( 2) Ellips 1 Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 23. Uttrycken har samma värde och då är. Uppgift 301. När x = 1 är ekvationens

Transkript

1 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. Uppgift a) 5x = x + När x = är ekvationens Vänster led 5 = 5 Höger led + = 5 Uttrycken har samma värde och då är b) ( x ) = ( x ) + När x = är ekvationens Vänster led ( ) = = 4 Höger led ( ) + = + = 4 Uttrycken har samma värde och då är Svar: a) ja b) ja Uppgift x = en lösning. x = en lösning. Uttrycken har samma värde och då är x = en lösning. b) ( x 7)( x+ ) = När x = är ekvationens vänstra led (( ) 7) ( ( ) + ) = 9 4= 6 och högra led Uttrycken har inte samma värde och då är lösning. Svar: a) ja b) nej Uppgift x = x När x = är ekvationens vänstra led ( ) = 9 och högra led ( ) = + 6= 9 Uttrycken har samma värde och då är x = inte en x = en lösning. x x a) = x + När x = är ekvationens vänstra led ( ) ( ) 4+ 6 = = = ( ) och högra led När x = är ekvationens vänstra led = och högra led = = Uttrycken har samma värde och då är x = en lösning.

2 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 4 Uppgift 4 Vi visar att talen 5, och satisfierar ekvationen a + b = c När a= 5, b= och c=, är ekvationens vänstra led 5 + = = 69 och högra led = 69 Uttrycken har samma värde och a= 5, b= och c= satisfierar ekvationen och är sålunda pythagoreiska tal. Uppgift 5 Första och andra raden är inte ekvivalenta, för x = x x= eller x=. Dessutom har man i näst sista raden dividerat ekvationen med uttrycket x, som är, eftersom x =. Division med noll är förbjudet! Uppgift 6 a) x = ( 4x ) x = x 6 x x= 6+ x = 5 : 5 x = x = ( ) Kontroll: När x =, är ekvationens vänstra led = = och högra led 4 = ( ) = Uttrycken har samma värde och. x = satisfiera ekvationen.

3 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 5 b) x 5( x) = ( 7+ x) x + 5x= 4+ x 7x x= 4 + x = 4 :( ) x = 8 Kontroll: När x = 8, är ekvationens vänstra led ( 8) 5( ( 8) ) = 6 5( + 4) = 6 = 46 ( ) ( ) och högra led 7 + ( 8) = 7 8 = 46 Uttrycken har samma värde och x = 8 satisfierar ekvationen. Svar: a) Uppgift 7 x = b) x = 8 a) 5a 5= 5( a ) 5a 5= 5a 5 a = : ( ) a = b) 5a = 5( a ) 5a = 5a 5 a = 4 : 4 a = a = 5 Uppgift 8 ( ) a) 5 x + = 8 9 ( 5x) + 9= 8 4 x + 9 = 8 x = 5 5 x = x = = b) 5 x + = 5 4 5x 5 + = x + = 5x = :5 x = 6

4 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 6 Uppgift 9 Uppgift a) x x = 5 5 x 5( x ) = x 5x+ = x = :( ) x = a) x + 5x = x ( x+ ) = x x = 9x = x = x b) 4x = 5x x ( x) = 5x x + x= 5x = Falskt Den ursprungliga ekvationen är ekvivalent med ekvationen = som alltid är falsk.den ursprungliga ekvationen saknar då lösning. b) x x+ x+ + = 4 6 6x 9+ 6x+ 8= x 4 4x = :4 x = = 4 x =

5 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 7 Uppgift a) x 4 x x = ( x ) ( 4 x) = x 4 4x 4 + x= 6x 4 7x 6x= x = x+ 6 x 5x 5 b) = 4 5 ( x+ ) 5( 6 x) = 4( 5x 5) x+ + x= x x x= + = sant Den ursprungliga ekvationen är ekvivalent med den alltid sanna ekvationen =. Den ursprungliga ekvationen är därför sann för alla värden på variabeln x. Lösningen är således x R. Uppgift a) x x x = 6 x ( x ) 6 x= x x+ 6 x= 4x = :( 4) x = 4 b) s s( + s) = 7s s s s = 7s s 7s= s = :( ) s = Uppgift a) x x x+ = x 6 6 6x+ ( x) = x ( x ) 6x+ x= x x+ 9x x= x = :( ) x =

