,-5) modell q (-3;-6) (-3;-8) (3;-6) (3;-8) (0;-6) För att ytterligare öka graden av relevans ansätts en geometri enligt Figur 3.5 för modellerna n-q. Taket är där av valvtyp och implementeras i modellen genom att utnyttja programmets inbyggda valvgenerator. Då finns det bland annat möjlighet att specificera antalet segment som taket byggs med och var cirkelsektorns (valvets) medelpunkt ska ligga. Takvalvet börjar i punkten ( 3; y 3 ) och slutar i punkten ( 1; y 1 ). Ortens takhöjd, d v s det vinkelräta avståndet från ortens sula till tak specificeras således också indirekt. Observera också att kilgeometrin hålls konstant mellan olika försök för att underlätta utvärderingarna. y (-20;8) (20;8) σa spricka ( 1; y 1 ) kil ( 3; y 3 ) σa ( 2; y 2 ) ( 4; y 4 ) (-20;-16) ort (20;-16) Figur 3.4. Skiss av provkropp med tillhörande randvillkor för modell n-q. (ej skalenlig) 22

28 4 Resultat För att underlätta jämförelsen av resultatet mellan olika modeller är dessa redovisade under skilda rubriker. Som bilagor redovisas endast de olika indatafiler vars ändringar är av betydelse, t e olika metoder, geometrier. 4.1 Metod 1 De olika försöken klassificeras med hjälp av RMR (1989). Som indata behövs således kännedom om; Bergartens enaiella tryckhållfasthet (RMR 1 ) Borrkärnans kvalité (RMR 2 ) sprickavstånd (RMR 3 ) spricktillstånd (RMR 4 ) grundvattenförhållanden (RMR 5 ) sprickorientering Tabeller för att bestämma och poängsätta RMR finns oftast i handböcker av bergmekanisk karaktär eller i Edelbro (2003) och kommer således inte att redovisas här. Bergmassans deformationsmodul E (1.1) och I m II E m (1.2) beräknas från olika RMR-värden. Stjärnan (*) i Tabell 4.1 betyder att beräkningen ligger utanför ekvationens definitionsområdet. Tabell 4.1. Kalkylering av bergmassaklassificering (RMR) och bergmassans E-modul. Försöks nr RMR 2 RMR 3 RMR 4 RMR 5 j= 1 j I E m (GPa) II E m (GPa) modell modell modell * 12 modell modell modell modell Priest och Hudson föreslog att RQD (RMR 2 ) kan beräknas genom att använda antalet sprickor per meter (λ) och som bland annat presenterades i Brady och Brown (1993) 0,1λ RQD = 100e (0,1λ + 1) (4.1) 23

29 RMR 2, RMR 3 samt RMR 4 varieras mellan de olika försöken medan de övriga behålls konstanta. Fullständigt torra förhållanden antas (10 poäng). Detta är ett rimligt antagande enligt Hoek et al (1997) och då i synnerhet inom gruvbrytning i hårda bergarter på stora djup. Ingen justering görs på grund av sprickorientering i förhållande till drivningsriktningen (0 poäng) och RMR 1 uppskattas till 7 poäng. Som indata till analyserna varieras sprickans råhet (JRC) och den behöver således korreleras mot bergmassans spricktillstånd (RMR 4 ). Ett sätt att få en linjär korrelation mellan dessa båda parametrar är helt enkelt att dividera RMR 4 med JRC och därigenom få faktorn 3/2 och det innebär åtminstone att en subjektiv bedömning elimineras. Eftersom programmet arbetar under plant töjningstillstånd härleds formler som uttrycker E och ν från dessa kända samband. Plant deformationstillstånd ger således enligt Hookes lag σ E ν ε + 1+ ν 1 2ν ( ε + ε ) = y (4.2) ε y 2 1 ν ν σ y σ E 1 ν = (4.3a) ε 2 1 ν ν σ σ E 1 ν = y (4.3b) Eftersom den övre randen är fri kan det antas att σ y = 0 vilket tillsammans med (4.3) ger 2 1 ν ε = E σ (4.4a) ε y 2 1 ν ν = σ E 1 ν = ( 1+ ν ) E ν σ (4.4b) (4.2) och (4.4b) ger sedan E σ = 2 ε ( 1 ν ) Detta innebär att lutningen på kurvan σ = f ( ε ) är lika med E K = (4.5) 2 ( 1 ν ) 24

