EXAMENSARBETE TIOTALSÖVERGÅNG. En metod i huvudräkning ANNELIE ELIASSON PEDAGOGUTBILDNINGARNA

Transkript

1 2003:010 PED EXAMENSARBETE TIOTALSÖVERGÅNG En metod i huvudräkning ANNELIE ELIASSON PEDAGOGUTBILDNINGARNA GRUNDSKOLLÄRARPROGRAMMET ÅK 1-7 VT 2003 Vetenskaplig handledare: Håkan Broström 2003:010 PED ISSN: ISRN: LTU - PED - EX / SE

2 Förord Jag vill tacka min praktikhandledare Hilkka Riihinen för all hjälp, stöd och uppmuntran som du gav mig under min praktikperiod. Utan de fina eleverna jag har jobbat med hade detta arbete varit omöjligt så därför vill jag rikta ett alldeles särskilt varmt tack till dem. Dessutom vill jag tacka personalen på skolan för det varma välkomnandet jag fick av er. Jag vill också rikta ett tack till de personer som under arbetets gång läst och granskat mitt arbete och givit mig värdefulla kommentarer angående innehåll och utformning. Ett särskilt tack vill jag också ge min vetenskapliga handledare Håkan Broström som har givit mig handledning och goda råd med rapportens utformning. Luleå maj 2003 Annelie Eliasson

3 Abstrakt Detta examensarbete grundar sig på en undersökning gjord med elever i en 4-6:a med 18 elever i Luleå kommun under vårterminen Syftet med arbetet var att undersöka om eleverna efter min undervisning använde sig av huvudräkningsmetoden tiotalsövergång, då de löste de centrala uppgifterna i undersökningen. Under mina litteraturstudier har jag funnit att arbetet går att förankra till såväl styrdokument som tidigare forskning. Metoden jag har använt är ett inledande test följt av ett skriftligt intervjuunderlag och muntliga intervjuer med fyra elever, på liknande sätt avslutade jag undersökningen. Däremellan fick undersökningsgruppen kontinuerlig undervisning i tiotalsövergångsmetoden. Jag har dessutom fört dagboksanteckningar under hela perioden. Resultatet visar att flera av eleverna har tagit till sig tiotalsövergångsmetoden och använder den på de centrala uppgifterna i undersökningen.

4 Innehållsförteckning Förord Abstrakt Innehållsförteckning Bakgrund... 1 Inledning... 1 Om huvudräkning... 1 Tidigare forskning... 3 Examensarbeten... 3 Några huvudräknings metoder... 4 Öka här - minska där... 4 Multiplikation med Dubbla/halvera... 4 Distributivitet... 4 Skriftlig huvudräkning... 5 Tiotalsövergång... 5 Vygotskijs proximala utvecklingszon... 6 Vad sades om huvudräkning i Sverige förr i tiden?... 6 Kardinaltal och Ordinaltal...7 Förankring i styrdokument... 7 Läroplaner... 7 Kursplanen i matematik... 8 Syfte... 9 Metod Undersökningsgrupp Bortfall Material Undersökningens upplägg Dokumentation Tidsplan Genomförande Resultat Sammanställning av Test 1 och Test 2 för hela gruppen Var ligger svårigheten i de centrala uppgifterna? Sammanställning av Test 1 och Test 2 för de fyra utvalda eleverna Intervjuunderlag och muntliga intervjuer... 17

5 Veckotest Dagboksanteckningar Elevernas kommentarer angående undersökningen Diskussion Reliabilitet Validitet Metod diskussion Tankar om undersökningen Resultat diskussion Fortsatt forskning Referenser Bilagor Bilaga 1 Test 1 Bilaga 2:1-3 Intervjuunderlag, tillfälle 1 Bilaga 3:1-5 Dagboksanteckningar Bilaga 4:1-4 Addition Bilaga 5:1-5 Subtraktion Bilaga 6:1-2 Multiplikation Bilaga 7 Test 2 Bilaga 8:1-3 Intervjuunderlag, tillfälle 2 Bilaga 9:1-2 Veckotest Bilaga 10 Miniräknare Bilaga 11 Diagram över veckotest Bilaga 12:1-2 Utvärdering Bilaga 13:1-2 Övergripande lektionsplanering

6 1 Bakgrund Inledning Hösten 2000 började jag grundskollärarutbildningen med inriktning matematik och naturorienterandeämnen för år 1-7 vid Luleå tekniska universitet. Som ett sista moment i utbildningen ingår ett examensarbete på tio veckor varav sju veckor är praktik på en skola. Jag har valt att genomföra mitt examensarbete inom ämnet matematik med inriktning på huvudräkning eftersom jag personligen tycker att det är ett intressant och viktigt område inom matematiken. När jag själv gick i skolan fick jag inte lära mig någon speciell huvudräkningsmetod utan har använt mig av algoritmer i huvudet. Därför vill jag lära eleverna en metod som går att använda vid huvudräkning. Jag tror även att det arbetas för lite med huvudräkning i skolan idag. En orsak enligt mina erfarenheter till att huvudräkningen får så lite tid i dagens undervisning är att lärare ute i skolan fortfarande är så bundna till matematikboken. Dessutom tror jag att algoritmer tar upp större delen av matematikundervisningen. Mer tid borde istället läggas åt att ge eleverna en god grund i huvudräkning. Att förändra elevernas tänkande på en praktikperiod som omfattar sju veckor går inte, men jag hoppas kunna lära dem en metod som kan användas på nästan alla räknesätten och på så vis ge dem idéer om hur man kan tänka för att underlätta huvudräkningen. Om huvudräkning All typ av räkning kräver kunskap i huvudräkning, därför är den så viktig (Dukels, Unenge, Wyndhamn, 1994). Man kan tala om fyra sätt att räkna: - huvudräkning innebär att man utan hjälp av papper och penna ger ett exakt resultat. - överslagsräkning innebär att man ger ett ungefärligt svar, fortfarande utan hjälp av papper och penna. - algoritmräkning innebär att man ställer upp talen enligt givna mönster och regler för de olika räknesätten. - räkning med miniräknare innebär att man använder ett hjälpmedel som utför uträkningen. I alla fyra beräkningssätten krävs färdighet i huvudräkning, möjligtvis inte räkning med miniräknare. En bra huvudräkningsförmåga kännetecknas av att man kan välja tankesätt och lösningsstrategi beroende på uppgift. Det är viktigt att man som lärare visar olika metoder för huvudräkning och deras kvalitet och effektivitet. Huvudräkning kan nästan betraktas som en konst eftersom den ger många möjligheter till att använda sin kreativitet och fantasi. Många har bristande kunskaper i huvudräkning och kan inte utnyttja den i full skala i sitt dagliga liv (Malmer 1999). Malmer (1984) ansåg att överslagsberäkning och huvudräkning är de former av räkning vi har mest nytta av i vardagliga situationer. Många överväganden och beslut baseras på denna förmåga. Hon menade också att många misstag begås på grund av bristande förmåga i huvudräkning. Ofta börjar man allt för tidigt med algoritmer i skolan detta beror till stor del på att man fortfarande är så bunden till läromedlen (Malmer 1999). Elever som först fått grundlig övning i taluppfattning genom huvudräkning har ett säkert stöd då de sedan ska övergå till algoritmer. Det är däremot mycket svårare att få elever att bli duktiga i huvudräkning om de har lärt sig algoritmräkning först, anser Malmer.