6 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 8 b) p( p 5) + ( p 4) = ( p p) ( p+ 4) p p p p p p 5 + 8= 8 p p = p p = sant Den ursprungliga ekvationen är ekvivalent med den alltid sanna ekvationen =. Den ursprungliga ekvationen är därför sann för alla värden på variabeln p. Lösningen är således p R. Uppgift 4 b) v v = v v v 4 5 v 5v v + 4 v 5 + v = ( ) ( ) v 5v + 5v+ 4v + v = 5v = v = v = (5 x + a) = x + x + = x + 6 = 6 falskt Den ursprungliga ekvationen är ekvivalent med ekvationen = 6 som alltid är falsk.den ursprungliga ekvationen saknar då lösning. Uppgift 5 x+ 7x 6 a) 5 ( x+ ) ( 7x 6) x+ 4 7x+ 6 5x :( 5) x b) x( x) 6+ x + ( x+ ) x+ x 6+ x + x+ x 7 x

7 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 9 Uppgift 6 a) 5( x ) + 7( x+ ) ( x ) = 5x 5+ 7x+ 7 6x+ = x 5= 4x 5x = 5 x = 6x = 6 :6 x = Eftersom ekvationerna har samma lösningar är de sinsemellan ekvivalenta. b) x + = ( x + ) = x = x = x = x + 5( x+ ) = x( x+ 5) + x + 5x+ 5 = x + 5x+ = sant Ekvationerna har olika lösningar och är då inte sinsemellan ekvivalenta. Uppgift 7 Anta att enheten är meter. Hagens längd är x och bredden är då 4 x. x+ x= 4 4 x+ x= 4 4x+ x= 84 7x = 84 x = Hagens längd är m och bredden är m 9 m 4 = Svar: Längden är m och bredden 9 m.

8 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. Uppgift 8 Vi betecknar dotterns ålder med x. Då är mammas ålder x och pappas ålder x +. Vi får ekvationen ( ) x+ x+ x+ = 7x = 98 : 7 x = 4 Svar: Dottern är 4 år, mamman 4 år och pappan 44 år. Uppgift 9 Anta att enheten är cm. Delarnas längder är då :a delen x :a delen x :e delen x 4:e delen x 5:e delen x 4 6:e delen x 5 Vi får ekvationen x+ ( x ) + ( x ) + ( x ) + ( x 4) + ( x 5) = 4 6x 5= 4 6x = 9 :6 x = 65 Delarnas längder är 65, 65 = 55, 65 = 45, 65 = 5, 65 4 = 5, 65 5 = 5 Svar: 65 cm, 55 cm, 45 cm, 5 cm, 5 cm och 5 cm Uppgift Antal bilar som passerade räkningsstället kl. x kl. 4 x + kl. 4 5 x + kl. 5 6 x + kl. 6 7 x + 4 Vi får ekvationen x + x+ + x+ + x+ + x+ 4 = 5 5x + = 5 5x = 5 x = Kl. 5 6 passerade + = 6 bilar räkningsstället. Svar: 6 bilar

9 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. Uppgift Vi betecknar månadslönen med bokstaven x. Då går 5 x till skatt, 5 x till mat, x till boende, 6 x till kläder och euro till övriga utgifter. 7 Vi får ekvationen x= x+ x+ x+ x x= x+ x+ x+ = x= 6x+ 5x+ x+ 6 9x = 6 : 9 x = 5, x (euro) Svar: euro ( ) Uppgift a) Antal deltagare x Antal finländare x Antal utlänningar Antal svenskar x x = x 5 5 Vi kan också beteckna antalet svenskar Vi får ekvationen x= x x= x 8 8x = 8 x = 5 Svar: Antalet deltagare var totalt 5. b) utlänningar svenskar norrmän 5 45 = = = 7 x

10 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. danskar 45 5 = Andelen övriga utlänningar är = = 8 Svar: 8 utländska deltagare var varken svenskar, norrmän eller danskar. Uppgift Eftersom Johan sågar av brädet på åtta ställen, är antalet bitar totalt nio. antalet korta bitar antalet långa bitar x st x st Eftersom brädet är 6, meter långt, får vi ekvationen y+ 6 y= 6 y+ 9y= 6 y = 6 y = ( m ) Då är y = = =,75 ( m) 4 Svar: Bitarna har längderna 5 cm och 75 cm. Uppgift 4 Glasrutans sida har längden x (m) Karmens area är 9 dm = 9 cm Ett uttryck för karmens area är x + x = 9 x = 9 x=, och då är x= 6 45 x + 45 = x + Vi får ekvationen x Det finns tre korta bitar och sex långa bitar. den korta biten har längden y m den långa biten har längden y = y m x + = 9 x = 8 x = 9 Svar: Glasrutans längd är 9 cm. 5 5 x x +

