- En studie om pedagogers syn på och arbete med matematik i förskolan

Transkript

1 LÄRARUTBILDNINGEN Examensarbete, 15 hp Matematik i förskolan - En studie om pedagogers syn på och arbete med matematik i förskolan Ansvarig institution: Institutionen för pedagogik, psykologi Emma Johansson och idrottsvetenskap Handledare: Per-Eric Nilsson Kurs: GO 2963 År och termin: 2010 vårterminen

2 SAMMANFATTNING Emma Johansson Matematik i förskolan - En studie om pedagogers syn på och arbete med matematik förskolan Mathematics in preschool - A study about teachers work with mathematics in preschool Antal sidor: 49 Denna studies syfte är att beskriva det förhållningssätt som pedagoger i förskolans verksamhet har till att arbeta med och synliggöra matematiken för barn. En ny läroplan för förskolan är under planering och i den kommer matematiken att få ett mycket större utrymme och därmed blir det också betydelsefullt att visa hur det ser ut i förskolans verksamhet idag. Pedagogernas tidigare erfarenheter speglar av sig i det sätt de förhåller sig till matematik och därmed syftar denna studie till att ta reda på hur. Detta är en kvalitativ studie där intervjuer med och observationer av pedagoger har gjorts i förskolans verksamhet. Studiens resultat sammanfattas som att pedagogers förhållningssätt till matematik speglar av sig i sättet de arbetar och det synsätt som de bär med sig gör att de synliggör matematiken på skilda sätt. Studien visar att matematiken finns överallt och att det är pedagogens uppgift att synliggöra den där den finns. Sökord: Barn, förskola, matematik och pedagoger

3 Innehåll 1. Inledning och bakgrund Begreppsdefinition Syfte och frågeställningar Teoretiska utgångspunkter Varför ska vi ha matematik? Så ser vuxna på matematik Barn och matematik Pedagogens roll Matematik i förskolans verksamhet Barn och matematisk begreppsförståelse Vikten av dokumentation för att utvärdera verksamheten Tidigare forskning Lärande utgår från barnet (Vygotskij och Piaget) Barns uttryckssätt (Bruner och Malmer) Barn och språk (Vygotskij) Hållpunkter för lärande Metod Metodval Urval Genomförande och tillvägagångssätt Bearbetning och analys Trovärdighet och äkthet Etiskt förhållningssätt Metodkritik Resultat Observationer... 27

4 6. 2 Intervjuer Sammanfattning av observationer och intervjuer Analys Matematik i förskolan Pedagogens förhållningssätt till matematik Måltiden Att se matematiken i andra situationer och den spontana leken Samlingen Barns tankar och begreppsförståelse Dokumentation och uppföljning Diskussion Barnens ålder som avgörande faktor Fruktens plats i förskolan Pedagogens förhållningssätt Betydelsen av eget kök i förskolan Referenser Bilaga 1 Bilaga 2

5 1. Inledning och bakgrund Mitt intresse för matematiken i förskolan är något som har växt sig stort under utbildningen. Jag har kommit att upptäcka att det går att använda matematiken på så många olika sätt och det behöver inte vara enbart arbete med läroboken. För mig är detta något positivt då jag under min egen skolgång upplevde matematiken som något tråkigt, vilket jag absolut inte skulle ha någon nytta av i min vardag kom rapporten Att lyfta matematiken intresse, lärande och kompetens ut där regeringen beskriver att de vill ha en ökad insats kring matematikundervisningen i förskola och skola (Statens offentliga utredningar, SOU 2004:97, Internet 1). Resultaten i matematiken ansågs inte är så starka och som något som bör förändras (2004). De resultat som svenska elever har presterat i matematik gör att Sverige hamnar under genomsnittet av vad 20 jämförbara länder har presterat och slutar på en fjortonde plats när det handlar om reslutat i matematik. Det är under åren 1995 till 2003 som försämringen har skett. Undersökningen har gjorts bland elever i åttonde klass (Internet 2). För att få ett bättre resultat hos eleverna krävs en förstärkning av undervisningen i matematik menar regeringen (Statens offentliga utredningar, SOU 2004:97, Internet 1). På hösten 2009 skickades ett pressmeddelande ut om att skolverket har delat ut 87 miljoner kronor till olika lokala satsningar på matematiken. Intresset för matematiken var dock större än vad det fanns pengar till och många förslag till arbetsplaner har strömmat in. Intresset för denna satsning på matematiken var stor (Internet 3). En annan faktor till valet av matematiken som ämne är det nya förslaget till en ny läroplan i förskolan. I den nya upplagan får matematiken ett mycket större utrymme och föreslås lyftas fram genom lek och skapande i förskolans verksamhet. Detta eftersom leken är mycket viktig och grundläggande för förskolebarn. Det har skett förtydliganden av målen inom vissa områden och däribland är matematiken inräknad (Förslag till förtydliganden i läroplanen för förskolan, Redovisning av regeringsuppdrag U2008/6144/S, Internet 4). Jag ser att det är mycket viktigt att skapa en positiv syn på matematiken, och det redan i förskolan, för att barn och elever inte ska tänka som jag gjorde. Det är även betydelsefullt att se att matematik är något för alla. Det innebär en lång process att utveckla kunskaper inom matematik (Andersson i Emanuelsson & Doverborg (red.), 2006). Därmed och utifrån ovanstående aspekter vill jag ta reda på hur arbetet med matematiken ser ut i förskolans verksamhet idag genom att göra observationer och intervjuer med pedagoger på förskolor i en medelstor kommun i södra delen av Sverige. 4

6 1.1 Begreppsdefinition I denna studie och i den litteraturgenomgång som kommer göras använder jag mig av begreppet matematik. Därmed skulle jag vilja förklara hur jag tänker kring begreppet för att texten ska förstås lättare. I regeringens förslag till förtydliganden i förskolans läroplan (Förslag till förtydliganden i läroplanen för förskolan, Redovisning av regeringsuppdrag U2008/6144/S, Internet 4) så beskrivs följande: Förskolan ska stimulera barns intresse för och förståelse av matematik. Den matematiska utvecklingen börjar långt innan barnet kan ramsräkna, känna igen siffror eller använda sig av de fyra räknesätten. Grunderna läggs när det lilla barnet undersöker sin omvärld och i samspel med andra upptäcker och utforskar matematiska begrepp och relationer i sin vardag. (Förslag till förtydliganden i läroplanen för förskolan, Redovisning av regeringsuppdrag U2008/6144/S: s. 15, Internet 4) För mig är det ovan beskrivna matematik och det är det jag syftar till i denna studie och text. 5

