Utnyttja att x 1 =1,x 2 = Dubbelolikheten. < 7 x +1 är ett förkortat skrivsätt för två olikheter x2 x. (x 1) (x +9) > 0 x +1

Transkript

1 0.38 Dubbelolikheten 5 16 x2 x < 7 x +1 är ett förkortat skrivsätt för två olikheter 5 16 x2 x och 16 x2 x < 7 x +1 x +1 som vi vill skall gälla samtidigt. Lös dem var för sig och titta sedan efter vilka x som löser båda. Vänstra olikheten: 5 16 x2 x x x2 x +5 x x2 x +5(x +1) x +1 0 x2 +4x +21 x +1 0 x2 4x 21 x +1 Andragradsekvationen x 2 4x 21 = 0 har rötterna x 1,2 =2± 4+21 x 1 =7 x 2 =3 Det ger oss faktoriseringen x 2 4x 21 = (x 7) (x +3) Teckenstudium (x 7) + (x +3) (x +1) + + hela HL 0 + odef. 0 + Utnyttja att x 2 +8x 9=0 x 1 =1,x 2 = 9 (x 1) (x +9) x +1 > (x 7) + (x +3) (x +1) + + hela HL 0 + odef. 0 + Högra olikheten är alltså sann då och endast då 9 <x< 1 eller x>1 Båda olikheterna är sanna då och endast då 9 <x 3 eller 1 <x 7 (vilket alltså är svaret) För att inte förbise något i sista steget här, kan man markera lösningarna till de båda intill varandra ingefär så här: Alltså är vänstra olikheten sann då och endast då x 3 eller 1 <x 7 eller (vilket egentligen är samma sak) På samma sätt med högra olikheten: 16 x 2 x < 7 x x 2 x 7 < 0 x x 2 x 7(x +1) < 0 x +1 x 2 8x +9 < 0 x +1 x 2 +8x 9 > 0 x +1 29

2 göra en tabell, där s står för sann och f för falsk : vänstra olikh. s s s s f f s s s s f högra olikh. f f s s s f f f s s s 0.40 Definitionen av absolutbelopp ger att, för alla x är x < 1 m 1 <x<1 Det ger att x 2 4 < 1 m 1 <x 2 4 < 1 m 1 <x 2 4 och x 2 4 < 1 m 3 <x 2 och x 2 < 5 Just i det här fallet är det kanske enklast att tänka på hur grafen y = x 2 ser ut: Anm. En olikhet av typen a b < 1 innebär att avståndet mellan talen a och b (betraktade som punkter på tallinjen) skall vara < 1. Därför kunde vi direkt skrivit x 2 4 < 1 m 3 <x 2 < Vi kan då avläsa att 3 <y<5 inträffar då och endast då 5 <x< 3 eller 3 <x< 5 Alternativt kan vi ( mera mekaniskt ) lösa olikheterna var för sig: Vänstra: x< 3 eller x> 3 högra: 5 <x< 5 och sedan, som i 0.38, gå längs tallinjen och se vilka x som uppfyller båda. 30

3 Varför läsa logik? Ett skäl: lära känna igen (de fåtal) ordvändningar som matematisk text består utav, och logiska konstruktioner som matematiska resonemang är uppbyggda utav Sammansatta utsagor Inom matematiken sysslar vi med utsagor/påståenden som t.ex. Om funktionen f har minimum eller maximum i x = a och f är deriverbar i x = a, så är f 0 (a) =0. Utsagorna är ofta sammansatta av enklare sådana, f har minimum i x = a f har maximum i x = a f är deriverbar i x = a f 0 (a) =0, med hjälp av s.k. logiska konnektiv som och, eller, om..., så... i detta exempel små ord, som dock är minst lika viktiga som de andra och har (liksom alla andra ord i en matematisk text) sina mycket bestämda betydelser! Allmängiltighet Vi intresserar oss för generella samband: att 2 3 = 6 får man kunna utantill, men (högskole)matematik sysslar man med först när det handlar om observationer av typen a b = b a för alla heltal (rentav alla komplexa tal) a och b Existens Inte sällan är det oklart om t.ex. ekvationer har någon lösning överhuvudtaget. Det kan då vara värdefullt att kunna avgöra existensfrågan om det finns en lösning eller inte innan man ger sig ut på jakt efter den. Tänk hur snopet det skulle vara att leta efter lösningar som inte finns? Matematiken uppvisar många exempel på s.k. existensbevis, som säger oss att någonting finns, utan att specificera hur man skulle kunna hitta det. Otillfredsställande, men ändå ettstegframåt!ettexempel: 69. Andragradsekvationer x 2 + px + q =0kan ha två rötter, en rot eller ingen rot alls (endast reella tal räknar vi med här med komplexa tal är det annorlunda!) Det följer ur härledningen av den allmänna lösningsformeln x = p r ³p 2 2 ± q. Man ser där att om p q>0, så har ekvationen 2 rötter p 2 2 q =0, 1 rot 2 q<0, inga rötter p 2 För femtegradsekvationer x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e =0, där a, b, c, d, e är givna tal, har ingen lyckats härleda någon motsvarande formel. (Inte nog med det man har faktiskt lyckats bevisa att det inte kan finnas någon lösningsformel, som inbegriper endast de fyra räknesätten och rotutdragningar, så om du försöker härleda en sådan, så jobbar du förgäves! Det är förståeligt, om du finner det obegripligt hur man skulle kunna bevisa en sådan sak. Det här problemet har bidragit till utvecklingen av en hel självständig gren av matematiken gruppteori. En av de viktigaste insatserna gjorde fransmannen Galois, , innan han skadades dödligt i en duell endast 21 år gammal. Kan nämnas att Galois också hann med att två gånger bomma antagningsprovet till Frankrikes elithögskola nr.1, Ecole Polytechnique.) Ändå skulle man (med stöd av tankegångar och begrepp som dock hör till den s.k. analysen den gren av matematiken som handlar om derivator och integraler) kunna slå fast att alla femtegradsekvationer (oavsett vad a, b, c, d, e är!), har minst en reell rot! Detsamma gäller även tredjegradsekvationer, men inte fjärdegradsekvationer. Du kanske har någon idé till förklaring redan nu? 31

4 Entydighet I de fall ett problem har lösningar kan det vara intressant att veta om de är en eller flera. Detta är frågan om entydighet: om ett problem har en och endast en lösning (inte flera) säger man att lösningen är entydig. (Ex. Tänk på femtegradsekvationerna igen. När vi nu vet att en sådan har en rot, så kan vi släppa en dator lös på jakt efter den med numeriska metoder. Men ifall det skulle finnas flera, vilken rot får vi tag på då?) Symbolerna är inget självändamål, utan endast ett medel att precisera resonemangen Med anledning av ovanstående har man infört några termer och symboler: Konnektiv: negation, inte,ej,... konjunktion och disjunktion eller implikation, om..., så... ekvivalens, om och endast om Kvantorer (kvantifikatorer): allkvantorn för alla existenskvantorn det finns! det finns en och endast en (används sällan) Det viktiga är nu inte symbolerna de är bekvämlighetsförkortningar, man klarar sig långt med vanliga ord också. Det väsentliga är själva problemställningarna att vid läsning ha klart för sig vad författaren försöker göra. Försöker man visa att ett samband gäller för alla tal, eller handlar det om att visa att sambandet är uppfyllt för åtminstone ett tal, eller att det gäller för ett och endast ett tal? Etc. 32