11 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. Uppgift 5 x a 4 = x ( ) ( ) x( a 4) = x ( 4) + x= x( a 4+ ) = x( a ) = x a Om a, dvs. a, får vi x( a ) = :( a ), a x = a Ekvationens lösning är x=, om a a Om a =, dvs. a =, får den ursprungliga ekvationen formen x ( 4) = ( x) x= x = falskt Ekvationen saknar lösning om a = Svar: x=, om a a lösning saknas om a = Uppgift 6 a) ax = ( a x + ) ax = a x + ax + x = a + + ( a+ ) x= a+ 4 Om a+, dvs. a, kan vi dividera med uttrycket a +. a+ 4 ( a+ ) x = = = a + a + Ekvationens lösning är x = om a. Om a+ =, dvs. a= får den ursprungliga ekvationen formen x = ( x+ ) x = 4 x+ x+ x= + = sant Ekvationen är sann för alla värden på x om a =.

12 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 4, om Svar: x= a x R, om a = b) ax = a ( x + ) ax = a x ax + x = a ( a+ ) x= a om a+ dvs. a kan ekvationen divideras med uttrycket a +. ( a+ ) x= a : a+ ), a a x = a + a Ekvationens lösning är x = om a. a + när a+ = dvs. a = får den ursprungliga ekvationen formen x= ( x+ ) x= x x+ x= = falskt Ekvationen saknar lösning om a = Svar: Uppgift 7 a x=, om a a + lösning saknas om a = ax b = x + ax x = + b ( a ) x= + b Om a dvs. a, kan vi dividera med uttrycket a. ( a ) x= + b :( a ), a b x = + a Ekvationen har lösningen + b x=, om a a Om a = dvs. a= och + b= dvs. b= får den ursprungliga ekvationen formen.

13 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 5 x ( ) = x + x+ = x+ x x= = sant Ekvationen är sann för alla värden på x om a= och b= Om a= och b, får den ursprungliga ekvationen formen x b= x+ x b= x+ b= falskt eftersom b Ekvationen saknar lösning om a= och b. Svar: + b x=, om a a x R, om a= och b= lösning saknas om a= och b Uppgift 8 x y= 6 a) x+ y= 4x y= + x+ y= 7x = 4 x = 6x y= 8 + 6x 4y = 4 7y = 4 y = Svar: x = och y = ( )

14 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 6 Alternativ x y = 6 x+ y= y= x 6 insättning i den andra ekvationen x+ y= ( x ) x+ 6 = x+ 4x = 7x = 4 x = y = 6= x = Svar: y = b) 5x+ y+ = x+ y + 7= ( ) 5x+ 6y+ = + 4x 6y 4 = x = x = x = 5 + y + = y = 6 y = Svar: x = och y =

15 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 7 Uppgift 9 a) x+ 5y 4= ( 4) 4x+ y = x y+ 6 = + x+ 6y 9 = 4y + 7 = 4x + = 4x = + 4x = 4 x = 4y = 7 y = 7x+ y= 45 b) x 7y= 7 4x+ 4y= 9 + 4x 49y= 45y = 9 9 y = 45 y = x 7 ( ) = x = 4 x = 7 x = 7 Svar: y = Svar: x = y =

16 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 8 Uppgift a) 9x y+ = y = 5x + 9x ( 5x+ ) + = 9x+ x + = 9x = 9x = Svar: x = y = x = 9 y = = = 9 b) 7x + 4y 8= x y + 84 = x+ y 84 = + x y + 84 = = sant De båda ekvationerna är ekvivalenta och då är alla talpar ( x, y ) för vilka x R Svar: 7 y = x x + 4y 8= 4y= 7x+ 8 7 y= x+ 7 lösning 4

