Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet Stockholm Sverige.

Transkript

1 ÅØÑØ ØØ Ø ËØÓÓÐÑ ÙÒÚÖ ØØ ÈÖ ØØÒÒ Ú ÙÓÑ Ö ÖÒÒ ÖØÐ ÁÐÐÒ Â ÊÙÒÕÚ Ø ÜÑÒ ÖØ ¾¼½½

2 Potare: Matematik tatitik Matematika intitutionen Stockhom univeritet Stockhom Sverige nternet:

3 ÅØÑØ ØØ Ø ËØÓÓÐÑ ÙÒÚÖ ØØ ÜÑÒ ÖØ ¾¼½½ ØØÔ»»ÛÛÛºÑغ Ùº»ÑØ ØØ ÈÖ ØØÒÒ Ú ÙÓÑ Ö ÖÒÒ ÖØÐ ÁÐÐÒ Â ÊÙÒÕÚ Ø ÇØÓÖ ¾¼½½ ËÑÑÒØØÒÒ ØØ ÖØ Ö ØØ Ö ØÐÐ ØØ ØØ Ò ÔÖ ØØÒÒ ÑÓÐÐ Ö Ò ÙÓÑ Ö ÖÒ Ñ ÖÒ Øº ÌÒÒ Ö ØØ ÓÑ Ø Ñ ÐÔ Ú ÖÐØØ ØØÒÒ Ö ØØ ÓÑÒÖ ÒØÓÒÐÐ Ø Ñ ÔÓÖØÐØ Ö ØØ Ò Ö ÑÓÐк ÌÝÚÖÖ Ú Ö Ø ØØ ØØ ÒØ Ö ÐÑÔÐØ ÔÓÖØÐÒ Ö ØØ ØÝÐØ ÑÓØÙÖÚк ËÒÒÓÐØÒ ØØ Ö Ú Ò Ö Ö ÔÓÔÙÐØÓÒÒ Ö ØÝÐØ ¹ Ö Ò ÑÓØ ÚÖÒ ÒÒÓÐØ Ò ÒØÓÒÐÐ ÔÓÔÙÐØÓÒÒº ËÐ ÚÖ ØÖ ÔÖÓÐÑغ ÈÖÓÙØÒ Ö Ö ÐØ ÔÖ ØØ Ó Ö ÐÒ Ñ¹ Ø ÔÖÓÐÑ º ÖÖ Ö Ð Ò ÐØÖÒØÚ ÔÖ ØØÒÒ ÑÓÐк Ò ÐØÖÒØÚ ÑÓÐÐÒ Ö Ò ÙÒØÓÒ Ú Ø ÒØÓÒÐÐ ØØ ÒÔ ØÐÐ ÔÓÖØÐÒÚº ÈÓ ØÖ ÅØÑØ ØØ Ø ËØÓÓÐÑ ÙÒÚÖ ØØ ½¼ ½ ËÚÖº ¹ÔÓ Ø ¹ ºÖÙÒÕÚ ØÓѺ º ÀÒÐÖ ÖÐÒ Òº

4 Abtract Thi work i an attempt to fin a pricing moe for a critica ine inurance portfoio with imite injury ata. The iea i to ue creibiity theory to combine etimate from the inure portfoio with etimate from the entire popuation to achieve a goo an tabe moe. Unfortunatey it prove not to be a uitabe moe ince the portfoio uffer from avere eection. The probabiity of being iagnoe with a critica ine in the inure popuation i ignificanty higher than the correponing probabiity in the overa popuation. However, the probem remain; the critica ine inurance portfoio i too ow price an ha profitabiity probem. Therefore an aternative pricing moe i propoe. The aternative moe i a function of the nationa ata fitting to the portfoio eve. 2

5 Föror Detta arbete utgör ett earmenarbete om 30 högkoepoäng på matematika intitutionen vi Stockhom Univeritet. Ett tort tack ti min haneare Eran Ekheen om har ät och kommenterat mitt arbete. 3

6 nnehå 1 ntrouktion Probemformuering och öningförag Bakgrun Probemformuering Metoik Meto om kaeata finn Meto om et inte finn någon kaeata Begränningar Etimering av annoikheten för critica ine eer öfa Skattning av annoikheten för kaa Etimera annoikheten för C och öfa i Storbritannien Sannoikheten för kaa i Storbritannien baerat på kaeata Sannoikheten för kaa i Storbritannien baerat natione ata Anay av kinaen i kaeata och nationata Kreibiitetteori ntrouktion Definition och notation Bühmann kreibiitetmoe Tiämpa kreibiitetteori på UK kattningarna av ˆ Kreibiitetkattning av ˆ och ˆ Priätta Sverige Sannoikheten för kaa i Sverige Förbättring av en nationea kattningen Dikuion Metoikuion Jämföree me befintig rate Förag ti aternativ meto Män Kvinnor Sutat Referenita Appeni

7 1 ntrouktion Den befintiga Critica ne portföjen är för ågt priatt och har önamhetprobem. Det finn en önkan om en ny premiemoe om kan hantera båe när kaeata finn om än i begräna omfattning och när kaeata inte finn. Vi ka i etta arbete ta fram och utvärera en moe för att priätta jukomföräkringen Critica ne i Storbritannien och i Sverige. Föräkringen Critica ne är en föräkring om utfaer när föräkringtagaren iagnotiera me en av e jukomar om efinierat i föräkringvikoret. Efterom omfattningen av föräkringatat är mycket begränat i Storbritannien och inte eiterar a i Sverige är tanken att utrea om offentig natione tattik för repektive an kan vara ti hjäp. Det finn en mitanke om att annoikheten att rabba av jukom i en föräkrae popuationen är högre än motvarane annoikhet i en nationea popuationen. Storbritannien är kaeata finn men omfattningen är för itet för att få bra etimat tänker vi prova att använa kattningar från båe kaeata och hea nationen. Metoen vi tänker tiämpa för att kombinera ihop e etimaten från kaeatat och nationen är kreibiitetteori. Sverige är et bara finn natione ata att tigå är tanken att föröka jutera nationatat me hänyn ti en eventuea kina om finn mean föräkra och övrig popuation i Storbritannien. 2 Probemformuering och öningförag 2.1 Bakgrun Uner 1980-taet breae ivföräkringmarknaen från att erbjua traitionea ivföräkringproukter om utfaer när föräkringtagaren avier ti att även erbjua anra föräkringar. Det utveckae oika typer av föräkringky är föräkringtagaren kune få pengar utbetaat uner tien han fortfarane var i ivet. En av e proukter om utveckae går uner amingnamnet Drea ieae och är ett föräkringky om utfaer vi iagno av ett anta pecificerae jukomar. Proukten börjae anera i Syafrika uner tiigt 80-ta är en bev mycket framgångrik. Utveckingen kom ock från USA är en variant av föräkringen hae eiterat en ängre ti. Den tiigare varianten av föräkringen från USA täckte enbart iagno av cancer och var avve för att täcka meicinka kotnaer om uppkom i amban me jukomen. et här arbetet ka vi titta närmre på en Drea Dieae proukt om Föräkringboaget börjane anera i Storbritannien i början av 90-taet och om e gav namnet Critica ne. Vikoren för Critica ne innebär att föräkringtagaren får en engångumma utbetat i hänee av att han iagnotierat me någon av jukomarna pecificerae i avtaet. Critica ne äj båe om ett tiägg ti en traitione ivföräkring och om en enam föräkring. båa faen utbetaa föräkringumman ti en föräkrae om han iagnotierat me någon av e pecificerae jukomarna och överever en karenti. Om föräkringtagaren äremot iagnotierat me en critica ine i amban me öfa och har tecknat en föräkring utan ivföräkring (k Aitiona benefit) å utbetaa ingen erättning. Om föräkringen itäet tecknat tiamman me en ivföräkring (k Acceerate benefit) å betaa föräkringen ut även om iagnoen av critica ine gör i amban me öfa, v. en för tiig ö ingår i kyet. 5