5 Logik: Att lägga märke till utsaga/påstående en språklig bildning, om vilken vi kan ställa frågan Sant eller falskt? (I mån av tid,läs Anmärkning: Oavgörbarhet på sid.35.) sluten utsaga / öppen utsaga 2 3=6är en sluten utsaga 2 x =6är en öppen utsaga : om den är sann eller inte, beror på värdet på x negation ( inte, ) konjunktion ( och, ) disjunktion ( eller, ) implikation ( om..., så..., ) ekvivalens ( om och endast om, ) sanningsvärdestabeller Om de sammansatta utsagorna skall betraktas som sanna eller inte, beror helt och hållet på om de ingående delutsagorna betraktas som sanna eller inte, däremot inte på delutsagornas innehåll. P Q P P Q P Q P Q P Q sann sann falsk sann sann sann sann sann falsk falsk sann falsk falsk falsk sann sann falsk sann sann falsk falsk falsk falsk falsk sann sann inklusivt eller använder vi i matematiken: P Q betraktas som sann även när både P och Q är sanna. exklusivt eller pratar man i vissa sammanhang, då man menar antingen P eller Q men inte båda, men det är alltså inte aktuellt för vår del. dåå = då och endast då ärettalternativtillomm=omochendastom prioritet För att slippa skriva alltför många parenteser, har man kommit överens om att binder starkare än och, som i sin tur binder starkare än och. Alltså får man skriva P Q S när man menar (( P ) Q) S Dubbelolikheter är konjunktioner 0 <x<2 är en förkortning för (x >0) (x <2) OBS. I en dubbelolikhet skall olikheterna alltid gå åt samma håll. Skriv ALDRIG något som 0 <x>2. Om du menar (x >0) (x >2), så skall du genast förenkla till x>2 av det följer ju automatiskt att x>0. Om du menar (x >0) (x >2), så förenklar du till x>0. (I vilket fall som helst, överenskommelsen är att dubbelolikheter betecknar konjunktioner, inte disjunktioner!) Matematiska definitioner är ekvivalenser men traditionen är att man skriver om, när man egentligen menar om och endast om. Exempel: Definition. Ett heltal n kallas jämnt om det är delbart med 2 Eftersom det är fråga om definition, är det här underförstått att, om skall tolkas som om och endast om. (Den bokstavliga tolkningen utesluter inte att även vissa tal, som inte är delbara med 2, kallas jämna.) 33

6 Implikation är på sätt och vis den viktigaste konstruktionen: alla matematiska satser har formen av just en implikation eller ekvivalens, men en ekvivalens är egentligen inte mer än två implikationer. Matematiken uttalar sig inte om hur saker och ting är i verkligheten. Den säger oss bara vad som måste gälla, om vissa antaganden är uppfyllda. Men om antagandena är uppfyllda i verkligheten eller inte, är en fråga för naturvetare att bedöma! Kontrapositionen till en implikation (Självatermenanvändssällanpåsvenska)Att A B är likvärdigt med B A används mycket ofta i bevis. ( B A kallas kontrapositionen till A B.) Exempel på bevis med kontraposition Visa att för positiva tal x och y gäller Vi har här en implikation A B med Dess kontraposition är alltså x y>25 = x>5 eller y>5 A : x y>25 A : x y 25 B : x>5 eller y>5 B : x 5 och y 5 x 5 och y 5= x y 25 Denna implikation är enklare att behandla än den ursprungliga. Du minns följande grundläggande egenskap hos olikheter: Med ord: OBS! a b och c>0 = a c b c Om båda sidorna av en sann olikhet multipliceras med ett positivt tal, så får man åter en sann olikhet. Vid multiplikation med negativt tal vänds olikheten! Vi tillämpar den två gånger och får (kom ihåg att vi inskränkte oss till positiva x och y redan från början!) följande två sanna implikationer x 5 y>0= x y 5 y y 5= 5 y 5 5=25 Om nu kontrapositionens förutsättning är sann, så är dessa två implikationers förutsättningar sanna och vi kan dra slutsatsen att även högerleden är sanna. Men kombinerar vi högerleden, så får vi just kontrapositionens högerled. Alltså är kontrapositionen sann. I vanliga fall skriver man endast x y 5 y 5 5=25 Eftersom kontrapositionen är likvärdig med den ursprungliga implikationen, har vi visat att den sistnämnda också är sann. Omvändningen till en implikation P Q är implikationen Q P. Den behöver inte alls vara likvärdig med den ursprungliga implikationen!!! P Q : Om det regnar, går jag med paraply. kontrapositionen Q P : Om jag inte går med paraply, så regnar det inte. omvändningen Q P : Om jag går med paraply, så regnar det. Jag kan ju gå med paraply för att skydda mig mot solen! 34

7 negation av utsagor med kvantorer Tro inte at negation bara handlar om att lägga till ett inte / ej! De intressanta fallen är mera komplicerade än så! tautologi kallas en utsaga som är sann för alla tänkbara värden på de ingående delpåståendena, ex. P P motsägelse kallas en utsaga som är falsk för alla tänkbara värden på de logiska variablerna, ex. P P Tautologier som ibland kallas lagar P P Dubbla negationens lag (P Q) P Q De Morgans lagar (P Q) P Q P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) Distributiva lagar Tautologier som används i bevis (terminologin härrör från Aristoteles) [P (P Q)] = Q modus ponens [(P Q) Q] = P modus tollens [(P Q) (Q R)] = (P R) [(P Q) P] = Q ( P motsägelse) = P Anmärkning: Oavgörbarhet När vi definierar begreppet utsaga, så bortser vi från det praktiska problemet om frågan Sant eller falskt? går att besvara eller inte. T.ex. räknar vi också Beethoven nös exakt 32 gånger år 1827 som en logisk utsaga, även om det verkar uppenbart att dess sanningshalt aldrig kommer att kunna avgöras! Att det går att formulera grammatiskt korrekta påståenden, som dock i praktiken kan vara meningslösa att försöka bevisa eller motbevisa, gäller inte bara vardagslivet utan även matematiken. Ett av 1900-talets mest överraskande och uppmärksammade matematiska resultat handlar faktiskt om detta. Gödels s.k. ofullständighetssats (från 1931 av österrikaren Kurt Gödel, ) säger (ungefär) att varje motsägelsefri teori för heltalen tillåter att man i teorins terminologi formulerar påståenden som inte går att vare sig bevisa eller motbevisa inom teorins ramar! Eftersom i stort sett all matematik bygger på heltalen och ingen är intresserad av motsägelsefulla teorier (sådana, för vilka det går att hitta påståenden, som med teorins antaganden kan bevisas vara såväl sanna som falska!), så betyder det att vi får förlika oss med att det skulle finnas påståenden, vars sanningshalt vi inte logiskt kan avgöra, hurmycketviänansträngeross! (Goldbachs förmodan att varje jämnt tal > 2 kan skrivas som summan två primtal kan mycket väl tänkas vara ett sådant påstående. Problemet är att ingen vet vilka dessa oavgörbara påståenden är Gödels sats säger bara att det måste finnas sådana, men den pekar inte ut några konkreta!) 35