30 Uttrycket för σ blir enligt (4.4a) E = ε (4.6) 1 ν σ 2 (4.4b) ger uttrycket σ = E ε y ( 1+ ν ) ν (4.7) (4.6) = (4.7) ger då E E ε = 2 1 ν 1+ ε y ( ν ) ν vilket efter förenkling ger töjningen i y-led som funktion av töjningen i -led ν ε = ν 1 y ε Lutningen på denna kurva är ν K y = (4.8) ν 1 Ur (4.8) kan sedan Poissons tal beräknas K y ν = (4.9) K 1 y (4.9) och (4.5) ger sedan E 1 2K y E = K (4.10) ( K 1) 2 y Sammanfattningsvis 1 2K y E = K (4.10) ( K 1) 2 y K y ν = (4.9) K 1 y 25

31 där K är lutningen på σ ε -kurvan och K y är lutningen på ε y ε -kurvan. I analysen antas att det finns ett styckvis linjärt samband mellan spänning och töjning i - riktningen samt mellan töjningen i y-riktning och töjningen i -riktningen som erhålls från UDEC-analysen. Vidare antas att dessa samband kan antas (styckvis) E = E 0 + σ (4.11) K y s s ν = ν 0 + K σ (4.12) Det första steget omfattar en beräkning av lutningen på σ -ε -kurvan respektive ε y -ε -kurvan. Från UDEC-analyserna kan vi erhålla förskjutningenen i -riktning i punkten ( 2,y 2 ) och i y- riktningen i punkten ( 1,y 1 ), se Figur 3.1. Eftersom den vänstra vertikala randen är låst i - riktningen och den nedre horisontella randen är låst i y-riktningen blir förskjutningarna i ovan nämnda punkter lika med förskjutningen över den del av modellen vi vill studera. Avståndet från punkten ( 1,y 1 ) till den nedre horisontella randen och från ( 2,y 2 ) till den vänstra vertikala randen i modellerna redovisas i Tabell 3.1. Bergmassans töjning i -riktningen respektive y- riktningen definieras som u ε = (4.13) L u y ε y = (4.14) L y där u är förskjutningen i -riktningen av punkten ( 2,y 2 ) (historiepunkt i UDEC analysen) och u y är förskjutningen i y-riktningen av punkten ( 1,y 1 ), L är avståndet från ( 2,y 2 ) till den vänstra vertikala randen och L y är avståndet från ( 1,y 1 ) till den nedre horisontella randen, se Figur 3.1 och Tabell 3.1. En minsta kvadratanpassning (linjär) till σ som funktion av ε respektive ε y som funktion av ε för 10 tidssteg utförs. Elasticitetsmodulen och Poissons tal beräknas med hjälp av sambanden (4.10) och (4.9) Sedan beräknas medelvärdet av σ för samma intervall. Detta ger en punkt i ett E-σ -diagram och en punkt i ett ν-σ -diagram. Detta upprepas sedan för alla värden som erhålls från UDEC-analysen, vilket innebär ett antal punkter som beskriver lutningen på kurvan i ett intervall. Dessa punkter utgör sedan en 26