7 2. Syfte och frågeställningar Syftet med denna studie är att belysa pedagogers syn på och arbete med matematik i förskolans verksamhet. Ett annat syfte med mitt examensarbete är att belysa vilken del barnet har i ett matematiskt arbete och hur dess erfarenheter bemöts och lyfts. 1. Hur synliggörs matematiken i förskolans verksamhet? 2. Vad har pedagogerna för syn på matematik i förskolan? 3. Hur bemöts barnet i arbetet med matematik i förskolan? 6

8 3. Teoretiska utgångspunkter Här kommer jag att presentera vad aktuell litteratur skriver om ämnet. 3.1 Varför ska vi ha matematik? Matematik handlar om att utforska den värld vi lever i. Vårt liv är uppbyggt efter matematiken och utan den blir det svårt att leva i vårt samhälle. Vi möter matematiken i vår vardag och i vårt yrkesliv varje dag. För att kunna vara en del av det samhälle som vi har byggt upp krävs en förståelse för matematiken på ett grundläggande plan och hur den visar sig i vår omvärld. Det handlar om att kunna delta i det som händer och sker samt att kunna ta beslut som rör oss själva men även vårt gemensamma samhälle (Emanuelsson i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008). Andersson (i Emanuelsson & Doverborg (red.), 2006) visar på fyra olika aspekter inom matematik: matematik i vardagen, matematik som ett kulturarv, matematik som nöje och matematik som hjälp till förståelse av den värld vi lever i. Genom dessa fyra aspekter så möter vi som samhällsmedborgare matematiken dagligen. Andersson menar att det kanske främst är den sistnämnda punkten som beskriver varför vi ska ha matematik. Människan är beroende av att förstå och av att kunna använda sig av matematik för att hantera problem som dyker upp under en helt vanlig dag. (Björklund, 2008:17) Förskolan har till uppgift att lägga grunden för ett livslångt lärande (Utbildningsdepartementet, 2006) och det innebär att även matematiken är något som vi måste arbeta med i förskolans verksamhet. Barnen skapar kunskap genom att lära och samspela med varandra och vidare handlar det om att synliggöra den matematik som finns runtomkring barnet (Doverborg i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008). Andersson talar också om att den matematiska kunskapen är ett resultat av en fortlöpande utveckling och därmed så bör vi arbete med matematiken redan i förskolans verksamhet. 3.2 Så ser vuxna på matematik Vårt sätt att se på matematiken är något som speglar av sig hos barnen. Både lärares och föräldrars inställning till matematik betyder mycket för hur barn och elever kommer uppfatta ämnet. Att det idag råder negativa associationer till matematik hos våra barn har sina rötter i att vi vuxna har en felaktig attityd till ämnet (Andersson i Emanuelsson & Doverborg (red.), 2006). Doverborg och Pramling Samuelsson (1999) beskriver att attityden vi har till matematik är något som speglar av sig i det vi gör. För att förändra vårt sätt att arbeta med 7

9 matematik så måste vi byta det perspektiv vi har på matematik. Doverborg (i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008) beskriver fyra olika synsätt till matematiken som råder inom förskolans verksamhet: Matematik är inget för förskolebarn. Tids nog får de möta den i skolan. Matematik är en avgränsad aktivitet som dock förväntas vara skolförberedande. Matematik utgör en naturlig del i alla situationer. Den bara finns där. Matematik måste problematiseras synliggöras i för barnen meningsfulla sammanhang. (s. 6) Hos de yngre barnen finns ett naturligt intresse för matematik och ämnets innehåll. Det är då viktigt att bygga på det istället för att lägga fokus på det som ska presteras och som förmodligen är lättare att mäta. För en negativ attityd är svår att ändra på hos en elev och kommer följa den genom hela skolgången (Andersson i Emanuelsson & Doverborg (red.), 2006). 3.3 Barn och matematik Barn visar förståelse av matematik När det lilla barnet börjar peka på saker i sin omvärld visar det intresse för den värld vi lever i och de vill veta och lära sig mer. Denna värld är vår värld och är uppbyggd och beskrivs med hjälp av matematiken (Doverborg och Pramling Samuelsson 1999). Genom hela livet kommer barnet att möta företeelser som är uppbyggda av grundläggande matematik och den värld de möter hemma och i förskolan har matematiken som innehåll (Ahlberg i Wallby m. fl, 2000). Heiberg Solem och Lie Reikerås (2004) beskriver att barnet använder många olika sätt när de uttrycker kunskap. Det handlar inte bara om det talade och skrivna språket utan de visar förståelse genom att handlingar och konkret material. De visar även uppfattning genom att använda sig av bilder och symboler. De visar att de förstår en fråga, av matematisk karaktär eller annan, genom många olika språk Matematik i barnens värld (att lära i leken) Förskolans läroplan (Utbildningsdepartementet, 2006) vilar på en grund som tydligt visar att barnet lär i leken. I barns värld finns det ingen gräns mellan lek och lärande, de hör samman och går inte att skilja åt. Leken är viktig för barnet och det är genom leken som de erövrar sin omvärld. I leken utforskar barnet och vill förstå sin egen plats och sig själv i sin omvärld. 8

10 Olika typer av lekar gör att barnet får utveckla sina tankar och pröva sina hypoteser (Ahlberg i Wallby m.fl. 2000). Ahlberg i Wallby m.fl. (2000) skriver att barnet utvecklar förståelse när de erfar, urskiljer, ser samband eller relaterar saker till varandra (Ahlberg i Wallby m.fl. 2000:61). Hon menar därmed att barnet lär endast genom att själv får pröva och inte enbart skriva av det som ska läras. För att förstå hur barnet tar till sig matematiken måste vi också inta ett barns perspektiv och titta på barnets vardag och de aktiviteter barnet har. Genom detta arbetssätt kan också pedagogen enligt Björklund (2008) reflektera och synliggöra det som finns i barnets värld för barnet. Hur, eller i vilken riktning, de matematiska färdigheterna och förmågorna utvecklas är däremot beroende av vilka möjliga erfarenheter som barnet erbjuds i mötet med omvärlden och människorna i den. (s. 17) Barn tänker matematik I arbetet med matematik i förskolans verksamhet handlar det om att se saker utifrån barnets perspektiv. Genom att utgå från barnet och göra tolkningar av vad det uttrycker och hur de tänker gör att vi lättare vet vad som bör synliggöras i verksamheten. Det är barnens sätt att tänka och deras uttryck som ska ligga till grund för vad det pedagogiska arbetet handlar om (Gottberg & Rundgren, 2006). Doverborg & Pramling Samuelsson (1999) visar att det i arbetet med matematik är viktigt att uppmärksamma barnens vardag, deras sätt att tänka och synliggöra det i verksamheten. Gottberg & Rundgren beskriver också vikten av att synliggöra de olika sätt som barnen tänker på och vidare beskriva dem som skilda sätt att tänka på, inte som rätt eller fel. Det är genom olikheterna som vi kan lära och utvecklas samt nå en bredare förståelse för att vi inte är på samma sätt. Genom ett sådant arbete kan vi skapa en dialog med barnen där de får sätta ord på sina tankar och vi kan se hur de har sett på saken från sitt eget perspektiv. Ahlberg i Wallby m.fl. (2000) visar ett tydligt exempel på hur barns tankar kan uttrycka sig. En flicka som räknar sina tår säger att hon har fyra tår. Det visar sig då att flickan har räknat mellanrummen mellan tårna och därmed fått ett annat svar som är korrekt i sig. Det visar tydligt att det är viktigt att ha en förståelse för att vi tänker olika. Genom att ha en förmåga att kunna förstå hur barnet tänker kan vi när vi möter barnet senare i skolan kunna bygga vidare på det tankesätt barnet bär med sig och känner igen när det handlar om att lägga grunden för vad matematiskt tänkande innebär och det är mycket betydelsefullt (Björklund, 2008). 9

