Räkna med bråk. Om gymnasieelevers kunskaper i multiplikation och division av bråk. Examensarbete

Transkript

1 Examensarbete Räkna med bråk Om gymnasieelevers kunskaper i multiplikation och division av bråk Ida Lindgren Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad Kurskod: GO7494

2 Examensarbete 30 hp i Lärarutbildningen Vårterminen 2011 ABSTRAKT Ida Lindgren Räkna med bråk Om gymnasieelevers kunskaper i multiplikation och division av bråk Calculations with fraction About upper secondary school students knowledge in multiplication and division of fraction Antal sidor: 71 Tidigare forskning visar att bråk är ett område där många elever har problem. Syftet med den här studien är att studera gymnasieelevers matematiska kunskaper i multiplikation och division av bråk. Elevernas kunskaper studerades utifrån en konstruktivistisk syn på kunskap och med procedurell och konceptuell kunskap som analysverktyg. 61 elever från kursen Matematik A har löst totalt 10 uppgifter med multiplikation och division av bråk. 7 av eleverna intervjuades dessutom för att få en bättre uppfattning om deras kunskaper. Elevernas kunskaper kategoriserades sedan utifrån procedurella- och konceptuella kvaliteter. Resultatet visar att eleverna främst använder algoritmer för att lösa uppgifterna men även andra strategier som till exempel att skriva bråken som decimaler förekommer. Elevernas kunskap i multiplikation och division av bråk är av procedurell karaktär med fokus på att komma ihåg algoritmer för att lösa uppgifterna. Elevernas konceptuella kunskaper i bråkräkning är överlag inte lika utvecklade. Det framkommer genom att eleverna visar på svårigheter att lösa uppgifter i vissa sammanhang, bristande förståelse för betydelsen av beräkningarna och för varför de olika algoritmerna fungerar. Sökord: Bråkräkning, Multiplikation och division av bråk, Procedurell och konceptuell kunskap Keywords: Fractions arithmetic, Multiplication and division of fraction, Procedural and conceptual knowledge Postadress Linnéuniversitetet Växjö Gatuadress Universitetsplatsen Telefon

3 Examensarbete 30 hp i Lärarutbildningen Vårterminen 2011 ABSTRACT Ida Lindgren Räkna med bråk Om gymnasieelevers kunskaper i multiplikation och division av bråk Calculations with fraction About upper secondary school students knowledge in multiplication and division of fraction Antal sidor: 71 Earlier researches show that fraction is an area where many students have problems. The aim with this essay is to study upper secondary school students mathematical knowledge in multiplication and division of fraction. The students knowledge will be studied from a constructivistic perspective of knowledge and with procedural and conceptual knowledge as an instrument for the analysis. 61 students from the course Matematik A have solved totally 10 mathematical problems with multiplication and division of fraction. 7 of the students were furthermore interviewed to get a better understanding of their knowledge. The students knowledge were then categorized from procedurally and conceptually qualities. The result shows that the students primarily use algorithms to solve the problems but also other strategies as example to write the fraction as decimals occur. The students knowledge in multiplication and division of fraction is of procedural character with focus on remembering the algorithms for the different types of problems. The students conceptually knowledge in fraction arithmetic is overall not fully developed. It comes out by the students difficulties to solve problems in certain context, deficient understanding of the meaning of the calculations and why the different algorithms work. Sökord: Bråkräkning, Multiplikation och division av bråk, Procedurell och konceptuell kunskap Keywords: Fractions arithmetic, Multiplication and division of fraction, Procedural and conceptual knowledge Postadress Linnéuniversitetet Växjö Gatuadress Universitetsplatsen Telefon

4 Innehållsförteckning 1. Inledning Syfte och frågeställningar Frågeställningar Avgränsningar Teoretiska utgångspunkter Konstruktivism som teori för lärande Definition av konstruktivistisk kunskap Assimilation och ackommodation Empirisk och reflektiv abstraktion Procedurell/Konceptuell kunskapssyn Procedurell kunskap Konceptuell kunskap Relationen mellan konceptuell och procedurell kunskap Procedurell/ konceptuell undervisning Bråkbegreppet Bråkens olika skepnader Multiplikation och division med bråk Strategier för multiplikation och division med bråk Använder algoritm Utnyttjar täljarens innebörd som antalet enheter Dividera täljarna för sig och nämnarna för sig Areamodell Göra om bråken till decimal Algebraisk strategi Elevers bråkkunskaper Procedurella och konceptuella kunskaper i bråk Procedurella brister Konceptuella brister Orsaker till elevernas fel i räkning med multiplikation och division av bråk Diagnoser i bråk Metod Datainsamlingsmetod Diagnosens utformning Intervjuns utformning Reliabilitet och validitet Urval Genomförande Genomförande av diagnos Genomförande av intervju... 35

5 4.3.3 Bearbetning av data Etiska överväganden Resultat Resultat på diagnosen Strategier Använder algoritm Utnyttjar täljarens innebörd som antalet enheter Dividera täljare för sig och nämnare för sig Skriver bråken som decimal Algebraisk strategi Ingen strategi Kvaliteter av matematisk kunskap i elevernas lösningar Procedurell kunskap Konceptuell kunskap Relationen mellan procedurell och konceptuell kunskap Sammanfattning Strategier som eleverna använder sig av Kvaliteter i elevernas kunskaper Diskussion Resultatdiskussion Strategier för att lösa uppgifterna Procedurell kunskap Konceptuell kunskap Relationen mellan konceptuell och procedurell kunskap Metoddiskussion Fortsatt forskning Implikationer för undervisningen Referenser Bilagor