8 Mängdlära I många läroböcker kan man läsa att teorin för mängder utvecklats av tysken Cantor under 1870-talet och att den dessutom varit vållat en viss uppståndelse, varit kontroversiell, eller dylikt. Det kan vara svårt att förstå, när man läser vidare: union och snitt av mängder, de Morgans lagar inte kan väl något så primitivt ha varit en kontroversiell nyheter för 100 år sedan?! (Betänk att t.ex. räkning med derivator och integraler hade nästan 200 år på nacken vid den tiden!) Sanningen är den att läroböckerna egentligen inte går in på vad Cantor gjorde! Vad vår mängdlära här handlar om är en räcka (höll på att skriva mängd...) termer och symboler som uppträder litet varstans inom matematiken och som man av den anledningen bör känna till. mängd, element Begreppet mängd är ett bra exempel på ett s.k. primitivt begrepp, som inte går att definiera! klammernotationen Mängden av fyrfaldiga OS-vinnare i en och samma friidrottsgren ={Al Oerter, Carl Lewis} Mängder har ingen struktur Skiljmellanmängden{1, 2} och det ordnade paret som (1, 2) : {1, 2} = {2, 1}, men (1, 2) 6= (2, 1) (Ordnade par är t.ex. koordinaterna för punkter i planet relativt ett givet koordinatsystem.) : ; är tre alternativa förkortningar för sådana att. x M betyder objektet x tillhör mängden M A B betyder mängden A är en delmängd av mängden B (inklusion) potensmängden till en mängd A är mängden av alla delmängder till A. Om A har n st. element, så har dess potensmängd 2 n element. den tomma mängden N, Z, Q, R, C standardbeteckningar för de talmängder vi i första hand skiljer mellan inom matematiken A #A är två alternativa beteckningar för antalet element i en mängd A intervallbeteckningar, öppna/slutna intervall intervallangivelse med absolutbelopp union av mängder, A B snitt av mängder, A B mängddifferens, AÂB komplement, {A, { U A, A c, Ā distributiva lagarna de Morgans lagar Venndiagram (Cartesisk) produktmängd (Vretblad tar upp den i kap. 3.1.) 36

9 Russells paradox För att kunna prata om en mängd måste den vara väldefinierad man måste kunna tala om vilka objekt som tillhör mängden och vilka som inte gör det. De för oss intressanta mängderna är oftast alltför stora, rentav oändliga, så att definiera dem genom att räkna upp alla deras element låter sig inte göras. I stället anger vi vilka egenskaper ett objekt skall ha för att räknas in i mängden. Russells paradox har genom åren formulerats i olika varianter. Den för allmänheten kanske mest kända är följande: Männen i en viss by delas naturligt i två mängder: de som rakar sig själva och de som inte gör det. Byn har endast en barberare och ingen i byn vill gå med skägg, så barberaren har till uppgift att raka alla som inte rakar sig själva. Enkelt, eller hur? Nu inställer sig emellertid frågan: vilken mängd tillhör den manlige barberaren själv? Om han skulle räknas bland dem som inte rakar sig själva, så är han, enligt föreskriften, tvungen att i egenskap av barberare raka sig själv. Om han skulle räknas bland dem som rakar sig själva, så strider detta mot föreskriften. Motsägelsefullt, hur han än gör?! En ännu enklare illustration av problematiken utgör påståendet Jag ljuger. Hur skall man tolka det? I originalversionen betraktar Russell mängden av alla mängder som inte är element i sig själva. Nutyckerdu kanske att det är absurt med en mängd som är element i sig själv, men det är det faktiskt inte: mängden av alla abstrakta begrepp är väl också ett abstrakt begrepp, ett svenskt dataregister över alla svenska dataregister kan också betraktas som en mängd som innehåller sig själv som element, en databas över alla databaser som inte refererar till sig själva är en annan variant. Mängdbegreppet är alltså inte så enkelt som man tror. Men, som tur är: komplikationerna drabbar oss ändå inte i vår dagliga matematiska gärning.. Bertrand Russell ( ), drog fram den här paradoxen 1902 för Gottlob Frege ( ) den tidens kanske främste logiker (det var han som införde kvantorerna bl.a.) och ivrigaste förespråkare för logicismen uppfattningen att matematik är en gren av logiken just när denne lämnat till tryckpressarna ett försök att härleda matematikens grunder ur logiken, som han filat på i 10 år. Mycket i det arbetet framstod plötsligt som meningslöst i ljuset av Russells paradox. Det blev dödsstöten för Freges produktiva verksamhet han återhämtade sig aldrig, försvann från den vetenskapliga scenen och dog förbittrad. Russell hade gjort påpekandet i all välmening han var en av Freges närmaste meningsfränder. Det fanns framstående matematiker som inte alls höll med om att matematik skulle kunna reduceras till logik och som nog upplevde ren skadeglädje, när Russells paradox blev känd. Russell däremot gjorde själv under de följande 10 åren ett ännu mera storslaget försök att placera all matematik på logiska grundvalar och däribland angav också möjliga utvägar när det gäller sin paradox. Men inte heller det arbetet lyckades riktigt och logicismen fick sig nog en definitiv knäck där. Russell blev sedermera känd också för mycket annat än matematisk logik: Avskedades från Cambridgeuniversitetet 1916 och rentav satt ett halvår i fängelse för pacifistiska aktiviteter. Drev en experimentalskola på och 1930-talen. (Var av adlig börd och självförsörjande.) Förespråkade, redan på 1930-talet, äktenskap på försök och liberalare syn på sexualiteten. Hade själv fyra fruar och ett antal kärleksaffärer under årens lopp. En college i New York, som först erbjudit honom anställning 1940, fick strax därefter böja sig för moralväktarnas påtryckningar och förklara honom som oönskad. Fick Nobelpriset i litteratur 1950 för en historiebok över västerlandets filosofi. Dömdes till fängelse för antikärnvapenprotester Biografiska notiser över historiens alla mera kända matematiker kan man hitta i The MacTutor History of Mathematics Archive, 37