32 förenkling av elasticitetsmodulens respektive Poissons tals beroende av spänningen i - riktningen. För att kunna jämföra de olika modellerna plottas E-modulen (Figur 4.1) respektive Poissons tal (Figur 4.2) i samma diagram. 1.8E E E E+04 E (MPa) 1.0E E E E E+03 Modell 1 Modell 2 Modell 9 Modell 10 Modell 4 Modell 5 Modell 8 0.0E σ (MPa) Figur 4.1. De olika modellernas E-moduler. Som jämförelse kan nämnas att intakta bergets E-modul är 74 GPa samt Poissons tal är 0,09. Kurvor som representerar spänning i -led som funktion av töjning i -led respektive töjning i y-led som funktion av töjning i -led redovisas i Bilaga Vidare redovisas E-modul och Poissons tal som funktion av spänning i -led, Bilaga Poissons tal, ν Modell 1 Modell 2 Modell 9 Modell 10 Modell 4 Modell 5 Modell σ (MPa) Figur 4.2. De olika modellernas Poissons tal. 27

33 4.2 Metod 2 Med hjälp av UDEC beräknas en lägsta friktionsvinkel ( φ krit ) i analyserna i-l som förhindrar att kilen faller eller glider ut i rummet. Till grund för horisontalspänningen, som beräknas med hjälp av metoden som redovisas i analysdelen, ligger bland annat friktionsvinkeln (φ ). Skillnaden mellan vinklarna kan sägas vara ett mått på felet mellan metoderna, d v s skillnaden mellan den analytiska respektive numeriska friktionsvinkeln. Tabell 4.3. Ingående (φ ) och numeriskt beräknade friktionsvinkel( φ krit ) samt normalkraft. Försöks Friktionsvinkel Normalkraft nr φ φ krit N 1 (kn) N 2 (kn) modell i modell j modell k modell l I analyserna m-q beräknas, med hjälp av UDEC, minsta möjliga horisontalspänning ( σ ) som säkerställer stabilitet för kilen. Horisontalspänningen ( σ krit ) definieras som krit krit N 2 σ = (4.15) A där N 2 är normalkraften och H är kilens höjd, se Figur 4.3. Analyserna utförs med den konstanta friktionsvinkeln 40 som ger den ingående (analytiska) horisontalspänningen ( σ ). Tabell 4.3. Ingående ( σ ) och numerisk beräknad horisontalspänning ( σ normalkrafter. Försöks Horisontalspänning krit Normalkraft ) samt krit nr σ (kpa) σ (kpa) N 1 (kn) N 2 (kn) modell m modell n modell o modell p modell q

34 För att eventuellt få en uppfattning om vilka krafter som kontrollerar kilens beteende beräknas linjerna vars normalkrafter är N 1 och N 2, se Figur 4.3. y spricka (0,2;0) (1,3;0) kil N 1 N 2 ort (1,3;-3) Figur 4.3. Skiss som visar normalkrafternas N 1 och N 2. 29

35 5 Diskussion Metod 1 Kurvorna i Figur 4.1, som beskriver E-modulen, kan i huvudsak delas in i tre olika grupper. 1. Geometrin består av vertikala sprickor (α=90 ) och kurvan blir då i två delar styckvis linjär och ganska flack (Modell 8). 2. En meter mellan sprickorna och kurvorna kan delas upp i tre olika sektioner med tanke på spänningen i -led (Modell 1,9,10). Mellan de olika modellerna i serien varieras sprickans råhet (JRC). 3. Det är 0,1 meter mellan sprickorna och tre sektioner (-led) med sprickans råhet som variabel (Modell 2,4,5). I grupperna 2 och 3 i den första och någorlunda linjära delen av kurvorna styr, till ett mavärde, i huvudsak spänningen E-modulen. Spänningen styr E-modulen i de första MPa. För att sedan sjunka något där det kan tänkas ske lokala icke elastiska deformationer (glidning och överskridande av tryckhållfasthet). I den sista och linjära delen styrs beteendet av bergmassans styvhet. Figur 4.2 beskriver Poissons tal som funktion av spänningen och den kan delas in i två sektioner. I den första delen där kurvornas lutning är negativ pressas provkroppens sprickor ihop. I den andra delen, med något positiv lutning, pressas provkroppen ut, d v s epanderar lateralt. Med en geometri enligt Tabell 3.2, d v s med en sprickgrupp finns det inget som helst samband mellan bergmassans E-modul beräknade enligt (1.1), (1.2) och E-modulen som genereras från den numeriska analysen. Möjligen blir det ett annat resultat när flera olika sprickgrupper implementeras i modellen. Det är inte helt lätt att lyckas poängsätta till eempel sprickavstånd i RMR. Poänggränserna är ganska trubbiga och samma sprickavstånd kan också representera olika poäng. Det medför i sin tur att det är omöjligt att bilda en matematisk funktion av värdena. 30