6 1. Inledning I media ständigt nya rapporter om att svenska elevers resultat i matematik blir allt sämre, att ett stort antal av de ungdomar som går ut gymnasiet idag inte har tillräckliga kunskaper för att klara av den matematik som anses nödvändig för ett aktivt liv i dagens samhälle. Programme for International Student Assessment (PISA) och International Mathematics and Science Study (TIMSS) har oberoende av varandra genomfört internationella studier av elevers kunskaper i matematik. Båda undersökningarna visar att svenska elevers matematikkunskaper försämrats avsevärt de senaste åren. Svenska elever ligger nu något under medelnivån och är ett av de få länder som har försämrat sina resultat under 2000-talet (Skolverket, 2008; Skolverket, 2010). Enligt Bentley (2010) har svenska elevers matematikkunskaper sjunkit motsvarande ett års studie mellan åren 1995 och Mitt intresse är att mer ingående studera elevernas matematiska kunskaper. Genom att undersöka hur eleverna löser matematiska uppgifter hoppas jag kunna få en bild av kvaliteten på deras kunskaper. Flera forskare antyder att bråk är ett område där elever har stora svårigheter (Charalambous & Pitta- Pantazi, 2007; Engström, 1997; Li & Smith, 2007; Son, 2005). Bråk är dessutom den första mer avancerade matematik som eleverna lär sig i skolan (Engström, 1997). Lamon (2007) menar att bråk är det område som är svårast i grundskolan att lära ut. Det är det matematiskt mest komplexa området, men också det viktigaste för att lyckas med mer avancerad matematik. Till exempel menar flera forskare att bråk är en viktig förkunskap till algebran (Kilpatrick m.fl., 2001; Kilborn 1999; Löwing, 2006). Många elever har speciellt svårt för att förstå multiplikation och division av bråk (Li & Smith, 2007; Son, 2005). Det fick därför bli utgångspunkt i min studie. Studiens målgrupp är elever från kursen matematik A på gymnasiet. Målgruppen valdes med syftet att studera de kunskaper som eleverna får med sig från skolan ut i vuxenlivet. Matematik A är den enda obligatoriska kursen i matematik på gymnasiet. Där finns bråkräkning dessutom med som en del av innehållet i de flesta läromedel. Även om flera elever, framförallt från teoretiska program, fortsätter med mer avancerade matematikkurser ges vanligtvis ingen mer direkt träning i bråkräkning efter matematik A. Det blev därför ett naturligt val att studera elever från den kursen. Dessutom är forskningen inom området är nästintill obefintlig för den målgruppen. 1

7 De frågor som jag söker svar på är vilka strategier som elever använder sig av när de löser matematiska uppgifter med multiplikation och division av bråk samt vilka kvaliteter av matematisk kunskap som framkommer i deras lösningar. Med strategier menas det tillvägagångssätt som eleverna använder för att lösa uppgiften. Kvaliteter av matematisk kunskap inbegriper både skicklighet i själva utförandet och förståelse för de matematiska begrepp och procedurer som är väsentliga för multiplikation och division med bråk. 2

8 2. Syfte och frågeställningar Syftet är att studera elevers matematiska kunskaper i multiplikation och division av bråk inom ramen för kursen matematik A på gymnasiet. För att ta reda på det undersöks hur elever går tillväga för att lösa uppgifter med multiplikation och division av bråk och vilka kvaliteter av matematisk kunskap som framkommer i deras lösningar. 2.1 Frågeställningar Vilks strategier använder sig eleverna av när de löser uppgifter med multiplikation och division av bråk? Vilka kvaliteter av matematisk kunskap kan spåras i elevernas lösningar? 2.2. Avgränsningar Med bråk menas i detta arbete tal skrivna som, där m och n är positiva heltal, n skilt från 0. Bråkbegreppet begränsas därmed till att gälla en delmängd av de rationella talen, i enighet med hur bråkbegreppet tas upp i kursen Matematik A på gymnasiet. Arbetet är även begränsat till tal skrivna i ren bråkform, tal skrivna i blandad form tas inte upp i denna studie. Till exempel skrivs 1 som och jag kommer inte att analysera huruvida eleverna ger svar på uppgifterna i ren bråkform eller blandad form. Detta för att begränsa svårigheterna i uppgifterna till att endast gälla räkneoperationerna multiplikation och division med bråk. 3

9 3. Teoretiska utgångspunkter Det här kapitlet inleds med en förklaring av konstruktivismen som är den teori om lärande och kunskap som ligger till grund för den här studien. Det första avsnittet berör synen på hur kunskap utvecklas, medan det andra avsnittet tar upp två olika sätt att se på kunskap som är centrala för konstruktivismen. Syftet är att ta fram ett verktyg som kan användas för att analysera de kunskaper som eleverna i den empiriska studien uppvisar. Därefter redogörs för de rationella talen, framförallt bråktalen, mer ingående och möjliga strategier för att lösa matematiska uppgifter med multiplikation och division av bråk beskrivs. Strategierna kommer sedan att användas för att kategorisera elevernas lösningar i den empiriska studien. Avslutningsvis sammanfattas den forskning som finns kring elevers kunskaper i multiplikation och division av bråk. 3.1 Konstruktivism som teori för lärande Det råder oenighet kring hur lärande går till och olika teorier har därför utarbetats. Vid institutionellt lärande som i skolan är den sociokulturella teorin och den konstruktivistiska teorin de mest framstående. Sociokulturellt perspektiv bygger på att lärande sker i ett sammanhang, där stor vikt läggs vid det sociala samspelet mellan individerna (Säljö, 2000). Det innebär med andra ord att den kontext som eleven befinner sig i får stor betydelse för individens lärande. Undervisningen spelar därför en avgörande roll för vilka kunskaper som eleven tillägnar sig. För min undersökning innebär det till exempel att den undervisning som bedrivits får betydelse för hur eleverna väljer att lösa uppgifterna i matematik och därmed vilka kvaliteter som ges möjligheter till att upptäcka. Ur ett konstruktivistiskt perspektiv är lärande en process som sker inuti individen. Kunskapen konstrueras av individen själv och kan därför inte bara enkelt kan överföras från en person till en annan (von Glasersfeld, 2002). Man menar dessutom att varje människa tolkar den kunskap som han eller hon tar emot utifrån sina egna erfarenheter och därför kan två människor uppfatta samma sak på olika sätt. Med andra ord behöver vår individuella innebörd av kunskapen inte överensstämma med andras (a.a.). I ett konstruktivistiskt perspektiv läggs mindre vikt vid kontexten och mer fokus på individen själv. 4