10 Hurjämförmanoändligamängder? Redan Galilei lade märke till följande lilla paradox : Vilken mängd är störst {1, 2, 3, 4,...} eller {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...}? Den första säger du kanske kvadrattalen är ju endast en liten delmängd av alla positiva heltal. Men stopp! Här har vi ett specialfall ena mängden delmängd av den andra som vi inte kan räkna med normalt. Hur gör vi annars, om vi har två helt olika mängder? Vi försöker para ihop elementen i ena mängden med var sitt element i den andra mängden. Så tittar vi efter från vilken mängd det blir element över den mängden räknar vi som störst. Men försöker vi göra så här, upptäcker vi att det går alldeles utmärkt att para ihop elementen i våra två mängder, så att inga element blir över: De positiva heltalen är inte fler än sin lilla delmängd med det här synsättet! (Och någon bättre generell jämförelsemetod har man inte kommit på.) Den polske science-fiction författaren Stanislaw Lem (tror jag jag har sett detta återberättat av Naum Vilenkin i Stories about Sets, Academic Press, 1968) har lyckats presentera det här något överraskande förhållandet på ett roligare sätt: Det interstellära hotellet (Hilberts 9 hotell) De interstellära flyktingarna tröttnade på att behöva flytta mellan olika galaxer och byggde upp ett stort hotell. (Byggmaterialet fick de genom att plocka ner ett par obebodda galaxer.) Hotellet hade många finesser: varmt och kallt plasma i badrummen, man kunde bli sönderdeladiatomerundernatten portvaktensatteihopenigen på morgonen, men det viktigaste av allt: hotellet hade oändligt många rum! Så en flykting skulle aldrig behöva bli avvisad igen! Ändå: En dag var zoologer från alla galaxer samlade till en kongress. De var oändligt många och alla rummen 1,2,3,... var redan upptagna, när en ny gäst anlände. Var placera honom? (Det är inte alltid så lätt att dela rum tänk att behöva göra det med någon som kräver en rumsstemperatur på 860!) Lösning: Rum 1:s gäst flyttade till rum 2, rum 2:s gäst till rum 3, etc. Då var det fritt fram för den nye gästen att installera sig i rum 1! Nästadagkomdetintebaraenutanhela999999nya gäster - vad göra med dem? Inga problem! (Du kan lista ut själv hur man gjorde.) Den tredje dagen anlände deltagarna till Universums tuggummimässa. De var inte bara många de var oändligt många! Hur få plats med dem? Gammal gäst från rum k flyttade till rum 2k. Så kunde de nya gästerna besätta rum 1, 3, 5, 7,... Den fjärde dagen avslutades zoologkongressen och zoologerna åkte hem. Hotelldirektören började oroa sig: Hälften av rummen stod tomma. Hur skulle detta sluta? Hur skulle man undvika konkurs? Det fanns en enkel lösning även på det problemet, som du nog själv inser. Det verkligt stora bekymret kom något senare: Flyktingarna hade inte nöjt sig med ett oändligt hotell de hade byggt oändligt många sådana! Till ändamålet hade de demonterat så många galaxer att jämvikten i Universum hotade att rubbas, så de blev tillsagda att stänga alla hotell utom ett och lägga byggmaterialet tillbaka på sin gamla plats. Så nu skulle vår hotelldirektör hitta plats för oändligt många gäster från vart och ett av oändligt många hotell, samtidigt som hans eget hotell redan var fyllt! Alla anställda på hotellet slutade jobba för att fundera hur man skulle bära sig åt. Förslag 1: Låt rum 1:s gäst ligga kvar, flytta nr.2 till 1001, nr.3 till 2001, etc. Inkvartera gästerna från hotell 2irum2,1002, 2002, etc., från hotell 3 i 3, 1003, 2003, etc. Går inte! Förslag 2: Första hotellets gäster i rum 2, 4, 8, 16, 32, etc. Andra hotellets gäster i 3, 9, 27, 81, etc. Men det tredje hotellets gäster rum 4 är redan upptaget?! Använd primtal: tredje hotellets gäster till 5, 25, 125,... ; fjärde - till 7, 49, 343,...; etc. En lösning visserligen, men alltför många rum förblir tomma! Förslag 3: Placera gäst m från hotell n irum2 m 3 n. Fortfarande många outnyttjade rum!... Har du ett mera ekonomiskt förslag? 9 David Hilbert ( ), en av sin tids främsta matematiker. 38

11 Talteori benämns den gren av matematiken som sysslar med heltalens egenskaper (samt skillnaden mellan rationella och irrationella tal). Tillämpningar? Engelskan tillåter att man delar in matematiken i pure mathematics och applied mathematics. Det skall man akta sig för att göra! Vad som är ren matematik idag kan mycket väl finna viktiga tillämpningar i morgon, medan tillämpningarna ständigt ger uppslag till ren matematik. Talteorin har i alla tider ansetts tillhöra den rena matematikens kärna och tjänat som praktexempel på matematik för matematikens egen skull. Engelsmannen G.H.Hardy ( ), en av sin tids framstående matematiker, skrev 1940 A Mathematician s Apology, en liten bok som blivit en bästsäljare inte minst för sina litterära kvaliteter. På ett ställe i den konstaterar han med stolthet att han hållit på med talteori och den, minnsann, aldrig haft och aldrig kommer att få tillämpningar. (För att förstå denna inställning, tänk på att tillämpad vetenskap kunde vara ett dödligt redskap i dåtidens världskrig!) Nu vänder sig Hardy i sin grav, för på 1970-talet insåg manatttalteorikananvändastillkrypteringochdethar förekommit försök att hemligstämpla forskning på området som militär hemlighet! (Kryptering utnyttjas dock minst lika mycket i fredliga sammanhang.) Se sid.55. För en matematiklärare finns emellertid andra, starkare skäl än tillämpningarna, att intressera sig för talteori: Undersökande arbetssätt! Om man vill ha in fler moment där eleverna experimenterar sig fram (med papper och penna och/eller dator) och förhoppningsvis själva upptäcker ett och annat samband, så är talteorin rik på passande frågeställningar. Låt mig citera ur förordet till Burton, David M., Elementary Number Theory, 3rd Ed.: The elementary theory of numbers should be one of the very best subjects for early mathematical instruction. It requires no long preliminary training, the content is tangible and familiar, and more than in any other part of mathematics the methods of inquiry adhere to the scientific approach. Thestudentworkinginthefield must rely to a large extent upon trial and error, in combination with his own curiosity, intuition and ingenuity; nowhereelseinthemathematicaldisciplines is rigorous proof so often preceded by patient, plodding experiment. Tyvärr framgår inte detta av Vretblads bok. Hardy och Ramanujan Ovannämnde Hardy är känd inte minst för ett samarbete med Ramanujan ( ), en självlärd indisk matematiker, med en makalös förmåga att hitta formler. Ännuinpå1990-talet var ett antal matematiker sysselsatta med att gå igenom Ramanujans anteckningsböcker och försöka förstå och bevisa hans formler, för han skrev inte ner sina härledningar/tankegångar, utan enbart resultaten. 39