7 2 Huvudräkning behöver inte betyda ett förbud att använda papper och penna (Emanuelsson, 1991). I en artikel om skriftlig huvudräkning i Tal och räkning 2 beskriver Birgitta Rockström skriftlig huvudräkning som en metod där uträkningar görs enkelt och säkert utan algoritmer men ofta genom att räknelagar utnyttjas. Poängen är att man istället för att ställa upp uträkningen i en algoritm skriver ner ett eller flera mellanled, som ger enklare uträkningar och eleverna kan då se sina tankar nedskrivna. För att kunna utveckla en effektiv huvudräkning krävs några viktiga förutsättningar (Malmer, 1999) : - En gedigen taluppfattning - Säkerhet i tabellkunskap - Förmåga att tillämpa räknelagar - Fantasi och kreativitet Till taluppfattning hör bl.a. kunskap om talens uppdelning och sammansättning, positionssystemet och skrivsätt både för hela tal och tal i decimalform, bråkform och procentform. I tabellkunskap ingår alla tabeller som finns i kursplanen i grundskolan och de måste läras utantill för att få en fungerande huvudräkning/överslagsberäkning. Några viktiga räknelagar som är en förutsättning för huvudräkning är : Kommutativa lagen för addition, a + b b + a Kommutativa lagen för multiplikation a * b b * a Associativa lagen för addition (a + b) + c a + (b + c) Associativa lagen för multiplikation (a * b) *c a *(b * c) Distibutiva lagen a *(b + c) a * b + a * c Fantasi och kreativitet kommer till användning då eleverna vid huvudräkning inte låses fast av de krav som finns i samband med algoritmräkning. Matematikundervisningen handlar mycket om algoritmräkning ansåg Unenge (1988). Han menade även att huvudräkning som bedrivs i skolan ofta stannar vid tabellträning och en del andra övningar som gränsar till lek. Algoritmräkning följer givna mönster och rutiner vilket är tidsbesparande men Malmer (Kronqvist & Malmer 1993) ansåg att det kan sätta barnen i en farlig sits då de metodiskt, ofta utan att tänka efter så mycket, löser uppgifterna. Hon ansåg också att för tidig och ensidig användning av algoritmer hämmar barnens motivation för huvudräkning. En orsak till att mindre tid ägnas åt huvudräkning i skolan kan vara som Gudrun Malmer sa: En del lärare tror att man skall kunna ge eleverna kompetens i både huvudräkning och algoritmräkning. Jag anser att detta är orealistiskt med hänsyn till den tid som anslås ämnet. Man måste göra ett val. Citatet är hämtat ur Bra matematik för alla nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. (Malmer 1999, s. 178).

8 3 Tidigare forskning Över hela världen råder stor förvåning över att så lite forskning har bedrivits på överslagsräkning och huvudräkning medan det hela tiden tillkommer nya studier om räkneuppställningar (Magne, 1998). Forskning har visat på att elevernas kunskaper i överslagsräkning och huvudräkning är dåliga. KG Jonsson ( ) disputerade 1919 i Uppsala på en avhandling med titeln Undersökningar rörande problemräkningens förutsättningar och förlopp. Denna avhandling bygger till stor del på intervjuer med olika personer för att utröna vilka strategier de använder vid lösning av ett antal problem, både vid huvudräkning och algoritmräknande. Ivar Carleke publicerade 1975 en av de få svenska undersökningarna inom huvudräkning (Magne, 1998). Hans studie utfördes i årskurserna 5 och 6 och byggde på överslagsuppgifter ur svenska räkneläror för årskurserna 3-6. Carleke ansåg att prestationerna genomgående var för låga. En annan undersökning på detta område gjordes av Levine Levines analys ledde till samma slutsats som Carlekes, nämligen att eleven tänker, strävar efter att lyckas och försöker genomföra ett logiskt resonemang. HÖJMA-projektet är ett forskningsprojekt kring huvudräkning som startades 1979 (Unenge, 1999). Det viktigaste inslaget i projektet var att genomföra en studie av huvudräkningsförmågan hos ca 90 elever i årskurs 5. Eleverna fick lösa fyra uppgifter, presenterade ett i taget dels skriftligt på ett papper, dels muntligt. Examensarbeten Vid Luleå tekniska universitet har det tidigare skrivits examensarbeten om huvudräkning. Följande arbeten har jag läst igenom och tagit del av: Backeblad, U. gjorde under höstterminen 1995 en undersökning i en årskurs 6 var syfte var att arbeta med huvudräkning i addition och subtraktion samt att beskriva barns tankeformer och lösningsstrategier och studera hur de utvecklas. Resultaten som hon fick var att eleverna i undersökningen hade utvecklat sin förmåga att uttrycka sina tankeformer och lösningsstrategier. (Backeblad, 1995) Alm, E. & Knobloch, A-S. har även de gjort en undersökning i huvudräkning. Undersökningen genomfördes under fyra veckor i två klasser i årskurs 4 höstterminen Undersökningens syfte var att studera elevernas strategier vid huvudräkning och om de förändras när de medvetandegörs om andras strategier. Resultatet blev att eleverna vid undersökningens slut oftare valde en mer rationell strategi vid lösandet av huvudräkningsuppgifter. (Alm & Knobloch, 1996) Ytterligare ett arbete om huvudräkning har Lindvall, P. och Rönnqvist, J. gjort höstterminen 1997 i en årskurs 6. Syftet med undersökningen var att arbeta med huvudräkning och undersöka hur elevers färdigheter i huvudräkning utvecklas. De ville också studera hur elever tänker matematiskt då de löser huvudräkningsuppgifter. Resultatet av undersökningen blev att samtliga elever hade förbättrat sina kunskaper i huvudräkning. (Lindvall & Rönnqvist,1997)

