Cykloiden och dess släktingar

Transkript

1 Cykloiden och dess släktingar Anders Källén MatematikCentrum LTH Sammanfattning Cykloiden är den enklaste av en samling kurvor som uppkommer genom att man roterar cirklar på cirklar (om vi betraktar en rät linje som en cirkel genom oändligheten). I det här dokumentet diskuterar vi kring sådana kurvor och upptäcker speciellt att just cykloiden har en hel del intressanta egenskaper som har att göra med hur en partikel, som endast påverkas av gravitationen, rör sig.

2 Cykloiden och dess släktingar 1 (11) Introduktion Det här kapitlet handlar om en speciell kurva som visar sig ha många intressanta egenskaper, men även om några av dess närmsta släktingar. De gamla grekerna ansåg att i en perfekt värld måste allt vara uppbyggt av räta linjer och cirklar, och de försökt t.ex. rekonstruera vad de, och före dem babylonierna, såg på himlavalvet med hjälp av cirklar. Det fungerade inte riktigt, så de fick arbeta med cirklar som roterar längs cirklar, s.k. epicykler. Vi ska inte närmare diskutera deras tankegång här, det som i dess fulländning blev tolemaiska världsbilden, utan istället titta närmare på vad som händer när vi följer en punkt på en cirkel som roterar längs en linje eller en cirkel. Grunden är att rotera en cirkel längs en linje t.ex. följa en fläck på ett däck som rullar på slät mark. Vilken kurva kommer fläcken då att följa? Svaret är den s.k. cykloiden, en kurva som visar sig ha en del förvånande egenskaper som har att göra med friktionsfri rörelse orsakad endast av gravitationen. Denna observation fick på sin tid konsekvener för hur man (i teorin) kunde konstruera pendelur som höll tiden bättre än de befintliga. roblemet att rulla en cirkel längs en linje kan varieras på många sätt: vi kan variera var på cirkeln (eller t.o.m. utanför densamma) punkten ska sitta som vi följer. Vi kan också låta cirkeln rulla i eller på en annan, större, cirkel. Och även nu kan vi följa en punkt innanför eller utanför cirkel, fäst längs en (möjligen förlängd) radie på densamma. Vad är en cykloid? Om ett hjul rullar på en plan väg, och vi målar en vit fläck på sidan av hjulet, vilken väg kommer denna punkt då att röra sig? Om vi målar hjulets centrum, är svaret naturligtvis en rät linje, parallell med vägen. Men om vi målar fläcken en bit från centrum? Låt oss börja med fallet att vi sätter fläcken längst ut på däcket. Föreställ dig en cirkel med radien 1 som står på origo på den reella axeln. Dess medelpunkt ligger i (0, 1) och vi låter den punkt på cirkeln som ligger i origo kallas. Om cirkeln rullar åt höger, så att centrum rör sig sträckan t, så roterar medurs såsom illustreras i figuren nedan t t t Eftersom cirkeln har radien 1, gäller att den rullar lika långt som den roterat. Denna längd är i sin tur är lika med det avstånd medelpunkten har rört sig. Alla dessa tre storheter betecknas med t i figuren. Notera att vi kan uppfatta t som en tid om vi vill. Det innebär att medelpunkten rör sig med hastigheten 1 längs vägen.