11 3.3.4 Lärande i en samspelande omvärld Lärande sker i samspel med de människor och saker som omger oss. Där kommer förskolans pedagoger in som en viktig del av barnets lärande då det är pedagogerna i förskolan som möter barnet och den miljön som finns är skapad av pedagogerna. Läraren har därmed ett viktigt och stort ansvar när det handlar om att skapa lärandemöjligheter för barn (Björklund, 2008). Ahlberg i Wallby m.fl. (2000) menar att barnet måste få uppleva, se och lära sig matematiken i en omvärld. Att tillägna sig olika matematiska förståelser är något som barnet måste få erfara i samspel med andra. Omvärldens faktorer är också en viktig del i lärandet. Vidare menar Ahlberg i Wallby m.fl. (2000) att lärande mellan individer, barn, är något alla ska få upptäcka. Att se hur någon kompis har tänkt och löst ett problem är mycket lärorikt. Malmer (1999/2002) menar att det samtal som kan äga rum mellan barn och barn, barn och vuxen leder till lärande på ett positivt sätt. Det som barnet tillägnar sig i samspel med andra människor flätar samman den gamla kunskapen och det nya till nya erfarenheter för barnet (Björklund, 2008) Att möta det matematiska barnet i skolan När vi ska skapa en grundläggande förståelse för matematik handlar det om att skapa en helhet. Det är mycket viktigt att vi utgår från barnet som kommer från förskolan till skolan. Finns inte den röda tråden med kopplingar mellan det som har gjorts i förskolans verksamhet och det som ska läras i skolan så sker ingen god utveckling. Det är mycket betydelsefullt att det vi lär oss är kopplat till den begreppsvärld som vi bär med oss för att vi ska kunna se samband. Genom att använda det vi vet om barnet kan vi skapa en mycket bättre miljö för lärande (Johnsen Høines, 1990/2000). Heiberg Solem & Lie Reikerås (2004) talar om hur viktigt det är att lektionerna i matematik fortsätter att vara ett forum för fantasi och kreativitet. Det är mycket betydelsefullt att det lekfulla tänkandet behålls även i skolans värld och att det där sker en utveckling när det handlar om idéer och lösningar som strålar av kreativitet. Barnen använder en mängd kreativitet och då är det viktigt att fortsätta på det spåret så att inte redan lärd kunskap går förlorad. Det är av stor betydelse att skolan inte tar in ett alltför matematiskt och abstrakt språk för tidigt utan låta barnet använda det uttryckssätt som de är förtrogna med. På så vis ökar förståelsen och de kan se kopplingar mellan konkret och abstrakt språk. Johnsen Høines (1990/2000) beskriver det som kan hända om vi inte arbetar på detta sätt. Då finns det en risk att barnet skapar två världar av begrepp som de skiljer åt, en som används i skolan och en som används på fritiden. 10

12 3.4 Pedagogens roll Med matematik i förskolans verksamhet ( Att ta på sig matteglasögonen ) Arbetet med matematik handlar inte främst om att skapa olika aktiviteter med matematiskt innehåll utan i synnerhet betyder det att pedagogen ska synliggöra den matematik som redan finns i förskolans verksamhet. Förskolans verksamhet är barnets vardag och där finner vi leken som en central del men även de rutiner som återkommer dagligen och det är i dessa situationer vi ska hitta matematiken och lyfta den (Doverborg i Emanuelsson & Doverborg (red.), 2006). Pedagogen ska verka som en vägvisare när det handlar om att upptäcka samt förstå den matematik som omger barnet (Doverborg & Pramling Samuelsson, 1999). Margareta Forsbäck har myntat uttrycket Att ta på sig matteglasögonen och med det menar hon att det är mycket viktigt att se den matematik som faktiskt finns runtomkring oss. Det innebär att se, höra, känna och uppleva matematiken (Gottberg & Rundgren, 2006:21). Matematik innebär att se och upptäcka omvärlden och inte bara räkning av tal. Matteglasögonen gör att det går att upptäcka matematiken i de tillfällen som finns i vardagen. Heiberg Solem & Lie Reikerås (2004) tar även upp aspekten om att det är betydelsefullt att bära med sig en kunskap som handlar om att identifiera matematiken och de sätt som den kan uttrycka sig i. Det handlar om att synliggöra och lyfta. När vi talar om matematik kan vi göra indelningen i spontan och planerad matematik. Den spontana matematiken visar sig tidigt när barnet spontant visar intresse för sådant som är grundläggande inom matematiken. Som pedagog i en sådan situation handlar det som att lyfta det barnet visar intresse för på ett planerat sätt, planerad matematik. Det är här som pedagogen har möjlighet till att utmana barnet och ställa frågor. Det som är spontant i vardagen blir planerat om pedagogen synliggör matematiken för barnet och även övrig omgivning. I stor utsträckning handlar det som att göra sig som pedagog medveten om sitt förhållningssätt och hur du väljer att agera (Emanuelsson i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008) Pedagogens förhållningssätt (till matematik och barn) Pedagogers förhållningssätt till matematiken i förskolan skiljer sig mycket åt. Det finns olika uppfattningar kring hur förskolelärare ska förhålla sig till matematiken i förskolan. Som jag tar upp i rubrik 3.2 Så ser vi på matematiken så finns det olika förhållningssätt som pedagogen kan inta. Det förhållningssätt som jag har som pedagog speglar sig i barnens sätt att tänka kring matematik och därmed är det betydelsefullt att reflektera över det 11