8 Den här typen av proukter har mottagit mycket vä på föräkringmarknaen även i äner är tatig jukvårföräkring täcker kotnaerna för vår. Den mycket nabba utveckingen i meicink vetenkap är en biragane orak. Majoriteten av e inivier om injuknar i avariga jukomar om cancer, hjärtinfarkt och troke överever men fertaet behöver göra tora ivtiföränringar. Den här föräkringen kan bira ti att göra ea omtäningar ekonomikt möjiga. 2.2 Probemformuering Uppgiften i etta arbete är att ta fram och utvärera en priättningmoe för proukten Critica ne båe i Storbritannien och i Sverige amt att föröka hantera några av e utmaningar om Föräkringboaget har brottat me. Storbritannien har föräkringen åt en ti mean föräjningen i Sverige är mycket bygam. Även om proukten har åt några år är et inte äkert att omfattningen av kaeatat är tiräckig tort för ett tiföritigt etimat. etta fa har vi en begräna mäng kaeata för Storbritannien men ingen kaeata a i Sverige. Därför behöv två moeer för priättningen. En moe om tar me kaeata i beräkningmoeen viket bore ge ett merväre ti etimatet av priet och en moe om kan hantera fa är et inte finn tigång ti kaeata. Föjane har ientifierat om centraa frågor: Utmaning 1: Data Föräkringboaget har åt föräkringen Critica ne i Storbritannien ean tiigt 90-ta. Antaet kaor är fortfarane för itet för att kaeatat ka kunna igga ti grun för ett tiföritigt etimat. Sverige äj Critica ne men i en mycket begräna omfattning. Det finn ärför en önkan om en moe om kan hantera båe när kaeata finn om än i begräna omfattning och när kaeata inte finn. Utmaning 2: Urva Föräkringboaget erfarenhet är att e inivier om köper eer har köpt enna föräkring inte har amma rik för kaa om popuationen i övrigt viket måte ta i beaktane. Den föräkrae popuationen kue å inte vara ett umpmäigt urva ur övriga befokningen. För att få teckna enna föräkring måte man vara fut frik och inte ha någon beatane meicink hitoria. Deutom har e peroner om köper enna typ av föräkring rå och möjighet att ta han om in häa. Dea två omtänigheter kue kunna innebära att e föräkrae inivierna öper en ägre rik av att rabba av jukom än befokningen i övrigt. Erfarenheten är ock en motatta. Den föräkrae popuationen har en högre annoikhet för att injukna i våra jukomar än befokningen i övrigt. 2.3 Metoik Rikpriet för en Critica ne föräkring är ika me umman av aa annoikheter att iagnotiera me någon av jukomarna i avtaet mutipicerat me föräkringumman. 6

9 Föräkringumman är fattä från början varför et enat är annoikheten för kaa om vi behöver etimera för att kunna beräkna priet. Detta kue vara reativt enket om ata fann tigängigt. Briten på ata gör att et inte är fut å enket och att et kräv en e antaganen. Storbritannien är föräkringen har åt i fera år finn kaeata men omfattningen är begräna me för få obervationer för att enbart kunna använa em för att katta rikpriet. Sverige är föräkringen har åt i yttert begräna omfattning finn ingen kaeata att tigå. Ett naturigt aternativ är att använa natione ata och göra antaganet att hea befokningen ingår i föräkringpopuationen. Probemet me etta är att et finn tecken på att riken att iagnotiera me en Critica ne är högre i en föräkrae popuationen jämfört me en nationea popuationen. vårt fa har vi en kattning av en ökta annoikheten baera på föräkra popuation i Storbritannien, ock är kattningen oäker å et finn få obervationer. Å anra ian har vi ytterigare en kattning om är baera på en tor atamäng och om ger ett tabit etimat men är etimatet troigen inte het motvarar en ökta annoikheten. För att et ka vara möjigt att priätta ett enkit föräkringavta enbart baerat på anay av en enkia föräkringen kaehitorik, måte föräkringen ha en mycket hög kaefrekven. e ara feta fa är et omöjigt och ärför ear föräkringboaget in aa riker i oika rikportföjer är varje portföj innehåer ikartae riker. Måättningen är att varje portföj ka vara önam v. föräkringboaget ka få in mer premier än va om betaa ut i kaekotnaer och övriga kotnaer. A premiemoeering gör på portföjnivå efterom en innehåer många föräkringar me iknane rik och mängen kaeata mer omfattane. Större rikportföjer har ockå en breare premieba och är minre känig för enkia kaor. är man pratar om priättning av en föräkringportföj ka fört och främt hea portföjen vara rätt priatt. Sean vi ju föräkringboagen jävkart ocka ti ig bra kuner, v. e om öper minre rik att få kaor och eiminera e kuner om har törre rik att få en kaa. Detta föröker man göra genom att tyra priet. För att behåa bra riker kan et öna ig att änka priet för e föräkringtagare me ägre rik än genomnittet och höja prier för e me högre rik. Det är ärför vanigt att vi priättning båe arbeta me riken för portföjen och riken för en enkia kunen. En meto om ofta använ är kreibiitetteori är man föröker hitta en optimaa kombinationen mean riken för hea portföjen och riken för et iniviuea avtaet. Vi kan inte tiämpa kreibiitetteori på et ättet efterom hea portföjen är för iten. Tar vi tanken ett teg ti, å att natione ata pegar hea föräkringportföjen och et faktika kaeatat för en föräkrae portföjen pegar en iniviuea riken, å kue kreibiitetteori vara ett möjigt ätt att moeera priet på. Det är etta om vi kommer att göra i etta arbete. 2.4 Meto om kaeata finn Som vi tiigare har kontaterat är omfattningen av kaeata itet. Vi kommer ärför att använa båe kaeata från rean å föräkring och natione ata för att etimera annoikheten för kaa. Dea två etimat kommer att vikta ihop me hjäp av kreibiitetteori. Etimatet baerat 7