12 Begripliga intresseväckande problem! Matematiker har ett stort bekymmer jämfört med andra vetenskapsmän: att förklara vad deras forskning handlar om. (Och en matematiklärare har en viss skyldighet att kunna säga något om detta, anser jag.) Stiftelsen Clay Mathematics Institute 10 har nu t.ex. sammanställt en lista med 7 berömda, ännu obevisade matematiska förmodanden, utropat dem till Årtusendets problem och, för vart och ett av dem, utfäst $1 miljon i belöning till den som kommer med ett bevis 11. En erkänt skicklig popularisator av matematik, Keith Devlin, har nyligen utkommit med en bok på 250 sidor bara för att förklara vad de här problemen egentligen handlar om. Hade det gällt fysik eller biologi, hade det räckt med ett par sidor per problem i Scientific American eller New Scientist, men med matematiken är det annorlunda, menar han 12. Talteori är ett av de få områden inom matematiken, varifrån man kan ge exempel på forskningsproblem, som man inte behöver ha läst tre år på universitet för att begripa! Ett exempel är den s.k. Fermats stora sats. Fermats stora sats För alla heltal n 3 gäller : Det finnsingentrippelavheltalx, y, z, alla 6= 0, sådana att x n + y n = z n (För n =2finns oändligt många lösningar det tycks redan babylonierna ha vetat: = = = 17 2 a 2 b 2 2 +(2ab) 2 = a 2 + b 2 2 Men, byter man alltså exponenten till något heltal > 2, så går det inte längre att hitta tripplar av positiva heltal som uppfyller likheten.) Detta påstående framkastades omkring 1630 av fransmannen Fermat ( ), dock utan bevis (varför det egentligen borde kallats Fermats förmodan) och har en lång och dramatisk historia, som berättas i Simon Singh, Fermats gåta, Månpocket, (Har känslan att författaren lyckats få med i stort sett alla intressanta historier om matematik och matematiker, som går att berätta för lekmän.) (Kortare och torrare redogörelse) HistTopics/Fermat s_last_theorem.html Helt sensationellt presenterade engelsmannen Andrew Wiles 1993 ett bevis (efter 7 års arbete i smyg ). Det visade sig innehålla fel, som dock Wiles (kanske ännu mer sensationellt) lyckades korrigera drygt ett år senare! En anmärkningsvärd detalj, som kommer fram i Singhs bok, är att Wiles intresserat sig för problemet redan som tioåring! (E.T.Bell, en matematiker med litterär talang författade även science-fiction under pseudonymen John Taine skrev underhållande om matematik och matematiker, framför allt Men of Mathematics, 1937 (sv. övers. Matematikens män, 1940, ), men även en bok om just Fermats sista sats, The Last Problem, 1961, och den hade Wiles råkat på 1963.) 10 Bildad efter donation av någon rik amerikan Clay, med önskan att främja matematikens utveckling. 11 Se

13 Följande sidor (41 47) var tilltänkta som sommarläsning för blivande studenter, med syfte att exemplifiera matematiskt tänkande och formuleringssätt iettenkeltsammanhang. Innehållet överlappar med Vretblad, avsnitt 2.1 (bl.a). Två lärdomar, som jag hoppas läsaren skall dra Bevis behöver inte vara svårt, men man behöver definitioner, som det går att räkna på! Vadå bevis? Exempel med delbarhet Själv ställdes jag tidigt i min studiegång (mellanstadiet) inför följande uppgift: Bevisa att summan av två udda heltal är ett jämnt heltal. Gissa om jag blev något paff! Ja, det stämmer ju tänkte jag alla gånger man lagt ihop två udda tal i sitt liv, så har man fått ett jämnt tal det kan väl du också intyga? Men bevisa hur skulle det gå till? Och varför skulle man överhuvudtaget försöka bevisa påståenden som man inte tvivlar på? OK, att summan två udda tal är jämnt känner vi inget större behov att bevisa, men om någon kommer fram med Oavsett vilket heltal n mansätterinin 3 +11n, så fås ett heltal som är delbart med 6. så finns det väl anledning att efterfråga en motivering? Det visar sig att samma idéer som behövs i det löjliga udda+udda-fallet duger även i andra icke-helt triviala 13 frågeställningar. Eftersom de löjliga fallen brukar vara enklare, så börjar läroböckerna med dem 14. Med tal avses genomgående heltal här. Börja med att fråga Vad betyder detta? innan du frågar Hur skall jag göra? Utmärkande för vetenskap är att man skall veta vad man pratar om. En huvudanledning till varför matematik används inom vetenskap och teknik är just att hjälpa till med att definiera och konkretisera begreppen. Så innan vi frågar hur vi kan bevisa en förmodan skall vi fråga oss vad vi menar med det vi säger. Udda och jämna heltal - vad är det för något? 1, 3, 5,... är udda, 2, 4, 6, 8,... ärjämna detvetalla men kan vi uttrycka detta på något sätt som tillåter oss sedan att räkna på det? Något mera handfast, som möjliggör för oss att koppla begreppen med den addition, som i allra högsta grad är inblandad i påståendet? Vad sägs om följande: Ett jämnt tal är ett tal som kan skrivas som produkten av två heltal, varav det ena av dem är 2 : Definition 1 Ett tal j kallas jämnt om j =2k för något heltal k medan udda tal är de som följer på jämna: Definition 2 Ett tal u kallas udda om u =2k +1 för något heltal k Med ovanstående definitioner i botten och de grundläggande sambanden för de fyra räknesätten, är beviset just trivialt: Låt det ena talet vara = 2m +1 för något heltal m Låt det andra talet vara = 2n +1 för något heltal n Summan är då =(2m +1)+(2n +1)= =2m +2n +2= =2(m + n +1) vilket, enligt definitionen, är ett jämnt tal. Tillämpa nu denna typ av resonemang / räkning för att bevisa följande (nästan lika löjliga) påståenden: 13 Trivial är matematikernas kortform för alltför enkel för att vara intressant. 14 Tyvärr hinner de då inte alltid med de intressantare innan ett nytt område skall beträdas. Så man kan gå år ut och år in i skolan och undra vad det hela skall vara bra för. 70. Produkten av två udda tal är alltid... (Fyll i udda eller jämnt själv!) 71. Om summan av två heltal är jämnt, så är deras differens... (Fyll i udda eller jämnt själv!) 41