13 förhållningssätt som du har som pedagog i förskolans verksamhet (Doverborg i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008). Att den vuxnes förhållningssätt påverkar barnen finns även med och genomsyrar förskolans läroplan (Utbildningsdepartementet, 2006). När det handlar om hur pedagogen förhåller sig till barn så är det viktigt att beakta den aspekt som tar upp att barnet har många språk. När barnet uttrycker sig använder det alla sina språk och därmed hela sin kropp. Detta är viktigt att ta i anspråk även när det handlar om matematiken. Genom att uppmuntra barnet till att använda de språk och uttryckssätt, de har så kan vi lättare skapa situationer som gör att vidareutveckling kan ske. Det handlar även om att visa på att matematiken finns i många olika sammanhang och till en början ska det inte vara ett korrekt svar som sökes utan en vilja och önskan om att få pröva sig fram för att hitta en lösning på ett problem (Ahlberg i Wallby m.fl. 2000). Lpfö 98 (Utbildningsdepartementet, 2006) visar att barn lättast tar till sig kunskap genom ett konkret arbetssätt. Detta visar även Ahlberg i Wallby m.fl. (2000) på. Genom att samtala och illustrera matematiken genom konkret material så ökar också förståelsen hos barnet och det är viktigt att tänka kring Mötet med det matematiska barnet I arbetet med barn överlag och såväl i arbetet med matematiken tillsammans med barn är det av stor vikt att ta utgångspunkt i barnens tankar och idéer. Genom att ta reda på vart barnen befinner sig och hur de tänker och resonerar i saker relaterat till matematiken så har jag som pedagog en bra utgångspunkt att bygga vidare på för att den röda tråden ska följa utvecklingen i matematiken (Ahlberg i Wallby m.fl. 2000). Doverborg i Doverborg & Emanuelsson (red.) (2008) skriver att för att ta reda på vart barnen befinner sig så är det betydelsefullt att samtala med barnen för att ta reda på deras tidigare erfarenheter och föreställningar. Lärandet bör ta sin utgångspunkt i den lärandes perspektiv det vill säga barnens (Doverborg i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008:6). Anledningen till att det är så viktigt att utgå från barnet är att de tidigare erfarenheter som barnet bär med sig är avgörande för hur de tar in nya saker de möter i sin vardag. Erfarenheterna är det vi använder för att hantera den omvärld vi möter och vårt sätt att förstå den (Björklund, 2008). Det är också väsentligt att barnet får utvecklas efter sina egna förmågor och i en lagom takt för barnet (Gottberg & Rundgren, 2006). Vidare skriver Gottberg & Rundgren att vi som pedagoger aldrig kan förmedla kunskap utan enbart synliggöra tankar som barnet har och se 12

14 detta som en utgångspunkt. Detta blir en grund att bygga vidare på för att vidga deras erfarenhetsvärld. Detta arbete med att utgå från barnet påtalar Johnsen Høines (1990/2000) som mycket viktigt även när barnet börjar skolan och det handlar om att skapa en röd tråd och ett sammanhang i den förståelse som barnet utvecklar i lärandet. Det ska hela tiden finnas kopplingar till barnets tidigare erfarenhetsvärld för att ny kunskap ska kunna tas in. 3.5 Matematik i förskolans verksamhet Barn löser vardagsproblem Malmer (2002) skriver att synen på problemlösning ofta är den att det är något som är matematiskt betingat och därmed också svårt. Dock så är problemlösning något som vi ägnar oss åt hela tiden i vardagen. Problemlösning är en central del i skolans undervisning och kopplas ofta till att lösa problem som finns i vardagen. Det är just de situationer som finns i vardagen där barnet använder matematik som måste synliggöras för barnet då de inte tänker samman vardagen med matematik. Det är de problem som finns i vardagen som upplevs som naturliga och därmed även de som fokus bör ligga på (Ahlberg i Wallby m.fl. 2000). Att lösa ett problem kan göras på många olika sätt och det som barn och elever ofta fastnar vid är att det ska komma fram till ett korrekt svar och att det ska finnas en korrekt lösning. Det är här pedagogen måste vidga tankesättet till att det kanske inte finns ett rätt svar och att lösningen kan göras på många olika sätt (Malmer i Wallby m.fl. 2002). Ahlberg i Wallby m.fl. (2000) menar att det är viktigt att låta barnet arbeta med problemet på ett öppet sätt med hjälp av att samtala och rita. Ahlberg i Wallby m.fl. (2000:78) skriver att eftersom barn har skiftande erfarenheter är problemlösning en relation mellan barnet och problemet. De olika sätten barn har att tänka kan komma fram genom att de får lösa problem tillsammans. De kan då bygga upp ett reflekterande förhållningssätt och träna sitt tålamod i att lösa problemet tillsammans. Olika lösningar blir också synliggjorda för alla i gruppen. I problemlösandet så lär sig också barnet att analysera, jämföra, kritiskt granska, se samband, uppfatta förlopp och konsekvenser (Doverborg & Pramling Samuelsson, 1999:14). Dessa egenskaper är grundläggande för att träna upp ett matematiskt tänkande och en början till att lära sig att lösa andra typer av problem. 13

15 Doverborg & Pramling Samuelsson (1999) skriver att barnet i förskolan lär sig lösa problem genom att använda det som redan är känt för barnet (gammal kunskap) för att tolka det okända (ny kunskap). Därmed är det viktigt att låta barnet arbeta med problemlösning redan i förskolan Matematik i bygglek och rumsuppfattning Bygglek och rumsuppfattning ligger nära varandra när det handlar om matematisk utveckling. Barn får erfarenheter och utvecklar förståelse av grundläggande rumsuppfattning genom lärares utmaningar i bygg- och konstruktionslek med olika material och i tematiska arbeten. (Persson i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008:89) Att ha förmågan att beskriva omvärlden och kunna se relationer och samband mellan föremål är mycket betydelsefullt. Vidare handlar det om att kunna sätta sig själv i relation till omvärlden. Varför detta är så viktigt är för att vi ska lära oss att känna igen olika miljöer vi möter och därmed kunna klargöra vart vi är samt föra en dialog med de som vi möter i den miljön (Persson i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008). Det lilla barnet börjar träna sin rumsuppfattning redan i de första levnadsåren. Då handlar det inte om ett språk som ska användas utan att de tränar sig själva i hur de ska röra sig i rummet och olika avstånd till föremål som finns runtomkring dem. Detta hänger samman med barnets motoriska utveckling och de styrs av sin egen nyfikenhet att upptäcka och använda hela sin kropp till att utforska sin omgivning. För det lilla barnet handlar det om att smaka och känna på föremål som finns runtom dem. Vidare betyder det att kunna ta sig över och under möbler samt att pröva vad som sker med föremål när de flyttas från handen till golvet (Heiberg Solem & Lie Reikerås, 2004). Att lära sig att förstå, nyttja och samtala om sin egen och föremåls plats och förhållande till andra saker i rummet är rumsuppfattning. Olika begrepp som används är lägesord, mätord och riktningar. En grundläggande rumsuppfattning innebär att känna igen, beskriva och återskapa viktiga och vackra former, symmetrier och andra egenskaper hos vanliga geometriska objekt, t ex linje, sträcka, triangel, kvadrat, rektangel, cirkel och kub. (Persson i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008:90) Vidare är rumsuppfattning också förhållandet mellan objekt, inom objekt samt mellan objektet och dess omvärld. Att utforska detta görs genom aktiviteter som bland annat leken 14

