Tankar om elevtankar

Transkript

1 Tankar om elevtankar HÖJMA-projektet JAN UNENGE HÖJMA-projektet drivs vid Högskolan i Jönköping, avdelningen för matematik. Det bekostas med medel för forskningsanknytning som numera finns inom varje högskoleregion, avsedda bland annat för att inom grundutbildningen skapa kontakt med aktuell forskning. Projektet startade höstterminen 1979 och kommer läsåret 1980/81 att fortsätta med undersökningar av inlärningsproblem bland elever på låg- och mellanstadiet. Presentation Tre frågor har alltid och självklart dominerat debatter kring matematikämnet: Vad skall kursen innehålla? Varför skall kursen innehålla detta? Hur skall detta läras ut? Den tredje frågan har dominerats av ett mer eller mindre kvalificerat tyckande. Inte sällan ett kvalificerat tyckande, det skall erkännas, för en rutinerad lärare skaffar sig naturligtvis under åren en metod som verkar framgångsrik eller åtminstone väl fungerande. Man kan ändra den tredje frågan i ett enda litet avseende: Hur lärs detta in (av eleverna)? Den frågan har fått intressanta bidrag genom det s k BMN-projektet under Leif Lybecks ledning. Han har tillsammans med Bengt Johansson bl a i NÄMNAREN presenterat delar av projektet. (Se även artikel s 51 i detta nummer.) Den intressanta idén är, att man genom att intervjua enskilda elever skaffat sig en uppfattning om hur eleven i sin ensamhet tänker när han skall lösa ett problem. Man har alltså inte frågat t ex Vad menas med proportionalitet? utan givit eleverna en konkret räkneuppgift inom detta moment och studerat deras lösningsstrategier.

2 Det har visat sig att många elever "inte gör som vi säger åt dem" utan hittar egna, mer eller mindre bra lösningsmetoder. Metoden kan kallas mindre bra om den inte fungerar i nästa steg eller nästa moment. Om den däremot gör det men ändå inte överensstämmer med den av läraren/läroboken presenterade leder ju detta till en intressant metoddebatt: Varför "köper" inte eleven lärarens metod utan skaffar sig en egen? Det kan ju vara varan/lösningsmetoden som inte är attraktiv, det kan vara själva försäljningsmetoden som är dålig. Kanske är elevens metod bättre därför att den har en bättre förankring i elevens verklighet? Det är de här frågorna som ligger bakom starten av HÖJMAprojektet vid Högskolan i Jönköping, och som kommer att presenteras i några artiklar i NÄMNAREN. Jag har i projektet haft glädjen att få samarbeta med Leif Lybeck och Bengt Johansson. Ett antal lärarkandidater på mellanstadielärarlinjens tillvalskurs i matematik genomförde en undersökning i BMN-projektets anda lärarkandidaterna finns f ö presenterade på bild i NÄM- NAREN nr 4, 79/80, då som en revyensemble. Undersökningen genomfördes i klasser ur årskurs 6, där eleverna fick ett antal uppgifter och 'tänka högt' under lösandet. Allt spelades in på band och intervjuerna penetrerades sedan noga och lösningsmetoderna klassificerades. Uppgifterna gällde fyra olika moment: huvudräkning med naturliga tal, procenträkning, uppgifter kring tid samt proportionalitet. I den första artikeln presenteras en del resultat och tankar kring huvudräkningsuppgifterna. Huvudräkning ett moment som kräver undervisning? Fyra enkla uppgifter Fyra enkla (?) frågor a Hur tänker du själv när du skall räkna ut dessa uppgifter? b Hur tror du att dina elever tänker när de löser uppgifterna? c Om en elev ber om hjälp hur försöker du få eleven att lösa uppgiften? d Hur mycket undervisar du i huvudräkningsteknik? Några kommentarer till frågorna a Spontant svarar man gärna att man inte vet hur man egentligen räknar... man 'vet ju' att är 49. Men försök ändå att analysera hur du tänker och kanske framför allt om du ändrar lösningsstrategi allteftersom uppgiften ändras.

3 b Säkert löser eleverna på olika sätt försök fundera ut olika tänkbara lösningsmetoder. c Vilka diskussioner kan du tänka dig föra med eleven? d Jovisst är det en samvetsfråga. Huvudräkning förekommer säkert ofta, men ofta kanske det blir av typen glosförhör, det vill säga man konstaterar som lärare bara om ett svar är rätt eller fel och låter frågan gå till en annan elev om svaret är fel. Stanna gärna upp här och fundera över frågorna innan du läser vidare! I undersökningen gavs uppgifterna muntligt om inte eleven särskilt bad att få uppgiften nedskriven på papper. Eleverna hade tillgång till papper och penna men ombads att först försöka klara hela uppgiften som ren huvudräkning. Låt oss börja med en intervju. I: Hur mycket är 25 plus 24? E: 49 I: Hur fick du det? E: Ja, två å två är fyra och fem och fyra är nio så då blir det fyrtionio. I: Jaha. Hur mycket är 39 plus 13? E: Fyrtio... tolv... nej, fyra... tolv... fyrahundratolv... nejnej... fyrtio, femtio... det blir femtiotvå.