36 Metod 2 Det är en god överensstämmelse mellan ekvation (3.1), med en geometri enligt Figur 3.2, och det numeriskt beräknade beteendet. Allra helst med en ape-vinkel i storleksordningen grader men något sämre resultat med vinkeln 15 grader. I modell l blev nog beteendet för mjukt när normalstyvheten var 100 gånger större än skjuvstyvheten. Det blev således en stor skillnad mellan den analytiska friktionsvinkeln och den numeriskt beräknade. När analyser utförs i UDEC finns det nog ingen fog för att använda förenklingen enligt ekvation (3.4). I modellerna m behövdes horisontalspänningen ökas medan i modellerna n-q behövdes den minskas. Med hålrumet blir det nog ganska stora spänningsomlagringar som inte tas någon hänsyn till i den analytiska formeln. Det antogs att spänningen till stor del styr kilens stabilitet så därför korrigerades den i stället för friktionsvinkeln. Med undantag för modell m var det inte så stor skillnad på de olika horisontalspänningarna ( σ stabilitet (Tabell 4.3.). num ) som krävs för att säkerställa En nackdel med den analytiska lösningen som presenteras i kapitel 3.2 är att den ej tar hänsyn till att en för hög horisontalspänning eventuellt kan trycka ner kilen. 31

37 6 Referenser Barton, N., 1976: Rock Mechanics Review The shear strength of rock and joints. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. and Geomech. Abstr., Vol. 13, pp Barton, N., R., Bandis, S., C., Lumsden, S., C., 1983: Fundamentals of rock joint deformation. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. and Geomech. Abstr., 20 (6), Bieniawski, Z.T., 1978: Determining rock mass deformability: eperience from case histories. Int. J Rock Mech. Min. Sci.,15, Brady, B., H., G., and Brown, E., T., 1993: Rock Mechanics For underground mining, second edition., Chapmam and Hall. Bray, J., W., 1977: Unpublished note, Imperial College, London. Cundall, P. A., 1971: A computer model for simulating progressive, large-scale movements in blocky systems. Proc. Int. Symp. Rock Fracture (IRSM), Nancy, I, paper II-8. Cundall, P. A., 1980: UDEC A generalized distinct element program for modelling jointed rock. Final technical report to European Research office, U. S. Army, contract DAJA Cundall, P., A., 1988: Formulation of a three -dimensional distinct element model- Part I: A schema to detect and present contacts in a system composed of many polyhedral blocks. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. and Geomech. Abstr., 25 (3), pp Edelbro, C., 2003:Rock Mass Strength A Review. Licentiata Thesis 2003:16, Luleå university of technology. Goodman R. E., 1974 The mechanical properties of joints. Proc. 3 rd Congr. ISRM. Denver. Vol. 1A pp Grimstad, E. and Barton, N. 1993: Updating the Q-System for NMT. Proc.int. symp. On sprayed concrete modern use of wet mi sprayed concrete for underground support, Fagernes, (eds Kompen, Opsahl and Berg). Oslo: Norwegian Concrete Assn. Hoek, E., Kaiser, P.K, Bawden, W., F., 1997: Support of Underground Ecavations in Hard Rock. A.A. Balkema. ITASCA, 2000: UDEC version 4.0. Manual. Minneapolis: ICG Jing, L., 1990: Numerical, modelling of jointed rock masses by distinct element method for two, and three-dimensional problems. Doctoral Thesis 1990:90D, Luleå University of Technology. Jing, L., 2003: A review of techniques advances and outstanding issues in numerical modelling for rock mechanics and rock engineering, Division of Engineering Geology, Royal Institute of Technology, Stockholm. 32