16 och viktiga aspekter är koordination, bakgrund, konstans, läge, synminne och abstrakt seende. Dessa påverkar rumsuppfattningen. Koordination är när barn förflyttar sig i rummet och utvecklar sin motorik till en nivå där fokus inte ligger enbart på hur rörelsen ska vara. Aspekten bakgrund innebär att barnet tränar upp förmågan att se skillnad på föremålet och dess bakgrund. Konstans är när barnet lär sig känna igen olika former i miljön oberoende av deras placering och den synvinkel som föremålet är sett ifrån. Läge är när barnet stärker förmågan att kunna se saker i förhållande till varandra men även till sig självt. Synminne är när vi ser en samling föremål och sätter dem i grupper i minnesbilden. Slutligen så är det aspekten om abstrakt seende vilket innebär att barnet tränar upp förmågan att kunna se inre bilder om hur rummet ser ut när de blundar. Det är dessa punkter som är betydelsefulla för en ökad rumsuppfattning (Persson i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008). Leken står i centrum när vi pratar om barnets lärande. När vi kopplar rumsuppfattningen till byggleken som är en central aktivitet i förskolans verksamhet ser vi att byggleken hjälper barnet att skapa en uppfattning om avstånd, former och vinklar. Den tidiga byggleken är mer spontan och föränderlig under tidens gång men när barnet blir äldre har de en inre bild om vad bygget ska leda till och de börjar leka mer tillsammans vilket ökar samarbetet. Den matematik som direkt går att se i byggleken är att barnet bygger symmetriskt med klossarna. Vidare tränar barnet att kunna se hållbara möjligheter i bygget när det handlar om storlek och vikt. Barnet använder också sin förmåga att jämföra byggklossar på längden. Vidare tränar barnet upp sin förmåga att se skillnader och likheter i de delar som de använder. Allt detta blir till grund för den begreppsutveckling som barnet genomgår och tränar upp deras sinne för matematik (Persson i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008). Doverborg & Pramling Samuelsson (1999) beskriver även vikten av att pedagogen ställer frågor till barnet under bygglekens gång. Detta stärker barnets matematiska innehåll Matematik under måltiden Måltiden är en del i förskolan som inbjuder till mycket matematik. Som utgångspunkt har vi dukningen och detta är något som oftast görs tillsammans med barnet. Dukningen handlar om delaktighet i den egna vardagen (Doverborg & Pramling Samuelsson, 1999) och det är mycket viktigt att få uppleva sin plats som viktig (Utbildningsdepartementet, 2006). Beroende på barnets ålder så går det att variera svårighetsgraden till det oändliga. Barnet kan få hjälp med hur mycket av varje som ska dukas fram och sedan får barnet ställa sakerna på respektive plats. Är barnet lite äldre lämpar det sig mer att barnet själv får ta reda på hur många barn 15

17 respektive pedagoger som ska äta och därefter själv tala om hur många tallrikar, glas och bestick som behövs. Här kan dokumentation vara till hjälp för barnet, Doverborg och Pramling Samuelsson (1999) visar på en teckning där barnet har ritat upp tallrikar till så många barn som ska äta och sedan gjort streck för varje gaffel och kniv som ska tas fram. Här synliggörs verkligen den matematik som finns i dukningen på ett positivt sätt. Det som är viktigt när barnet dukar är att det tillsammans med pedagogen får reflektera över vad som görs för att matematiken ska bli synlig även för barnet. När dukningen är klar är det dags att sitta ner och äta. Matematiken finns med även här och då i form av att barnen får räkna hur många som sitter vi bordet och vem som sitter bredvid vem. Här finns möjlighet att se skillnader från dag till dag och göra jämförelser vilket stärker den matematiska utvecklingen (Doverborg i Doverborg & Emanuelsson (red.), 2008). För de mindre barnen handlar matsituationen om ett samtal där portionens storlek förs under måltiden och detta handlar även om mängd. Det blir en fråga kring hur mycket barnet orkar äta, om han/hon är lite hungrig eller mycket hungrig (Doverborg & Pramling Samuelsson, 1999). Efter måltiden i förskolans verksamhet är frukten ett återkommande inslag. Här kommer barnen tillsammans med pedagogen in på bråk när frukten ska delas. Många barn vet vad en halv och en fjärdedel innebär då äpplet ska delas först i två halvor och sedan i fyra fjärdedelar. Är det apelsin så innebär det att räkna hur många klyftor barnet har och även storleken på klyftorna ger möjlighet till att träna matematiska begrepp. Att räkna russinen är något som ökar antalsuppfattningen hos barnen. Genom att använda de matematiska begrepp som finns så stärker pedagogen förståelse även hos yngre barn (Doverborg & Pramling Samuelsson, 1999). 3.6 Barn och matematisk begreppsförståelse Matematik handlar om språket och språkets plats är mycket central i matematiken. De hänger samman och går inte att skilja åt (Gottberg & Rundgren, 2006). Matematiken är uppbyggd med många ord, termer och begrepp och det är viktigt att barnet känner förtrogenhet till dessa. Exempel på begrepp som finns i matematiken, och som är viktiga att lyfta i förskolans verksamhet, är lägesord och jämförelseord. Här handlar det om att sätta ihop ord som är motsatspar, exempelvis stor och liten, men även att kunna beskriva saker utifrån sig själv eller föremål i relation till varandra. Sterner i Doverborg & Emanuelsson (2008) menar även att dessa ord inte är lösrykta från varandra utan hänger ihop i ett nät av ord och termer. 16