10 Den här studien avser att studera elevernas kunskaper i ett område i matematik. I det här fallet bortses från det sammanhang som undersökningen sker i och den påverkan som till exempel undervisningen får för resultatet. I stället fokuseras på hur kunskapen formas och förändras hos individen själv, i enighet med det konstruktivistiska perspektivet. Först definieras den konstruktivistiska inriktningen mer ingående och därefter beskrivs begrepp som är centrala inom den konstruktivistiska teorin för hur kunskap utvecklas Definition av konstruktivistisk kunskap Tankarna att kunskap är något som konstrueras inuti en persons huvud går ända tillbaka till den grekiska filosofen Sokrates men befästes som en utvecklingsteori av Jean Piaget på talet. Jean Piagets tankar tillhör en gren av konstruktivismen som kallas för radikalkonstruktivism. Hans teori har sin grund i att kunskap utvecklas genom kognitiva ansträngningar inne i en persons tankar (von Glasersfeld, 2002;1995). Det är hans tankar, främst utvecklade av och hämtade från Ernest von Glasersfeld som ligger till grund för den här diskussionen. Ernest von Glasersfeld (1995) skriver att knowledge, no matter how it be defined, is in the heads of persons, and that the thinking subject has no alternative but to construct what he or she knows on the basis of his or her own experience (s.1). Han menar att det som vi kallar för kunskap inte representerar en oberoende verklighet, utan är beroende av hur människor uppfattar den. Det grundar sig i att vad vi ser, hör och känner är beroende av vårt sätt att uppfatta och förstå vår omvärld. Kunskapen är alltså ingen avbildning av den verkliga världen, utan består av begreppsliga strukturer som är anpassade efter individens erfarenheter. Det innebär att nya begrepp och ny kunskap inte bara kan överföras från en person till en annan genom att prata, utan alla måste ta in betydelsen, begrepp och kunskap utifrån sina egna erfarenheter. Varje person uppfattar det som sägs på olika sätt och lär därför olika saker (Baig & Halai, 2006). Lärandet sker i en kontinuerlig process där ny kunskap utvecklas från den redan befintliga (Anghileri, 2005; von Glasersfeld, 2005; Johanning, 2008). Piaget beskriver detta som att kunskapen utvecklas från individens kognitiva scheman (von Glasersfeld, 1995). Ett sådant schema består av tre delar: 1 Igenkännande av en viss situation. 2 Associering av en specifik handling med denna situation. 3 Förväntan om ett visst resultat. 5

11 3.1.2 Assimilation och ackommodation Assimilation och ackommodation är två grundläggande begrepp inom Piagets teori. Begreppet assimilation definieras i flera av hans verk. Ett exempel, hämtat ur von Glasersfeld (1995), är: no behaviour, even if it is new to the individual, constitutes an absolute beginning. It is always grafted onto previous schemes and therefore amounts to assimilating new elements to already constructed structures (innate, as reflexes are, or previously acquired (s.62). Assimilation ska med andra ord förstås som att ny kunskap införlivas utifrån den förståelse som individen redan har. Det första steget i Piagets kognitiva scheman, det vill säga igenkännandet av en viss situation, är alltid ett resultat av assimilation. Individen assimilerar endast det som passar in i de kognitiva scheman som redan finns. Det som inte passar in, fäster individen inget avseende vid och förblir därmed ovetande om. På så sätt kan utvecklandet av ny kunskap ses som en kontinuerlig, aktiv process och inte bara som passiv överföring. Eftersom den nya kunskapen ses utifrån de erfarenheter som individen har, blir individens befintliga kognitiva scheman centrala för vilken kunskap som individen är mottaglig för och kan ta in (von Glasersfeld, 1995). Baroody och Ginsburg (1986) menar att lärande som bygger på elevens förkunskaper ökar sannolikheten för att lyckas i skolmatematiken. När en individ inte kan assimilera ny kunskap till de redan befintliga kognitiva scheman uppstår en störning. Det vill säga om den aktivitet som sker vid del 2 av Piagets scheman inte leder till något förväntat resultat vid del 3. Individens kognitiva scheman måste då justeras, något som inom utvecklingspsykologin kallas för ackommodation (von Glasersfeld, 1995). Nationalencyklopedins beskrivning av ackommodation är anpassning till ändrade förhållanden (Nationalencyklopedin, 2011). En individ har ingen anledning att förändra sina scheman så länge det inte finns någon medvetenhet om att de är felaktiga. I skolan påminner läraren ofta eleven om att han eller hon har gjort fel. Detta menar von Glasersfeld (2002) är det minst effektiva sättet att förändra en elevs tankesätt. I stället sker ackommodation vanligast i social interaktion när elevens tankar är bristfälliga jämfört med andras. 6

12 För att ge en tydligare bild av hur assimilation och ackommodation kommer att användas för att analysera den empiriska studien av elevernas kunskaper i bråk ges här två exempel på hur bråkkunskap utvecklas. Det första exemplet berör elevernas erfarenheter av bråkbegreppet. Eleverna har ofta en intuitiv förståelse av lika delning, bråk som ett tal mindre än ett, att det hela är en och av samma storlek för alla bråk (de Castro, 2008; Kilpatrick m.fl., 2001), vilket bygger upp elevens kognitiva scheman. När nya begrepp tas upp i bråkundervisningen assimileras dessa till de kognitiva scheman som eleverna har kring bråk. En störning uppstår när den nya kunskapen som eleverna lär sig i skolan inte går att assimilera till elevernas tidigare erfarenheter. Till exempel när bråk som är större än 1 introduceras i undervisningen. Det andra exemplet handlar om hur bråk förhåller sig till det som eleven tidigare lärt sig i skolans matematikundervisning. Bråk är den första abstrakta matematik som eleverna lär sig i skolan (Engström, 1997). Normalt brukar de rationella talen introduceras i årskurs 4. Tanken är att eleverna ska vara väl förtrogna med de naturliga talen först (a.a.). Men det kan uppstå störningar när bråkens egenskaper skiljer sig från de naturliga talen som eleverna känner till sedan tidigare. För de naturliga talen gäller till exempel alltid att vid multiplikation fås ett större tal och vid division fås ett mindre tal. Dessa regler gäller inte strikt för multiplikation och division av bråk, vilket kan ställa till med problem för eleverna (de Castro, 2008; Kilpatrick m.fl., 2001) Empirisk och reflektiv abstraktion Två andra grundläggande begrepp inom Piagets utvecklingspsykologi är empirisk och reflektiv abstraktion. Även de handlar om hur kunskap utvecklas. Ett exempel som Piaget beskriver, hämtat från Engström (1996), handlar om hur en liten pojke i fyra-femårsåldern räknar stenar som han lagt i en cirkel. Pojken räknade stenarna från ena hållet och fick dem till tio och räknade dem sedan från andra hållet och fick dem till tio igen. Han ordnade sedan stenarna på andra sätt och fann att det alltid blev tio, oavsett hur han ordnade dem. Det som pojken kommit på var att summan är oberoende av ordningen, en egenskap i ordnandet. Detta lär sig pojken inte genom att studera objekten, stenarna, utan de handlingar som pojken utför på objekten. Exemplet ska illustrera att matematisk kunskap inte uppkommer ur en empirisk abstraktion från erfarenhet av objekt, t.ex. stenar, utan från en abstraktion av de handlingar, t.ex. ordnande, som barnet utför på objekten (Engström, 1996: 87). Det sistnämnda kallar 7