10 på natione ata är mer påitigt ur tatitik ynvinke men inte ekvivaent me etimatet från kaeatat pga. av urvaet. Som bekrivit ovan finn två varianter av Critica ne föräkringen, e om tiägg ti en ivföräkring och e om eparat föräkring. Sannoikheten för kaa för en Critica ne föräkring å om ett tiägg ti en ivföräkring och inkuerar pötig ö beräkna om antaet inivier om iagnotierat me cancer eer aviit pga. cancer ivierat me antaet frika inivier i popuationen. För en Critica ne föräkring om köpt eparat och enat utbetaa om föräkringtagaren ever beräkna annoikheten för kaa om antaet inivier om iagnotierat me cancer ivierat me antaet frika inivier i popuationen. Metoen bekriv chematikt i figur 1 nean. atione tatitik Skaetatitik Etimat av annoikheten för kaa i en nationea popuationen Kreibiitet kattning Etimat av annoikheten för kaa i en föräkrae popuationen Sannoikheten för kaa för en Critica ne föräkring Figur 2.4. Meto om kaeata finn. 2.5 Meto om et inte finn någon kaeata Om et inte finn någon kaeata är natione ata en ena ata om är tigängig att använa. Vi har tiigare ikuterat möjigheten att natione ata inte het är överentämmane me kaeata. Den föräkrae popuationen bore vara frikare än befokningen i övrigt efterom e vi tecknanet av föräkringen är okumenterat frika. Mitankarna är ock e motatta, v att e föräkrae har en högre annoikhet att injukna i någon av e pecificerae jukomarna. Om et viar ig att et är kinaer mean en föräkrae popuationen och befokningen i övrigt å bore priättningmoeen kompenera för etta faktum. Ett ätt att jutera är att titta på 8

11 jämförbara äner när et gäer tanar och häa och om har kaeata. Skinaen mean etimat baerat på kaeata och etimat baerat på natione överför ti etimatet om ka förbättra. Metoen bekriv chematikt i figur 2 nean. atione tatitik Jutering utifrån jämförbara föräkringar och äner Etimat av annoikheten för kaa i en nationea popuationen Förbättrat etimat för annoikheten för kaa Figur 2.5 Meto om kaeata finn. 2.6 Begränningar etta arbete gör vi antaganet att föräkringen enbart täcker jukomen cancer. Antaganet är en konekven av tigången på ata. Cancer tår för närmre femtio procent av aa rapporterae kaor och är en jukom om är bät regitrera i nationea atabaer. Moeen går ock ätt att utviga ti att täcka fera jukomar. Definitionen av jukomarna i vikoren kan variera mean oika föräkringboag beroene på hur föräkringboagen har vat att utforma proukten. vårt fa gäer föjane efinition av cancer: En maignttumör karaktäriera av en okontroera tivät och prining av maigna ceer och invaion i vävna. Termen cancer inkuerar eukemi och Hogkin jukom men föjae är ekuerat. Aa tumörer om är hitoogikt bekrivna om pre-maigna, icke invaiva eer cancer in itu. Kapo arcoma i amban me Human mmunoeficiency Viru. Annan hucancer än maignt meanom. De ara feta Critica ne föräkringar i vårt atamateria är föräkringar om inkuerar pötig ö v Critica ne föräkringen är å tiamman me en ivföräkring. Den begränae mängen ata gör att vi i etta arbete enat kan etimera priet för en Critica ne å om ett tiägg ti en ivföräkring. Vi kommer ock att reovia hur kattningar kan göra för Critica ne å om en enam föräkring när beräkningarna kijer ig åt. 9

12 3 Etimering av annoikheten för critica ine eer öfa 3.1 Skattning av annoikheten för kaa Låt C beteckna Critica ne. För en föräkring om inkuerar pötigt öfa är annoikheten för kaa ika me annoikheten för C eer för tiig ö uner ett år. För en föräkring om enat täcker riken för C är annoikheten för kaa ika me annoikheten för C uner ett år. Vi ingången av året är inivierna i popuationen antingen frika, v ej iagnotierae me C, eer juka och iagnotierae me C. Antag föjane beteckningar: Anta inivier i popuationen vi ingången av året Anta inivier i popuationen om har C vi ingången av året Antaet inivier i popuationen om iagnotiera me C uner året Antaet inivier i en frika popuationen om avier av anra oraker än C uner året h Antaet inivier om avier av C i popuationen C uner året Antaet inivier om avier av anra oraker än C i popuationen O Antaet inivier om avier i popuationen uner året. är =året uner året Frik Sjuk h C O Dö Figur 3.1 För en Critica ne å om en tiäggföräkring ti en ivföräkring, en k Acceerate benefit är antaet kaor ika me antaet inivier om iagnotierat me C uner ett år oavett om e avier av C eer ej pu antaet inivier om är frika vi ingången av året men om avier av anra oraker än C uner året. Beteckna enna annoikhet me. För en Critica ne föräkring om åt om en enam föräkring en k Aitiona benefit 10

13 är antaet kaor ika me antaet inivier om iagnotiera me C året. Beteckna enna a annoikhet me. h a Tyvärr akna informationen om antaet öa om avier av anra oraker än C i en frika popuationen, h Vi tar hjäp av Sat 3.1 för att öa etta probem att katta. Sat 3.1 a) Acceerate benefit. Sannoikheten för kaa i en nationea popuationen uner ett år är: i ( q k q ) b) Aitiona benefit. Sannoikheten för kaa i en nationea popuationen uner ett år är: a i är i annoikheten att iagnotera me C uner år 1 för inivier om var frika vi ingången av år 1. C k Sannoikheten att ö av C givet att ö inträffar. q Sannoikheten för att ö i en nationea popuationen. 11

14 12 Bevi: Antaet öa i en nationea popuationen är O C h. (3.1) Vi viar nu aten för eerate benefit (a). Acceerate benefit utfaer om en föräkrae iagnotiera me C eer för tiig ö å totat anta kaor uner ett år är ika me h och annoikheten för kaa uner ett år är ika me h Probemet är att h är okänt. För att unervika etta probem och göra etimatet möjigt att katta är et növänigt att anta föjane. Sannoikheten för ö pga. anra oraker än C i en frika popuationen är ika me annoikheten för ö pga. anra oraker än C i en popuationen iagnotierae me C. inkuerar e fa är en inivi iagnotiera me C och avier inom kort ärefter. Antaganet är: O h (3.2) Använ antagane (3.2) i ekvation (3.1): h h h O h C C h Sätt C k q i Genom att använa efinitionen ovan erhå önka forme: C h q k q i ) (