38 Mailmgren, L., 2001: Shotcrete Rock Support Eposed to Varying Load Conditions. Licentiate Thesis. 2001:64, Luleå University of Technology. Nordlund E., G. Rådberg och J.Sjöberg, 1998: Bergmekanikens grunder. Institutionen för samhällsbyggnadsteknik, avdelning för Bergmekanik. Luleå Tekniska Universitet. Serafim, J.L and Pereira, J.P., 1983: Considerations of the geomechanical classification of Bieniawski. Proc. Int. Symp. On Engineering Geology and Underground Construction, Lisbon 1, II,

39 Bilaga 1 (Modell 1) new set plot emf set log on round bl (-5,-1.5) (-5,1.5) (5,1.5) (5,-1.5) jset 60,0 40,0 0,0 1,0 gen edge 0.5 prop mat=1 d=2.70e-3 k=45000 g=30000 joint model bb joint jkn=40000 jks=40000 jrc=8 jcs=30 sigmac=50 lo=.1 phir=20 bound vel=0 range -5.1, ,1.5 bound yvel=0 range -5,5-1.6,-1.4 hist ncyc=1000 unbal hist s (3,0) hist dis (3,0) hist s (0,1.5) hist ydis (0,1.5) bound vel=-0.01 range 4.9, ,1.5 title trycktest step save modell1.sav

40 Bilaga 2 (Modell i) new set plot emf set log on round 0.1 bl (-5,-1.5) (-5,1.5) (5,1.5) (5,-1.5) cr 0, ,-1.5 cr 0, ,-1.5 gen edge 0.5 prop mat=1 d=2700 b=1.5e9 s=0.6e9 joint model a joint jkn=2e9 jks=2e9 jtension=1e10 jcohesion=1e10 bound yvel=0 range -5, ,1.6 bound yvel=0 range.2,5 1.4,1.6 set grav hist unbal hist syy 0,-0.5 hist ydis 0,-0.5 hist syy 2,-0.5 hist ydis 2,-0.5 hist syy -2,-0.5 hist ydis -2,-0.5 hist s 2,-0.5 hist disp 2,-0.5 bound stress -4.4e4,0,0 range 4.9, ,1.5 bound stress -4.4e4,0,0 range -5.1, ,1.5 title modelli solve joint model a prop mat=1 d=2700 b=1.5e11 s=1.5e11 joint jkn=2e9 jks=1e9 jtension=0 jcohesion=0 jfriction=39 solve save modelli.sav

41 Bilaga 3 (Modell m) new set plot emf set log on round 0.1 bl -20,-16-20,8 20,8 20,-16 cr -5,-7-5,-3 cr -5,-3 5,-3 cr 5,-3 5,-7 cr 5,-7-5,-7 jset 70,0 40,0 0,0 40,0 jset -70,0 40,0 0,0 40,0 gen edge 2.0 prop mat=1 d=2700 b=1.5e9 s=0.6e9 joint model a joint jkn=2e9 jks=2e9 jtension=1e10 jcohesion=1e10 bound yvel=0 range -20,20 7.9,8.1 bound yvel=0 range -20, ,-15.9 set grav hist unbal bound stress -4.4e4,0,0 range 19.9, ,8 bound stress -4.4e4,0,0 range -20.1, ,8 title modellm solve joint model a joint jkn=2e9 jks=1e9 jtension=0 jcohesion=0 jfriction=52 delete range -5,5-7,-3 hist unbal hist syy 0,-3.5 hist ydisp 0,-3.5 hist syy 2,-3.5 hist ydisp 2,-3.5 hist syy -2,-3.5 hist ydisp -2,-3.5 hist s -2,-3.5 hist disp -2,3.5 solve save modellm.sav