14 Om / om och endast om En språklogisk anmärkning: När matematikböcker skriver om i en definition på ovanstående sätt, så menar man egentligen om och endast om. Rent logiskt så kan man av en utsaga som j kallas jämnt om j =2k för något heltal k endast dra slutsatsen att..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,...är jämna, medan om..., 5, 3, 1, 1, 3, 5,...säges ingenting vissa av dem kanske kallas också jämna? Men som sagt: just i fallet med definitioner, så skall om tolkas som om och endast om: inga andra tal än de som uppfyller villkoren efter om ingår i mängden av jämna tal. Generalisering av indelningen i udda och jämna heltal kallas Restklasser Med begreppen udda och jämnt delar vi in heltalen i två grupper: de som är delbara med 2, resp. de som inte är delbara med 2. Dettakanviocksåuttryckasomsåattvi delar in heltalen beroende på vilken rest man får när man försöker dela dem med 2: de jämna är de som ger resten 0, medan de udda är de som ger resten 1 (det fungerar även för negativa tal): 14 = = = 2 ( 7) 19 = 2 ( 10) + 1 Nu ligger det i matematikens kärna att undersöka om de tankegångar och resultat man haft i ett visst konkret fall kan generaliseras eller genom någon slags analogi överföras på andra fall 15. Låt oss byta ut 2 mot 3. Vikandådelainheltalenitregrupper, beroende på vilken rest de ger vid division med 3:..., 6, 3, 0, 3, 6,... som ger resten 0..., 5, 2, 1, 4, 7,... som ger resten 1..., 4, 1, 2, 5, 8,... som ger resten 2 Vi kan dela in heltalen i fyra grupper, beroende på vilken rest de ger vid division med 4:..., 8, 4, 0, 4, 8,... som ger resten 0..., 7, 3, 1, 5, 9,... som ger resten 1..., 6, 2, 2, 6, 10,... som ger resten 2..., 5, 1, 3, 7, 11,... som ger resten 3 Grupperna ovan kallas restklasser. 72. Formulera en generalisering av ovanstående tre fall? 73. Från indelningen i udda och jämna tal ser vi att 16 Givet två konsekutiva heltal, så är något av dem delbart med 2. Två anmärkningar på Vretblad: Definition 2.1 I stället för delare i säger man ofta delare till. Avsnitt 2.2, 2.3 Vid diskussioner av delbarhet brukar man i regel bortse från negativa tal de tillför inget nytt: är ett tal delbart med, säg, 13, så är det också delbart med 13, och tvärtom. Formulera en generalisering av detta? 15...för att förhoppningsvis kunna komma till nytta upprepade gånger. Jfr. med datorprogrammerarnas strävan att skriva kod som inte bara löser problemet för stunden, utan kan återanvändas av andra programmerare. 16 konsekutiva = på varandra följande 42

15 74. Formuleringen Heltalet a säges vara delbart med heltalet b om divisionen a/b går jämnt upp. är inte tillfredsställande som definition av delbart, så länge vi inte kan precisera vad går jämnt upp betyder hur förhåller går jämnt upp sig till de fyra räknesätten, eller är det månne något helt nytt, femte, räknesätt som är inblandat? Försök att formulera en precisare definition! Har din definition något gemensamt med definitionen av jämna tal ovan? 75. Alla utom en -satsen (Obs. hemmagjord benämning!) Anta att de tre talen a, b, c uppfyller a + b = c samt att två av dessa är delbara med n. Då måste även det tredje vara delbart med n. Ge exempel och bevis! 76. Låt SGD(a, b) beteckna största gemensamma delaren till heltalen a och b Det är ganska lätt att se att t.ex. SGD (36, 60) = 12 SGD (30, 75) = 15 men hur tar man fram SGD till två stora heltal t.ex. SGD (4379, 3473) =? Visst kan man testa om de båda är delbara med 3, 5, 7, 11, 13,..., men det kan bli omständligt, så det kan löna sig att söka efter genvägar. (a) Subtraktion är lättare än division vi räknar ut Förklara varför =906 SGD (4379, 3473) = SGD (3473, 906) (b) Av samma anledning som i a), så är då SGD (3473, 906) = SGD (2567, 906) men vi kan faktiskt göra någonting som är ännu bättre: Vi jämför talen 3473 och 906 och observerar att den multipel av 906 som ligger närmast 3473 är Skillnaden Förklara nu varför = =151 SGD (3473, 906) = SGD (151, 906) Tänker vi nu som i (b) och söker den multipel av 151 som ligger närmast 906, så ser vi att så vi är färdiga: ochdärmedäven 906/151 = 6 exakt SGD (151, 906) = 151 SGD (4379, 3473) =

16 Delbarhetskriterier Givetettstortheltala och ett litet heltal b, hur kan vi på snabbast möjliga sätt avgöra om a är delbart med b? Om b =2, så räcker det att titta på sista siffran i a: delbara med 2 är ju de tal som slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8. Ett sådant villkor kallar vi kriterium för delbarhet. Hur hänger 2-kriteriet ihop med alla utom en -satsen ovan? Säg att a = s, där s symboliserar sista siffran i a, samt även det tal som betecknas med denna siffra. Detta betyder att a = s Alla utom en -satsen säger att om två av talen a, , och s är delbara med 2, så är det tredje talet det också. Nu är 10 delbart med 2. Därmed är också delbart med 2. Alltså har vi att Om s är delbart med 2, så är också a delbart med 2. Om a är delbart med 2, så är också s delbart med Hur avgör du enklast om ett heltal är delbart med 5? Något samband med alla utom en -satsen? 78. För att avgöra delbarhet med 4, så räcker det att titta på de två sista siffrorna: Om det tal de tre siffrorna bildar är delbart med 4, så är hela talet det också. Ge exempel! Förklara hur det följer ur alla utom en -satsen! 80. I talet 2412 är24(bildatavdetvåförstasiffrorna) dubbelt så stort som 12 (bildat av de två sista). Visa att alla tal av denna typ är delbara med 67. Betydelsen av denna typ kanske inte är helt klar. Är detenbartfyrsiffriga tal vi pratar om, t.ex.? Precisera själv! 81. Förklara varför följande kriterium för delbarhet med 13 fungerar (tyvärr förenklar det inte så mycket som man skulle vilja): Säg att vi vill testa om 533 är delbart med 13. Vi tar ut den sista siffran och multiplicerar med 4: 4 3=12 Produkten adderar vi till det tal som de återstående siffrorna bildar: = 65 Nu testar vi, om 65 är delbart med 13 : 65/13 = 5 Iochmedatt65 är delbart med 13, så måste även 533 vara det. Startar vi däremot med talet 969, så får vi = 132 som inte är delbart med 13, och därför kan vi dra slutsatsen att inte heller 969 är det. (Mycket riktigt: 969/13 = ) Varför? Tips: =39och 39 är delbart med För att avgöra delbarhet med 8, så räcker det att titta på de tre sista siffrorna. Formulera detta exaktare, ge exempel och förklara hur det följer ur alla utom en -satsen! 44