9 4 Några huvudräknings metoder Vid all huvudräkning är det viktigt att först noga se efter vilka tal som ingår i beräkningen, om man t.ex. kan hitta någon struktur eller något samband som kan underlätta uträkningen (Malmer 1999). Ju större kunskap man har om talstrukturer och räknelagar desto större möjligheter har man att kunna använda huvudräkning/överslagsräkning som ett effektivt redskap. Öka här - minska där Vid addition kan det vara lämpligt med en överföring eller utjämning så att man får lika stora termer (Malmer 1990). Detta tillämpar barn mycket tidigt vid t.ex. dubbling. I exemplet tänker de och är det kan de tänka Multiplikation med 11 T.ex. i 11* 34 blir yttersiffrorna 3 och 4 och mittsiffran blir summan av dessa båda. 11 * Nedan följer några fler exempel. a) 11 * b) 11 * 4,4 48,4 c) 11 * d) 11 *3,6 39,6 Om summan av yttersiffrorna överstiger 9 blir det minnessiffra, som då läggs till den högre talenheten. T.ex. e) 11 * f) 11 * g) 11 *8,8 96,8 h) 11 *9,4 103,4 Dubbla/halvera Man tillämpar här den associativa lagen för multiplikation, (a * b) *c a *(b * c) t.ex. 8 *3,5 4*(2*3,5) 4* *18 8* *50 8* ,5 *18 7 *9 63 Distributivitet Man räknar med hjälp av den distributiva lagen. T.ex. 12 * 42 (10* 42) + (2* 42) (7 *1,75) + (3*1,75) 10*1,75 17,5 I en del fall kan det vara praktiskt att temporärt förändra ett tal, så att beräkningen blir lättare att hantera. Även här används den distributiva lagen. T.ex. 5 *197 (5* 200) - (5*3) * 27 (8* 25) + (8* 2)

10 5 Skriftlig huvudräkning Eleverna kan stärka sin taluppfattning genom att använda den skriftliga huvudräkningen (Kling, Nyström och Wolf-Watz, 1997). De utvecklar även sina kunskaper i positionssystemet 1 och får förståelse för sambanden mellan räknesätten och för vad likhetstecknet innebär. Birgitta Rockström (2000) har utvecklat en metod vid huvudräkning. Metoden heter skriftlig huvudräkning och går ut på att man skriver ner sina huvudräkningstankar i ett eller flera mellanled som förenklar uträkningen. Ett exempel på skriftlig huvudräkning är: Att skriva mellanledet är det svåraste momentet i skriftlig huvudräkning, men också det viktigaste. Det nerskrivna mellanledet ger läraren möjlighet att följa elevens tankegång och får en uppfattning om hur elevens förmåga utvecklas. Mellanledets uppgift är att förenkla uttrycket så att uträkningen blir enkel och felkällor kan elimineras. Rockström menar att det nedskrivna mellanledet bl.a. förenklar uträkningen, gör likhetstecknets innebörd tydlig, ger möjlighet att se och reflektera över sina tankar och är ett stöd för minnet som ger säkerhet. Tiotalsövergång Enligt min åsikt är denna metod en lättförståelig metod som jag hoppas eleverna kan ta till sig. Nedan följer några exempel på hur man tillämpar denna metod: Addition Man ökar den ena termen så att den blir ett helt tiotal. Sedan lägges ental och tiotal ihop Målet är att stäva efter att få en term till ett helt tiotal. Multiplikation 6 *14 6(10 + 4) Samma sak här; det är lättare att räkna ut (6*10) + (6* 4) i huvudet än att direkt räkna 6 * 14.Ytterligare ett exempel är 7 *18 7(10 + 8) Subtraktion Vid subtraktion tar man den svåra operationen först: (62-8) Den svåra operationen i räkningen ska utföras först pga. att den är lättare att hålla i minnet längre än den lätta och snabba som utförs sist. Skriftlig huvudräkning ska i denna metod ses som en övergångsfas. Den används endast i början för att få eleverna och inse vad metoden går ut på. Tiotalsövergången är en metod som fungerar på dessa tre räknesätten; addition, subtraktion och multiplikation. Det är i dessa tre räknesätt jag ska försöka lära eleverna tiotalsövergångsmetoden i huvudräkning. Enligt min åsikt är det viktigt att lära ut en bra huvudräkningsmetod som går att använda till nästan alla räknesätt. Jag tror att eleverna med hjälp av denna metod kan förstå sambandet mellan de olika räknesätten. Eleverna får med denna metod också större förståelse för vad de gör då de räknar och de ser att siffrorna faktiskt betyder någonting och att man kan skriva samma sak på flera olika sätt. Detta är också en nyttig övning inför kommande algebra. Det är viktigt att eleverna förstår vad ental, 1 Siffrans värde i talet bestäms av dess plats, dess position i talet. T.ex. betyder siffran 2 i talet 12 två ental.

11 6 tiotal och hundratal är för något innan de kan använda denna metod fullt ut. De måste även förstå hur man kan dela upp ental, tiotal och hundratal var för sig och sedan lägga ihop dem. Tiotalsövergången ger eleverna ett systematiskt tänkande. Den är även konstruktivistiskt utmanande för eleverna då de genom sina egna erfarenheter och kunskaper kan göra metoden till sin egen. Konstruktivism handlar om att eleven skapar sig en förståelse utifrån sina egna erfarenheter i förhållande till existerande kunskaper och förändrar den så att den passar individen. Tiotalsövergångsmetoden ger konsekvent träning i tiotalssystemet och stärker uppfattningen för siffrornas platsvärde. Metoden stärker även multiplikationstabellen. Jag tycker det är viktigt att understryka att det i huvudräkning inte finns någon grundläggande sammanfattande metod. Det viktigaste att förstå är logiken i hur huvudräkning fungerar. Vygotskijs proximala utvecklingszon Människor har stor kapacitet att lära sig bara de får undervisning eller handledning. (Hwang & Nilsson, 2000) När vuxna hjälper barn att uppnå olika saker som de inte klarar av på egen hand utvecklas barnen. Den proximala utvecklingen går ut på att barnen ska få utmaningar och uppgifter som sträcker sig något, men inte för mycket utöver deras aktuella förmåga, samtidigt som barnen genom råd och stöd får den handledning eller vägledning de behöver för att klara av uppgiften. Lev Vygotskij använde begreppet zon som beteckning på området mellan människans medvetande och omvärld. (Stensmo,1994) Med den proximala utvecklingszonen menas att inlärningen hos en individ sker inom en viss zon av möjliga aktiviteter och att den zonen varierar från individ till individ, men även för samma individ med tiden. Imitationen är nära förbunden med förståelsen. (Hydén, 1980) Det är i den proximala utvecklingszonen som inlärningen sker. Vad barnet kan göra idag med vuxenhjälp kommer det att vara kapabelt att göra självständigt imorgon. Vad sades om huvudräkning i Sverige förr i tiden? Skillnaden mellan huvudräkning och skriftlig räkning är att huvudräkningen sker utan att talen skrivs ned och utförs på ett annat vis än skriftlig räkning (Wigforss 1950). Att uträkningen skiljer sig åt beror på att man vid huvudräkning strävar efter att använda metoder som inte ställer för stora krav på minnet. Under det första skolåret är räkningen med hänsyn till sättet för utförandet huvudräkning, och först därefter tages arbetet med den skriftliga räkningen upp. Det gäller emellertid att ej heller under den senare skoltiden försumma huvudräkningen, och undervisningsplanen föreskriver direkt, att särskilda huvudräkningsövningar skall förekomma i alla klasser på folkskolestadiet tydligen för att markera, att den skriftliga räkningen ej får taga överhand på detta stadium. (Wigforss, 1950, s 9).