3 Cykloiden och dess släktingar 2 (11) Vi ska nu ge läget för punkten i planet, när cirkeln har rullat sträckan t. Eftersom radien är 1, betyder det att den har rullat t längdenheter. Vi kan nu se läget som en summa av två vektorer: först går vi till medelpunkten som är i (t, 1) och sedan går vi från denna medelpunkt till punkten. Den senare vektorn har vinkeln 3π/2 t till vägen, och får därför x-koordinat cos( 3π t) = sin t och y-koordinat sin( 3π t) = cos t. Det 2 2 följer att läget för ges av c(t) = (t, 1) + ( sin t, cos t) = (t sin t, 1 cos t). Den kurva som definieras av parametriseringen t c(t) kallas en cykloid och illustreras i figuren nedan. Anmärkning Ett kanske snyggare sätt att härleda ekvationen för cykloiden är att använda sig av komplexa tal. Vi ska då addera vektorn som går från medelpunkten och vektorn från denna till. Medelpunkten ges av t + i medan den andra vektorn har uppkommit genom att vi roterat i vinkeln t radianer, en vektor som vi kan skriva ( i)e it. I komplexa tal får vi alltså ekvationen c(t) = t + i + ( i)e it = t + i e i(π/2 t). Omskrivet som par av reella tal är det samma ekvation som ovan. Så här långt har vi följt en punkt på randen till cirkeln. Men vi kan tänka oss att vi sätter märket både inne i hjulet och utanför det. Kurvan punkten genererar ges då av ekvationen c(t) = (t r sin t, 1 r cos t), där 0 < r < 1 om punkten är inne i hjulet, medan r > 1 svarar mot en punkt som ligger på en förlängd radie till hjulet. Figuren nedan illustrerar hur den genererade kurvan ser ut: den blå kurvan svarar mot ett r < 1 och den röda mot ett r > 1. Anmärkning Den röda kurvan visar att om vi har ett stag som går ut från centrum och är längre än hjulet, så kommer ändpunkten på den att då och då röra sig bakåt, trots att själva hjulet hela tiden rör sig framåt. å ett gammalt ånglok fanns det därför punkter som inte rörde sig frammåt när loket gjorde det. Innan vi tar nästa exempel, fundera på följande problem. Anta att det lilla hjulet har en radie som är en tredjedel av det stora hjulets radie. Hur många varv kommer då det lilla hjulet att rotera medan det rullar ett varv runt det större hjulet? Tre gånger? Det stora hjulet har ju tre gånger så lång omkrets som det lilla! Självklart men fel! Det rätta svaret är fyra gånger, som vi nu ska se.

4 Cykloiden och dess släktingar 3 (11) Vi utgår ifrån en större, stillastående, cirkel med radien 1. å den placerar vi en mindre cirkel med radien r som illustreras i figuren till höger. Låt vara den punkt som ligger längst bort ifrån origo på den lilla cirkeln, vilken har x- koordinaten 1 + 2r och y-koordinaten 0. Rulla nu det lilla hjulet på det stora moturs. Låt t vara vinkeln mellan positiva x-axeln och medelpunkten på den lilla cirkeln som i figuren till höger. När det lilla hjulet har rullat t längdenheter på det stora, har det roterat ett antal radianer. Kalla det antalet θ. Sträckan på det lilla hjulet som har rullat mot det stora är då r(θ t). Ur likheten r(θ t) = t får vi då att θ = 1 + r t. r Ur detta får vi så ekvationen för hur rör sig: c(t) = (1 + r)(cos t, sin t) + r(cos( 1 + r r t), sin( 1 + r t)) r Anmärkning Än en gång blir detta mer kompakt och överskådligt om vi räknar med komplexa tal. Vi får då nämligen att c(t) = (1 + r)e it + re 1+r r t. Speciellt har vi att då den lilla cirkeln har gått ett varv runt den stora, så har den roterat (1+r)/r varv. Tar vi som i inledningen r = 1/3 här, får vi att den lilla cirkeln har snurrat 4 varv. Den vänstra figuren nedan illustrerar detta fall. Försök att följa den snurrande lilla cirkeln och identifiera när linjen i den ligger som i utgångsläget. Den högra figuren illustrerar fallet r = 1/4. t θ t θ t