17 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 9 Uppgift a+ b= 8 ( ) a) 6a+ b= 4 4a 6b= 6 + 8a+ 6b= 4a = 8 a = ( ) + b = 8 b = 8+ 4 b = b = 4 a = Svar: b = 4 x = x + x x= + x = x = ( ) y = = 5 x = Svar: y = 5 Uppgift x 5y= 5 :5 a) y 4x= : 4x y= + y 4x= = 7 falskt b) y= x insättning i den andra ekvationen y = x + Svar: Lösning saknas

18 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 4 b) x= 5y+ 5 y= 4x x 5y 5 = 4x + y + = 4x y 7 = + 4x+ y+ = Svar: x 6 = x = y = 5 Uppgift x = 6 x = y = 4 y = = 5 x+ 8y 64 = y = 4x + 8 insättninng i den första ekvationen x+ 8 ( 4x+ 8) 64 = x x = = sant x R Svar: y = 4x + 8 4x= y+ b) x= y+ 4 4x= y+ ( ) 4x= y+ 4x= y + 4x= y+ = + = falskt a) x+ 8y 64 = 5y= x+ 4 Svar: Lösning saknas

19 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 4 Uppgift 4,7x+ 4,8y 6 = a),5x 5 y+ 7,5 = 7x+ 48y 6 = : 6 5x 5 y+ 75 = :5 b) x y = 7 y x = 5 7x y= 4 x ( y ) = 5 x+ 8y = : 4 x y+ 5 = 7x y= 4 x y= 6 ( ) Svar: x+ y 5 = x y+ 5 = x + y 5 = x+ y 5 = x y+ = x y+ 5 = x 5 = y = x= 5 y= x = 5 y = Svar: 7x y= 4 + 9x + y = 48 x = 9 x = y = 7 y 5 = 7 y = y = 9 x = 45 y = 9 ( )

20 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 4 Uppgift 5 x+ y+ = 6 a) x y 5 6 = ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) = + = + 5 x+ 6= y+ 4x y+ 6= 75 x y= 4 ( 4) 4x y= 7 x+ 8y= 6 + x 9y= y = 9 y = 9 x ( 9) = 4 x = 46 x = 54 Svar: b) x = 54 y = 9,x,9y= 45x + 6y = x 9y= 4 45x + 6y = 4x 6y= + 45x+ 6y= 5x = x = Svar: ( ) 9y = 9y = y y x = y = 9 = 9 = 9

21 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 4 Uppgift 6 x y= x y+ = 5x x y= 5x x y + = 5x x y 5x= x y 5x= x y= ( ) ( 4) 4x y = 4 x+ y= x+ 8y= 4 + 4x y= 4 + x 6y= x = y= 8 x= y = 4 Uppgift 7 Vi betecknar antalet vuxna x antalet barn y x+ y= 5 ( 5) 9x+ 5y= 97 5x 5y= 5 + 9x+ 5y= 97 4x = 7 x = y = 5 y = 5 8 y = 7 Svar: 8 vuxna och 7 barn Svar: x = y = 4

22 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 44 Uppgift 8 Uppgift 9 vetemjöl potatismjöl g g x blåbärspajer g g y äppelpajer Vi får ekvationssystemet Tavastehus y 5x Lahtis x+ y= 8 x+ y= ( ) x+ y= 8 + x y = y = 6 vi sätter in i den andra y = 8 ekvationen x + 8 = x = 4 x = 7 Svar: Sju blåbärspajer och åtta äppelpajer. Riihimäki x Hyvinge Vi får ekvationssystemet x+ y= x+ y= 97 5x 5y= x+ y= 97 ( ) 4y = 48 Obs! Värdet på variabeln x y = 7 behövs inte. Svar: Sträckan Riihimäki Tavastehus är 7 km.

23 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 45 Uppgift 4 Jokerit gjorde Ilves gjorde x mål y mål Uppgift 4 veckobiljetter x st á 67 euro dagsbiljetter y st á 5 5= 75euro x+ = y x = y insättning i den övre ekvationen ( x ) x+ = x+ = x x = y = = Svar: Jokerit och Ilves Vi får ekvationssystemet ( x y) 67 + = 9 67x+ 75y= 87 67x+ 67 y= 9 67x+ 75y= 87 67x 67y= x+ 75y= 87 8y = 48 y = 6 ( ) ( x ) = 9 :67 x + 6= 7 x = Svar: Elva åkte hela veckan.