12 7 Kardinaltal och Ordinaltal Piaget ansåg att barn måste förstå idén bakom grundtal och ordningstal innan de kan sägas ha ett talbegrepp. (Turner 1977) Om ett heltal används för att ange hur många objekt som finns i en mängd kallas det ett kardinaltal. Kardinaltal är ett tal som svara på frågan hur många? (Thompson, 1996) Ett ordinaltal kan betraktas som ett adjektiv som beskriver i vilken ordning något kommer, t.ex. första, andra tredje osv. (Weisstein, 1999).. Innan man börjar med huvudräkningsundervisning är det viktigt att kontrollera och förvissa sig om att eleverna förstår och kan kardinalitetsprincipen - att det sista uppräknade räkneordet betecknar antalet för alla de räknade föremålen tillsammans i en räknad mängd.(ljungblad 2001) Det är även viktigt att barnen kan ordningstalen. Här ligger ofta svårigheten på orden; första, andra, fjärde, sjätte, vilka låter olika jämfört med siffran som de syftar till. När eleverna har en säker taluppfattning relaterar de automatiskt ordningstalet till rätt siffra på talraden. Eleverna måste även förstå samband och skillnad mellan ordningstal och antal. Ordinaltal betecknar ett objekt medan kardinaltal betecknar ett antal objekt. Förankring i styrdokument Läroplaner I varje utgiven undervisningsplan påpekas vikten av överslagsräkning, rimlighetskontroller och huvudräkning. I Lgr19 kan man läsa: Ett huvudsyfte med räkneundervisningen bör vara, att lärjungarna erhålla färdigheter i huvudräkning. Därför bör även de skriftliga övningarnas lösning huvudräkning komma till användning i så stor utsträckning som möjligt. Så ofta det finnes lämpligt, böra de åskådliggörande räkneexempel, som avse att införa lärjungarna på ett nytt område, väljas så, att de kunna lösas genom huvudräkning. De särskilda huvudräkningsövningarna, som äro upptagna i kursplanen, böra avse utom att främja räknefärdigheten jämväl att inlära lämpliga sätt för uppgifternas lösning. (Undervisningsplan för folkskolor,1919, s 57) I Lgr55 kan man läsa följande om huvudräkning i skolan: Ett huvudsyfte vid räkneundervisningen bör vara, att eleverna erhåller färdighet i huvudräkning. Så ofta de befinnes lämpligt, bör de åskådliggörande räkneexempel, som avse att inför lärjungarna på ett nytt område, väljas, så, att de kan lösas genom huvudräkning. Under den första skoltiden är all räkning huvudräkning. Efter införande av skriftliga metoder för uträkning av tecknade uppgifter blir särskilda huvudräkningsövningar behövliga. (Undervisningsplan för rikets folkskolor,1955,s 125) Ur Lpo94 kan man läsa följande: Skolan skall ansvara för att eleverna inhämtar och utvecklar sådana kunskaper som är nödvändiga för varje individ och samhällsmedlem. ( Lpo94,1994, s 11) Under rubriken mål att uppnå i grundskolan finns en punkt där det poängteras att eleven ska behärska grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet.

13 8 Kursplanen i matematik I den nuvarande kursplanen i matematik kan man läsa under rubriken mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret att Eleven skall ha grundläggande färdigheter att räkna med naturliga tal i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med miniräknare. För år 9 finns motsvarande formulering: har goda färdigheter i överslagsräkning och räkning med naturliga tal, tal i decimalform, samt med procent och proportionalitet: i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med miniräknare. (Utbildningsdepartementet, s 34) Enligt kursplanen i matematik (Utbildningsdepartementet, 2000) har grundskolan till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer, för att kunna tolka och använda det ökande flödet av information och för att kunna följa och delta i beslutsprocesser i samhället. Skolan skall i sin undervisning sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer. (Utbildningsdepartementet, 2000, s 1)

14 9 Syfte Syftet med min studie är att undersöka om eleverna efter min undervisning använder sig av huvudräkningsmetoden, som jag kallar tiotalsövergång, då de löser de centrala uppgifterna i undersökningen.

15 10 Metod Undersökningsgrupp Undersökningen utfördes i en årskurs 4,5,6 i Luleå kommun. Studien genomfördes på ett begränsat antal elever i klassen. Antal personer i undersökningsgruppen: 18 st Antal flickor i hela undersökningsgruppen: 7 st Antal pojkar i hela undersökningsgruppen:11 st De elever som valdes ut för att studeras närmare var de elever i gruppen som gick år 6. Antal utvalda elever som intervjuades muntligt: 4 st Antal flickor av de utvalda eleverna: 0 st Antal pojkar av de utvalda eleverna: 4 st Bortfall På Test 1 var elev K frånvarande. Under veckotest 1 var Elev R frånvarande och under veckotest 3 var elev A frånvarande. Material I min undersökning har jag använt mig av test 1, test 2, intervjuer, intervjuunderlag, eget arbetsmaterial, veckotest och dagboksanteckningar. Undersökningens upplägg Jag gjorde en förundersökning för att se vilken nivå i huvudräkning som eleverna låg på och vilka metoder de använde vid lösandet av centraluppgifterna. Detta genomfördes med hjälp av test 1 (se bilaga 1) och intervjuunderlag 1 (se bilaga 2). De centrala uppgifterna i undersökningen är uppgifter där svårigheterna lades. Förtestet fick alla i klassen genomföra. Det var uppbyggt så att det var 30 frågor och ibland dem hade jag lagt in 10 stycken centrala uppgifter där svårigheten lades. Dessa uppgifter hade stor skillnad mellan talen t.ex Dessa uppgifter gjordes så att eleverna i så liten utsträckning som möjligt skulle kunna använda sig av några finesser så som dubblor etc. De centrala uppgifterna var till för att eleverna skulle förstå och acceptera min metod. I testen ingick räknesätten addition, subtraktion och multiplikation. Alla elever fick sedan fylla i intervjuunderlag 1 skriftligt och sedan intervjuades de fyra utvalda eleverna muntligt enligt intervjuunderlag 1 för att se om de med ord menade samma sak som de skrev. Jag intervjuade en elev åt gången. Efter varje lektion jag höll i huvudräkning förde jag dagboksanteckningar (se bilaga 3) om hur lektionen gick, hur långt jag hann gå igenom, om det var något jag var tvungen att förklara närmare för eleverna mm. Jag antecknade även hur det gick för de speciellt utvalda eleverna jag studerade, men även hur det gick för övriga elever i undersökningsgruppen. I min