5 Cykloiden och dess släktingar 4 (11) Dessa två fall illustrerar vad som händer när vi tar r som ett rationellt tal. Då kommer vi att få en sluten kurva. Om vi emellertid tar r som ett irrationellt tal, så kommer vi att få en kurva som ligger tätt i området mellan enhetscirkeln och cirkeln med medelpunkt i origo och radien 1 + 2r. Anmärkning Med speciellt val av r får vi speciella kurvor med egenamn. Om vi t.ex. tar r = 1 får vi c(t) = 2e it + e 2it = e it (2 + e it + e it ) 1 = 2(1 + cos t)e it 1, vilket betyder att kurvan t c(t) + 1 har den polära formen r = 2(1 + cos θ). En sådan kurva kallas en kardoid; en hjärtliknande kurva. Vi kan faktiskt ta 1 < r < 0 i diskussionen ovan. Det innebär endast att den lilla cirkeln kommer att snurra på insidan av den större. Figuren nedan visar de kurvor som uppkommer i specialfallen r = 1/4 och r = 1/3. Kurvor som uppkommer genom att en cirkel rullar utanpå en annan kallas epicykloider, de som uppkommer genom att en cirkel rullar inuti en annan kallas hypocykloider. Vi kan också lämna fallet r = 1/2 en tanke: det resulterar i c(t) = (0, sin t), vilket blir ett stycke y-axel! Hur det är att åka längs en hypocykloid kan man uppleva på många nöjesfält i den karusell som ofta kallas tekoppen. Här sitter man på en plats i en tekopp som är fäst på en cirkelskiva som roterar när den snurrar längs karusellens yttre begränsning, som är en cirkel. Även för hypocykloiden gäller att vi får en sluten kurva om r är rationellt, annars fyller vi i princip ut området mellan två cirklar. En geometrisk härledning av cykloiden Vi ska här ge en alternativ härledning av ekvationerna för cykloiden. I processen får vi en alternativ karakterisering av cykloiden som är användbar när vi ska diskutera några intressanta fysikaliska egenskaper hos cykloiden.

6 Cykloiden och dess släktingar 5 (11) R När vi följer en punkt på cykloiden och beräknar dess hastighet, så kommer denna att vara noll varje gång punkten hamnar på linjen. Detta därför att där är hastigheten summan av två motriktade, lika stora, has- t M tigheter, en från rotationen (som går bakåt) och en från den horisontella rörelsen (som är framåtriktad). Men det betyder att rörelsen för punkten relativt Q punkten Q är en cirkelrörelse, vilket i sin tur betyder att linjen genom och R är vinkelrät mot linjen genom och Q. Det i sin tur, med hjälp av randvinkelsatsen i den plana geometrin, betyder att punkten R ligger rakt ovanför punkten Q, så sträckan mellan dem är en diameter till cirkeln. Ett mer geometriskt sätt att se detta finns i den högra bilden ovan. De röda vektorerna är radier i cirkeln, medan de blå vektorerna är en uppdelning av hastigheten i en rotationsbit och en translationsbit. Alla dessa fyra vektorer är lika långa enligt antagandena. Dessutom uppkommer vektorn A genom att vi roterar vektorn M 90 och på samma sätt får vi vektorn AB ur vektorn MQ. Det betyder att trianglarna M Q och AB är kongruenta och följer vi vinklarna betyder det att vinkeln Q B är rät. Betrakta nu figuren till höger, i vilken vi härleder koordinaterna för punkterna på cykloiden som funktion av en annan parameter, nämligen den vinkel θ som kurvans tangent gör med en vertikal linje. I figuren dyker vinkeln θ upp på tre ställen, t d alla noterade gröna. Vinkeln vid R står y mot samma båge som medelpunktvinkeln t, så enligt randvinkelsatsen gäller att t = 2θ. Med hjälp av likformiga trianglar kan Q vi vidare härleda ett uttryck för höjden y: sträckan QR är d = 2r lång, där r är cirkelns radie. Men det betyder att sträckan Q är d sin θ och därifrån att y = Q sin θ = d sin 2 θ. Samtidigt ser vi att x = rt Q cos θ = 2rθ d sin θ cos θ. Geometriskt inser vi att θ går från 0 till π när vi genomlöper kurvan från vänster till höger. Med hjälp av trigonometriska formler får vi (x(θ), y(θ)) = r(2θ sin(2θ), 1 cos(2θ)), 0 θ π. Vi kan uttrycka y-ekvationen alternativt som sin θ y = 1 d, θ A R t R Q M B och denna egenskap karakteriseras cykloiden. Eftersom θ är vinkeln mellan kurvans tangent och den vertikala linjen gäller nämligen att y (x) = tan( π θ) = cot θ. Om vi 2