13 Piaget för reflektiv abstraktion. Han menar att reflektiv abstraktion är den matematiska kunskapens mekanism (a.a.). På detta sätt skiljer konstruktivismen mellan att kunna och att förstå. Engström (1998) skriver att handlandet genererar kunskapen att veta hur man gör. Dessa handlingar kan genom reflektiv abstraktion begreppsliggöras. Att kunna innebär att veta hur man gör och att förstå handlar om att kunskapen blir till begrepp hos individen. Med ett begrepp avser Engström (1996) det begreppsliga innehållet hos en språklig term till skillnad från termen själv, dels de objekt som termen betecknar (s. 88). Det är också den definition på begrepp som jag kommer att använda mig av i fortsättningen. Skillnaden mellan att kunna och att förstå ligger till grund för två kunskapstyper, procedurell eller konceptuell kunskap som utvecklats ur konstruktivismen. 3.2 Procedurell/Konceptuell kunskapssyn Kunskapen att veta hur en operation utförs på ett specifikt sätt och hur ett resultat erhålls, det vill säga att kunna, brukar kallas för procedurell- eller operationell kunskap. I den här texten görs ingen skillnad mellan begreppen, utan de utgör två olika sätt att beskriva samma sak. Kunskapen att veta varför en operation fungerar på ett specifikt sätt eller varför ett resultat erhålls, det vill säga att förstå, kallas för konceptuell- eller strukturell kunskap (von Glasersfeld, 2002). Inte heller mellan dessa begrepp görs någon skillnad. Meningen med att dela upp kunskapsbegreppet är enligt Hiebert och Lefevre (1986) att det underlättar förståelsen av elevers styrkor och svagheter. Det är också så det ska användas för att analysera den empiriska studien av elevers bråkkunskaper. I detta avsnitt definieras först vad som menas med konceptuell respektive procedurell kunskap. Därefter förklaras förhållandet mellan dem och slutligen vad som karakteriserar konceptuell och procedurell undervisning. Det sista avsnittet kring undervisning kommer inte att användas som analysverktyg utan är med för att få en förståelse för varför eleverna kan tänkas utveckla respektive kunskaper och finns med som underlag till diskussionen. 8

14 3.2.1 Procedurell kunskap Procedurell kunskap är uppbyggd av två olika delar. Den första delen utgör förtrogenhet med det formella språket, det matematiska symbolspråket. Den andra delen består av regler, algoritmer, tekniker eller procedurer, det vill säga principer, för hur specifika uppgifter kan lösas (Hiebert & Lefevre, 1986; Silver, 1986). För att begränsa studiens omfattning kommer fokus i analysen av den empiriska undersökningen att ligga på det sistnämna. Carpenter (1986) beskriver procedurell kunskap utifrån principer för hur uppgifter kan lösas. Han skriver att procedural knowledge is characterized as step-by-step procedures executed in a specific sequence (s. 113). Därför menar många forskare att procedurell kunskap består av isolerade kunskapsöar utan någon förbindelse mellan dessa öar (Carpenter, 1986; Hiebert & Lefevre, 1986; Silver). Procedurella kunskaper består till stor del av att komma ihåg olika algoritmer eller regler för hur olika uppgiftstyper ska lösas. Flera forskare menar att det finns en risk i att eleverna ser algoritmer som en meningslös serie av procedurer, vilket i sin tur leder till att eleven lätt glömmer hela eller delar av proceduren eller ändrar något steg på ett sätt så att resultatet blir fel (de Castro, 2008; Watson, 2005). Detta sker speciellt om procedurerna är svåra och måste lösas i flera steg. Kilpatrick m.fl. (2001) menar att en bra algoritm ska vara lätt att förstå, effektiv att använda och enkel. En enkel algoritm är lättare att komma ihåg och att utföra korrekt. I den här studien undersöks elevens procedurella kunskap genom att studera om eleven vet hur han eller hon ska gå tillväga för att lösa en specifik uppgift. Bentley (2010) betonar att även om en elev inte löser en uppgift med hjälp av en specifik procedur, så behöver det inte betyda att eleven inte behärskar proceduren i fråga. Vilken lösningsmetod som eleven väljer att använda beror på uppgiftens karaktär, vilket är viktigt att tänka på vid analysen av elevernas lösningar Konceptuell kunskap Konceptuell kunskap definieras som en connected web of knowledge, a network in which the linking relationships are as prominent as the discrete pieces of information (Hiebert och Lefevre, 1986:3-4). Med det menas att olika delar av matematisk kunskap är sammanbundna av principer och begrepp. Till skillnad från procedurell kunskap är konceptuell kunskap rik på 9