16 11 undervisning höll jag mig i stort till uppgifter av samma svårighetsgrad som de centrala uppgifterna i för- och eftertesten för att eleverna skulle förstå och ta till sig fördelarna med min metod. Elevernas arbetsmaterial återfinns i bilaga 4-6. I slutet av studien genomfördes en efterundersökning för att se om elevernas kunskaper i huvudräkning ökat efter att studien var genomförd. Men även för att se om min undervisning hade påverkat barnen. Eftertestet (se bilaga 7) som genomfördes var liknande förtestet där i stort sett samma centraluppgifter användes. De centraluppgifter som inte var lika på förtestet som på eftertestet var sådana att de kunde jämföras med varandra t.ex. går att jämföra med Då eftertestet hade utförts fick alla i undersökningsgruppen fylla i intervjuunderlag, tillfälle 2 (se bilaga 8). Sedan intervjuades de fyra utvalda eleverna en åt gången. Intervjuerna och testen jämfördes sedan för att se om och hur deras metod hade förändrats. Dokumentation Min dokumentation bestod av test 1 och 2, intervjuunderlag 1 och 2, veckotestet, intervjuer och min dagbok. I dagboken som jag förde varje dag finns mina övervägningar, hur lektionerna gick, vad vi gjorde och hur eleverna jobbade. Jag antecknade även diskussioner som uppkom med eleverna t.ex. om hur de tänkte då de löste uppgifter, vad de tyckte om min undervisning och övriga kommentarer om min undersökning mm. Tidsplan Januari 2002 Ämnesområdet bestämdes Februari 2002 PM inlämnades Mars 2002 Slutgiltigt PM godkändes April Maj 2002 Litteraturstudier Juni 2002 Teoridelen skrevs ner och lämnades in för granskning och godkännande September 2002 Teoridelen godkänd September 2002 Mars 2003 Förberedelser inför praktiken Mars 2003 Maj 2003 Genomförande av undersökningen Maj Sammanställning av resultat - Slutseminarie - Slutgiltig utformning av rapporten - Godkännande av examensarbete

17 12 Genomförande I januari 2002 bestämde jag mig för att mitt examensarbete skulle handla om huvudräkning. Jag inledde arbetet med litteratur studier som belyste ämnet. Dessa studier utmynnade i att teoridelen blev nedskriven i maj - juni Tiden fram till praktiken ägnade jag åt att sammanställa och gå igenom lämpliga matematikuppgifter, att göra intervjufrågor och förbättra teoridelen. Jag besökte även klassen som undersökningen skulle utföras i. Praktiken var förlagd till sju veckor, men undersökningen koncentrerades till 5 veckor. Veckan innan undersökningen startades ägnades åt att lära känna eleverna och få deras förtroende. Sista veckan användes som en avslutningsvecka. Undersökningen inleddes med ett oförberett huvudräkningstest. Testet gjordes för att utröna vilken huvudräkningsförmåga eleverna besatt. Eleverna fick sedan kontinuerlig undervisning i huvudräkning och tiotalsövergångsmetoden presenterades. Varje lektion började med att vi tillsammans på tavlan löste några uppgifter. Detta för att eleverna skulle få lite repetition från föregående lektion. Under undersökningens gång fick eleverna öva sig i huvudräkning med varierande uppgifter (se bilaga 4, 5 och 6). Varje vecka lade jag in ett så kallat. veckotest (se bilaga 9) som gick ut på att öva upp snabbheten i huvudräkning hos barnen. Det gick till så att jag bad barnen att på ett papper numrera Sedan förklarade jag att uppgifterna de skulle få höra endast sades en gång. Detta för att förhindra att de fick extra lång tid att tänka på. De skulle på angivet nummer skriva svaret på den uppgift de hörde. Om de inte kunde svaret på en uppgift skulle de hoppa över den och fortsätta på nästa. Uppgifterna lästes upp i ett speciellt tempo (30 sekunder mellan varje uppgift) som jag hade konstant genom hela undersökningen. I testet ingick uppgifter som tvingade eleverna att tänka enligt min metod men även andra uppgifter. Uppgifterna skiljde sig något från gång till gång. Då testet var slutfört bytte eleverna papper med varandra och rättade åt varandra. Under några lektioner lade jag in övningar i huvudräkning genom att använda den stora miniräknaren (se bilaga 10) som jag hade tillverkat i papper och satt på väggen. Jag började alltid med att slå några tal på den stora miniräknaren och eleverna fick räcka upp handen och svara om de kunde svaret. Efter det fick eleverna komma fram en och en och slå ett tal som klassen skulle lösa. Ett eftertest som utfördes på samma vis som förtestet gjordes i slutet av undersökningen och resultatet från testet visade en resultatförändring i jämförelse med förtestet.

18 13 Resultat Syftet med min undersökning var att se om jag lyckades lära eleverna en metod i huvudräkning som de sedan tog till sig och använde sig av på de centrala uppgifterna. Grunden till min undersökning var testen som gjordes i början och slutet av min praktik. (bilaga 1 och 7) Resultatet av dessa test har jag valt att redovisa i nedanstående diagram. Sammanställning av Test 1 och Test 2 för hela gruppen Reslutat Test 1 jämfört med Test 2 30 Antal rätt (Max 30) Test 1 Test 2 0 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R Elev Figur 1. Diagrammet visar hur många rätt eleverna hade på test 1 jämfört med test 2. Av diagrammet kan vi utläsa att de flesta elever har blivit bättre i huvudräkning vid tillfälle 2 än vid tillfälle 1. Av eleverna i undersökningsgruppen kan vi se att nästan alla har gått framåt utom elev D och G. Den elev som har förbättrat sitt resultat mest är elev P. Hon har förändrat sitt resultat med 17 poäng vilket är en förändring med 56,7 %. Tilläggas bör att elev P är en flicka i år 4. A, N, O, Q och R är andra elever som har förbättrat sitt resultat avsevärt. På grund av att Elev K var frånvarande vid tillfället då test 1 gjordes kan inte någon förändring utläsas av denna elevs resultat.