24 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 46 Uppgift 4 sträckan s = 5 (km) båtens hastighet i lugnt vatten v (km/h) strömningshastigheten (km/h) v tiden medströms = (h) 6 4 tiden motströms = (h) 6 Sträckan = hastighet tid: s = v t. Vi får ekvationssystemet ( v+ v) = 5 ( v v) = 5 v+ v = ( v v) = 5 v+ v = v v = 5 v+ v = + v v = 5 v v 4v = 5 5 = = = 8 = 4 4 Svar: Båtens hastighet 9 km/h och strömningshastigheten är km/h.

25 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 47 Uppgift 4 a) + = 7 x y = x y Vi gör variabelsubstitutionen ekvationssystemet u+ v= 7 () + u v= u = 8 u = 4 u = och v x = y och får Svar: x= och y= 4 b) 5 = 9 u = x + y x y x + y + = v = x + y x y x y u 5v= 9 u+ v= u 5v= 9 + u 6v = v = v= ( ) Vi gör insättningen u = 4 i ekvation () 4+ v = 7 v = Eftersom Eftersom u = dvs. x=, får vi x u v= dvs. y =, får vi y v x =. 4 y =. u = v= = Vi får ekvationssystemet = x y = x+ y

26 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 48 x y= + x+ y= x ( ) = x = 4 y = x = = 4 4 Uppgift 44 x+ y= a) tx y = Den andra ekvationen ger y= tx.vi sätter in detta i den första ekvationen x+ tx= () ( + t) x= Svar: x = och 4 y = 4 Om + t dvs. t får vi ( + t) x= :( + t), t x = + t t y= t = + t + t Om + t = dvs. t =, får ekvation () formen = falskt Ekvationssystemet saknar lösningar om t =.

27 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 49 Svar: t x = och y =, när t + t + t lösning saknas, när t = y = x+ 6y= tx y = t b) () x + 6 y = tx 6y = t + x+ 6y= ( t+ ) x= t+ Om t+, dvs. t, får vi ( ) ( ) t+ x= t+ : t+, t x = Ekvation () ger + 6y = 6y = y = Om t+ =, dvs. t =, får ekvationssystemet formen När OBS: x 6y= + x+ 6y= = sant Ekvationerna i ekvationssystemet är ekvivalenta och då är alla talpar ( x, y ), för vilka x + 6y = 6y= x+ y= x+ 6 6 lösning x R t är ekvationssystemets lösning y = x Vi kan också skriva lösningen på formen y R x = 6y

28 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 5 Svar: x = och y =, när t x R och y= x+, när t = 6 6 b) x+ y= x: y= 5 x = y x: y= 5 Uppgift 45 x+ y= a) x: y= 5 x+ y= x = 5y Vi sätter in den andra ekvationen i den första 5y+ y= 6y = y = Vi sätter in den första ekvationen i den andra y = 5 y = 5 falskt Svar: Lösning saknas. c) x+ y+ z = x: y: z = :4:5 Den nedre ekvationen ger Svar: x = 5 = x= och y = x : y= :4 och x: z = :5 x : y= : 5 z = x y= x Vi sätter in detta i den första ekvationen

29 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 5 Då är 5 x+ x+ x= 6x+ 5x= 44 x = 44 x = 4 5 y = 4 = 8 och z = 4 = Svar: x = 4, y= 8 och z = Uppgift 46 x y z= a) x y+ z= x 4y+ z= x= y+ z+ vi sätter in i de två nedersta x y+ z= ekvationerna x 4y+ z= ( ) ( ) y+ z+ y+ z = y+ z+ 4y+ z = y+ 4z = y + 5z = 8 y= 4z+ vi sätter in i den nedre ekvationen y + 5z = 8 4z + 5z= 8 z = 6 y= 4z+ = 4+ = x= y+ z+ = 6+ = 6 Svar: x = 6 och y= och z = 6

30 Ellips Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 5 Kontroll: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 = = = 6x+ y+ z+ 5= b) x y+ z+ = x+ y z 8= 6x+ y+ z+ 5= x= y z x + y z 8 = 6( y z ) + y+ z+ 5= ( y z ) + y z 8= 4z = 4z = 5 z = = = 4 ) ) 5 6) x= y z = + = = 6 6 Svar: x= och y= och z = 6 9y 4z = y 4z = ( ) 9y 4z= + y 4z = 6y = y =