15 relationer och kan inte existera som isolerade delar av information. Konceptuell kunskap bygger på att veta hur dessa delar är relaterade till varandra, att förstå. Det är nära förknippat med att veta varför procedurerna fungerar. Relationerna mellan olika områden skapas genom reflektiv abstraktion (a.a.). Billstein m.fl. (2010) skriver att när eleverna saknar konceptuell kunskap kan de inte rätta till de fel som uppstår när de felaktigt använder algoritmerna. Systematiska procedurella fel associeras ofta med bristfälliga konceptuella kunskaper eller att kopplingen mellan procedurell och konceptuell kunskap saknas (Hiebert & Wearne 1986; Silver 1986). En elev som har goda procedurella, men bristfälliga konceptuella kunskaper kan få svårigheter att applicera kunskapen i nya sammanhang (Harel & Koichu, 2010; Johanning, 2008; Ma, 1999). Det innebär att eleverna lyckas väl i de situationer där de direkt kan använda en inlärd regel, men får problem när procedurerna ska användas i andra sammanhang än de som är bekanta. Det finns elever som lyckas väl i skolmatematiken med endast goda procedurella kunskaper. Kan man återge och använda lagar, tekniker och procedurer klarar man examinationer med relativ lätthet så länge som frågorna är bekanta och kräver tillämpning av den procedurella kunskapen. Men har eleven även goda konceptuella kunskaper, det vill säga vet varför procedurerna är användbara och i vilka sammanhang som de kan användas, kan eleven lyckas i både kända och okända situationer (Watson, 2005). Elevernas konceptuella kunskaper studeras genom att undersöka elevernas kunskaper om varför procedurerna som de använder för att lösa uppgifter fungerar. Dessutom undersöks om eleverna förstår begreppen i olika sammanhang genom att eleverna får använda multiplikation och division för att lösa olika läsuppgifter. Det är inte helt enkelt att göra denna uppdelning av procedurella och konceptuella kunskaper, då det finns en stark relation dem emellan. Denna relation mellan kunskapstyperna beskrivs mer utförligt i nästa avsnitt. 10

16 3.2.3 Relationen mellan konceptuell och procedurell kunskap Det finns många fördelar med att koppla samman konceptuell och procedurell kunskap. Då ges en mening åt det formella matematiska symbolspråket. Dessutom kommer man lättare ihåg procedurerna och kan använda dem mer effektivt (Carpenter, 1986; Hiebert & Lefevre, 1986; Silver, 1986). Flera forskare menar att för att förbättra sitt matematiska tänkande måste man utveckla både konceptuell och procedurell kunskap (Carpenter, 1986; Sfard, 1991; Silver, 1986). Sfard (1991) beskriver hur matematisk kunskap utvecklas i relationen mellan procedurell och konceptuell kunskap. I stället för konceptuell och procedurell kunskap använder hon sig av begreppen strukturell och operationell förståelse av matematiska begrepp. Sfard (1991) menar att matematiska begrepp kan uppfattas strukturellt som objekt eller operationellt som processer. Att uppfatta begrepp strukturellt förknippas med den konceptuella kunskapen och att uppfatta begrepp som processer är ett annat sätt att beskriva procedurell kunskap. Till exempel kan bråk beskrivas operationellt som division av heltal och strukturellt som par av heltal (a.a.). Sfard (1991) skriver vidare att det strukturella och operationella sätten att se på matematiska begrepp är komplementära, och har en dualistisk natur. Därmed går det inte att se kunskapen som antingen strukturell eller operationell, utan det finns en stark relation dem emellan. Nya matematiska begrepp utvecklas oftast genom att först lära sig processerna och sedan utvecklas en objektifierad förståelse av begreppet (a.a.). Detta kan jämföras med att berättelsen om pojken som räknade stenar där handlingarna leder till att pojken lär sig hur förhållandet mellan ordningen och summan ser ut. Genom reflektiv abstraktion utvecklar barnet kunskapsobjektet att summan är oberoende av ordningen. Samtidigt menar Sfard (1991) att kunskapen är meningslös om den inte förstås både strukturellt och operationellt då objekten ger mening åt operationerna och tvärtom. Det innebär att eleven ser operationerna som meningslösa om han eller hon saknar strukturell förståelse för begreppen. Enligt Sfard (1991) är detta anledningen till varför matematik är en komplicerad vetenskap som är så svår för många att förstå sig på. 11

17 3.2.4 Procedurell/ konceptuell undervisning Flera forskare menar att undervisningen i matematik är avgörande för vilka kunskaper som eleven får (Corey m.fl., 2010; Ma, 1999; Runesson & Ah Chee Mok, 2005). I Sverige är matematikundervisningen ofta av typisk procedurell karaktär, vilket innebär inlärning av ett antal procedurer som är kopplad till specifika kontexter, så kallad färdighetsträning (Bentley, 2008). Utmärkande för den svenska undervisningen är att läraren går igenom en regel eller en algoritm och visar hur den fungerar i olika exempel, ofta utan hänsyn till elevernas tidigare erfarenheter i området. Efter att läraren gått igenom algoritmen får eleverna träna på den i ett flertal liknande exempel. Sådan undervisning lär eleverna att det inte är viktigt att förstå varför algoritmerna fungerar, bara man vet hur man använder dem för att få fram rätt svar (a.a.). Runesson och Ah Chee Mok (2005) som jämfört undervisningen i Hong Kong och Sverige skriver att lektionerna i Hong Kong visade på många olika aspekter av samma begrepp och eleverna erfar det komplexa sambandet mellan begreppen. De svenska lektionerna däremot karaktäriserades av få kopplingar mellan begrepp och lektioner. Med det menar de att eleverna varje lektion arbetar med begrepp som om de vore fristående från varandra i stället för att binda samman nya begrepp med de som eleverna lärt sig föregående lektion eller lektioner. Bentley (2008) menar att den procedurella undervisningen som är typisk i Sverige leder till att eleverna gör algoritmbaserade misstag och får svårigheter att applicera kunskaperna i nya sammanhang. Som exempel på vad som menas med procedurell undervisning beskrivs här hur den svenska undervisningen av bråk kan se ut. Traditionsenligt introduceras bråkbegreppet som del av en helhet. Därefter följer vanligtvis genomgång av olika regler och algoritmer som eleverna kan använda sig av för att lösa alla sorters problem. Tanken verkar vara att tränas en procedur tillräckligt många gånger så befästs den och kan sedan tillämpas på andra problem (Engström, 1997; Löwing, 2006). För att undervisningen skulle vara av mer konceptuell karaktär menar Charalambous och Pitta-Pantazi (2007) att i stället för att betona algoritmer för att utföra olika operationer med bråk borde elevernas intuitiva föreställningar om att dela, speciellt lika delning ligga till grund när man introducerar de rationella talen. Kilpatrick m.fl. (2001) skriver att konceptuell förståelse underlättas om man kopplar samman den nya kunskapen om de rationella talen med 12