15 4 Etimera annoikheten för C och öfa i Storbritannien Uppgiften är att etimera premien för proukten Critica ne i Sverige och Storbritannien. På grun av tigången på ata antar vi att en ena C om täck av föräkringen är cancer. Vi har grupperat rikerna efter kön och åer. Begränningen i atamängen har gjort att vi har varit tvungna att göra grupperingar me tora åerpann på 14 år. 4.1 Sannoikheten för kaa i Storbritannien baerat på kaeata. Vi tartar me etimatet för annoikheten för kaa i en föräkrae popuationen för föräkringar åa om tiägg ti ivföräkring (eerate benefit). ean föjer en ammantäning av atamateriaet. Tabe viar vår eponering, antaet föräkrae inivier grupperae efter kön och åer. tabe föjer antaet anmäa kaor v. antaet inivier i vår eponering om iagnotierat me cancer. Tabe Anta föräkrae inivier Kön Åer umma F F F M M M umma Tabe Anta kaor Kön Åer umma F F F M M M umma

16 Vårt ata omfattar 9 år och totat föräkrae inivier. Av em har 663 inivier iagnotierat me cancer eer aviit en för tiig ö. Vi kan e att antaet föräkrae inivier ökae kraftigt mean år 1995 och Antaet föräkrae inivier mer än treubbae för att ean gå tibaka något. Ökningen i antaet kaor gick ångammare och nåe in högta nivå 1999, tre år enare. Vi kan e etta i Graf är antaet föräkrae inivier är eat me 100 för att grafen ka få en tyigare kaa. Detta yn även i kattningen av, e tabe 4.1.3, är annoikheten för kaa har ökat e ita åren båe för män och kvinnor. Tabe Skattning av ˆ Kön Åer F ,90% 1,00% 0,73% 0,73% 0,00% 1,00% 1,36% 0,27% 1,59% F ,69% 0,00% 0,00% 1,84% 0,97% 1,76% 3,86% 4,69% 3,84% F ,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,94% 4,88% 6,35% 7,20% 6,12% M ,25% 2,13% 0,69% 0,79% 0,19% 0,77% 0,20% 0,83% 0,68% M ,45% 0,26% 0,21% 1,63% 0,44% 0,96% 1,02% 2,63% 3,35% M ,00% 6,90% 2,25% 4,03% 1,87% 4,46% 5,04% 7,94% 4,44% Graf Utveckingen av anta föräkringar och kaor graferna 4.1.2a och 4.1.2b nean er vi etimera annoikhet för kaa, ˆ, för kvinnor repektive män. Från år 1996 å portföjen väer kraftigt är et tyigt att annoikheten för kaa eererar. Detta viar att e nya inivierna i portföjen har en högre annoikhet för kaa än e rean föräkrae. Efterom priet för e nya inivierna är et amma om för e rean föräkrae inivierna å innebär etta att önamheten i portföjen minkar. Vi er även att åer är en viktig parameter. 14

17 Graf 4.1.2a: Kvinnorˆ Graf 4.1.2b: Män ˆ Den här typen av föräkring, är annoikheten för kaa är reativt åg kräver en omfattane föräkringportföj för att et ka vara möjigt att göra äkra kattningar baerat på kaeata. vårt materia, me reativt få föräkrae inivier, bir konekvenen att antaet kaor bir mycket få. är vi ean gör ineningen i åer och kön aknar vi het obervationer i via rikgrupper och e kattningar om kan beräkna bir mycket oäkra. Vi måte ock göra någon inening efter premieargumenten kön och åer efterom vi vet att ea har tor betyee för riken att få cancer eer att avia. 15

18 4.2 Sannoikheten för kaa i Storbritannien baerat natione ata Vi fortätter me att katta annoikheten för kaa i en Storbritannika popuationen. Sannoikheten för kaa för eeration benefit är ika me annoikheten att iagnotiera me cancer eer att avia i förti. För aitiona benefit är annoikheten för kaa ika me riken för att iagnotiera me cancer. För att etimera riken använer vi at 3.1. a i ( q k q )* i är iˆ kˆ c qˆ Vi er att riken att iagnotiera av jukom är åerberoene och et är tor kina på riken inom ett 15 år pann. en föräkrae popuationen är åerföreningen i e tre åergrupperna mycket tabi över åren. Vi väjer ärför att i föräkringatat beräkna åerförening inom repektive åerka över aa år (e tabe 4.2.1) och viktar et nationea atat ärefter. Detta för att få en mer rättviane kattning av nationetimaten när vi enare ka jämföra em me etimaten från föräkringatat. Tabe Åerföreningen inom rep. åerka i en föräkrae popuationen. F % 4% % 32% % 64% % 47% % 33% % 20% % 80% % 18% % 2% M Ett annat probem är att och ärför erätter vi me genomnitt är juk i cancer i 5 år å att inte är tigängigt. En öning är att är reativt itet i förhåane ti. En annan möjig approimation är att anta att en peron i är approimerat ika me 5*. Vi provar båa approimationerna (e tabe och 4.2.3) och er om et ger någon kina. 16

19 Tabe Skattning av ˆ me approimationen Kön Åer F ,09% 0,09% 0,09% 0,09% 0,09% 0,05% 0,09% 0,09% 0,09% F ,20% 0,25% 0,25% 0,24% 0,24% 0,24% 0,24% 0,24% 0,24% F ,65% 0,65% 0,66% 0,63% 0,63% 0,65% 0,65% 0,66% 0,64% M ,14% 0,13% 0,13% 0,13% 0,13% 0,13% 0,13% 0,13% 0,13% M ,25% 0,25% 0,24% 0,24% 0,21% 0,21% 0,24% 0,24% 0,24% M ,56% 0,80% 0,77% 0,54% 0,52% 0,71% 0,70% 0,69% 0,68% Tabe Skattning avˆ me approimationen 5* Kön Åer F ,09% 0,09% 0,09% 0,09% 0,09% 0,05% 0,09% 0,09% 0,09% F ,20% 0,25% 0,25% 0,24% 0,24% 0,24% 0,24% 0,24% 0,24% F ,65% 0,65% 0,66% 0,63% 0,63% 0,65% 0,65% 0,66% 0,64% M ,14% 0,13% 0,13% 0,13% 0,13% 0,13% 0,13% 0,13% 0,13% M ,25% 0,25% 0,24% 0,24% 0,21% 0,21% 0,24% 0,24% 0,24% M ,56% 0,80% 0,77% 0,54% 0,52% 0,71% 0,70% 0,69% 0,68% Vi er att kinaen mean e två oika approimationerna är obetyiga, et kijer ig fört på treje ecimaen. Antaet inivier i åern i Storbritannien är mycket tor, över 30 mijoner, viket innebär att kattningarna bir mycket tabia viket yn i graf nean. Riken att rabba av cancer eer för tiig ö ökar kraftigt me åern. Graf 4.2.1: ˆ 17

20 4.3 Anay av kinaen i kaeata och nationata Det är tor kina mean annoikheterna för en nationea och en föräkrae popuationen. Det är tyigt att annoikheten för kaa är betyigt högre i en föräkrae popuationen, även om kattningarna är mycket oäkra. Tittar man på åren 1996 och framåt i föräkra popuation, å portföjen är väentigt törre, er vi i grafen och amma tenen om i graf för natione popuation att kurvorna för kvinnor och män föj åt i åerka. Detta tyer på att obervationerna i en föräkrae popuationen inte het är umpmäiga. Graf 4.3.1: ˆ Graf 4.3.2a: atione rep. föräkra år kattning av ˆ 18