17 Delbarhet med 9 resp. 3 Låt oss nu titta på delbarhet med 9. Säg att a =2345. Detta betyder att a = = = 2 ( ) + 3 (99 + 1) + 4 (9 + 1) + 5 = = ( )+( ) Nu är talen 9, 99, 999, 9999,... alla delbara med 9: 99 = = etc. Enligt alla utom en -satsen tillämpad upprepade gånger, är då delbart med 9. Följaktligen ( alla utom en -satsen återigen!) är a delbart med 9 om och endast om är det. 82. Ovanstående exempel går att generalisera. Formulera det allmänna kriterium för delbarhet med 9 som det illustrerar. 83. Jag förmodar att det i föregående fråga räckte att betrakta specifika tal som 2345 ovan för att se det generella och övertygas om dess riktighet. Skulle man dock inte kunna skriva ner en uträkning som den för 2345 ovan, men för ett godtyckligt heltal, och som visar kriteriets riktighet? Sats om delbarhet med flera : (Obs. hemmagjord benämning! ) Om a är delbart med såväl m som n, och m och n är relativt prima så är a delbart även med produkten mn. Annars behöver det inte vara så. Relativt prima kallas två heltal som inte har någon gemensam delare 17 förutom ±1. T.ex. är 10 och 21 relativt prima, medan 56 och 21 är det inte (7 är en gemensam delare). Exempel: De tal som är delbara med såväl 2 som 3 är delbara även med 6: 6, 12, 18, 24,... De tal som är delbara med såväl 6 som 10 behöver inte vara delbara med 60 : 30, 90, 150,... Detta hänger ihop med att 6 och 10 båda har 2 som delare. 84. Formulera och bevisa ett enkelt kriterium för delbarhet med 3. Delbarhet med flera tal samtidigt Anta att talet a är delbart med såväl talet m som talet n. Är det då automatiskt så att a är delbart med produkten m n? Ifall detta skulle gälla ibland, men inte alltid, skulle man då kunna säga något närmare om när det gäller och när det inte gäller? Försök att formulera en hypotes! Kandubevisaden? 17 (delare = heltal som de är delbara med) 45

18 Att uppbringa ett bevis är nog inte alldeles enkelt, så vi avstår. Låtossemellertidtittapåhurmankanhärledadetta från ett annat resultat, som vi inte heller bevisar, men som faktiskt har bevärdigats med namnet Aritmetikens fundamentalsats : Varje heltal kan skrivas som en produkt av primtal på ett och endast ett sätt. (Alt. formulering: Varje heltal har entydig primtalsfaktorisering). Primtal kallas de heltal > 1, som inte är delbara med andra än sig själva och 1 (vi glömmer de negativa talen här tecknet påverkar ju inte delbarheten): 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... Den entydiga faktoriseringen av de övriga minsta positiva heltalen är 4 = = = = = 2 5 etc. Entydighet pratar man om, när någonting kan göras på endast ett sätt. Lösningen är entydig = det finns endast en lösning. Här betyder entydigheten t.ex. att eftersom 391 = 17 23, så är det uteslutet att 391 skulle vara lika med t.ex Entydigheten tillåter oss att prata om primtalsfaktoriseringen av ett heltal. Primtalsfaktoriseringen av ett heltal, säger man, är ett väldefinierat begrepp det är en och endast en produkt som åsyftas. Att a är delbart med m betyder, ur primtalsfaktoriseringarnas synpunkt, att alla primtalsfaktoriseringen av a har formen a = T.ex. primtalsfaktoriseringen av m µ 360 = ev. andra primtalsfaktorer är delbart med 12 = och mycket riktigt Delarna till = (2 2 3) (2 3 5) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360 är (förutom 1) precis de tal man kan få genom att välja en delmängd av faktorerna i och multiplicera dem, t.ex = = = Hur ser man med primtalsfaktoriseringar om två tal är relativt prima? 87. Om man känner primtalsfaktoriseringarna till två heltal, säg m = 1155 = och n =1547= , kan man då ur detta få primtalsfaktoriseringen av deras produkt mn = = ? 88. Förklara hur satsen om delbarhet med flera följer ur det som står ovan på denna spalt. 85. Låt oss undersöka om aritmetikens fundamentalsats har någon motsvarighet för mängden av alla heltal > 2,M = {3, 4, 5, 6, 7, 8,...}. (a) Vilka är de sju minsta M-primtalen, om vi med M-primtal avser tal som inte är M-delbara med något annat tal i M, varvid vi med M-delbara menar att kvoten också skall vara ett tal i M (T.ex. är 6 inte M-delbar med 3.) (b) Vilka faktoriseringar i M-primtal har 24? Hurärdetmed36? Har vi entydig faktorisering? 46

19 89. Visa att produkten av tre konsekutiva 18 heltal alltid är delbart med 6. (Tips: Satsen om delbarhet med flera medför att det räcker att separat bevisa att produkten är delbar med dels 2, dels 3.) 90. Visa att, om a, b och n är heltal, så är an 4 + bn 3 an 2 bn delbart med Visa att om summan av tre konsekutiva heltal är udda, så är deras produkt delbar med Visa att produkten av fyra konsekutiva heltal alltid är delbart med Vilket är det största heltalet n, för vilket vi kan påstå att produkten av fem konsekutiva heltal alltid är delbar med n? 94. Visa att n (n +1)(2n +1) är delbart med 6 för alla heltal n. (Tips: Beroende på vilken rest n ger vid division med 3, så får vi tre fall: Behandla dem separat! n = 3k n = 3k +1 n = 3k Visa påståendet som vi började med: n 3 +11n är delbart med 6 för alla n genom att betrakta delbarhet med 2 resp. 3 separat, och i vart och ett av dessa sedan dela upp i fall beroende på vilken rest n ger vid division med 2 resp. 3. Ovanstående illusterar förhoppningsvis en ofta använd problemlösningsstrategi: Stycka problemet i delproblem! Förhoppningsvis blir de mindre problembitarna till slut så enkla, att de kan klaras av. Ingen tvingar oss att göra allt på en gång! Man skall dock ha klart för sig att detta är endast en av flera tänkbara vägar att pröva. Oftagårdetattgörapåolikasätt. Alternativ lösning med (listig) omskrivning 96. Om man har 89 i färskt minne, så hade det räckt med omskrivningen Hur så? n 3 +11n = n 3 n +12n = = n n n = = n (n 1) (n +1)+12n Problemet med liknande baklängesomskrivningar är naturligtvis att komma på dem: varför just 11n =12n n och inte t.ex. 11n =6n +5n? I det här fallet är det ändå relativt lätt att motivera: Vi betraktar delbarhet med 6. Termer som innehåller en faktor 6 är då delbara med 6 och kan strykas från resonemanget enligt alla utom en -satsen. Vi tar 12n för att det som återstår skall se så enkelt ut som möjligt: n verkar enklare än 5n. Men det här antyder ändå varför datorer inte gör människor överflödiga: Datorer kan numera lätt skriva om (n 1) n (n +1)+12n till n 3 +11n, men få dem att på egen hand associera till ett gammalt problem och gå den motsatta vägen, är det inte alls lika lätt! Alternativ med induktion Ett tredje alternativ, som ligger nära till hands att tillgripa, när man sett att påståendet stämmer för några värden på n, vore att jämföra det man får för ett visst n med det man får för nästa heltal, n +1: h i (n +1) 3 +11(n +1) n 3 +11n = n 3 +3n 2 +3n +1+11n +11 n 3 11n = = 3n (n +1)+12 Observera nu att 12 är delbart med 6 och att även 3n (n +1)är delbart med 6, oavsett vad n är! 97. Varför är 3n (n +1)delbart med 6? Det betyder nu, enligt alla utom en -satsen, att närhelst påståendet stämmer för ett visst heltal n, så måste det stämma även för nästa heltal, n +1. Men då är vi klara: vi kan kontrollera att det stämmer för n =0. Då måste det alltså stämma även för n =1. Och stämmer det för n =1, så måste det stämma även för n =2. O.s.v. Då stämmer det för alla positiva heltal. 98. Vad skall vi säga om negativa n? 18 konsekutiva =påvarandraföljande 47

