Magnetiska monopoler. Magnetiska dipoler skiljer sej fundamentalt från elektriska dipoler

Transkript

1 Magnetiska monopoler Magnetiska dipoler skiljer sej fundamentalt från elektriska dipoler Medan man kan skilja åt laddningarna i en elektrisk dipol, kan man inte skilja åt en positiv eller negativ magnetisk laddning Så kallade magnetiska monopoler existerar inte (så vitt man vet). Trots gediget sökande har man m.a.o. aldrig påträffat magnetiska fält som skulle uppkomma från en enstaka magnetisk laddning. Det finns dock teorier som förutspår deras existens: 28

2 Gauss lag för magnetism Avsaknaden av magnetiska monopoler leder till att magnetiska flödet genom vilken som helst sluten yta är noll Detta kan kallas för Gauss lag för magnetism ර B nda = 0 29

3 Magnetiska fält i rymden Laddningar i rörelse producerar magnetiska fält. Om vi känner till magnetiska fältet kring en sluten kurva, vad kan vi säga om strömmen innanför? Med sluten kurva avses en ändlig kurva utan ändor. 30

4 Ett sådant fält skulle kunna orsakas av en ledning genom mitten av ringen, där strömmen är riktad utåt från pappret 31

5 Ett sådant fält skulle kunna orsakas av en ledning genom mitten av ringen, där strömmen är riktad innåt i pappret 32

6 Amperes lag Amperes lag är en kvantitativ relation mellan magnetfältet kring en sluten kurva och strömmen genom det inneslutna området. Amperes lag kan härledas från Biot-Savarts lag (kap.17): B ledn μ 0 2I 4π r Amperes lag är konsistent med relativitetsteorin 33

7 Magnetfältet kring en ledning Biot-Savarts lag ger magnetfältet som uppkommer p.g.a. en ström i en ledning I, på avståndet r från ledningen B ledn μ 0 2I 4π r Om vi integrerar detta längs en kurva runt ledningen får vi ර B dԧl = μ 0 2I 4π r ර dl = μ 0 2I 4π r 2πr = μ 0 I eftersom B dԧl över hela kurvan och r är konstant. 34

8 Val av integrationskurva Resultatet ovan är oberoende av kurvans radie Precis som med Gauss lag Hur kommer det sej? Magnetfältet är inverst proportionellt till radien r, medan kurvans längd 2πr är proportionellt till r. En dubbelt längre radie ger alltså en dubbelt längre integrationssträcka, men hälften svagare magnetiskt fält 35

9 Godtycklig integrationskurva Integration kring en godtycklig kurva ger också samma resultat Vi betraktar integrationen kring en kort sträcka över en liten vinkel α Projektionen av Δl 2 i riktning av B 2, dvs. Δl 2, ges av Δl 2 cos θ Dessutom har vi likformade trianglar, vilket ger Δl 2 Alltså har vi r 2 = Δl 1 r 1 B 2 Δl 2 = B 2 Δl 2 cos θ = B 2 Δl 2 = B 2 r 2 r 1 Δl 1 Eftersom B fältet kring en ström är inverst proportionellt till radien får vi B 2 ΤB 1 = r 1 Τr 2 α Alltså är B 2 Δl 2 = B 1 Δl 1 36

10 Flera ledningar En ledning utanför kurvan ger inget bidrag B 2 ΔԦl 2 = B 1 ΔԦl 1 ර B δԧl = 0 Resultatet av flera ledningar adderas ihop ර B 1 + B 2 + B 3 dԧl = μ 0 (I 1 I 2 ) För godtyckliga konfigurationer gäller ර B dԧl = μ 0 I genom 37

11 Vilka strömmar räknas som genom? För Amperes lag måste vi integrera kring en sluten kurva, och räkna strömmarna inneslutna av kurvan Riktningen är viktig! Vilka ledningar anses inneslutas av kurvan? Tänk dej en yta som begränsas av kurvan Alla strömmar som går genom ytan räknas Detta gäller för vilket som helst val av yta, så länge gränsen utgörs av integrationskurvan. 38

12 Exempel 1 Beräkna med hjälp av Amperes lag magnetfältet på avstånd r från en tjock ledning. Välj integrationskurva som på bilden Eftersom B överallt tangerar cirkeln är ර B dԧl = B 2πr = μ 0 I B = μ 0I 2πr = μ 0 2I 4π r Vi får samma svar som med Biot-Savarts lag, men mycket enklare 39

13 Beräkna med hjälp av Amperes lag magnetfältet inne i en solenoid med längden L och N varv med strömmen I ර B dԧl = μ 0 I Välj integrationskurva som på bilden Integralen ger Bd eftersom magnetfältet är vinkelrätt mot ändorna av rektangeln, och noll utanför solenoiden. Strömmen genom den inneslutna ytan är Nd/L I B = μ 0NI L 40

14 Maxwells ekvationer Vi har nu grunderna till Maxwells ekvationer Gauss lag för elektricitet: Gauss lag för magnetism: ර E n da = σ q inne ε 0 ර B n da = 0 (Ofullständig) Faradays lag: ර E dԧl = 0 Amperes lag: ර B dԧl = μ 0 I genom 41

15 Differential form av Gauss lag Relatera fältet i rymden till laddning vid samma plats och tid q(x,y,z,t) E(x, y, z, t) Elektriska flödet på ytan av en pytteliten volym ΔV ර E n da = ρ ΔV ε 0 Divergens E n da ΔV = ρ ε 0 E n da div(e) = lim ΔV 0 ΔV = ρ ε 0 42

16 E n da div(e) = lim ΔV 0 ΔV = ρ ε 0 (E div(e) = lim 2 E 1 )ΔyΔz ΔV 0 ΔxΔyΔz (E div(e) = lim 2 E 1 ) Δx 0 Δx = de dx = δe x δx Differential form av Gauss lag div(e) = δe x δx + δe y δy + δe z δz = ρ ε 0 43

17 Elektrisk potential och Gauss lag div(e) = δe x δx + δe y δy + δe z δz = ρ ε 0 δ 2 V δx 2 + δ2 V δy 2 + δ2 V δz 2 = ρ ε 0 δv E x = δx E y = δv δy E z = δv δz I tomma rymden (inga laddningar) Laplace ekvation δ 2 V δx 2 + δ2 V δy 2 + δ2 V δz 2 = 0 44

18 Uppgift Planera en dator kod som itererar den elektriska potentialen för Laplace randvillkorsproblem (2 dim) y V 2 =0 V δ 2 V δx 2 + δ2 V δy 2 = 0 V 1 =2 V x 45