21 Graf 4.3.2b: atione rep. föräkra år kattning av ˆ Graf 4.3.2c: atione rep föräkra år kattning av ˆ 19

22 5 Kreibiitetteori 5.1 ntrouktion är man arbetar me att priätta föräkringar tittar man på e kaor om rean har inträffat för att på å ätt kunna uppkatta eventuea kaor i framtien och ärme kunna betämma priet. Aa riker gruppera utifrån e egenkaper om ger em iknane rik och varje rikgrupp får itt pri beroene av ea rikparametrar. För att ta fram priet för en iniviue föräkring jutera en gemenamma karaten ofta me kaetatitik från en iniviuea föräkringen för att få ett pri om bättre pegar en unika riken. Det gemenamma priet för föräkringarna i en rikgrupp är baerat på många obervationer och är ärme reativt tabit men kanke minre träffäkert än om priet kue beräkna enbart på en unika riken kaeata. De föräkringar om har ett ägre iniviuet genomnittpri än rikkaen genomnittpri är goa riker och et finn en möjighet att e kan få ett bättre pri någon annantan. Förvinner e bra rikerna förämra portföjen, och även om priet jutera på ikt förorar föräkringboaget premievoym viket ärme minkar chanerna ti go avkatning. Hur ka å karaten och en iniviuea raten kombinera? Kreibiitetteorin hjäper ti att vara på en frågan. Kreibiitetteorin tar hänyn ti två aker; hur homogen rikkaen är och hur tor rik prining et är inom en unik rik iniviuea kaeata. Om aa rikerna i kaen är ientika och har amma förväntae kaeutfa finn et ingen mening me att ta hänyn ti en iniviuea kautfaet. Finn et äremot kinaer mean rikerna i amma rikka å finn et en nytta me att jutera rikkapriet me en unika riken kaeata. Är et tora variationer inom en unika riken kaeata kan et faktika kaeutfaet för en enkia riken vara ångt ifrån et iniviuea förväntae väret viket gör et iniviuea kaeutfaet minre använbart. Kreibiitetteorin föröker ta rea på ea två omtänigheter och hitta en optimaa kombinationen av utfaet för en iniviue föräkring om är reevant men har törre oäkerhet och utfaet för rikkaen om är tabi men minre reevant. Vi kommer att e att förväntat utfa för et iniviuea avtaet är ett viktat genomnitt av förväntat utfa för rikkaen och ett genomnitt för utfaet för et enkia avtaet. Utfaet för en unika riken är: är = meeväret för en enkia riken = meeväret för hea rikkaen Z = kreibiitetfaktorn för riken 5.2 Definition och notation Sätt en iniviuea riken j i en rikka uner tien t ti en tokatika variaben et faktika utfaet. X jt me 20

23 X jt kan repreentera oika aker t.e. anta kaor uner perio t eer kaeprocent uner år t. Varje rik j har en rikparameter j om ärkijer en iniviuea riken egenkaper. j är en tokatik variabe om beteckna me täthetfunktionen. Om två riker har amma parameter å har e amma rikegenkaper och amma vänteväre ( ). ätan aa moeer inom kreibiitetteorin gör antaganet att jt är tihomogen, v rikparametern för en rik j änra inte över tien. Vi utämnar ärför notationen t och kriver. j Ett föräkringavta j bekriv atå av föjane vektor, X, X,..., X ) av tokatika variaber ( 1 2 t är variaben inte är oberverbar. Föreningen av en tokatika variaben X t beror på väret av. Om X är en kontinuerig variabe ätt en betingae täthetfunktionen ti jt För en enkia riken j är: Vänteväret för X givet : t Det obetingae vänteväret av X t är vänteväret över aa riker i rikkaen Den betingane varianen för förväntae väre: X t givet bekriver en rik umpmäiga utfa från itt Den obetingae varianen för kaa ofta för en totaa varianen: 5.3 Bühmann kreibiitetmoe Bühmann kreibiitetmoe förutätter att aa obervationerna har amma vikt och iknane rikvoym. 21

24 Låt vänteväret för hea rikkaen: förväntat väre av varianen för en rik umpmäiga utfa från itt förväntae väre: varianen för variationen av en enkia riken meeväre kring rikkameeväret : Bühmann kreibiitetmoe antar att: 1. För någon va rik j=1,,k å är paren, oberoene och ikaföreae. j X jt 2. För varje rik j=1, k och kontant j för varje ti t å är e betingae variaberna X, X,..., X oberoene och ika föreae. 1 j j 2 j j mj 2 3. E ( X ) Det betyer att rikerna är oberoene av varanra och inom en rik me givet j är e betingae tokatika variaberna ika över tien. E( X jr j ) E( X j j ) Var X ) Var( X ) ( jr j j j Bühmann kreibiitetviktae kattning för för t=1,2,,k är är och Se bevi i appeni. är okän för en vaa riken j ärför använ meeväret vänteväret. Meeväret är en unbiae kattning. för att katta 22

25 Den betingae varianen av : Den obetingae varianen av : Och Z kan uttrycka om Täjaren uttrycker hur pria meevärena är för e oika rikerna i rikgruppen och nämnaren är ett mått på en totaa varianen. 6 Tiämpa kreibiitetteori på UK kattningarna av ˆ Vi har etimaten ˆ och ˆ för Storbritannien. Vi vi nu vikta ihop ea två etimat av annoikheten att iagnotiera me cancer uner ett år på bäta ätt för få en å bra kattning om möjigt. 6.1 Kreibiitetkattning av ˆ och ˆ Antag att X är ika me annoikheten för C. Vi har två obervationer i rikkaen. Den förta jt obervationen är från en föräkrae popuationen ˆ, tabe och en anra obervationen är en nationea popuationen ˆ, tabe Båa obervationerna är från tiperioen 1992 ti 2000 viket är 9 år och ger t=9 och j=2. Beräkning av EPV Ett etimat av förväntat väre av varianen för e enkia rikerna umpmäiga utfa från era förväntae väre. 23

26 Beräkning av VHM Den totaa varianen kan utrycka om är ea är etimerae kan man beräkna et viktae meeväret: tabe 6.1 nean reovia beräkningen av kreibiitetkattningen av ˆ och Tabe 6.1: Kreibiitetkattning av annoikheten för C eer pötig ö ˆ Kön åer F ,84% 0,09% 0,0012% 0,0026% 0,47 0,95 0,46% 0,82% 0,10% ,07% 0,24% 0,0145% 0,0132% 1,10 0,89 1,15% 1,97% 0,34% ,83% 0,65% 0,0513% 0,0111% 4,64 0,66 1,74% 2,46% 1,02% Kön åer M ,84% 0,13% 0,0017% 0,0021% 0,83 0,92 0,48% 0,81% 0,16% ,22% 0,24% 0,0062% 0,0033% 1,91 0,82 0,73% 1,13% 0,32% ,10% 0,66% 0,0306% 0,0515% 0,59 0,94 2,38% 4,00% 0,77% Ovan er vi e juterae etimaten för annoikheten att rabba av C i en föräkrae portföjen repektive hea nationen. Vi kan kontatera att meeväret för annoikheten att rabba av C i en föräkrae popuationen för kvinnor i åer år ˆ jutera ne från 0,84% ti 0,82%. 24