20 Kongruensräkning (Sist i kap.3 i Vretblad!) På sid.42 nämndes att för varje positivt heltal n kan vi dela in heltalen i n st. disjunkta 19 mängder, s.k. restklasser, beroende på vilken rest de ger vid division med n. För t.ex. n =5har vi restklasserna {..., 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15,...} {..., 14, 9, 4, 1, 6, 11, 16,...} {..., 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17,...} {..., 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18,...} {..., 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19,...} Vi skulle kunna beskriva dem alternativt som {heltal =5k, för något heltal k} {heltal =5k +1, för något heltal k} {heltal =5k +2, för något heltal k} {heltal =5k +3, för något heltal k} {heltal =5k +4, för något heltal k} Två heltal, a och b, som tillhör samma restklass vid division med n, säger vi vara kongruenta modulo n och skriver T.ex. a b (mod n) ( a är kongruent med b modulo n ) En ekvivalent definition är (mod 5) 6 18 (mod 4) a b (mod n) omm a b = kn för något heltal k Det intressanta nu är Sats 3.11 ivretblad, som är en generalisering av det faktum att, om vi adderar/multiplicerar två heltal och endast är intresserade av om resultatet är udda eller jämnt, så räcker det att veta om termerna/faktorerna är udda eller jämna : Om vi adderar/multiplicerar två heltal och endast är intresserade av i vilken restklass resultatet hamnar, så räcker det att veta från vilken restklass termerna/faktorerna kommer! Gå igenom den matematiska formuleringen och kontrollräkningen i Vretblad! Exempel 3 Vilken rest ger vid delbarhet med 13? Lösning: Vi behöver inte räkna ut hela det stora talet! 15 2(mod13) Upprepad användning av ¾ x 1 y 1 (mod n) = x x 2 y 2 (mod n) 1 x 2 y 1 y 2 (mod n) ger att (mod 13) Jämför potenserna av 2:2, 4, 8, 16, 32, 64,... med multiplarna av 13 : 13, 26, 39, 52, 65,... så syns att Därmed 2 6 = alltså 2 6 1(mod13) 2 51 = ( 1) 8 8=8(mod13) 2 16 = ( 1) 2 16 = 16 (mod 13) = (mod13) Alltså, svar: resten är ( 2) 18 = ³ ( 2) 6 3 ( 1) 3 = 1 12 (mod 13) =12 jämnt + jämnt = jämnt jämnt + udda = udda udda + udda = jämnt jämnt jämnt = jämnt jämnt udda = jämnt udda udda = udda 19 disjunkta mängder = mängder som inte har något element gemensamt 48

21 Primtal Så fort man definierat begreppet primtal och gjort sig en liten tabell över de första primtalen (se sid.12), kan man ställa intressanta matematiska frågor: Finns det oändligt många primtal eller tar de slut så småningom? (Besvarades redan av de gamla grekerna.) Man lägger märke till existensen av s.k. primtalstvillingar par av primtal med differens 2 (minsta möjliga marginal, om vi bortser från 2.an i början) : (3, 5) (11, 13) (29, 31) (5, 7) (17, 19) (41, 43) Finns det oändligt många primtalstvillingar eller tar de slut så småningom? (Allt tyder på att de också är oändligt många, men till skillnad från föregående fråga, har ingen lyckats konstruera ett bevis!) Kan gapet mellan två (i storleksordning) på varandra följande primtal bli hur stort som helst? Mellan 23 och 29 är gapet 6. Mellan 89 och 97 är gapet 8 Mellan 113 och 127 är gapet 14. Men större gap än så hittar man inte bland de primtal som är < Vad skall vi tro? Primtalssatsen Definiera funktionen π (n) så här: π (n) =antalet primtal som är n Vilseledande namnskyltar ännu en historisk utvikning Begreppet primtal och antagligen även Euklides algoritm härstammar från pythagoréerna. Du förknippar säkert namnet Pythagoras med rätvinkliga trianglar och tror gärna att Euklides algoritm kallas så för att det var Euklides som hittade på den. Personnamn som klisterlappar på matematiska resultat skall man dock inte ta alltför bokstavligt! Resultatet i Pythagoras sats var känt för babylonierna tusen år tidigare. Pythagoras (500-talet f.kr.) skulle möjligen varit den förste att ge ett bevis för satsen. Men inte heller det är någorlunda säkert: allt vi vet om honom härrör från manuskript som skrivits 900 år efter hans död. Tänk dig, med vilken säkerhet kan vi idag skriva om vem som gjorde vad på 1100-talet? Dessutom var Pythagoras grundaren av en skola med personkult man tillskrev ledaren även upptäckter som andra gjorde. Vad vi däremot med säkerhet kan säga är att Pythagoras och hans lärjungar satte heltalen i centrum för hela sin världsuppfattning. (Något tillspetsat kan man beteckna pythagoréerna som historiens enda religiösa sekt som haft matematik som religion.) Två olika klassificeringssytem för heltalen utarbetade de. Det första handlar om s.k. figurativa tal (triangeltal, kvadrattal, etc.) och var väl det pythagoréerna själva satte mest värde på, men idag kan vi avfärda det som ren kuriosa. Det andra är indelningen i primtal och sammansatta tal, och de har inspirerat matematiker till kreativt arbete i 2500 år vid det här laget, och kommer antagligen att göra det framöver också (se även sid.55.) Med tanke på pythagoréernas studier av heltalens egenskaper, så är det troligt att Pythagoras har större rätt att göra anspråk på Euklides algoritm än på Pythagoras sats, men nu sitter klisterlapparna som de gör och det är ingen idé att bråka om dem! (T.ex. π (20) = 8.) Gauss ( ), sin tids störste matematiker, hade litet som en liten hobby att tabulera primtal och lade märke till att kvoten π (n) 1, när n n/ ln n (Kvoten närmar sig 1, närmantaralltstörren.) Att den här trenden verkligen håller i sig i all oändlighet bevisades dock av andra först Mer läsning om primtal: 49