7 Cykloiden och dess släktingar 6 (11) parametriserar både x och y med θ har vi att y (θ) = 2d sin θ cos θ och y (θ) x (θ) = cot θ x (t) = tan θ y (θ) = 2d sin 2 θ = d(1 cos(2θ)). Om vi kräver att kurvan startar i origo får vi alltså parametriseringen ovan. Låt oss avsluta detta avsnitt med en ytterligare beräkning, nämligen den av båglängden längs kurvan: ds = x (θ) 2 + y (θ) 2 dθ = 4d 2 sin 4 θ + 4d 2 sin 2 θ cos 2 θdθ = 2d sin θ dθ. Eftersom dy = 2d sin θ cos θ dθ följer ur detta att ds = dy/ cos θ, och alltså ds = dy d y. Detta blir därmed en alternativ karakterisering av cykloiden. Cykloiden och gravitation Vi ska nu titta på några kanske lite oväntade egenskaper hos cykloiden. De handlar om hur snabbt ett föremål glider ner längs en inverterad [1] cykloider när de endast påverkas av gravitationen. Vi börjar diskussionen med en grundläggande observation från mekaniken. Om vi släpper en partikel med massan m (som alltså är i vila från början) på en viss höjd, så kommer dess potentiella energi successivt att omvandlas till kinetisk energi. När den fallit avståndet h så har den då fått uppnåt farten v som ges av sambandet 1 2 mv2 = mgh v = 2gh. Om vi inför ett koordinatsystem sådant att gravitationen verkar i riktning av negativa y-axeln och om vi startar på höjden y 0, så kommer hastigheten när partikeln är på höjden y < y 0 att ges av v = 2g(y 0 y). (1) Låt oss nu använda vinkeln θ som i föregående avsnitt och beskriva kurvan partikeln glider längs i denna: c(θ) = (x(θ), y(θ)). Om vi antar att den glider friktionsfritt så gäller att v = ds/dτ där s är båglängden på kurvan och τ är tiden (t är ju bara en parameter längs kurvan). Sammanfattar vi får vi att dτ = ds v = ds 2g(y0 y). Vi ska nu anta att partikeln glider längs den inverterade cykloiden, alltså en som är vänd upp och ner. Figuren nedan visar två klot släppta på olika höjd men vid samma tidpunkter.

8 Cykloiden och dess släktingar 7 (11) Kloten är utritade vid samma fyra tidpunkter på den inverterade cykloiden. Vi ser att de blå klotet, som startar längre ner, hela tiden ligger före det röda, men att de når den lägsta punkten på kurvan vid samma tidpunkt! När kurvan är den inverterade cykloiden får vi att Inför nu kan vi skriva dτ = ds 2g(y0 y) = 2d sin θ 8gd(cos2 θ 0 cos 2 θ) dθ u(θ) = cos θ cos θ 0 r du(θ) r dτ = g = d arcsin u(θ). 1 u(θ) 2 g Vi har att u(θ 0 ) = 1, så tiden det tar att komma till punkten c(θ) på kurvan är θ r r τ = ds = θ 0 g [ arcsin u(t)]θ θ 0 = g (π cos θ arcsin ) 2 cos θ 0 Speciellt ser vi att minimipunkten, som fås när θ = π/2, tar r π g tidsenheter att nå, oberoende av var på kurvan vi startar. Man säger att cykloiden är en tautokron. Det var Christiaan Huygens som 1673 visade att så var fallet. Om vi låter partikeln fortsätta förbi minimum så kommer den (av symmetriskäl) att glida upp till starthöjden på andra sidan minimat och där stanna. För att naturligtvis åter, p.g.a. gravitationen, glida tillbaka mot minimum. å detta sätt får vi alltså en svängande rörelse som aldrig upphör (kom ihåg att vi ignorerar friktion, så det sker inga energiförluster). Det vi sett ovan är då att oavsett hur stora svängningarna är, tar de lika lång tid! Annorlunda uttryckt, om vi kan få en pendel i en klocka att svänga enligt en inverterad cykloid, så skulle den hålla samma tid oavsett hur stora pendelutslagen är. Vilket leder till frågan, hur kan vi få en pendelrörelse att följa en inverterad cykloid? Här kommer en annan av cykloidens egenskaper behändigt in, som vi nu tittar närmare på. Betrakta följande problem. Fäst ett snöre i origo och lägg det längs cykloiden till dess maximum. Dra sedan loss snöret från den senare punkten så att den successivt lossnar från cykloiden och den bit som är loss alltid är sträckt. Vilken kurva kommer snörets slutpunkt då att genomlöpa?