18 Gottberg & Rundgren (2006) skriver att det är viktigt att saker i matematik får ord. Genom att barnen får kännedom om begreppen kan de lättare förstå och även tala matematik. Genom att arbeta medvetet med detta blir också barnen medvetna om begreppens plats i matematiken. Gottberg & Rundgren (2006) skriver även hon om vikten av att barnen får ett rikt ordförråd när det handlar om matematiska begrepp. Att känna förtrogenhet till begrepp, såsom lägesord och jämförelseord, men även ord om tid gör att barnen klarar den kommande matematiken i skolan lättare. Sterner i Doverborg & Emanuelsson (2008) beskriver vikten av att utmana barnet. Hon menar att det är viktigt att fläta samman de ord som barnet redan bär med sig med de matematiska begreppen. Genom att bygga en bro mellan dem så ökar förståelsen för dem. Exempel att använda begreppet trekant, vilket barnet är förtrogen med, när det matematiska begreppet triangel ska föras in. På så sätt bygger pedagogen på det som barnet redan bär med sig och det är mycket viktigt. 3.7 Vikten av dokumentation för att utvärdera verksamheten I verksamheten i förskolan är dokumentation en mycket viktig del av arbetet i arbetslaget. Dokumentation visar det som görs i verksamheten och synliggör lärandet och däribland inberäknat matematiken. Både barn och pedagoger får en tydlig bild av vad de arbetar med och kan se lärandet som en process som pågår, genom att dokumentera. Det handlar då inte bara om pedagogens dokumentation utan även om barnets. Barn och vuxna uppfattar saker på olika sätt och därmed är det mycket betydelsefullt att även barnens perspektiv blir synligt. Genom dokumentationen synliggörs verksamhetens innehåll både för de som är deltagare och för dem som står utanför. Dokumentationen blir en möjlighet till utveckling av den egna verksamheten (Doverborg i Doverborg & Emanuelsson, 2008). Doverborg & Anstett i Johansson & Pramling Samuelsson (red.) (2003) skriver om pedagogisk dokumentation och att den är viktig som diskussionsunderlag när det handlar om att se på den egna verksamheten och vad som kanske brister. Dokumentationen blir ett sätt att bedöma det som görs för att sedan kunna vidareutveckla det till något bättre. Dokumentationen ska öppna för en dialog mellan de som är berörda, det vill säga barn, pedagoger och föräldrar. När det handlar om barnets dokumentation av vad de sett, upplevt eller känt så lyfts samtal som en viktig aspekt i frågan om dokumentation ur ett barns perspektiv. Samtalet blir ett komplement till barnets bild, fotografi eller liknande och detta är viktigt. 17

19 4. Tidigare forskning 4.1 Lärande utgår från barnet (Vygotskij och Piaget) Här tas det upp hur lärande sker enligt Vygotskij och Piaget. Båda menar att lärandet är en del av människan själv men tänker lite olika. Enligt Vygotskij utgår lärandet från barnet självt och det är av stor vikt att bejaka att lärande sker långt innan skolstart. Lärandet börjar hela tiden hos barnet och då huruvida barnet interagerar med sin omvärld. Vygotskijs tankar blir därmed att barnets sociala spelrum skapar tillfälle för lärande. Hur barnet väljer att agera beror på dess intresse och behov men det som stimulerar detta är barnets omvärld. Vidare är det genom leken barnet kan lära att inta fler perspektiv än det som utgår från barnet självt. Det handlar om roller som barnet använder sig av utstuderat i leken (Björklund, 2007). Detta är något som även Björklund (2008) tar upp och vidare beskriver som att barnet utgår från sig själv i en samspelande omvärld när det handlar om att lära sig och förstå nya saker. Piaget menar att lärande som görs helt bygger på det som människan tidigare har lärt sig. Han benämner det som scheman som hela tiden vidare utvecklas allteftersom barnet lär. Det nya anpassas (assimileras) till tidigare scheman (Björklund, 2008:36). När det vidare råder skillnader i det som har lärts sedan innan och det som lärs nu så ackommoderas det till vad barnet redan innan kan och bär med sig. Piaget menar att det är en jämvikt att assimilation och ackommodation som gör att barnet erfar nytt lärande. Det handlar om att kunna se samband mellan det som redan finns i barnets erfarenheter och det som är nytt för att kunna utöka kunskaperna. 4.2 Barns uttryckssätt (Bruner och Malmer) Barn har olika sätt att uttrycka sig och forskare har gjort olika försök till att dela in dessa uttryckssätt i olika grupper. Här redovisas Bruner och Malmers sätt att kategorisera uttryckssätten. Bruner delar in dem i tre grupper: Enaktiv kunskapsrepresentation, Ikonisk kunskapsrepresentation och Symbolisk kunskapsrepresentation. Den förstnämnde handlar om att kroppen används som ett sätt att uttrycka sig. Den andra innebär bilder som ett uttryckssätt och den sista är det skriftliga språket i form av ett uttryckssätt. Många gånger är det svårt att få in ett barns sätt att uttrycka sig på i någon av dessa tre kategorier, exempelvis så är det talade språket svårt att få in i en av kategorierna (Heiberg Solem & Lie Reikerås, 2004). Malmers indelning av barns sätt att uttrycka sig ser ut som följer: 18

20 Den praktiska lösningen. Lösningen genom det Bruner kallar enaktiv kunskapsrepresentation. Den muntliga lösningen. Lösning med hjälp av muntligt språk. Den formella lösningen. Lösning genom det Bruner kallar symbolisk kunskapsrepresentation (Heiberg Solem & Lie Reikerås, 2004:295). Med denna indelning är det lättare att få med det muntliga som ett sätt att uttrycka sig men Malmers indelning utesluter bilder som ett språk. Båda dessa indelningar kan vara till hjälp i förståelsen av hur barn väljer att uttrycka sig på när de visar kunskap och lärande. 4.3 Barn och språk (Vygotskij) Sterner i Doverborg & Emanuelsson (2008) refererar till Vygotskij (1999) när det rör sig om barn och matematiskt språk samt tänkande. Vygotskij menar att det är mycket betydelsefullt att det språk som den vuxne använder i samspelet med barnet är korrekt. Det handlar om att beskriva föremål som exempelvis triangel istället för trekant. Det bör inte råda en rädsla och oro inför att använda ett matematiskt språk utan tanken med att barnet får möta det matematiska begreppet i många olika miljöer och sammanhang och på ett meningsfullt sätt gör att förståelsen ökar. Efter detta så kan barnet ta till sig begreppet i sitt egna ordförråd och utöka det (Sterner i Doverborg & Emanuelsson, 2008). 4.4 Hållpunkter för lärande Hållpunkter för lärande (2007) är en doktorsavhandling av Camilla Björklund och är det forskningsmaterial som hon har byggt sin bok Bland bollar och klossar på vilken jag tidigare har referat till. Här kommer jag att presentera de bitar som för mig varit intressanta i hennes doktorsavhandling Matematik överallt Björklund (2007) skriver att små barn beskriver sin omvärld med hjälp av matematiken. Det handlar om att förklara fenomen som de upplever i den värld där de befinner sig. Vidare skriver Björklund om att kommunikationen görs med matematiken som en del. Matematiken finns överallt i barnets vardag och Björklund har i sin studie observerat situationer överallt i den verksamheten där barnen hela tiden lär. Det beskrivs situationer såsom måltiden, påklädningen och samtal mellan barnen. Björlunds studie visar även på att barnet ofta sätter sig själv och den egna kroppen i relation till omvärlden. Kroppen blir utgångspunkt när det handlar om att kunna utföra aktiviteter såsom klättra till andra höjder, klossbyggande och liknande. Begreppen blir här en central del i hur omvärlden beskrivs i förhållande till den 19