27 Samma annoikhet för motvarane urva i en nationea popuationen ˆ jutera upp från 0,13 % ti 0,16 %. Skinaen mean etimatet för popuationen och etimatet för nationen är mycket tora. För att förtyiga kinaen föjer ett eempe i tabe 6.2 nean. Antag att vi har en föräkra popuation på inivier me etimatet kattat från en föräkrae popuationen kue vi få 823 kaor för kvinnor i åer år och me etimatet katta från en nationea popuationen kue et enat bi 104 kaor. Denna kina är å tor att vi kan kontatera att et inte är någon öning att använa nationet etimat för att katta annoikheten i en föräkrae popuationen. Tabe 6.2. Skina i antaet kaor me e oika etimaten räknat på föräkrae inivier kön Åer Föräkrae popuationen ationen F kön Åer M Oraken ti e oika reutaten kan vara fera. För et förta å är antaet kaor i föräkringatat för itet för att några äkra reutat ka kunna beräkna. En ena kaa påverkar toreken på etimatet mycket efterom et bir en tor kina på en eer två kaor. Deutom är et troigt å att et ker ett moturva i föräkringportföjen. Det är inte ett umpmäigt urva ur popuationen om köper enna typ av föräkring. nivier om på ett eer annat ätt tror ig veta att e har en törre rik än anra att rabba av C är mer benägen att en teckna föräkring. Unerwriting har förökt begräna etta genom oika metoer, t.e. genom att begräna föräkringumman amt kriva ne en ytterigare ifa föräkringtagaren har ytterigare föräkringar. Åtgärerna verkar inte ha räckt hea vägen fram. 7 Priätta Sverige Sverige är föräjningen av Critica ne föräkring om nämnt mycket begräna. Det finn ingen kaeata tigängig och en ena ata om är tigängig är natione ata. Som vi tiigare har framgått i etta arbete kan et kija ig mycket mean annoikheten att iagnotiera me cancer för en föräkrae popuationen och en nationea popuationen. 25

28 7.1 Sannoikheten för kaa i Sverige Det finn inget kaeata för Sverige och ärför får vi gå irekt ti kattningar på natione ata. För en eeration benefit är annoikheten för kaa ika annoikheten att iagnotiera me cancer eer att avia i förti. För aitiona benefit är annoikheten för kaa ika me riken för att iagnotiera me cancer. Preci om för Storbritannien använer vi at 3.1 för att beräkna ea annoikheter. a i ( q k q )* i Vi gör amma antaganen om i avnitt 4.2 för att approimera och amma åerförening inom åerpannen om vi gjore för Storbritannien å etimaten bir jämförbara. tabe 7.1 och 7.2 reovia kattningen me repektive approimation. Tabe 7.1. Skattning av ˆ me approimationen Kön Åer F ,11% 0,10% 0,11% 0,10% 0,10% 0,10% 0,09% 0,09% 0,09% F ,30% 0,29% 0,30% 0,30% 0,29% 0,28% 0,28% 0,28% 0,28% F ,73% 0,71% 0,79% 0,76% 0,77% 0,73% 0,76% 0,76% 0,76% M ,14% 0,13% 0,13% 0,12% 0,12% 0,12% 0,12% 0,12% 0,11% M ,27% 0,27% 0,27% 0,26% 0,24% 0,24% 0,23% 0,24% 0,23% M ,76% 0,77% 0,75% 0,75% 0,74% 0,70% 0,72% 0,70% 0,71% Tabe 7.2. Skattning avˆ me approimationen 5* Kön Åer F ,11% 0,10% 0,11% 0,10% 0,10% 0,10% 0,09% 0,09% 0,09% F ,30% 0,29% 0,30% 0,30% 0,29% 0,28% 0,28% 0,28% 0,28% F ,73% 0,71% 0,79% 0,76% 0,77% 0,73% 0,76% 0,76% 0,76% M ,14% 0,13% 0,13% 0,12% 0,12% 0,12% 0,12% 0,12% 0,11% M ,27% 0,27% 0,27% 0,26% 0,24% 0,24% 0,23% 0,24% 0,23% M ,76% 0,77% 0,75% 0,75% 0,74% 0,70% 0,72% 0,70% 0,71% Preci om väntat är et ingen kina mean approimationerna. Även om Sverige popuation är betyigt minre än Storbritannien å är et fortfarane ett tort anta inivier (1,8 mijoner) om är ba för beräkningen. Detta ger en mycket tabi kattning av ˆ, e graf

29 Graf 7.1: ˆ är vi jämför e nationea etimaten för Sverige och Storbritannien er vi att annoikheterna är reativt ika för varje åerkategori. Se graf 7.2 nean. Graf 7.2: ˆ Sverige repektive Storbritannien Förbättring av en nationea kattningen Den urprungiga tanken i etta arbete var att jutera Sverige nationea etimat me hänyn ti en eventuea kina om fann i Storbritannien mean föräkrat och nationet etimat. Detta för att kompenera för mitanken att urvaet i en föräkrae popuationen inte riktigt var jämförbart me nationen. Probemet är, om vi tiigare har kontaterat, att föräkringetimatet i 27

30 Storbritannien är oäkert och att et kijer ig å mycket från et nationea etimatet att et är vårt att ra en genere utat. e reutat om vi tiigare har preenterat har vi ett att åer är av mycket törre vikt än kön. Bir reutatet något annat om vi tar bort parametern kön? Vi provar och er om kattningarna bir något bättre när antaet obervationer i e kvarvarnae grupperna ökar. Tabe och viar anta föräkrae inivier repektive anta kaor för båe män och kvinnor. Vi beräknar fört annoikheten för kaa i en föräkrae popuationen tabe Tabe Anta föräkrae inivier ˆ i Storbritannien, e Åer umma Tabe Anta kaor Åer umma Tabe Skattning av ˆ Åer ,17% 1,87% 0,70% 0,78% 0,13% 0,84% 0,50% 0,66% 0,98% ,70% 0,20% 0,16% 1,68% 0,57% 1,17% 1,80% 3,26% 3,54% ,00% 5,41% 1,64% 3,06% 1,64% 4,57% 5,47% 7,67% 5,12% Vi tittar på könföreningen i portföjen och gör antaganet att 30 % i portföjen är kvinnor och reten är män. Vi tiämpar föreningen vi beräkningen av popuationannoikheterna och beräknar annoikheten för kaa i en nationea popuationen preci om i avnitt 4.2, e tabe graf nean er vi annoikheten för kaa båe för natione och föräkra popuation. Vi er att annoikheten i en nationea popuationen är betyigt ägre än föräkra popuation. Tabe Skattning avˆ Åer ,12% 0,12% 0,12% 0,12% 0,12% 0,10% 0,12% 0,12% 0,12% ,24% 0,25% 0,25% 0,24% 0,22% 0,22% 0,24% 0,24% 0,24% ,59% 0,75% 0,74% 0,57% 0,55% 0,70% 0,68% 0,68% 0,67% 28