18 den redan befintliga om heltalen. Då algoritmen för division av bråk är besvärlig att komma ihåg betonar Billstein m.fl. (2010) vikten av att undervisningen i division av bråk i stället baseras på elevernas intuitiva konceptuella kunskap. Han skriver att undervisningen borde utveckla begreppen av division av bråk och få eleverna att förstå varför räkneoperationerna är användbara. 3.3 Bråkbegreppet Ett bråk kan skrivas antingen som m/n eller, där m och n är heltal, n skilt från 0. För att skilja mellan ett bråktal och operationen division kommer bråktal i fortsättningen att betecknas som, och division som m/n. Det övre talet, m, kallas för täljare och det undre talet, n, kallas för nämnare (Kilpatrick m.fl., 2001). I den här texten är m och n begränsade till de positiva heltalen, vilka är en delmängd av de rationella talen. Det gäller inte för alla bråk. Till exempel är ett bråk, men inte ett rationellt tal (Billstein m.fl., 2010). Alla bråk kan representeras på tallinjen genom att man delar upp intervallen mellan heltalen på ett lämpligt sätt. Till exempel placeras precis mitt emellan 0 och 1 (Kilpatrick m.fl., 2001). Begreppet bråk betyder brutna tal. Det kommer från latinets fractus, som betyder att bryta. Denna härledning är tydlig i det engelska språket, där bråk heter fraction. Det svenska begreppet bråk kommer från tyskans Bruch, som bryta heter på tyska (Engström, 1997). Orden täljare och nämnare kommer även de från det latinska språket. Täljare, engelska numerator, kan översättas till det engelska ordet numberer, som på svenska betyder antal eller mängd. Nämnare, engelska denominator, kommer från ett latinskt ord som på engelska betyder namer (Billstein m.fl., 2010). Det är alltså nämnaren som namnger bråket. Det finns en del skillnader mellan de rationella talen och bråk. Rationella tal kan skrivas som bråk, men det finns även andra representationsformer. Varje bråk motsvarar inte heller olika rationella tal. Till exempel och motsvarar båda samma rationella tal. Det finns även olika sätt att beskriva bråk. Till exempel kan bråk beskrivas som del av en helhet, som mätinstrument, som en operator, som en kvot och som ett förhållande. Dessa kallas ibland för bråkens olika skepnader (Lamon, 2010). 13

19 3.3.1 Bråkens olika skepnader De rationella talen och däribland bråken är mer komplexa än de naturliga talen. En orsak är att de kan användas på olika sätt och i olika sammanhang. I detta avsnitt ska de olika sätten att använda bråk beskrivas mer utförligt. Det vanligaste sättet att representera bråk i skolan är som del av en helhet. Helheten kan vara diskret eller kontinuerlig, bestämd eller obestämd, strukturerad eller sakna struktur (Freudenthal, 1983). Helheten kan bestå av en hel eller ett antal (Löwing & Kilborn, 2002). Enligt Lamon (2010) innebär användningen av bråk som del av en helhet a number of equal parts of a unit out of the total number of equal parts in which the unit is divided (2010:125). Med lika delar menas samma antal, samma längd eller samma area beroende på naturen av enheten hela. Lamon (2010) skriver också att one part is not the same as one piece (s. 125). Det innebär att en del kan bestå av mer än en bit. Antalet bitar som ingår i en del beror på hur många lika stora delar det finns. Om man ökar antalet delar minskar mängden i varje del. Ju färre delar det finns, desto större antal bitar i varje del (Lamon, 2010). Exempel på en fråga som behandlar bråk som del av en helhet är (helheten är i det här fallet ett antal): Hur många kakor är av totalt 15 kakor? Helheten är 15 kakor, som är delad i 5 lika stora delar. En del består i detta fall av kakor. Bråk kan användas för att mäta någonting och beskrivs då som ett mätinstrument. Mätning är något av det första som man lär sig i matematiken i skolan. Det handlar då ofta om att mäta en sträcka med en linjal eller massa av ett objekt (Lamon, 2010). När det kommer till bråk blir mätningen mer avancerad. Det kan antingen handla om att mäta någonting, bråket kommer då före en enhet som till exempel meter. Bråket kan också vara en sträcka på en tallinje och står då som ett ensamt tal, till exempel 2 (Freudenthal, 1983). Till exempel bråket ses som sträckan av 4 stycken enheter från en given punkt (Lamon, 2010). 14

20 Bråk som en operation innebär att man tänker på bråk som en funktion. Någonting stoppas in och något annat kommer ut. Till exempel om man vill veta vad av något är kan man antingen multiplicera med 2 först och sedan dividera med 3 eller dividera med 3 först och sedan multiplicera med 2. Det är en regel som säger hur vi opererar med en enhet (Lamon, 2010). Det finns kända operationer för multiplikation och division med bråk som kommer att beskrivas senare. Bråk som kvot eller förhållande kommer inte att undersökas i studien, men beskrivs kortfattat för att ge en helhetsbild av bråktalen. Bråk som en kvot används framförallt vid lika delning av någonting (Lamon, 2010). Till exempel om man ska dela 3 pizzor mellan 7 personer får varje person pizza. Bråk som kvot beskriver därför ett konstant, bestämt par av tal. Bråk som förhållande innebär jämförelse av två mängder och används ofta när man pratar om hastigheter. Helheten är i det här fallet ointressant (Kilborn, 1999; Lamon, 2010). Ett exempel som beskriver bråk som förhållande är: Om du har 2 svarta och 4 vita kulor är förhållandet mellan kulorna (Kilborn, 1999). Exemplet visar på att det är förhållandet mellan kulorna som är det viktiga, och inte helheten. Charalambous och Pitta-Pantazi (2007) har undersökt femte- och sjätteklassares kunskaper i de olika konstruktionerna av bråk. De kom fram till att eleverna lyckades bäst med uppgifter som behandlade bråk som del av en helhet och sämst med uppgifter som handlade om bråk som en mätningsprocess. Detta speglar den undervisningstid som läggs på vart och ett av de olika sätten att beskriva bråk (a.a.). Uppgifterna i den empiriska undersökningen är inte valda utifrån något specifikt sätt att beskriva bråk. Syftet är i stället att de ska representera alla de olika operationer som finns för multiplikation och division av bråk. Vilka dessa operationer är presenteras i nästkommande avsnitt. 15