4 I: Just det. Hur mycket är 26 minus 19? E: Tjugosex minus nitton... det blir tretton. I: Hur räknar du då? E: Jo två minus ett blir ett och sex minus nio blir tre så då blir det ett å tre så då blir det tretton. I: Då tar vi 401 minus 397. E: Oj va stora siffror, va sa du? I: (Skriver på papperet på en rad ) E: Jaha ja... det blir ett åsså nio åsså åtta... nej sex... få se nu ett... å nio... å vad sa jag... sex... det blir etthundranittiosex. Kommentarer till exemplet Den här eleven börjar inte med entalen och i första uppgiften medför det ju inga problem. När det gällde förstod eleven efter en stund att svaret inte kunde bli över 400 och rättade sig själv fast han alltså höll fast vid att 'räkna från vänster'. Vid subtraktionen kunde han emellertid inte förutse att han måste växla ett tiotal och reflekterade inte heller över att svaret måste vara fel. Han gör också det ganska vanliga felet att när 6 minus 9 "inte går" så tar man 9 minus 6 i stället. Han använder sedan samma metod på uppgiften och får naturligtvis fel svar. Felet eleven gör är alltså att han räknar från vänster. Men i grunden är det antagligen bristande taluppfattning i den meningen att han inte har en bild av talens storlek. Att 26 och 19 ligger så nära varann att svaret inte kan bli 13 och att differensen mellan 401 och 397 är liten ser han inte heller. De redovisade lösningsstrategierna kan sammanställas på följande sätt. Totalt intervjuades 51 elever i åk 6. A "Direkt huvudräkning" Räknar från vänster (alla rätt svar) (alla rätt svar) (10 rätt svar) (3 rätt svar) B Algoritmuppställning I huvudet (alla rätt svar) (9 rätt svar) (4 rätt svar) (4 rätt svar) Räknar från höger 5 (alla rätt svar) 1 (rätt svar) 10 (alla rätt svar) 0 På papper (på egen begäran) (rätt svar) 5 (2 rätt svar)

5 C Ramsräkning (båda rätt svar) (alla rätt svar) 11 börjar nerifrån 20, 21, (alla rätt svar) 12 börjar nerifrån 398, Kommentarer A Man kan tolka tabellen så att av de 31 som börjar med att räkna från vänster inser sedan 16 stycken att metoden är sämre när man kommer till subtraktion. Det blir svårare att hålla reda på siffrorna när det blir växling och lån. Undersökningar jag gjort senare antyder att elever med matematiksvårigheter och inte minst med svag taluppfattning, har mycket svårt att ändra lösningsstrategi. En sådan grupp elever som fick uppgifterna , 16+11, klarade de två första men inte den tredje. Liknande tendenser finns när man ger elever serien uppgifter , , Elever med god taluppfattning förmår ändra strategi, till exempel sluta 'ramsräkna' när de kommer till B Att tänka sig en algoritmuppställning i huvudet är väl att anse som en ganska dålig huvudräkningsmetod. Den fungerar ju också sämre ju mer komplicerade uppgifterna blir ju mer angeläget det blir att finna en bra lösningsmetod ju sämre blir med andra ord denna. De 5 som räknade fel på uppgiften klarade inte det som brukar kallas "lån över noll". C Ramsräkning är en framgångsrik metod om man inser att talen ligger nära varandra. Vi blev överraskade över att alla som använde metoden lyckades börja med rätt tal annars tycks det inte vara ovanligt att elever som på detta sätt skall klara börjar ramsräknandet med 26 (eller 19) och i detta exempel i så fall får svaret 8.

6 Undersökningar av detta slag ger naturligtvis exempel på alldeles egna metoder i detta ords två bemärkelser. Metoder där man blir förbluffad över hur komplicerat elever faktiskt kan räkna och ändå få rätt svar. Jag överlåter åt läsaren att fundera över om de här exemplen kan sägas vara bra metoder som fungerar i längden. Tjugosex minus nitton... jo jag höjer tjugosex till trettio och sjunker (!!) nitton till tio och trettio minus tio är tjugo. Men då har jag lurat talet på fyra till trettio och på nio till tio och nio och fyra är tretton och tjugo minus tretton är sju. Och helt logiskt: Fyrahundraen blir fyrahundratio och trehundranittiosju blir trehundranittio och lurandet blir nio och sju som är sexton och tjugo från det blir fyra så det var ju ingen konst. Nej, förvisso inte. Några elever hittar för uppgiften lämpliga associationer. En kortspelande elev konstaterade att var "spaderkorten som fattades" och att var detsamma som 13 6 och alltså fattas det sju kort. I kommande artiklar skall vi se exempel på än mer våghalsiga paralleller till det så kallade livet. Lärarkandidaternas första reaktion kan sägas vara två överraskningar. Den ena att eleverna använde så många olika metoder, den andra att så många hade svårt att klara ut relativt enkla subtraktioner som huvudräkning.

7 Under en praktikperiod försökte några sig på att ge systematisk huvudräkningsundervisning. De hade då en uppsättning uppgifter där de väsentliga stegen var övergång från addition och subtraktion med tio till 11, 12, 9, 8 dvs , 53 10, , 54 9, , 57 8 osv. Den spontana erfarenheten från dessa övningar var att eleverna lätt klarade addition och subtraktion med 10 samt addition med 11 genom att räkna "tio plus ett". Även addition med 12 gick någorlunda bra. När man kom till subtraktion med 9 och 11 fungerade dock inte metoden spontant utan eleverna började fundera över växling och lån. Efter lite undervisning gick det dock ganska bra att räkna 73 9 som Kanske är det dags för mer systematisk undervisning i huvudräknandets ädla konst? Men samtidigt gäller det säkert att på olika sätt försöka ge eleverna en uppfattning om tal och tals (inbördes) storlek. Till sist: Det vore roligt med erfarenheter och reaktioner kring de problem som behandlats i denna artikel. Kanske kan vi få igång en metodisk debatt kring huvudräkningsundervisning?