31 Graf 7.1.1: atione rep. föräkra kattning av ˆ Vi väger ihop ea kattningar preci om tiigare i avnitt 6.1. och vi väjer att enat använa e fem ita åren å föräkringportföjen är törre för att få ett tabiare etimat. Tabe 7.1.5: Kreibiitetkattning av annoikheten för C eer pötig ö Åer ,62% 0,12% 0,0005% 0,0010% 0,53 0,90 0,37% 0,60% 0,14% ,07% 0,23% 0,0084% 0,0127% 0,66 0,88 1,15% 1,96% 0,34% ,89% 0,66% 0,0235% 0,0781% 0,30 0,94 2,78% 4,77% 0,78% tabe kan utäa att kattningarna närmar ig varanra men att e fortfarane är oanvänbara. Om vi gör amma eempe om tiigare me föräkrae inivier bir konekvenerna mycket tyiga, viket framgår i tabe nean. Att ha över 7000 kaor jämfört me rygt 1000 kaor betyer att priet kue behöva vara ju gånger högre. Vi kontaterar att etta inte är en ämpig meto för att priättning av Critica ne portföjen, varken för Sverige eer Storbritannien. Tabe Skina i antaet kaor me e oika etimaten räknat på föräkrae inivier Åer Föräkrae popuationen ationen Summa

32 8 Dikuion 8.1 Metoikuion Den befintiga Critica ne portföjen är för ågt priatt och har önamhetprobem. Syftet me etta arbete var att ta fram en moe för att betämma priet för en Critica ne föräkring i Storbritannien och Sverige. De ökta annoikheterna är mycket må viket gör att antaet föräkringar i föräkringportföjen måte vara mycket tort för et ka vara möjigt att beräkna äkra etimat baerat på kaeata. Den befintiga föräkringportföjen är mycket iten ärför var tanken att pröva om et går att kombinera etimaten från portföjen me etimat baerat på hea nationen. Me hjäp av kreibiitetteori väg e oäkra kattningarna från föräkringatat amman me e tabia nationea kattningarna för att på å ätt få en bra priättningmoe. Det viae ig ock att enna meto inte var ämpig. Det törta käet ti att metoen inte är använbar är att annoikheten att rabba av kaa i en föräkrae popuationen är mean 5 ti 9 gånger högre än motvarane annoikheten i en nationea popuationen. Den nationea tatitiken är inte ett bra ubtitut för en föräkrae popuationen. Oraken ti etta kaa moturva och innebär att en föräkrae popuationen inte är ett umpmäigt urva ur en nationea befokningen. Uppenbarigen har inivierna om tecknar en här typen av föräkringen en öka rik att rabba av jukom och förtiig ö jämfört me befokningen i övrigt och är ärför mer benägna att föräkra ig. De bakomiggane orakerna ti cancer är våra att fånga upp i ivtifaktorer och ärför är informationövertaget ho kunerna vårt att komma ti rätta me och fånga upp i en moe. En annan betraktee är att om vi tiigare har nämnt tar kreibiitetkattningen hänyn ti e hur kattningarna inom rikkaen kijer ig mycket åt och e hur tor prining et är inom varje enki rik. Efterom annoikheten för kaa eer tiig ö i nationen ˆ baerar ig på en tor atamäng kijer ig kattningarna mean åren mycket ite. Varianen av e enkia utfaen från era förväntae väre bir ärme mycket iten. Även om e två rikerna i rikgruppen, en baera på nationen och en baera på föräkringata är oika å bir kreibiitetfaktorn hög efterom e enkia rikerna varian är åg och kattningarna änra inte å mycket i förhåane ti era genomnitt. 8.2 Jämföree me befintig rate Efterom vi vet att en befintiga Critica ne portföjen är för ågt priatt kan et vara intreant att jämför befintig rate me e reutat om har beräknat. tabeen nean er vi en befintiga raten för män i några oika åerkaer. Vi ka ock ta i beaktane att en inkuerar fer Critica ne iagnoer än cancer amt övriga kotnaer. En jämföree är ärför inte het enket. Låt o ock göra ett förök: C cancer utgör ca häften av e kaor om föräkringen täcker. Vi gör antaganet att vi får ubbet anta kaor och ubberar annoikheten för kaa om vi inkuerar aa C. Vi kan e att kattningen av ˆ baera på natione ata är reativt i inje me befintig rate om man tar me ett kotnapåag på ca 20 %. Detta reutat är att vänta efterom befintig rate är baera på natione ata. 30

33 Tabe 8.2.1: Jämföree mean befintig rate och etimera rate för män Befintig rate för män ˆ 1 = kaeata och 2 = nationata mutipicerat me 2 åer annoikhet åer 20 0,14% ,67% 0,26% 25 0,15% ,43% 0,47% 30 0,21% ,20% 1,33% 35 0,32% 40 0,52% 45 0,85% 50 1,30% 55 1,99% 60 2,84% 8.3 Förag ti aternativ meto Anaten i etta arbete var att kombinera etimaten baerat på en ia men ock empirika föräkringportföjen me tabia etimat från hea befokningen. Tyvärr viae et ig att en givna moeen inte var tiämpningbar om vi har ikuterat i avnittet ovan. Probemet kvartår ock befintig rate och raten baera på ˆ är för åg för att given portföj ka vara önam, amtiigt är en rate baera på ˆ för oäker för att igga ti grun för en ny rate. ett förök att gå viare och göra ett förag ti ny moe börjar vi me att potta annoikheten för kaa i en nationea popuation och i en föräkrae popuationen per åer ineat i 5 år interva och er om vi kan e något mönter, graf nean. Efterom vi inte har någon ata för Sverige väjer vi att enbart göra en aternativ moe för Storbritannien baerat på et ata vi har tigängigt. Graf 8.3.1: atione rep. föräkra kattning av ˆ ineat per åer och kön 31