21 3.3.2 Multiplikation och division med bråk Definitionen för multiplikation med bråk är, där m, n, p och q är positiva heltal, n och q skilda från 0. Man kan se multiplikation med bråk som att man ska ta gånger, eller av. Det skulle också kunna betyda arean av en rektangel med sidorna och (Freudenthal, 1983). I den empiriska undersökningen kommer även uppgifter användas där endast ett av talen i multiplikationen är bråk. Detta för att studera om det finns några skillnader mellan elevernas sätt att lösa olika typer av uppgifter och om uppgifternas karaktär har betydelse för om eleverna lyckas lösa uppgiften eller inte. I definitionen för multiplikation av bråk får då ett av bråken bytas ut mot ett heltal. Betydelsen av multiplikationen förändras inte. Definitionen för division med bråk är / =, där m, n, p och q är positiva heltal, n, p och q skilda från 0 (Kilpatrick m.fl., 2001). Liksom för multiplikation med bråk finns i undersökningen även uppgifter där endast ett av talen är bråk. De operationer som studeras är heltal dividerat med bråk, bråk dividerat med heltal, division av två bråk med samma nämnare och division av två bråk med olika nämnare. Anledningen är densamma som för operationerna med multiplikation av bråk. Betydelsen av division av bråk kan beskrivas med hjälp av de tre modeller som Ma (1999) har tagit fram för division av bråk. Hon kallar dem measurement (or quotitive), partitive, and product and factors (1999:72). Till exempel kan / representera: km / km = (mätningsprocess) km / = km (partitiv modell) kvadratmeter / meter = meter (produkt och faktor) Division av bråk som mätningsprocess kan relateras till frågan hur många :a det finns i, eller hur många gånger är av (Ma, 1999). I första fallet skulle man kunna ställa frågan: Om ett arbetarteam bygger km väg om dagen, hur många dagar tar det för dem att bygga en väg som är km lång? I det andra fallet skulle man kunna ställa frågan: 16

22 Tanken var att det skulle ta månad att bygga en bro, men det visade sig att det bara tog månad. Hur många gånger är den tiden som var planerad av den tiden som det egentligen tog? Den partitiva modellen innebär att man ska hitta ett tal så att av det är (Ma, 1999). Ett exempel på ett problem som beskriver den partitiva modellen är: Du har köpt en påse godis. Du gav bort av det, vilket vägde kg till din kompis. Hur mycket vägde påsen från början? Produkt och faktormodellen innebär att man ska hitta en faktor när produkten och den andra faktorn är givna (Ma, 1999). Ett problem som beskriver division av bråk som produkt och faktor är: Arean av en rektangel är produkten av längden och bredden. Om arean på ett rektangulärt bord är kvadratmeter och bredden är m, vad är då längden? 3.4 Strategier för multiplikation och division med bråk I det här avsnittet redovisas olika sätt för att lösa uppgifter med multiplikation och division av bråk så som andra forskare beskriver dem. De som presenteras är att använda algoritmer, utnyttja täljarens innebörd som antalet enheter, dividera täljarna för sig och nämnarna för sig, areamodell och att göra om bråken till decimal. Flera av namnen är påhittade, men procedurerna beskrivs så som andra forskare lagt fram dem. Innan dessa olika strategier beskrivs mer utförligt beskrivs de förkunskaper som krävs för att eleven ska kunna lösa uppgifter med multiplikation och division av bråk. Löwing (2006) menar att det krävs tre förkunskaper för att eleven ska kunna räkna med alla operationerna som finns med tal i bråkform. De är: Att förstå nämnarens innebörd som en enhet. Att förstå täljarens innebörd som antalet enheter. Att förstå att varje bråk kan skrivas på oändligt många sätt. 17

23 För att lösa alla typer av uppgifter med division av bråk måste eleven dessutom känna till två olika sätt att uppfatta division, som delningsdivision och som innehållsdivision. Till exempel 12/4 kan förklaras med delningsdivision som att 4 personer delar på 12 kronor. Innehållsdivision kan förstås om man i stället frågar hur många gånger 4 ryms i 12 (Löwing & Kilborn, 2002). För att lösa divisionsuppgifterna med hjälp av divisionsalgoritmen förutsätts dessutom att eleven vet hur man multiplicerar med bråk (Ma, 1999). Hur dessa förkunskaper kommer till uttryck när eleverna löser uppgifter med multiplikation och division av bråk kommer att beskrivas för respektive strategi Använder algoritm Att använda algoritm menas att använda en regel eller ett recept för att lösa uppgifterna. Reglerna för multiplikation och division med bråk är inte samma och beskrivs därför för sig. Multiplikation med bråk Proceduren för multiplikation med bråk innebär att täljarna multipliceras för sig och nämnarna för sig. Om det är ett heltal som ska multipliceras med ett bråk ska heltalet multipliceras med täljaren. Alternativt kan heltalet skrivas om som ett bråk med nämnaren ett. För att lösa uppgifter med hjälp av algoritmen krävs inga av de tre förkunskaperna som är presenterade ovan. Algoritmen är enkel att lära ut och ingen konceptuell koppling behövs. De flesta elever har därför begränsad förståelse för meningen med bråkmultiplikation. Konsekvensen blir att eleverna inte kan applicera proceduren för att lösa enkla problem (Carpenter, 1986). Division med bråk Algoritmen för division lärs vanligtvis ut som inventera och multiplicera (Billstein m.fl., 2010). Det innebär att det bråk som står i nämnaren ska inventeras, det vill säga byta plats på täljare och nämnare, samtidigt som divisionen byts ut till multiplikation. När ett bråk divideras med ett heltal skrivs heltalet först om som ett bråk med nämnaren ett. Alternativt multipliceras nämnaren i bråket som ska divideras med heltalet direkt. Vid division av ett heltal med ett bråk kan multiplikationsalgoritmen användas direkt. När man ska utföra division med bråk med hjälp av divisionsalgoritmen krävs att eleven vet hur man multiplicerar med bråk (Ma, 1999). Divisionsalgoritmen har visat sig ställa till med mycket problem för 18