9 Cykloiden och dess släktingar 8 (11) L(t) (t) c(t) Vi börjar med att konstatera från formeln för båglängden ovan att snörets längd ges av L = s(π) = 4. För att hitta koordinaterna för punkten (t) i figuren ska vi nu gå sträckan L(t) = 4 s(t) = 4 cos t 2 längs tangenten i punkten c(t). Riktningen vi ska gå längs är så vi ser att (t) får koordinaterna e(t) = c (t) c (t) = 1 2 sin t (1 cos t, sin t), 2 (t) = c(t) + L(t)e(t) = (t sin t, 1 cos t) + 4 cos t 2 2 sin t (1 cos t, sin t) 2 = (t sin t, 1 cos t) + 4 cos t 2 (sin t 2, cos t ) = (t sin t, 1 cos t) + 2(sin t, 1 + cos t), 2 med andra ord (t) = (t + sin t, 3 + cos t) = (π, 2) + (t π sin(t + π), 1 cos(t + π)) = (π, 2) + c(t + π). Det betyder att den sträckade kurvan är också en cykloid! Konsekvensen av detta för pendelproblemet får vi om vi vänder figuren uppochner. endeln hängs upp i origo och vi ser om dess upphängningssnöre begränsas i sin rörlighet av de två cykloiderna, så kommer den att röra sig längs en cykloid. Vilket betyder att svängningarna inte beror av hur stort utslaget är och alltså beror tiden (om detta sätts i ett pendelur) inte av hur stort utslaget är [2]. Brachistokronproblemet Cykloiden har ytterligare en, närbesläkta, egenskap som är kopplad till gravitationen den är brachistokronen. Vad det betyder ska vi diskutera i detta avsnitt. En av de i matematiken berömda Bernouilli-bröderna, Johann, utmanade 1696 samtidens matematiker med ett problem som skulle visa sig bli mycket inflytelserikt. I Acta Eruditorum, den tidens viktigaste tidskriften, ställde han följande problem: en partikel glider friktionsfritt längs en kurva som förbinder två punkter A och B. Om den enda kraft som påverkar partikeln är gravitationen, längs vilken kurva ska den glida för att komma fram på minsta möjliga tid?

10 Cykloiden och dess släktingar 9 (11) Detta är ett optimeringsproblem, men det nya med det är att vi inte ska hitta den punkt i vilken en given funktion är som minst, utan vi ska hitta en hel funktion som är minimal i en lämplig mening. Med tiden skulle en teknik utvecklas, idag kallad variatonskalkyl, som tar hand om denna typ av problem. Men den fanns inte i slutet av 1600-talet. Istället hade Johann ett bevis som inte skulle accepteras som bevis idag, men som ger ytterligare insikter om cykloiden. Vi ska därför diskutera hans lösning. Det som gör hans lösning icke-matematisk är att den använder observationer från fysiken. Det är två grundläggande observationer han använder: a) Den hastigheten en partikel har då den fallit (från vila) höjden h är lika med 2gh. Varför så är fallet har vi redan diskuterat. b) Ljus rör sig så att det alltid följer kortaste avståndet mellan två punkter, alltså når från den ena till den andra på minsta möjliga tid, vilket i sin tur leder till hur en beskrivning av hur ljus bryts i ett skikt med olika täthet (t.ex. luft och vatten). Vi börjar med att påminna om Snell s lag i fysiken, som handlar just om hur ljus bryts när det passerar mellan ett homogent medium till ett annat, såsom från luft till vatten. Det som gäller är att v 1 sin θ 1 sin θ 2 = v 1 v 2 där beteckningarna är som i figuren till höger. Storheterna v i betecknar den hastighet med vilken ljuset färdas i mediet ifråga. I figuren har vi att v 1 > v 2, vilket vi ser av hur brytningen sker. För att hitta snabbaste vägen mellan A och B tänkte sig Johann nu att han följde en partikel genom ett medium av kontinuerligt varierande täthet, sådant att partikelns hastighet ges av uttrycket ovan, och från det och Snells lag kan vi bestämma hur den färdas. Resonemanget blir lite klarare om vi (som Johann) skiktar området i delområdden med samma bredd d, där vi antar att varje band är homogent och ljuset har samma konstanta hastighet i det, nämligen v k = 2gkd (skikt nummer k ligger på avståndet kd uppifrån).i varje band kommer ljuset att gå längs en rät linje, så den kurva vi får är en polygonkurva. Snell s lag ger oss nu är sambandet mellan v k och vinkeln θ k : sin θ k = sin θ k+1. v k v k+1 θ 1 θ 2 v 2 A θ k θ k v k θ k+1 v k+1 B