34 För en nationea popuationen är et ingen kina mean könen att rabba av cancer fram ti 50 år åer ärefter ökar annoikheten i nabbare takt för män. Det är ock en betyane kina mean män och kvinnor i en föräkrae popuationen är annoikheten för kvinnor är generet högre än för män i åer 30 ti 50 år. Det är ärför ämpigt att göra eparata moeer för könen efterom vi främt är intreerae av att ta fram en moe om omfattar åer 30 ti 50 år å et är tört föräjning i etta interva. Vi noterar att annoikheten för kvinnor i en föräkrae popuationen och nationea popuationen är mer injär mean motvarane annoikheter för män bättre bekriv av en eponentie funktion. Vi önkar att e om vi kan genom att finna en funktion för en föräkrae annoikheten av värena från en nationea popuationen vi varje åer och ärme få en mer jämn och tiföritig rate Män Vi noterae ovan att ambanet för män inte är injärt. Vi tranformerar ärför anpaningfunktionen å en bir injära i parametrarna genom att ogaritmera atapunkterna. tabeen nean kan vi kontatera att antaet föräkringar i en ägta åerkaen år amt i e två äta åerkaerna och år är få viket ökar oäkerheten i etimaten. Vi väjer ärför att ekuera ea ata i regreionen å vi önkar att främt finna en go kattning i intervaet 30 ti 50 år. Tabe 8.3.1: Män h föräkra h befokningen h at moe åer anta kaor eponering ,39 % 0,12 % 0,69 % ,78 % 0,14 % 0,72 % ,61 % 0,17 % 0,76 % ,83 % 0,22 % 0,85 % ,27 % 0,32 % 1,06 % ,68 % 0,53 % 1,64 % ,53 % 0,91 % 3,69 % ,54 % 1,71 % 19,65 % ,41 % 2,87 % 226,50 % Vi gör en enke injär regreion och finner att funktionen om bät paar ti vårt ata för annoikheten att rabba av cancer eer för tiig ö i en föräkrae popuationen i åern år är. Efter 54 år åer är enna funktion inte ämpig å annoikheten för kaa är för hög. intervaet ger moeen en högre annoikhet än et empirika atat om i etta interva är mycket oäkert. Grafen nean viar en kattane annoikheten för män att rabba av cancer eer ö en förtiig ö i en föräkrae popuationen, befokningen amt en aternativa moeen. 32

35 Graf 8.3.2: Sannoikheten för kaa aternativa moeen ˆ för natione och föräkra befokning amt en Kvinnor tabeen nean kan vi kontatera att antaet kaor i en ägta åerkaen år är no amt att antaet föräkringar är få. åerkaerna 50 år och äre är et ockå få föräkringar och vi väjer ärför att ekuera ea ata i regreionen. Tabe 8.3.2: Kvinnor h föräkra h befokningen h at moe åer anta kaor eponering ,00 % 0,06 % 0,53 % ,59 % 0,08 % 0,69 % ,94 % 0,13 % 0,97 % ,78 % 0,23 % 1,56 % ,43 % 0,38 % 2,47 % ,83 % 0,61 % 3,85 % ,03 % 0,98 % 6,09 % ,38 % 1,39 % 8,53 % ,00 % 1,85 % 11,30 % Vi föröker atå att fina en injär funktion om bekriver föräkra ata i intervaet 25 ti 49 år me hjäp av våra atapunkter från et nationea atat. 33

36 Funktionen ger en go anpaning. Däremot är funktionen inte ämpig att använa om moe för kvinnor över 50 år å annoikheten bir aee för hög. Grafen nean viar en kattane annoikheten för kvinnor att rabba av cancer eer ö en förtiig ö i en föräkrae popuationen, befokningen amt en aternativa moeen. Graf 8.3.3: Sannoikheten för kaa aternativa moeen ˆ för natione och föräkra befokning amt en 9 Sutat Syftet me etta arbete var att ta fram en moe för att betämma priet för en Critica ne föräkring i Storbritannien och Sverige. Metoen om prövat i arbetet för att uppnå etta, v. att kombinera oäkra kattningar baerat på ett begränat kaeata, me mer tabia kattningar från hea nationen popuation inte är tiämpbar. Det viae ig att annoikheten att rabba av kaa i en föräkrae popuationen är mean 5 ti 9 gånger högre än motvarane annoikheten i en nationea popuationen. Proukten har ett tyigt moturva. För cancer är et vårt att genom ivtifaktorer äga vika inivier om öper en öka rik att iagnotiera me cancer och ärför är et vårt att i en moe ärkija ea inivier. En annan orak ti att en föreagna moeen inte är ämpig är på grun att kreibiitetteorin. Kreibiitetteorin tar hänyn ti priningen båe inom en obervation och mean obervationer. Den ena av våra två obervationer betår av obervationer från en he nation viket gör att varianen inom tickprovet är mycket iten. Efter att ha kontaterat att en prövae moeen inte är ett bra aternativ ti priättning av Critica ne föräkringen å kvartår probemet. Befintig rate och raten baera på nationata är för åg och raten baera på befintig portföj är för oäker för att tiämpa. För 34

37 Storbritannien prövar vi ärför en aternativ moe om är en funktion av nationatat anpaat ti portföjnivån för att få en jämnare och tabiare rate. För män finner vi en funktion om ger ett bra etimat i intervaet 25 ti 54 år och för kvinnor finner vi motvarane funktion om är tiämpningbar i åerintervaet 25 ti 50 år. Vi nöjer o me ea reutat å et är i ea interva om et teckna fet föräkringar. Vi kan avruna me några or om raten för Sverige. Vi kan kontatera att i graf 7.2 kijer ig annoikheten för kaa per kön i åerintervaet 25 ti 50 år inte nämnvärt mean Storbritannien och Sverige. Det om är avgörane är hur moturvaet är i Sverige. Detta går inte att mäta innan et finn någon kaeata att jämför me. Därför är et rimigt att om en utgångpunkt använa amma pri i Sverige om i Storbritannien och föja kaeutveckingen i Sverige noggrant och e om en avviker från utveckingen i Storbritannien. 35

38 10 Referenita Dah, Aion an Grimhaw, Davi: Drea Dieae cover An Actuaria Perpective Dean, Curti Gary: Topic in Creibiity Theory Gooveart, M.J an Hoogta W.J: Creibiity Theory Eurotat Statitika centrabyrån UK ationa tatitic 36

39 11 Appeni Bühmann kreibiitetkattning Antag att vi har tycken upprepae obervationer av en rik j kaeata X,..., 1, X 2 X. Varje utfa har amma vänteväre är är rikparametern ti en vaa riken. Enigt förutättningarna är e tokatika variaberna oberoene och ika föreae och vänteväret för en rik är och vänteväret för hea popuationen om kan ha oika rikparametrar är Vi öker ett injärt etimat av och använer utfaet av : Vi använer minta kvaraten metoen för att finna ett etimat av ˆ ( ) Minimera Termen i mitten är ika me no: Efterom Kvar är: Där enat en anra termen innehåer a. Viket väre på a minimerar termen? Derivera me aveene på a och ätt uttrycket ika me no och erätt me viket ger Erätt a me ovantåene uttryck viket ger: 37

40 Derivera me aveene på b och ätt uttrycket ika me no: Viket ger är Sätt in uttrycken i etimatet av Viket ger en ökta formen. 38