21 egna kroppen. Vidare handlar det även om relationen mellan föremål som finns i barnets värld. När det handlar om att beskriva saker i sin omvärld påpekar Björklund vidare på att det är mycket beroende av det perspektiv som barnet har, vart barnet självt befinner sig. Att beskriva sig själv i sin egen vardag är vad barnet gör med hjälp av matematiken Lärande bygger på tidigare erfarenheter Björklund (2007:165) refererar till tidigare studier, Lindahl, 1996; Johansson, 1999; Løkken, 2000 och Öhberg, 2004, som har gjorts kring aspekten om att barn förstår och lär efter de tidigare erfarenheter som de bär med sig. De tolkar den värld de möter med vad de sedan innan redan kan. Vidare refererar Björklund (2007) till Bruner (1996) angående vikten av tidiga erfarenheter då dessa blir en grund för kommande lärande och kunskap. Björklund visar då på exemplet att begrepp som beskriver likheter och skillnader kan vara något att använda i förskolan då det senare ska byggas upp kunskap om att finna samband inom matematiska fenomen. Björklund (2007) har i sin studie sett exempel på att barnet i olika vardagliga aktiviteter ger uttryck för förståelsen av begrepp inom likheter och skillnader Lärande i samspel Björklund (2007) refererar till Hundeide (2006) när det handlar om att se barns utveckling i relation till den miljö de lever i. Barnet lever i en kultur som det samspelar med och lärandet kan ta olika vägar. Barnet kan både bli hämmat och lyftas fram beroende på den omvärld det befinner sig i. Barnets utveckling påverkas av den omvärld och dess olika möjligheter. Björklund (2007) refererar även till Bruner (1996) när det handlar om att kulturen har stor inverkan på lärande hos ett barn. Björklund (2007) återger även Wittgenstein när det beskrivs om den sociala värld som barnet lever och dess påverkan på barnets lärande. Barn skapar mening genom sina handlingar i samspelet med andra människor eller med ting som är skapade av människan, vilket gör att tingen också har en kulturell innebörd (Björklund, 2007:157). Barnet möter det som är skapat av människan tidigare och därmed blir då barnets lärande format av dess samspel med sin omgivning. Björklund (2007) har sett tydliga tecken på detta i sin studie. I ett socialt samspel använder barnen sin matematiska kunskap och de bedömer situationen de befinner sig i och därmed blir det tydligt att de har en roll i ett socialt samspel och det är även här de utvecklas. 20

22 4.4.4 Pedagogens betydelse Björklund (2007) skriver om pedagogens betydelse när det då handlar om det sociala samspelet. Det är pedagogen som skapar lärandemöjligheter för barnet och förutsättningar där lärande kan ske. Vidare menar hon att den goda pedagogen bör ta fasta på det som är utgångspunkter när barnet ska lära och förstå fenomen i sin omvärld. I sin studie har Björklund (2007) sett vikten av att pedagogen aktivt deltar i ett samspel med barnet och lyfter fram viktiga aspekter för barnet. Fokus bör ligga på helheten. Björklund (2007) refererar även till Gelman (1982) när det handlar om att lyfta fram det som för barnet är okänt. Björklunds tips till pedagogen blir därmed att lyfta fram det som är utgångspunkter för barnet när det erfar nya saker i verksamheten. Vidare beskrivs vikten av att pedagogen gör barnet medvetet om det egna lärandet och ska även vara förstådd med vilka förutsättningar som barnet får i verksamheten. Det handlar om att inta det perspektiv som barnet har för att kunna utgå från barnets hållpunkter när det handlar om lärande menar Björklund (2007). Detta medvetande gör även att pedagogen kan bemöta och utmana barnet i sitt lärande och det är mycket betydelsefullt Matematik och språk Björklund (2007) hänvisar till von Glasersfeld (2001) när vikten av att bemöta begrepp inom matematiken i ett sammanhang där andras uppfattningar av begreppet är av stor betydelse. I sin studie har Björklund sett att barnen samspelar med varandra när det handlar om att förstå innebörden av begrepp och huruvida de hör samman som motsatser. Studien visar att det är på det här sättet som barnets förståelse utvecklas och byggs på. Förståelsen av ett begrepp ökar också när det används på rätt sätt och när begreppet får flera synonymer visar studien. Björklund (ibid) hänvisar även till Ernest (1998) när det handlar om förståelsen av begrepp och huruvida detta påverkas av vem som samtalet görs med. Han menar att det handlar om att dela livsvärld i förståelsen kring hur begreppet ska användas. Även hänvisningar till Wittgenstein (1978) visar på att begrepps innebörd tordes komma fram i ett sammanhang och när de används. När barnen i Björklunds (2007) studien använder begrepp så utgår de även från sig själva och detta gör att förståelsen av begreppet blir väldigt individuellt och här handlar det om att för barnet kunna inta ett annat perspektiv. 21

23 5. Metod I följande kapitel kommer jag att ta upp relevant metod som jag har använt mig av för att få svar på mina frågeställningar. Jag kommer vidare att presentera hur jag har gjort mitt urval samt genomförande, tillvägagångssätt, bearbetning och analys. Trovärdigheten i mitt arbete behandlas och de etiska aspekter som tagits hänsyn till. Vidare kommer jag att titta på mitt metodval på ett kritiskt plan. 5.1 Metodval Jag har valt att göra kvalitativ forskningsstudie vilket gör att tyngdpunkten i studien ligger på ordet och de tolkningar som forskaren har gjort efter insamling av data. Här berörs det förhållande som råder mellan teori och empiri. För att samla in data och få svar på studiens frågeställningar (s. 6) har jag valt att göra kvalitativa intervjuer och deltagande observationer (Bryman, 2002). Mina kvalitativa intervjuer har varit av semi-strukturerad karaktär där jag har utgått från en intervjuguide (se bilaga 1) med frågor indelade i grupper med gemensamt tema. Frågorna har varit av öppen karaktär och intervjupersonen har därmed haft frihet att formulera sina egna svar och ordningen på frågorna i intervjuguiden har därmed skiljt sig åt från intervjuperson till intervjuperson (Bryman, 2002). De deltagande observationerna var en kombination av ostrukturerad/osystematisk form och strukturerad/systematisk form där olika observationsschema har utformats innan observationstillfälle. Jag valde vissa specifika situationer och beteende i förskolans verksamhet (se bilaga 1) som jag har observerat under tre olika tillfällen (Patel och Davidson, 1991/2003). 5.2 Urval Val av skolor/förskolor, intervjupersoner och observationsgrupper var ett bekvämlighetsurval som innebar att tillgängligheten var av betydelse i valet av individer jag har intervjuat och observerat (Bryman, 2002). Jag har valt att ta kontakt med två olika förskolor och gjort tre intervjuer med förskollärare. Två av intervjupersonerna, intervjuperson 1 och intervjuperson 2, tillhör samma arbetslag och är observerade i observation 1 och observation 2. Det finns även vissa skillnader mellan de två olika förskolorna. En av förskolorna är under kommunal regi och den andra i privat form. Likheter mellan förskolorna och de grupper som har observerats är barnens ålder samt gruppstorlek. Vidare finns det också likheter mellan de tre 22