19 14 Medlevärde Test 1 jämfört med Test 2 30 Poäng (Max 30) ,24 23, Test Figur 2. Diagrammet visar medelpoängen på test 1 jämfört med test 2. Ur detta diagram kan vi se att undersökningsgruppen har förbättrat sitt medelresultat från test 1 till test 2 med 3,48 poäng vilket är en ökning med 11,6 %. Centraluppgifter test 1 jämfört med test 2 10 Antal rätt (Max 10) Test 1 Test 2 0 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R Elev Figur 3. Digrammet visar hur många rätt eleverna hade på centraluppgifterna på test 1 jämfört med test 2. Diagrammet visar att de flesta eleverna i undersökningsgruppen har förbättrat sitt resultat på de centrala uppgifterna på test 1 jämfört med test 2. Elev P har även på de centrala uppgifterna förbättrat sitt resultat. Hon har förbättrat sitt resultat med 6 poäng vilket är en förbättring med hela 60 %.

20 15 Medelvärde centraluppgifter på test 1 jämfört med test 2 Antal rätt (Max 10) ,27 6, Test Figur 4. Diagrammet visar medelvärdet på de centrala uppgifterna på test 1 jämfört med test 2. Av diagrammet kan vi utläsa att undersökningsgruppen har förbättrat sitt resultat på de centrala uppgifterna med 1,22 poäng, vilket är en förbättring med 12,2 % från test 1 till test 2. Var ligger svårigheten i de centrala uppgifterna? (1) 7 *14 (7 *10) + (7 * 4) Svårigheten här är att inse att man kan dela upp talet så att man först multiplicerar 7 och 4 och sedan 7 och 10 som sedan adderas ihop. (2) I den här uppgiften sker en tiotalsövergång där svårigheten i uppgiften ligger. (3) Svårigheten i denna uppgift är 100-tals övergången. (4) 20 * 36 I den här uppgiften måste man kunna dela upp talen i delar. ( 20*30) + (20*6) Svårigheten ligger alltså i att kunna dela upp talen och sedan addera dem. (5) 7 * 32 Denna uppgift måste också delas upp i delar; ( 7 *30) + (7 * 2) (6) Den här uppgiften kan delas upp på följande vis: ( 105 7) Det sker en övergång från 100 tal till 10 tal. (7) Denna uppgift måste också delas upp för att kunna lösas smidigt i huvudet. ( 122 8) Även här sker en övergång från 100 tal till 10 tal.

21 16 (8) Svårigheten i denna uppgift är det första steget då man adderar 5 och 65 för att få ett jämt tiotal. Detta måste man sedan hålla i minnet tills man adderar 70 och 22. (9) På liknande sätt ska denna uppgift lösas. Man måste först göra ett tal till ett jämt tiotal, sedan addera ihop 80 och det som blev över då man lånade 6 av 187, alltså 181. (10) 6 * 37 Denna uppgift delas upp i 6 * 7 och 6 * 30 sedan adderas dessa (11) Svårigheten i denna uppgift ligger i att kunna dela upp uppgiften och sedan lösa den (12) 40 * 46 Denna uppgift måste delas upp för att man lättare ska kunna räkna ut den i huvudet. ( 40* 40) + (40*6) Sammanställning av Test 1 och Test 2 för de fyra utvalda eleverna Test 1 jämfört med Test 2 - de fyra utvalda eleverna Antal rätt (Max 30) Elev A Elev B Elev C Elev D Test 1 Test 2 Elev Figur 4. Diagrammet visar hur många rätt de fyra utvalda eleverna hade på test 1 jämfört med test 2. Enligt de fyra utvalda elevernas resultat som visas i diagrammet kan vi se att elev A, B och C har förbättrat sitt resultat från test 1 till test 2 medan elev D har backat med 2 poäng från test 1 till test 2. Elev A har förbättrat sitt resultat med 7 poäng vilket är en förbättring med 23 %. Det är den största förändringen av de fyra utvalda elevernas resultat.

22 17 Resultat på centraluppgifter - de fyra utvalda eleverna Antal rätt (Max 10) Test 1 Test 2 0 Elev A Elev B Elev C Elev D Elev Figur 5. Diagrammet visar antal rätt som de utvalda eleverna hade på centraluppgifterna på test 1 jämfört med test 2. Vi kan ur detta diagram se att både elev A och C har alla rätt på de centrala uppgifterna vid tillfälle 2. Elev C hade alla rätt även vid tillfälle 1. Elev D:s resultat på de centrala uppgifterna har försämrats med 2 poäng. Intervjuunderlag och muntliga intervjuer Alla elever fick fylla i intervjuunderlag 1 och 2 skriftligt och någon dag efter det intervjuade jag de fyra utvalda eleverna muntligt enligt intervjuunderlag 1 och 2 för att se om de med ord menade samma sak som de skrev. Eleverna intervjuades en och en.

23 18 Nedan följer en sammanställning av hur eleverna i hela undersökningsgruppen skrev att de tänkte på de centrala uppgifterna enligt intervjuunderlag 1 och 2. Sammanställning intervjuunderlag 1 - hela undersökningsgruppen 1-tal, 10-tal, 100-tal var för sig Antal elever (18 st) * * Uppgift * Algoritm Inget svar Tänkte i huvudet Egen metod Räknade upp från ett känt tal Figur 6. Diagrammet visar hur eleverna i hela gruppen svarade att de tänkte i intervjuunderlag 1. Ur Diagrammet kan vi se att ingen av eleverna använde metoden tiotalsövergång då de löste de centrala uppgifterna i intervjuunderlag 1. De dominerande metoderna som eleverna använde för att lösa dessa uppgifter var algoritmer i huvudet och att dela upp talen i 100-tal, 10-tal och 1-tal var för sig, vilket för vissa vållade problem vid subtraktion. Vi ser också att det på några av uppgifterna var elever som inte svarade något alls.

24 19 Sammanställning intervjuunderlag 2 - hela undersökningsgruppen 1-tal, 10- tal, 100-tal var för sig Algoritm Antal elever (18 st) Tänkte i huvudet Egen metod Tiotalsöver gång * * Uppgift * Figur 7. Diagrammet visar hur eleverna i hela gruppen svarade att de tänkte i intervjuunderlag 2. Ur detta diagram kan vi se att eleverna har använt tiotalsövergångsmetoden för att lösa några uppgifter i intervjuunderlag 2. Diagrammet visar tydligt att flera av eleverna använder tiotalsövergångsmetoden på multiplikationsuppgifterna och några även på de andra uppgifterna. Användandet av algoritmer i huvudet har minskat sen tillfälle 1. Däremot är det fortfarande många som använder metoden att dela upp uppgiften i 100-tal, 10-tal och 1-tal var för sig.