24 eleverna. Eleverna har svårt att hålla reda på vilket tal som ska inventeras och när proceduren är lämplig att använda (Billstein m.fl., 2010) Utnyttjar täljarens innebörd som antalet enheter Upprepad addition är en lösningsstrategi som Kilborn (1999) och Löwing (2006) beskriver speciellt för multiplikation med bråk. Eftersom den tidiga skolundervisningen ofta beskriver multiplikation med heltal som upprepad addition, kan man anta att de flesta elever har en intuitiv förståelse av multiplikation som upprepad addition. Multiplikation med bråk kan också ses som upprepad addition (Billstein m.fl., 2010; Freudenthal, 1983). Kilborn (1999) och Löwing (2006) menar att detta sätt att lösa multiplikation med bråk bygger mer på konceptuell förståelse än när man använder multiplikationsalgoritmen. Vid användning av upprepad addition är täljarens betydelse som antalet enheter central. Till exempel kan uppfattas som 3 gånger. Om man utgår från att betyder kan man enkelt utföra multiplikationen som upprepad addition. blir då 3 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) vilket är totalt 6 stycken femtedelar. Man kan också se det som 1999; Löwing, 2006). femtedelar (Kilborn, Även för division av bråk finns alternativ till den traditionella algoritmen för division av bråk som bygger mer på konceptuell förståelse. Löwing (2006) och Kilborn (1999) menar att när man ska dividera ett bråk med ett naturligt tal är det täljarens innebörd som antalet enheter som är det centrala. Till exempel ska betraktas som eller om man så vill 4 femtedelar. När man ska dividera med 2 ska dessa 4 femtedelar delas upp i två lika stora delar. Ser man att är samma sak som ( ) blir det enkelt att inse att det är täljaren (antalet enheter) som ska divideras med 2. Divisionen är oberoende av nämnaren. För denna typ av resonemang krävs att eleven vet hur man adderar tal i bråkform (Kilborn 1999; Löwing, 2006). Det som ställer till problem för eleverna är enligt Löwing (2006) det formella språket. Eleverna har svårt att tolka vad bråk som betyder. Hon menar att det hela förenklas betydligt om man i stället tänker på nämnaren som vilken enhet som helst. Frågan är då hur man utför divisioner som / 3 där täljaren, 2, inte är delbar med 3. För att lösa denna typ av uppgifter krävs att eleven har kunskaper om att bråk kan skrivas på oändligt många sätt. kan skrivas 19

25 som, och då blir täljaren 6 delbar med 3. Lösningen blir / 3 = / 3 = (Kilborn, 1999; Löwing, 2006). Vid division av två tal i bråkform måste man i stället tänka innehållsdivision, då det inte är realistiskt att dela mellan personer. Till exempel / kan enligt Löwing (2006) förstås som hur många kvartar går det på tre kvart? (s. 171). Precis som med ovanstående exempel kan man skriva om som och det är då enkelt att se att finns tre gånger i. För att utföra division av två bråktal med olika nämnare, till exempel /, kan man använda samma resonemang som ovan och först skriva om bråken så att de får samma nämnare. I det valda exemplet blir det / = / = = 1 hel och. Detta ger samma resultat som om man inventerat nämnaren och multiplicerat (Kilborn, 1999; Löwing, 2006) Dividera täljarna för sig och nämnarna för sig För att utföra operationen med division av två bråk menar Ma (1999) att det finns en annan, mer ovanlig metod. Den innebär att täljarna i bråken divideras för sig och nämnarna för sig. Till exempel kan beräknas. Den här metoden fungerar inte när täljarna eller nämnarna inte går att dividera med varandra, som är fallet om man ska beräkna. Eftersom 3 inte är delbart med 2 fungerar inte metoden. Däremot menar lärarna i Ma:s undersökning att den här proceduren är lättare än att inventera och multiplicera och i vissa fall kan vara fördelaktig att använda. Beviset för metoden som det är presenterat i Ma (1999) är följande: = = = = = Areamodell För att utföra operationer med multiplikation och division av bråk kan även en areamodell användas. De Castro (2008) menar att denna modell leder till mer konceptuell kunskap än den traditionella algoritmen. Modellen innebär att man använder sig av en rektangel som man 20

26 delar in i flera delar och skuggar områden i rektangeln som motsvarar bråken som ska multipliceras. Det ena bråket skuggas vertikalt och det andra horisontellt (a.a.). För multiplikation av bråk blir det område som är skuggat både vertikalt och horisontellt den nya täljaren och det totala antalet delar nämnaren (de Castro, 2008). Om man till exempel ska utföra multiplikationen delas rektangeln först vertikalt in i 3 lika delar där 1 av dessa 3 skuggas. Därefter delas rektangeln horisontellt i 2 delar, där 1 av dessa 2 skuggas. Rektangel består då av 6 små rektanglar, vilket motsvarar nämnaren i produkten. 1 av dessa 6 små rektanglar är skuggad både vertikalt och horisontellt. Det är produktens täljare. De Castro (2008) studie visar att denna modell hjälper eleverna att förstå algoritmen för bråkmultiplikation och ökar förutsättningarna för att eleven ska komma ihåg den. Däremot är areamodellen besvärlig att använda när bråken är stora. För division av bråk jämförs de båda skuggade områdena och med hjälp av innehållsdivision bestäms hur många gånger nämnaren får plats i täljaren (de Castro, 2008). Om man till exempel ska utföra divisionen delas rektangeln vertikalt i 3 delar där 1 av dessa 3 skuggas och horisontellt i 5 delar där 1 av dessa 5 skuggas. Därefter jämförs de båda skuggade regionerna och med hjälp av innehållsdivision kan man se att får plats 1 gånger i Göra om bråken till decimal Ett annat sätt att lösa bråkuppgifter på som presenteras i Ma (1999) är att utföra beräkningen med decimaler i stället för bråk. Ma (1999) menar att det ibland, men inte alltid, kan förenkla beräkningen att göra om bråken till decimaltal och sedan utföra beräkningen. I vissa fall kan det i stället leda till svårare beräkningar och ibland leder blir det oändliga decimaler som inte har något slut. Det är viktigt att eleven vet olika sätt att närma sig ett problem för att kunna bedöma vilket sätt som är lämpligast för ett speciellt problem (a.a.). 21