24 intervjupersonerna och då syftar jag på deras ålder och verksamma tid inom förskolans verksamhet. Förskolorna som jag har använt i min empiriska studie är förskolor i medelstora kommuner i södra Sverige. 5.3 Genomförande och tillvägagångssätt I arbetets begynnelse började jag med att söka litteratur och övriga källor angående ämnet. Mycket litteratur om matematik i förskolan har funnits att tillgå och därmed ser jag att de teoretiska utgångspunkter som finns i arbetet är tagna från olika källor. Jag har här även tagit del av tidigare forskning inom ämnesområdet för att få inblick i vad forskare skriver om matematik i förskolans verksamhet. Efter urval har genomförts tog jag kontakt med de valda förskolorna samt intervjupersonerna för att bestämma en lämplig tid för intervju och observation. Intervjuguiden har med fördel och efter önskemål av intervjupersonerna skickats till dem via en vecka innan intervjutillfälle ägde rum. När intervjuerna genomfördes användes diktafon för att spela in intervjuerna. Intervjuerna varade mellan minuter. När det kommer till observationerna så har jag deltagit under aktiviteter och i den mån det har fungerat så har jag valt att anteckna ner det jag observerat i efterhand. Sedan har det funnits vissa situationer där matematiken har tagit en mycket stor plats och det har varit mycket att anteckna. Dessa situationer har jag gjort ett val att anteckna i försiktighet under tiden för att få med så mycket information som möjligt (Bryman, 2002). 5.4 Bearbetning och analys När intervjuer och observationer var genomförda återstod ett arbete med att transkribera intervjuer och se vad de ifyllda observationsschemana har gett. Här handlade det om att hitta gemensamma kategorier, exempelvis matematik under måltiden och i samlingen, och sammanställa vad studien hade visat. När jag har bearbetat detta material jag har fått fram av min empiriska studie har jag gjort detta med hänsyn till objektivitet av det observerade material genom att inte gå in med egna åsikter. Jag har gjort kopplingar till litteratur och tidigare forskning för att jämföra dessa, exempelvis om det går att se samband mellan Doverborgs & Pramling Samuelssons (1999) texter och det den empiriska studien visar på. Detta har gjorts utan egna värderingar för att få fram en tillförlitlig analys av resultatet. Analysen har med fördel utgått ifrån det empiriska materialet för att få fram det mest centrala i studien (Bryman, 2002). 23

25 5.5 Trovärdighet och äkthet Reliabilitet och validitet är centrala begrepp främst i en kvantitativ studie. Reliabilitet handlar om följdriktigheten, överensstämmelsen och pålitligheten hos ett mått på ett begrepp (Bryman, 2002:86). Vidare tas tre begrepp upp inom reliabilitet: stabilitet, intern reliabilitet och interbedömarreliabilitet. Det första begreppet innebär huruvida studien skulle ge samma resultat om samma studie skulle göras på nytt. Intern reliabilitet handlar om ifall resultatet hänger samman del för del. Interbedömarreliabilitet berör om resultatet är subjektivt. Validitet handlar om att det som sägs ska mätas verkligen är det som mäts. I denna studie huruvida det är pedagogers syn på och arbete med matematik som mäts eller ej. När det rör sig om en kvalitativ studie så är det oftast inte tal om reliabilitet och validitet i samma bemärkelse som ovan beskrivits. Där handlar det istället om andra begrepp med likvärdig innebörd. De begrepp som används i en kvalitativ studie är istället trovärdighet och äkthet. Trovärdigheten delas in i fyra olika delar: tillförlitlighet, överförbarhet, pålitlighet samt en möjlighet att styrka och konfirmera (Bryman, 2002:258). Det som handlar om tillförlitlighet har jag i min studie beaktat genom att personerna har fått ta del av studiens resultat. Då studiens alla olika delar finns att tillgå så uppfylls även kravet på pålitlighet. Jag har i detalj beskrivit vad jag har upplevt under mitt empiriska arbete och därmed uppfyller jag kravet för överförbarhet. Det sistnämnda har jag haft i åtanke genom att inte inta några personliga värderingar i resultatet. Utöver dessa fyra nämnda delar så berörs äkthet där mer allmänna frågor tas upp, såsom rättvis bild 1, ontologisk autenticitet 2, pedagogisk autenticitet 3, katalytisk autenticitet 4 samt taktisk autenticitet 5 (Bryman, 2002). Genom att observera och delta på ett objektivt sätt så har jag kunnat få en rättvis bild av pedagogernas förhållningssätt. Vidare har pedagogerna inte vetat hur mina observationsscheman har sett ut och därmed kan de heller inte ha kännedom om vad jag har önskat observera. Genom att delge de berörda pedagogerna vad studien har visat så uppnås även begreppet ontologisk autenticitet, pedagogisk autenticitet, katalytisk autenticitet och taktisk autenticitet. 1 Ger undersökningen en tillräckligt rättvis bild av de olika åsikter och uppfattningar som finns i den grupp av människor som studerats? (Bryman, 2002:261) 2 Hjälper undersökningen de personer som medverkat i den att komma fram till en bättre förståelse av sin sociala situation och den sociala miljö de lever i? (Bryman, 2002:261) 3 Har undersökningen bidragit till att deltagarna får en bättre bild av hur andra personer i miljön upplever saker och ting? (Bryman, 2002:261) 4 Hur undersökningen gjort att de som medverkat i den kan förändra sin situation? (Bryman, 2002:261) 5 Har underökningen gjort att deltagarna fått bättre möjligheter att vidta de åtgärder som krävs? (Bryman, 2002:261) 24