25 20 Nedan följer en sammanställning över hur de fyra utvalda eleverna svarade att de tänkte både skriftligt och i de muntliga intervjuerna. Tabell 1. Tabellen visar hur elev A skriver att han tänker jämfört med hur han säger att han tänker på de centrala uppgifterna i test 1och test 2. Uppgift Skriftligt Muntligt Test 1 Test 2 Test 1 Test 2 Test 1 Test tal, 10-tal, 1- tal var för sig 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig 7*14 7*14 Algoritm Tiotalsövergång 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Tiotalsövergång Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Algoritm Egen metod 20*36 40*46 Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Såg vad det blev Algoritm Egen metod 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig 7*32 6*37 Algoritm Tiotalsövergång 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Tiotalsövergång Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Algoritm Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Egen metod Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig tal, 10-tal, 1-tal var för sig 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Av denna tabell kan vi utläsa att elev A vid test 1 mest använde sig av att tänka algoritm i huvudet medan han vid test 2 har gått ifrån den metoden på de flesta uppgifterna. Däremot har eleven vid tillfälle 1 och tillfälle 2 inte skrivit att han tänker som han säger att han tänker på flera av uppgifterna. Den egna metoden eleven använde var en kombination av tiotalsövergångsmetoden och att dela upp i 100-tal, 10-tal och 1 tal men eleven hade svårt att förklara hur han tänkte.

26 21 Tabell 2. Tabellen visar hur elev B skriver att han tänker jämfört med hur han säger att han tänker på de centrala uppgifterna i test 1 och test 2. Uppgift Skriftligt Muntligt Test 1 Test 2 Test 1 Test 2 Test 1 Test Algoritm Tiotalsövergång Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig 7*14 7*14 Inget svar Tiotalsövergång Adderar 14, 7 gånger Tiotalsövergång Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Algoritm Tiotalsövergång 20*36 40*46 Inget svar Tiotalsövergång Såg vad det blev Tiotalsövergång Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Algoritm Algoritm Egen metod 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig 7*32 6*37 Inget svar Tiotalsövergång Algoritm Tiotalsövergång Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Såg vad det blev 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Algoritm Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Såg vad det blev 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig tal, 10-tal, 1-tal var för sig 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Elev B tänker vid första tillfället mest algoritmer i huvudet. Han kan inte heller vid tillfälle 1 lösa någon av multiplikationsuppgifterna skriftligt men det går lite bättre vid den muntliga intervjun. Dessutom säger han på uppgiften 20*36 att han ser vad det blir, han kom fram till ett svar men svaret var inte rätt. Vid tillfälle 2 ser vi att eleven har börjat använda tiotalsövergång på multiplikationsuppgifterna och kan nu lösa dem. Han säger även att han använder den metoden på dessa uppgifter. Han har vid tillfälle 2 slutat använda algoritmer på de andra uppgifterna och använder istället metoden att dela upp uppgiften i 100-tal, 10-tal, och 1-tal var för sig.

27 22 Tabell 3. Tabellen visar hur elev C skriver att han tänker jämfört med hur han säger att han tänker på de centrala uppgifterna i test 1 och test 2. Uppgift Skriftligt Muntligt Test 1 Test 2 Test 1 Test 2 Test 1 Test Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm 7*14 7*14 Algoritm Algoritm Algoritm Tiotalsövergång Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm 20*36 40*46 Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Såg vad det blev Algoritm Algoritm Såg vad det blev Såg vad det blev 7*32 6*37 Algoritm Algoritm Såg vad det blev Tiotalsövergång Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Såg vad det blev Algoritm Algoritm 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Algoritm Algoritm Elev C använder på test 1 endast metoden att tänka algoritm i huvudet. Vid den muntliga intervjun har han lärt sig några av talen och säger då att han ser vad det blir direkt. Han använder fortfarande vid tillfälle 2 algoritmer som sin metod i huvudräkning. Men vid den muntliga intervjun säger han att han faktiskt använder tiotalsövergångsmetoden då han ska räkna huvudräkning på multiplikationsuppgifterna. Där tycker han att den fungerar bra.

28 23 Tabell 4. Tabellen visar hur elev D skriver att han tänker jämfört med hur han säger att han tänker på de centrala uppgifterna i test 1 och test 2. Uppgift Skriftligt Muntligt Test 1 Test 2 Test 1 Test 2 Test 1 Test Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm 7*14 7*14 Algoritm Tiotalsövergång 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Tiotalsövergång Algoritm Algoritm Algoritm Tiotalsövergång 20*36 40*46 Algoritm Tiotalsövergång Algoritm Tiotalsövergång Algoritm Algoritm Algoritm Tiotalsövergång Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm 7*32 6*37 Algoritm Tiotalsövergång Algoritm Tiotalsövergång Algoritm Såg vad det blev 100-tal, 10-tal, 1-tal var för sig Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Algoritm Elev D skriver oftast som han säger att han tänker, på test 1 skriver han att han tänker algoritm på alla uppgifter medan han på två uppgifter säger att han delar upp uppgiften i 100- tal, 10-tal, 1-tal. Vid tillfälle 2 har eleven börjat använda sig av tiotalsövergångsmetoden på multiplikationsuppgifterna men han håller fortfarande fast vid att räkna algoritm i huvudet på de flesta uppgifter.

29 24 Veckotest Veckotesten med 10 uppgifter per gång genomfördes en gång i veckan i 4 veckor. Eleverna fick höra uppgifterna en gång och det var 30 sekunder mellan uppgifterna. Uppgifterna på testerna finns i bilaga 9. Nedan följer en tabell över hur många rätt eleverna hade på de olika testarna. Ett diagram över detta återfinns i bilaga 11. Tabell 5. Tabellen visar hur många rätt eleverna hade på veckotesten. Elev Veckotest 1 Veckotest 2 Veckotest 3 Veckotest 4 A (år 6) 10 9 Deltog ej 10 B (år 6) C (år 6) D (år 6) E (år 4) F (år 5) G (år 4) H (år 5) I (år 5) J (år 5) K (år 4) L (år 4) M (år 5) N (år 4) O (år 5) P (år 4) Q (år 5) R (år 4) Deltog ej Av tabellen kan man se att många elever redan från början var duktiga i huvudräkning, men det finns några som har förbättrat sina resultat på veckotesten betydligt t.ex. elev L, O, och R.