11 Cykloiden och dess släktingar 10 (11) Sedan låter Johann d gå mot noll. Slutsatsen är då att uttrycket (sin θ)/v är konstant längs kurvan, där θ är vinkeln i fallriktningen. Vidare inser vi att när hastigheten är maximal, kalla den v m, så är θ = π/2. Det är nämligen när vi kommer fram till punkten B, så konstanten är 1/v m. Nu lägger vi in ett koordinatsystem lämpligt, nämligen så att A ligger i origo och B på nivån 2. Däremot bestämmer vi inte vilken x-koordinat som B har än så länge. Då kan vi ge ett uttryck för v i y, nämligen v = 2g( y) och får då att v m = 2 g. Med andra ord, i detta koordinatsystem gäller att sin θ = 1. y 2 Men vi har sett att denna ekvation definierar en inverterad cykloid, definierad av en cirkel med radien 1. Så det är alltså den sökta kurvan i detta fall. Vi har nu alltså hittat den snabbaste vägen från origo till nivån 2 och att då blir slutpunkten B = (π, 2). Om slutpunkten istället är B = (a, b), så ändrar vi bara skalan på axlarna så att vi får kurvan som ges av t ( a π (t sin t), b (cos t 1)). 2 Abels mekaniska problem Låt oss avslutningsvis återvända till tautochornproblemet ovan. Nils Henrik Abel ställde en mer generell fråga. Om tiden det tar att falla längs en kurva från höjden y 0 är given som en funktion T (y 0 ), vilken är då kurvan som partikeln rör sig längs? Förutsättningarna är samma som tidigare: partikeln befinner sig initialt i vila och rör sig friktionsfritt längs kurvan. Om vi som tidigare låter τ beteckna tiden så har vi sett att så tiden ges av T (y 0 ) = 0 ds dτ = 2g(y0 y), dτ = 1 y0 y 0 2g 0 1 y0 y s (y)dy, där vi antar att båglängden s beskrivs som en funktion av y. Men detta är en faltningsekvation: T = (φ s )(y 0 ), φ(y) = 1 y, y 0, och löses som sådan lämpligen med hjälp av Laplacetransformen Vi har då att L[φ](z) = L[f](z) = z 0 0 f(y)e zy dy. e zy z 2 π dy = 2 e zx2 dx = y 0 z

12 Cykloiden och dess släktingar 11 (11) och, eftersom L(f g) = L[f]L[g], så gäller att L[T ](z) = 1 2g π z L[s ](z). Ur detta ska vi lösa ut L[s ] för att sedan bestämma s (y) och ur det bestämma den sökta kurvan. I Tautokron-problemet ska vi ta T (y 0 ) = T 0 som en konstant. Eftersom betyder det att vi får L[T 0 ](z) = T 0 L[s ] = 2g T 0 z z π = T 0 0 e zy dy = T 0 z, 2g π π z. Men det betyder att s (y) är konstanten gånger φ(y), alltså att ds = T 0 2g 1 dy. π y Om vi flyttar ner kurvan y 0 steg och inverterar den blir detta på formen ds = kdy/ y 0 y, d.v.s. den så erhållna kurvan är en (utdragen eller hoppressad) cykloid. Noteringar 1. d.v.s. uppochnervänd 2. Mer om pendelur diskuteras i artikeln Den matematiska pendeln