30 25 Medelpoäng Veckotesten Poäng ,12 6,5 8 7, Veckotest Figur 8. Diagrammet visar medelpoängen på veckotesten. Diagrammet visar att eleverna har legat ungefär på samma nivå under alla veckotester, medelpoängen skiljer sig inte så mycket från gång till gång. Men om man tittar på veckotest 1 jämfört med test 4 har eleverna ändå ökat sin medelpoäng med 0,6 poäng. Dagboksanteckningar I dagboken antecknade jag intressanta diskussioner, kommentarer från både elever och lärare. Jag antecknade även vad vi gjorde under lektionerna och hur eleverna arbetade under lektionerna. Dagboksanteckningarna finns nedskrivna i bilaga 3. Elevernas kommentarer angående undersökningen Av utvärderingen (se bilaga 12) som gjordes i slutet av praktikperioden fick jag veta en hel del av vad eleverna tyckte om arbetet och framför allt om de själva tyckte att de hade lärt sig något. Citaten nedan är hämtade från det eleverna skrev på utvärderingen. Vad tycker du om arbetet med huvudräkning som vi har gjort då jag har varit här? Varför tycker du så? - Det har varit ganska kul och jobba med huvudräkning. Jag har lärt mig - Ibland var det kul och ibland tråkigt. När det var kul så var det för att jag var på humör och gånger pappret var också kul. Det tråkiga var att vi jobbade så ofta med det - Jag tycker att det har varit kul med huvudräkning! För att jag har lärt mig att räkna i huvudet och lite gånger. - Det har varit jätte roligt när du har varit här hos oss. Jag har lärt mig många nya sätt att räkna på. - Det var bra för att det är bra att kuna räkna huvudräkning. - De var veldigt roligt med sånt räknesetet - Jag tyckte det var tråkigt i början!!!! För att jag tycker inte om addition och subtraktion. - Jag tycker om dig som person men jag tycker det var tråkigt med huvudräkningen. Miniräknaren var LITE rolig. Därför att matte är mitt hatämne - Jag tycker att det har varit ganska kul. För jag har lärt mig lite grann. - Roligt för att matte är ganska kul. - Jag tycker det är bra. Därför det roligt att lära sig huvudräkning. - Jag tycker det inte det är så jätteroligt och det var ganska jobbigt. För att jag inte tycker matte är så roligt.

31 26 Tycker du att du har lärt dig något av mig? Vad i så fall? - Jag har lärt mig andra sätt att räkna och inte bara gå rakt på sak - Jo! Huvudräkning har jag lärt mig lite bättre - Jag tycker att jag har lärt mig massor och det var att räkna huvudräkning - Jo, självklart! Mycket gånger och plus. - Ja, te.x. att dela upp - Jag har lärt mig att tänka minus mycke lättare och plus. - Jetemycket!! Jag trode aldrig att jag skyle klara gonger. - Ja. Att räkna snabbare i huvudet. - huvudräkning, mer gånger - Ja, jag tror att jag räknar snabbare. - Tänka bättre huvudräkning - Jag har lärt mig typ Många tal! - Jag har lärt mig något. Hur man kan räkna så att det blir lite lättare. Tror du att du kommer att fortsätta att använda de metoder i huvudräkning som jag har lärt er? När i så fall? - Jag kommer att använda den på lite högre tal när jag får problem - Ja! Det tror jag, och i så fall när man ska tänka huvudräkning eller i matteboken - Ja det kommer jag att göra och det kommer jag att göra när det är kris. - Ja, när det komer en huvudräknings upgift - JA!! I högstadiet och nu i melan stadiet. - Bara multi. Om jag har nå prov med det eller i matteboken. - Kanske lite gann. Mina gamla vanor sitter som berg. - När jag räknar matte. - Ja det tror jag. När jag ska räkna såklart. - Det tror jag, När jag behöver det. På frågan: Tycker du att jag har varit till någon hjälp i klassen? Har jag hjälpt dig med något? När och hur i så fall? fick jag en kommentar som verkligen värmde hjärtat: - Du har jelpt mig att kunna ha roligt med matte Några andra kommentarer på denna frågan var t.ex: - Tja, du har väl gjort oss snabbare i huvudräkning. - Ja det tycker jag. Du har lärt mig ett bra räknesätt. Ett lätt räknesätt.

32 27 Diskussion Reliabilitet Reliabiliteten avser mätmetodens tillförlitlighet. Mätinstrumenten i denna undersökning har varit ett förtest, ett eftertest samt skriftliga och muntliga intervjuer. I de båda testen är antalet uppgifter lika. De är även av samma svårighetsgrad. De centrala uppgifterna i undersökningen är sådana att de går att jämföra med varandra. Vid de skriftliga intervjuerna fick eleverna med egna ord förklara hur de tänkte, enligt intervjuunderlag 1 och 2. Vid de muntliga intervjuerna gav jag inte medvetet ifrån mig signaler om eleven löste uppgifterna rätt eller fel, utan uppmuntrade eleven mellan uppgifterna och påpekade att det var sättet eleven tänkte på som var det intressanta. Valet av denna mätmetod gjorde jag utifrån syftet med undersökningen, dvs. att se om eleverna efter min undervisning använde sig av tiotalsövergångsmetoden då de löste de centrala uppgifterna i undersökningen. Tillförlitligheten i denna undersökning påverkas av många faktorer. Jag är t.ex. en faktor. Jag hade bara varit i klassen i en vecka innan undersökningen påbörjades. Detta kan ha bidragit till att resultatet har påverkats då eleverna inte kände mig ordentligt. Resultatet hade kanske blivit annorlunda om elevernas lärare genomfört undersökningen. Då kanske eleverna hade lärt sig mer. Eftersom några elever i gruppen är ganska ojämna vad gäller deras prestationer kan resultatet ha påverkats av deras dagsform. Intervjuunderlaget gjordes skriftligt av alla elever. Efter det intervjuades de fyra utvalda eleverna för att se om de med ord menade samma sak som de skrev. Detta för att få resultatet så tillförlitligt som möjligt. Tidsbegränsningen är en stor faktor som kan ha påverkat resultatet. Strejken som bröt ut under den sista praktikveckan ledde till att skolan stängde. Detta gjorde att tiden tillsammans med eleverna blev kortare än tänkt. Jag hann dock göra klart undersökningen innan strejken bröt ut. Men hade det inte blivit strejk under min praktikperiod så hade jag låtit eleverna jobba längre med mina uppgifter innan jag utförde eftertestet. Vid undersökningen har jag använt mig av flera metoder som kompletterar varandra. Test 1 och test 2 var i stort sett lika. Detta för att göra resultaten jämförbara. Då testen gjordes fanns det elever som inte orkade koncentrera sig hela tiden eller som för fort gav upp försöken att lösa uppgifterna. För att få dessa elever att orka koncentrera sig under hela testet, hade testen kunnat delas upp i mindre delar. Detta hade kanske kunnat påverka resultatet positivt. Då sammanställningen av resultaten gjordes, hade det varit bra om en person till hade granskat resultaten och givit sin syn på dem. Jag anser ändå att reliabiliteten i undersökningen är god, med tanke på omständigheterna. För att få en bättre reliabilitet behövs det mer tid och fler undersökningspersoner.